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Ajuste de curvas.Regresión.
Curso: Métodos Numéricos en Ingenierı́aProfesor: Dr. José A. Otero HernándezCorreo: [email protected]: http://metodosnumericoscem.weebly.comUniversidad: ITESM CEM
http://metodosnumericoscem.weebly.com
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Tópicos
1 Introducción
2 Regresión por mı́nimos cuadradosRegresión lineal por mı́nimos cuadradosEjemploPrograma MATLAB: linregr.mRegresión cuadrática por mı́nimos cuadradosPrograma MATLAB: cuadregr.mEjemplo
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
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1 Introducción
2 Regresión por mı́nimos cuadradosRegresión lineal por mı́nimos cuadradosEjemploPrograma MATLAB: linregr.mRegresión cuadrática por mı́nimos cuadradosPrograma MATLAB: cuadregr.mEjemplo
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ajuste de curvasEs común que los datos se den como valores discretos,Se podrı́a necesitar la estimación de un punto entrevalores discretos,Se podrı́a necesitar una curva que ajuste los datos paraobtener estimaciones intermedias,Se podrı́a necesitar una version simplificada de unafunción complicada,Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ajuste de curvasEs común que los datos se den como valores discretos,Se podrı́a necesitar la estimación de un punto entrevalores discretos,Se podrı́a necesitar una curva que ajuste los datos paraobtener estimaciones intermedias,Se podrı́a necesitar una version simplificada de unafunción complicada,Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ajuste de curvasEs común que los datos se den como valores discretos,Se podrı́a necesitar la estimación de un punto entrevalores discretos,Se podrı́a necesitar una curva que ajuste los datos paraobtener estimaciones intermedias,Se podrı́a necesitar una version simplificada de unafunción complicada,Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ajuste de curvasEs común que los datos se den como valores discretos,Se podrı́a necesitar la estimación de un punto entrevalores discretos,Se podrı́a necesitar una curva que ajuste los datos paraobtener estimaciones intermedias,Se podrı́a necesitar una version simplificada de unafunción complicada,Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ajuste de curvasEs común que los datos se den como valores discretos,Se podrı́a necesitar la estimación de un punto entrevalores discretos,Se podrı́a necesitar una curva que ajuste los datos paraobtener estimaciones intermedias,Se podrı́a necesitar una version simplificada de unafunción complicada,Estas aplicaciones se conocen como ajuste de curvas.
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Métodos generales para el ajuste de curvas
Regresión: Si los datos exhiben un grado significativo de erroro ”ruido”, entonces la estrategia será obtener una sola curvaque represente la tendencia general de los datos.
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Métodos generales para el ajuste de curvas
Interpolación: Si se sabe que los datos son muy precisos,entonces la estrategia será colocar una curva o una serie decurvas que pasen por cada uno de los puntos.
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Tópicos
1 Introducción
2 Regresión por mı́nimos cuadradosRegresión lineal por mı́nimos cuadradosEjemploPrograma MATLAB: linregr.mRegresión cuadrática por mı́nimos cuadradosPrograma MATLAB: cuadregr.mEjemplo
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a una lı́nea recta (y = a0 + a1x) el conjuntode puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y ladata, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y elvalor aproximado a0 + a1x. Por lo cual, se puede determinarcomo:
e = y − a0 − a1x
Para cada punto (xi, yi) se define un error ei. La estrategiapara ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de loscuadrados de los errores entre los valores verdaderos y losvalores aproximados. Esto es:
Sr =
n∑i=1
e2i =
n∑i=1
(yi − a0 − a1xi)2
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a una lı́nea recta (y = a0 + a1x) el conjuntode puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y ladata, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y elvalor aproximado a0 + a1x. Por lo cual, se puede determinarcomo:
