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Espacios VectorialesEspacio vectorial real:
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores,
junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar
y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación:
Axiomas de un espacio vectorial:
I!i " ∈ V y # ∈ V, entonces " $ # ∈ V %cerradura bajo la suma&
II 'ara todo ", # y ( en V, %x$y& $ z) x$ %y$z& %ley asociativa de la suma de
vectores&
III Existe un vector *∈
V tal que para todos x∈
V, x $ *)*$x)x %el * sellama vector cerrado o id+ntico aditivo&
IV !i " ∈ V, existe un vector x en ∈ V tal que x$%-x&)* %-x se llama
inverso aditivo de x&V !i x y y est.n en V, entonces x $ y) y $ x %ley conmutativa de la suma de
vectores&
VI !i x ∈ V y α es un escalar, entonces αx ∈ V %cerradura bajo la
multiplicación por un escalar&
VII !i x y y est.n en V y α es un escalar, entonces α ( x+ y )=αx+αy
%primera ley distributiva&
VIII !i x∈V y α y β son escalares, entonces (α + β ) x=αx+ βx ¿ %se/unda
ley distributiva&
I" !i x ∈V y α y β son escalares, entonces α ( βx )=( αβ ) x %ley asociativa
de la multiplicación por escalares&
" 'ara cada vector x∈V , 1 x= x
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ESPACIO Kn
!ea 0 un cuerpo arbitrario 1a notación 0n se usa frecuentemente para desi/nar el conjunto de todas las n-p de los elementos de 0 Aqu2 0n se ve como un
espacio vectorial sobre 0, en el que la suma vectorial y el producto por un escalar
se define se/3n
ESPACIO DE MATRICES Mm, n.
1a notación 4m, n, o simplemente 4, se utilizara para desi/nar el conjunto de
todas las matrices m5n sobre un cuerpo arbitrario 04m, n, es un espacio
vectorial sobre 0 con respecto a las operaciones usuales de suma matricial y
producto por un escalar
ESPACIO DE POLINOMIOS P (t)
6enotamos por ' %t& el conjunto de todos los polinomios
* $ 7 t$ 8, t 8$$ n, t nɑ ɑ ɑ ɑ
9on coeficientes ai en al/3n cuerpo '%t& es un espacio vectorial sobre 0 con
respecto a las operaciones usuales de suma de polinomios producto de un
polinomio por una constante
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Subespacios de E. V. y
sus propiedades!ubespacio:
!ea ; un subconjunto no vacio de un espacio vectorial V y supon/a que ; es en
si un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un
escalar definidas en V Entonces se dice que ; es un subespacio de V
<eorema 7:
!ubespacio:
Un subconjunto no vacio ; de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se
cumplen las dos re/las de cerradura:
Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vacio es un subespacio
I.Si x∈ H y y∈ H , entonces x+ y∈ H .
II. Si x∈ H , entonces αx∈ H para todo escalar α .
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Combinación lineal!e =a visto que todos los vectores v) %a,b,c& en >? se puede escribir en la forma
v ) ai $ bj $ c
En cuyo caso se dice que v es una combinación lineal d los tres vectores i, j y
6e manera m.s /eneral, se tiene la si/uiente definición:
9ombinación lineal:
!ean v7,v8,@,vn Vectores en un espacio vectorial V Entonces cualquier vector dela forma:
a7v7 $ a8v8 $ @ $ anvn
donde, a7,a8,@, an son escalares de denomina una combinación lineal de v7,v8,@
vn
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Independencia Lineal6efinición:
1os vectores v7,v8,@, v es un espacio vectorial V /eneran a V si todo vector en V
es una combinación linal de v7, v8,@, v Adem.s, si estos vectores son distintos y
los denotamos como un conjunto !) {v1
, v2
, … , vk } , entonces tambi+n decimos
que el conjunto ! /enera a V, o que { v1
, v2
, … , vk } , /enera a V, o que !) V
El procedimiento para verificar si los vectoresv1
, v2
, … , vk /eneran al espacio
vectorial V es el si/uiente:
'aso 7: se eli/e un vector arbitrario en v en V
'aso 8: se determina si v es una combinación lineal de los vectores dados
!i lo es, entonces los vectores dados /eneran a V !i no lo es, entonces no
/eneran a V
Ejemplo:
!ea V el espacio vectorial >? y sean:
V7) %7,8,7& V8) %7,*,8& y V?) %7,7,*&
'aso 7 !ea v) %a, b, c& cualquier vector en > ?, donde a, b y c son n3meros
reales arbitrarios
'aso 8 6ebemos ver si existen constantes c7, c8 y c? tales que
97v7 $ c8v8 $ c?v? ) v
Esto conduce al sistema lineal:
c7 $ c8 $ c? )a
8c7 $ c? ) b
c7 $ 8c) 9
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Una solución es %verifique&
97 )−2 a+2 b+c
3 , 98 )a−b+c
3 , c?) )4a−2b−c
3
9omo =emos obtenido una solución para cada elección de a, b y c concluimos que
V7$ v8 y V ? /eneran a >? Esto Equivaled a decir a un /en {v
1, v
2, v
3 } ) >?
