Unitat 5: Àlgebra i equacions de primer grau
Activitats prèvies: problema inicial / analogia balances
1. Introducció a l'àlgebra
2. La unitat més senzilla en àlgebra: els monomis
a) Nomenclatura
b) Grau d'un monomi
c) Monomis semblants
3. Operacions amb monomis
a) Suma i resta
b) Producte
c) Quocient
d) La propietat distributiva
4. El valor numèric d'una expressió algebraica
Unitat 5: Àlgebra i equacions de primer grau
5. Les equacions
a) Igualtats, identitats i equacions
b) Equacions de 1r grau: elements i nomenclatura
6. Resolució d'equacions: primeres tècniques
a) Tipus x + a = b
b) Tipus x - a = b
c) Tipus a · x = b
d) Tipus x / a = b
7. Resolució d'equacions
a) Mètode general per a equacions senzilles
b) Equacions amb parèntesis
c) Equacions amb denominadors
d) Resum: mètode general
8. Problemes amb equacions
1. IntroduccióParts de les matemàtiques que coneixeu:
-Treball amb nombres, operacions,jerarquia, etc.
-Treball amb figures planes i cossos,al pla o a l'espai.
-Treball amb relacions de dependènciaentre nombres: funcions.
-Treball amb dades: recopilació,representació i interpretació.
-Treball amb nombres desconeguts,que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...
Àlgebra
Estadística i probabilitat
Anàlisi
Geometria
Aritmètica
2. La unitat més senzilla en àlgebra: els monomis
El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.
a) Nomenclatura Monomi de grau 4(3+1=4)1
2b3 · h
Coeficient(el número)
Part literal(les lletres)
b) Grau d'un monomi
Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que són
monomis semblants.
c) Monomis semblants
3x2−4x2 x2
3−53x 2
Un monomi és el producte indicat entre un valor conegut (el coeficient)
i un o més valors desconeguts, representats per lletres (la part literal).
Exercici 1 p86 Barcanova +ext
3. Operacions amb monomis
El producte d'un o més monomis és un monomi que té com a
coeficient el producte dels coeficients, i com a part literal el producte
de les parts literals.
a) Suma i resta:
b) Producte:
3x2+ 4x2
−9x2=−2x2
3a ·5b=(3 ·5)·(a ·b)=15ab
Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest
cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part
literal.
2a+ b−4a+ 2b=−2a+ 3b
Exercici 2 p86 i 10, 11 i 12 p94
5x2 ·2x3=(5 · 2)·( x2 · x3
)=10x5
Exercici 3 p87
3. Operacions amb monomis
c) Quocient:
2x2 :5x2=2x2
5x2 =25
Del quocient entre dos monomis se'n pot obtenir un nombre, un altre
monomi o una fracció algebraica. Posarem l'operació en forma de
fracció i simplificarem factors idèntics ("flas-flas").
Exercici 4 p87 i 13 p95
6a3b2 : 2ab2=6a3b2
2ab2 =2 ·3 · a · a · a · b · b
2 · a · b ·b=
3a2
1=3a2
8x2 y : 6y3=8x2 y
6y3 =2 ·2 ·2 · x · x · y2 ·3 · y · y · y
=4x2
3y2
(Nombre)
(Monomi)
(Fracció algebraica)
3. Operacions amb monomis
d) La propietat distributiva:
3x ·(5x3−2x)
Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la
propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes
de l'interior del parèntesi.
Exercici 5 full monomis 3r
3x ·(5x3−2x)=3x ·5x3
−3x ·2x
3x ·5x3−3x ·2x=15x4−6x2
4. Valor numèric d'una expressió algebraica
Exercici 2 p88 Barcanova+19 i 27
El valor numèric d'una expressió algebraica és el nombre o
resultat que s'obté en substituir les lletres per nombres determinats i
realitzar les operacions indicades.
Exemple: Trobar el valor numèric de la següent expressió
algebraica per a x = 5.
3x2+ x+ 10
3 ·52+ 5+ 10=3 · 25+ 5+ 10=75+ 5+ 10=90
3 ·52+ 5+ 10
si x = 5
5. Les equacions
Una igualtat és una expressió matemàtica que indica
l'equivalència entre dues entitats mitjançant el símbol "=".
1r membre
=
a) Igualtats, identitats i equacions
2n membre
Numèriques: Tots els termes són valors coneguts.