e = y − a0 − a1x
Para cada punto (xi, yi) se define un error ei. La estrategiapara ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de loscuadrados de los errores entre los valores verdaderos y losvalores aproximados. Esto es:
Sr =
n∑i=1
e2i =
n∑i=1
(yi − a0 − a1xi)2
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a una lı́nea recta (y = a0 + a1x) el conjuntode puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) es la diferencia entre el modelo (linea recta) y ladata, es decir es la diferencia entre el valor verdadero de y y elvalor aproximado a0 + a1x. Por lo cual, se puede determinarcomo:
e = y − a0 − a1x
Para cada punto (xi, yi) se define un error ei. La estrategiapara ajustar la linea recta consiste en minimizar la suma de loscuadrados de los errores entre los valores verdaderos y losvalores aproximados. Esto es:
Sr =
n∑i=1
e2i =
n∑i=1
(yi − a0 − a1xi)2
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
Ajuste de una lı́nea recta por mı́nimos cuadradosPara determinar los valores de a0 y a1, hay que derivar Sr conrespecto a cada uno de los coeficientes (a0, a1) e igual a cero:
∂Sr∂a0
= −2n∑
i=1
(yi − a0 − a1xi) = 0
∂Sr∂a1
= −2n∑
i=1
(yi − a0 − a1xi)xi = 0
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
Ajuste de una lı́nea recta por mı́nimos cuadrados
0 =
n∑i=1
yi −n∑
i=1
a0 −n∑
i=1
a1xi
0 =
n∑i=1
yixi −n∑
i=1
a0xi −n∑
i=1
a1x2i
Ajuste de una lı́nea recta por mı́nimos cuadrados
n∑i=1
yi = na0 +
(n∑
i=1
xi
)a1
n∑i=1
xiyi =
(n∑
i=1
xi
)a0 +
(n∑
i=1
x2i
)a1
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
Ajuste de una lı́nea recta por mı́nimos cuadrados
0 =
n∑i=1
yi −n∑
i=1
a0 −n∑
i=1
a1xi
0 =
n∑i=1
yixi −n∑
i=1
a0xi −n∑
i=1
a1x2i
Ajuste de una lı́nea recta por mı́nimos cuadrados
n∑i=1
yi = na0 +
(n∑
i=1
xi
)a1
n∑i=1
xiyi =
(n∑
i=1
xi
)a0 +
(n∑
i=1
x2i
)a1
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Regresión lineal por mı́nimos cuadrados
Ajuste de una lı́nea recta por mı́nimos cuadrados
a1 =
nn∑
i=1xiyi −
n∑i=1
xin∑
i=1yi
nn∑
i=1x2i −
(n∑
i=1xi
)2
a0 =
n∑i=1
yi
n− a1
n∑i=1
xi
n
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ejemplo
Ejemplo 1Ajuste a una lı́nea recta los valores de x y y dados en lasiguiente tabla:
xi yi1 0.52 2.53 2.04 4.05 3.56 6.07 5.5
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ejemplo
Solución
clear ; clc ;x =[1 2 3 4 5 6 7 ] ;y= [ 0 . 5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5 . 5 ] ;n= length ( x ) ;sxy=sum( x .∗ y )sx2=sum( x .∗ x )sx=sum( x )sy=sum( y )a1=(n∗sxy−sx∗sy ) / ( n∗sx2−(sx ) ˆ 2 )a0=sy / n−a1∗sx / n
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ejemplo
Solución
% Solucion ejemplo 1sxy = 119.5000sx2 = 140sx = 28sy = 24a1 = 0.8393a0 = 0.0714y = 0.0714+0.8393∗x
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Programa MATLAB: linregr.m
Programa Matlab
function [ a ] = l i n r e g r ( x , y )% l i n r e g r : A jus te de curva con regres ion l i n e a l% Entrada : x , y−−−−Sal ida : a = [ a1 , a0 ]n = length ( x ) ;i f length ( y ) ˜=n , error ( ’ x−y d i f e r e n t e s long i tudes ’ ) ; endsx = sum( x ) ; sy = sum( y ) ;sx2 = sum( x .∗ x ) ; sxy = sum( x .∗ y ) ;a ( 1 ) = ( n∗sxy−sx∗sy ) / ( n∗sx2−sx ˆ 2 ) ;a ( 2 ) = sy / n−a ( 1 ) ∗sx / n ;% Ploteo de l a data y l i n e a rec ta a justadaxp = l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,2 ) ;yp = a ( 1 ) ∗xp+a ( 2 ) ;plot ( x ’ , y ’ , ’ o ’ , xp , yp ) ; grid on
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Programa MATLAB: linregr.m
Ejemplo 1: Programa Matlab
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a un polinomio cuadrático(y = a0 + a1x+ a2x2) el conjunto de puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) se puede determinar como:
e = y − a0 − a1x− a2x2
Para cada punto (xi, yi) se define un error ei.La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste enminimizar la suma de los cuadrados de los errores entre losvalores verdaderos y los valores aproximados. Esto es:
Sr =
n∑i=1
e2i =
n∑i=1
(yi − a0 − a1xi − a2x2i
)2
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a un polinomio cuadrático(y = a0 + a1x+ a2x2) el conjunto de puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) se puede determinar como:
e = y − a0 − a1x− a2x2
