Algebra. (I. Electronica)-Modelo B-Febrero-2010

Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.

Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es superior a 2,3ptos.

Ejercicio 1 Toda matriz elemental verifica: A) Sus elementos solo pueden ser 1o 0; B) Se obtiene haciendo cualquier numero de transformaciones elementales sobrela matriz identidad I; C) Es invertible; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 2 Son subespacios del espacio vectorial de polinomios reales los siguientessubconjuntos: A) {x4 + x3 + x2 + x + 1}; B) Los polinomios reales de grado 4;C) Los polinomios reales de grado 4; D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 3 Si B = {e1, e2, e3} y B = {e1, e2, e3} son bases de R3, relacionadas pore1 = e1+e2 y e

2 = e2+e3, sabiendo que x es un vector, tal que, x = (6, 5, 7)B = (2, 3, 4)B,

entonces, e3 es: A) (0, 0, 1)B; B) (1, 0, 1)B; C) (0, 0, 1)B; D) Ninguna de las an-teriores.

Ejercicio 4 Sabiendo que la matriz de Jordan asociada a la matriz A de filas (0, 3, 1),(2,1,1), (2,1,1) es J de filas (2, 0, 0), (0,2, 1), (0, 0,2), se puede afirmar quelas filas de la matriz de paso P son: A) (1, 1, 0), (1,1, 0), (1, 1, 1); B) (1, 0, 0), (1, 1, 0),(1, 1, 1); C) (0, 1, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1); D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 5 Las filas de la matriz del producto escalar de expresion x y = 4x1y1 +x1y2 + x2y1 + 9x2y2, definido en R2, en la base B = {e1 = (12 , 0), e2 = (0, 13)} son: A)(2, 12), (

12 ,

92); B) (2, 1), (1, 3); C) (1,

16), (

16 , 1); D) Ninguna de las anteriores.

Ejercicio 6 Si Q : Rn R es una forma cuadratica tal que para un vector x se ve-rifica Q(x) = 3, es cierto que Q(4x) es: A) 12; B) 36; C) 48; D) Ninguna de lasanteriores.

ProblemaDada la matriz A = de vectores fila (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 1, 1), se pide:A)(2ptos.) Calcular los valores propios de A, y los subespacios asociados.B)(2ptos.) Explicar que son una matriz diagonal y una matriz de paso de A y encon-trar ambas.

Soluciones

Solucion Ejercicio 1 La solucion correcta es C.Vease la pagina 13 del documento MN-EcuacionesLineales.

Solucion Ejercicio 2 La solucion correcta es B.A es falsa porque la suma (x4 + x3 + x2 + x + 1) + (x4 + x3 + x2 + x + 1) no esx4 + x3 + x2 + x + 1, para B y C veanse los ejercicios 16 y 17 de Ejercicios re-sueltos de MATEMATICAS-I.

Solucion Ejercicio 3 La solucion correcta es B.

Vease el ejercicio 71 de Ejercicios resueltos de MATEMATICAS-I.

Solucion Ejercicio 4 La opcion correcta es A.J es semejante a A, es decir J = P1AP , o lo que es lo mismo 1 1 01 1 01 1 1

2 0 00 2 10 0 2

= 0 3 12 1 12 1 1

1 1 01 1 01 1 1

= 2 2 12 2 12 2 1

Solucion Ejercicio 5 La solucion correcta es C.

Veanse los ejemplos 1, 2, 3 del documento Producto escalar.

Solucion Ejercicio 6 La solucion correcta es C.

Vease el ejercicio 186 de Ejercicios resueltos de MATEMATICAS-I.

Solucion problema

Veanse ejercicios 142 y 143 de Ejercicios resueltos de MATEMATICAS-Ipara a = 0.