Poden ser
Algebraiques: Hi ha termes desconeguts (lletres).
4 + 5 = 3 · 3
x + 32 - y = 2 · a + 1
Identitats
Equacions
5. Les equacions
-Una identitat és una igualtat algebraica que es compleix
sempre, siguin quins siguin els valors que prenguin les lletres.
Les identitats tenen infinites solucions.
a + b = 42
22 + 20 = 42 -34 + 76 = 423 + 39 = 42
-Una equació és una igualtat algebraica que es compleix
només per a determinats valors de les lletres.
Les equacions tenen solucions concretes.
3 · x + 1 = 7
3 · 2 + 1 = 7
5. Les equacions
Les equacions de primer grau tenen una sola incògnita, que té
exponent 1, i una única solució.
1r membre
b) Equacions de 1r grau: elements i nomenclatura
2n membre
-Incògnita: És la lletra que apareix a l'equació, normalment "x".
-Grau: És l'exponent de la incògnita.
-Solució: És el valor numèric de la incògnita per la qual es compleix la igualtat.
5x - 7 = 2x + 2
Termes
3x+ 1=7 x2=25Incògnita: x Grau: 1
Solució: x=2Incògnita: x Grau: 2
Solucions: x=5 i x=-5
6. Resolució d'equacions: primeres tècniques
Resoldre una equació consisteix en anar-la transformant fins a
aïllar la incògnita "x", és a dir, a deixar-la sola en un dels dos
membres.
a) Tipus x + a = b
x + a = b ;
Un terme "a" positiu al primer membre, passa com a negatiu al
segon membre, i viceversa.
x = b - a
x + 5 = 9 ; x = 9 - 5 ; x = 4Exemple:
Comprovació: 4 + 5 = 9 ; 9 = 9 Ok.
Demostració: x + a = b ; x + a - a = b - a ; x = b - a
6. Resolució d'equacions: primeres tècniques
b) Tipus x - a = b
x - a = b ;
Un terme "a" negatiu al primer membre, passa com a positiu al
segon membre, i viceversa.
x = b + a
x - 3 = 5 ; x = 5 + 3 ; x = 8Exemple:
Exercici 1 p104 Barcanovac) Tipus a · x = b
a · x = b ;
Un terme "a" que multiplica TOT el primer membre, passa a
dividir tot el segon membre, i viceversa.
Exemple:
x=ba
3x = 15 ; x=153
; x = 5
6. Resolució d'equacions: primeres tècniques
d) Tipus x/a = b
Un terme "a" que divideix TOT el primer membre, passa a
multiplicar tot el segon membre, i viceversa.
Exemple:
x=b· a
x=3 ·4 ; x = 12
xa=b ;
x4=3 ;
Exercicis 3 p105 Barcanova
7. Resolució d'equacions
a) Mètode general per a equacions senzilles
1r -Quan tenim diversos termes en cada membre, primer
reduïrem (sumant o restant) els que siguin semblants.
2n -Transposarem els termes en x al primer membre, i els
termes independents (números), al segon membre.
3r -Tornarem a reduir per a obtenir una equació amb un dels
formats de l'apartat 6.
4t -Aïllarem definitivament la x.
5è -Comprovarem el resultat substituint-lo en l'equació primitiva.
7. Resolució d'equacions
Exemple: 5x−2x=7+ x+ 5 ;
3x=x+ 12 ;
3x−x=12 ;
2x=12 ;
x=122;
x=6
Transposem: les "x" a l'esquerra
Reduïm
Reduïm
Transposem per aïllar la x
Comprovació:
5 ·6−2 ·6=7+ 6+ 5 ;30−12=18 ;
18=18OkExercicis 4 p105, 1 i 2 p106 i fitxa
7. Resolució d'equacions
Exemple:
3 ·(x−1)−6x=5−(x+ 7) ;
3 · x−3 ·1−6x=5−x−7 ;
3x−6x+ x=5−7+ 3 ;
−2x=1 ; x=1
−2
Transposem: les "x" a l'esquerra
Apliquem p.distr.