Para cada punto (xi, yi) se define un error ei.La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste enminimizar la suma de los cuadrados de los errores entre losvalores verdaderos y los valores aproximados. Esto es:
Sr =
n∑i=1
e2i =
n∑i=1
(yi − a0 − a1xi − a2x2i
)2
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a un polinomio cuadrático(y = a0 + a1x+ a2x2) el conjunto de puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) se puede determinar como:
e = y − a0 − a1x− a2x2
Para cada punto (xi, yi) se define un error ei.La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste enminimizar la suma de los cuadrados de los errores entre losvalores verdaderos y los valores aproximados. Esto es:
Sr =
n∑i=1
e2i =
n∑i=1
(yi − a0 − a1xi − a2x2i
)2
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadradosProblema: Ajustar a un polinomio cuadrático(y = a0 + a1x+ a2x2) el conjunto de puntos:(x1, y1),(x2, y2),· · · ,(xn, yn).El error (e) se puede determinar como:
e = y − a0 − a1x− a2x2
Para cada punto (xi, yi) se define un error ei.La estrategia para ajustar el polinomio cuadrático consiste enminimizar la suma de los cuadrados de los errores entre losvalores verdaderos y los valores aproximados. Esto es:
Sr =
n∑i=1
e2i =
n∑i=1
(yi − a0 − a1xi − a2x2i
)2
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados
Ajuste del polinomio cuadrático por mı́nimos cuadradosPara determinar los valores de a0, a1 y a2, hay que derivar Srcon respecto a cada uno de los coeficientes (a0, a1, a2) e iguala cero:
∂Sr∂a0
= −2n∑
i=1
(yi − a0 − a1xi − a2x2i
)= 0
∂Sr∂a1
= −2n∑
i=1
(yi − a0 − a1xi − a2x2i
)xi = 0
∂Sr∂a2
= −2n∑
i=1
(yi − a0 − a1xi − a2x2i
)x2i = 0
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados
Ajuste del polinomio cuadrático por mı́nimos cuadrados
n∑i=1
yi = na0 +
(n∑
i=1
xi
)a1 +
(n∑
i=1
x2i
)a2
n∑i=1
xiyi =
(n∑
i=1
xi
)a0 +
(n∑
i=1
x2i
)a1 +
(n∑
i=1
x3i
)a2
n∑i=1
x2i yi =
(n∑
i=1
x2i
)a0 +
(n∑
i=1
x3i
)a1 +
(n∑
i=1
x4i
)a2
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados
Programa para la solución del sistema
clear ; clc ;syms a0 a1 a2 n sx sy sx2 sxy sx3 sx4 sx2y ;eq1=n∗a0+sx∗a1+sx2∗a2−sy ;eq2=sx∗a0+sx2∗a1+sx3∗a2−sxy ;eq3=sx2∗a0+sx3∗a1+sx4∗a2−sx2y ;[ a0 a1 a2 ]= solve ( eq1 , eq2 , eq3 , a0 , a1 , a2 )
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Regresión cuadrática por mı́nimos cuadrados
Solución del sistema
a0=( sx2y∗sx2ˆ2−sxy∗sx2∗sx3−sx4∗sy∗sx2+sy∗sx3ˆ2−sx∗sx2y∗sx3+sx∗sx4∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )
a1=( sx2 ˆ2∗ sxy+n∗sx2y∗sx3−n∗sx4∗sxy−sx∗sx2∗sx2y+sx∗sx4∗sy−sx2∗sx3∗sy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )
a2=( sx2y∗sxˆ2−sxy∗sx∗sx2−sx3∗sy∗sx+sy∗sx2ˆ2−n∗sx2y∗sx2+n∗sx3∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 )
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Programa MATLAB: cuadregr.m
function [ a ] = cuadregr ( x , y )% cuadregr : A jus te de curva con regres ion cuadra t i ca% Entrada : x , y−−−−Sal ida : a=[a2 , a1 , a0 ]n = length ( x ) ;i f length ( y ) ˜=n , error ( ’ x−y d i f e r e n t e s long i tudes ’ ) ; endsx=sum( x ) ; sy=sum( y ) ; sx2=sum( x .∗ x ) ; sxy=sum( x .∗ y ) ;sx3=sum( x .∗ x .∗ x ) ; sx4=sum( x .∗ x .∗ x .∗ x ) ; sx2y=sum( x .∗ x .∗ y ) ;a ( 3 ) =( sx2y∗sx2ˆ2−sxy∗sx2∗sx3−sx4∗sy∗sx2+sy∗sx3ˆ2−sx∗sx2y
∗sx3+sx∗sx4∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;
a ( 2 ) =( sx2 ˆ2∗ sxy+n∗sx2y∗sx3−n∗sx4∗sxy−sx∗sx2∗sx2y+sx∗sx4∗sy−sx2∗sx3∗sy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;
a ( 1 ) =( sx2y∗sxˆ2−sxy∗sx∗sx2−sx3∗sy∗sx+sy∗sx2ˆ2−n∗sx2y∗sx2+n∗sx3∗sxy ) / ( sx4∗sxˆ2−2∗sx∗sx2∗sx3+sx2ˆ3−n∗sx4∗sx2+n∗sx3 ˆ 2 ) ;
% Ploteo de l a data y l i n e a rec ta a justadaxp = l inspace (min ( x ) ,max( x ) ,100) ;yp = a ( 3 ) +a ( 2 ) ∗xp+a ( 1 ) ∗xp . ˆ 2 ;plot ( x ’ , y ’ , ’ o ’ , xp , yp ) ; grid on
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Introducción Regresión por mı́nimos cuadrados
Ejemplo
Ejemplo 2Ajuste a un polinomio cuadrático los valores de x y y dados enla siguiente tabla:
xi yi1 0.52 2.53 2.04 4.05 3.56 6.07 5.5
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Ejemplo
Ejemplo 2: Programa Matlab
Parte principalIntroducciónRegresión por mínimos cuadradosRegresión lineal por mínimos cuadradosEjemploPrograma MATLAB: linregr.mRegresión cuadrática por mínimos cuadradosPrograma MATLAB: cuadregr.mEjemplo
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