Reduïm i aïllem
b) Equacions amb parèntesis: caldrà aplicar la propietat distributiva
3x−3−6x=5−x−7 ;
Exercici 61 p123
7. Resolució d'equacions
Per eliminar tots els denominadors d'una equació, multiplicarem els
dos membres pel mcm de tots ells.
x−45=
3x5
−12;
c) Equacions amb denominadors
Exemple:
El mcm de 5 i 2 és 10
10 ·( x−45 )=10 ·( 3x
5−
12 ) ;
10 ·( x−45 )=10 ·( 3x
5−
12 ) ;
Apliquem p.distr.
10 · x−10 ·45=10 ·
3x5
−10 ·12;
10x−2 · 4=2 ·3x−5 ·1 ;
Simplifiquem denominadors
10x−8=6x−5 ; 10x−6x=−5+ 8 ; 4x=3 ; x=34
Exercicis Barcanova p108 1 i 2
8. Problemes amb equacions
Primer pas: Identificar els elements del problema.
x+ 55=6x
a) PROBLEMA TIPUS 1: Quin és el nombre que augmentat en 55
és igual a 6 vegades el seu valor inicial?
Un nombre
Un nombre augmentat en 55
Sis vegades el nombre
x
x+55
6·x
Segon pas: Expressar l'equació.
Tercer pas: Resoldre l'equació.
x+ 55=6x ; x−6x=−55 ;−5x=−55 ; x=−55−5
=11
Quart pas: Fer la comprovació.
11 + 55 = 6 · 11 ; 66 = 66 Ok!
R) El nombre que estem buscant és l'11.
Exercicis Barcanova p110 1, 2, 3 i 4
Exercicis Fitxa problemes: 1,2,3,4,5,6 i 7
8. Problemes amb equacions
Primer pas:
3 · x+ 2 ·(x+ 0,5)=7,25
b) PROBLEMA TIPUS 2: Per tres quilos de pomes i dos quilos de
préssecs he pagat 7,25 euros. Un quilo de préssecs val 50 cèntims
més que un de pomes. Quin és el preu del quilo de cada fruita?
Preu del quilo de pomes
Preu del quilo de préssecs
x
x+0,5
Segon pas:
Tercer pas:
3x+ 2x+ 1=7,25 ;5x=6,25 ; x=6,25
5=1,25
Quart pas:
3 · 1,25 + 2 · (1,25 + 0,5) = 7,25 ;
3,75 + 2 · 1,75 = 7,25;
3,75 + 3,50 = 7,25 ; 7,25 = 7,25 Ok!
R) El quilo de pomes val 1,25 euros i el quilo de préssecs val
1,75 euros (1,25+0,50).
Exercicis Barcanova p111 5
Exercicis Fitxa problemes: 10, 11, 13, 14, 15, 16 i 17
8. Problemes amb equacions
Primer pas:
15+ x+ 12+ x=40+ x
c) PROBLEMA TIPUS 3: L'Aleix té 15 anys, la seva germana 12 i
la seva mare 40. Quants anys han de passar perquè entre tots
dos fills igualin l'edat de la mare?
Segon pas:
Tercer pas:
27+ 2x=40+ x ;2x−x=40−27 ; x=13
Actualment D'aquí a x anys
Aleix 15 15 + x
Germana 12 12 + x
Mare 40 40 + x
Els anys que han de passar serà "x"
Quart pas:
15 + 13 + 12 + 13 = 40 + 13 ;
53 = 53 Ok!
R) Han de passar 13 anys perquè entre tots dos fills igualin l'edat
de la mare.
Exercicis Barcanova p112 7 i 8
Exercicis Fitxa problemes: 20, 21 i 22
8. Problemes amb equacions
Primer pas:
x+ 2x+ x+ 2x=78
d) PROBLEMA TIPUS 4: La base d'un rectangle és el doble que
l'altura, i el preímetre mesura 78cm. Calcula les dimensions del
rectangle.
Segon pas:
Tercer pas:
x+ 2x+ x+ 2x=78 ;6x=78 ; x=786
=13
Costat més curt
Costat més llarg
x
2x xx
2x
2x
Quart pas:
13 + 2 · 13 + 13 + 2 · 13 = 78 ;
13 + 26 + 13 + 26 = 78 ; 78 = 78 Ok!
R) La base del rectangle mesura 26 cm (2 · 13) i la seva altura
13 cm.
Exercicis Barcanova p113 9 i 10
Exercicis Fitxa problemes: 18 i 19
Top Related