Independencia lineal:
1os vectoresv
1, v
2, … , v
k de un espacio vectorial son linealmente dependientes
si existen constantesc
1, c
2, … , c
k no todas son i/uales a cero, tales que:
c1 v1+c2 v 2 , … , ck vk ) *
En caso contrario, se dice quev
1, v
2, … , vk son linealmente independientes Es
decir,v1
, v2
, … , vk son linealmente independientes si siempre que
c1
v1+c
2v2
, … , ck vk ) * debemos tener:
c1 )
c2=… ck ) *
Es decir, la 3nica combinación lineal dev
1, v
2, … , v
k que da como resultado el
vector cero es aquella en la cual todos los coeficientes son i/uales a cero !i los
vectoresv
1, v
2, … , v
k son distintos y los detonamos como un conjunto !)
{v1
, v2
, … , vk } , entonces tambi+n decimos que el conjunto ! es linealmente
dependiente o linealmente independiente
El procedimiento para verificar si los vectoresv
1, v
2, … , vk son linealmente
dependientes o independientes es el si/uiente:
'aso 7: se forma la ecuación, lo cual conduce a un sistema =omo/+neo
'aso 8: !i el sistema =omo/+neo obtenido es el paso 7 solo tiene la
solución trivial, entonces los vectores dados son linealmente
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independientesB si tiene una solución no trivial, entonces los vectores dados
son linealmente dependientes
Ejemplo: determine si los vectores:
|−1
1
0
0 | y |−2
0
1
1 |que se/3n /eneran el espacio de Ax)*, son linealmente dependienteso
independientes
!olución: Al formas la ecuación
c7 |−1
1
0
0 | $ c8 |−2
0
1
1 | ) |0
0
0
0|obtenemos el sistema =omo/+neo:
-c7-8c8)*
c7$ *c8) *
*c7$ c8)*
*c7$ c8)*
cuya 3nicamente solución esc
1 )c2 ) * 'or lo tanto, los vectores dados son
linealmente independientes
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Base y dimensión de
un espaciovectoriales.
'or lo com3n, se concibe una recta como un espacio unidimensional, un plano
como uno bidimensional y el espacio que lo que rodea a uno como tridimensional
El objetivo principal de esta sección es precisar esta noción intuitiva de
dimensión
Definición.
%i& !i V es cualquier espacio vectorial y ! ) Cv7,v8,@,vr D es un conjunto finito de vectores en V
, entonces ! se denomina base para V si
%i& ! linealmente independiente%ii& ! se /enera V
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Base estn!a" #a"a Rn
!ean e7 ) C 7,*,*@@,*D, e8) %*,7,*@@,*&, @@,en) %*,*,*@,7&
!) C e7,e8,@,en D es un conjunto linealmente independiente en > n 6ado que
cualquier vector v ) %v7,v8,@,vn& en >n se puede escribir como v)v7e8 $ v8e8 $
@vnen, ! /enera a >n y, por tanto , es una base Esta base se conoce como
Base estn!a" #a"a Rn.
Base estn!a" #a"a Pn.
el conjunto !) C 7,x, x8,@@,xnD es una base para el espacio 'n , los vectores en !
se /eneran a 'n a fin de ver que ! es linealmente independiente , supón/ase que
al/una combinación lineal de vectores en ! es el vector cero , esto es ,
C 0 + C 1 x +…….+ C n x n = 0
!e debe demostrar que 9* ) 97@@@) 9n )* 9on base visto en al/ebra, un
polinomio diferente de cero de /rado n tiene m.s n ra2ces distintas 6ado que es
una identidad, todo valor de " es una ra2z del primer miembro Esto implica que 9 7
) 98 )@@ 9n ) * B por otra parte ,9* $ 97x $@@$ 9nxn podr2a tener m.s cuando
mas n ra2ces por tanto, el conjunto ! es linealmente independiente
1a base ! de este ejemplo se conoce como base estn!a" #a"a Pn.
Dimensión finita.
!i ! ) Cv7,v8,@,vr D es un conjunto linealmente independiente es un espacio
vectorial V, entonces ! es una base para el subespacio lin%!&, ya que ! es
independiente y, por definición de lin %!&, ! se /enera a lin%!&
!e dice que un espacio vectorial diferente de cero V es una !imensión finita si
contiene un conjunto finito de vectores Cv7,v8,@,vr D que forma una base !i no
existe un conjunto de este tipo, se dice que V es una !imensión infinita Adem.s
se considera el espacio vectorial cero como dimensión finita cuando no tiene
conjuntos linealmente independientes y, como consecuencia, no tiene base
Te$"ema %.
Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es una base para un espacio vectorial V, entonces todo conjunto con más
de n vectores es linealmente dependiente.
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Dem$st"ación. !ea !I ) C 7, 8,@@, FmD cualquier conjunto de m vectores en
V, en donde mG n !e desea demostrar que !I es linealmente dependiente
!upuesto que !) Cv7,v8,@,vn D es una base, cada i se puede expresar como
una combinación lineal de los vectores en ! , por ejemplo,
W 1= a11v 1 +a21v 2 + a31v 3+ ………….+an1v n
W 2 = a12 v 1 +a22 v 2 + a32 v 3+ ………….+an2 v n
W 3= a13v 1 +a23v 2 + a33v 3+ ………….+an3v n
W m= a1mv 1 +a2mv 2 + a3mv 3+ …………. +anmv n
'ara demostrar que !I es linealmente dependiente, se debe =allar los escalanres
7, 8 @@@ 0m, no todos cero, tales que
k 1w 1+ k 2 w 2 + ………. +K m w m = 0
Al aplicar las ecuaciones se volver. a escribir como:
(K 1 a11+ k 2 a21 + ……….+ K m a1m ) v 1
+ (K 1 a21+ k 2 a22 + ……….+ K m a2 m ) v 2 + (K 1 an1+ k n2 a n2 + ……….+ K m anm ) v n =0
'or tanto, el problema de probar que ! I es un conjunto linealmente dependiente se
reduce a demostrar que existen 7, 8 @@@ 0m, no todos cero, que satisfacen:
a 11K 1 + a21k 2 + ……….+ a1m K m = 0
a21K 1 + a22 k 2 + ……….+ a2 m K m = 0
an1K 1 + a n2 k n2 + ……….+ anm K m = 0
6ado que tiene m.s incó/nitas que ecuaciones, la demostración queda completa
ya que el teorema 7 /arantiza la existencia de soluciones no triviales
9omo consecuencia, se obtiene el si/uiente resultado:
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Te$"ema &.
Dem$st"ación.
!ean ! ) Cv7,v8,@,vn D y !I ) C 7, 8,@@, FmD dos bases para un espacio
vectorial de dimensión finita V dado que ! es una base !I es un conjunto
linealmente independiente , el teorema H implica que m n de modo an.lo/o ,
dado que !I es una base y ! es linealmente independiente , tambi+n se tiene n
m por tanto , m ) n
1a base est.ndar para >n contiene n vectores 'or consi/uiente, toda base >n
contiene n vectores
1a base est.ndar para 'n contiene n $7 vectores, asi entonces toda base para 'n
contiene n$ vectores
El n3mero de vectores en una base para un espacio vectorial de dimensión finita
es una cantidad en particular importante 'or ejemplo: <oda base para >8 tiene
dos vectores, para >? tiene tres vectores #a que >8 %el plano& es intuitivamente
bidimensional y para toda base >? es intuitivamente tridimensional, la dimensión
de estos espacios es i/ual al n3mero de vectores que tiene en sus bases Esto
su/iere la si/uiente definición:
Definición.
'or lo que se vio, >n es un espacio vectorial de dimensión n y 'n es un espacio
Vectorial de dimensión n$7
Dos bases cualesquiera para un espacio vectorial de dimensin !inita tienen el mismo
n"mero de vectores.
#a dimensión de un espacio vectorial de dimensin !inita V se de!ine como el
n"mero de vectores en una base para v. además, por de!inicin, el espacio
vectorial tiene dimensin cero.
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Ejemplo:
6eterm2nese una base y la dimensión para el espacio de soluciones del sistema
=omo/+neo
2 x1+2 x
2− x
3+ x
5=0
− x1− x
2+2 x
3−3 x
4+ x
5=0
x1+ x
2−2 x
3− x
5=0
x3+ x
4+ x
5=0
!olución:
x1=−s−t
x2=s
x3=−t
x4=0
x5=t
'or tanto, los vectores solución se pueden escribir como
x1
x2
x3
x4
x5
)
−s−t
s
−t
0
t
)
−s
s
0
0
0
$
−t
0
−t
0
t
) s
−1
1
0
0
0
$ t
−1
0
−1
0
0
6e lo cual demuestra que los vectores
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V7 )
−1
1
0
0
0
y v8 )
−1
0
−1
0
0
Jeneran el espacio de soluciones 6ado que estos vectores tambi+n son
linealmente independientes, v7, v8 es una base y el espacio de soluciones es
bidimensional
En /eneral, a fin de demostrar que un conjunto de vectores Cv7,v8,@,vn D es unabase para un espacio vectorial V se tiene que demostrar que los vectores son
linealmente independientes y que se /eneran a V sin embar/o, si se sabe de
antemano que V tiene dimensión n % de modo que Cv7,v8,@,vn D contiene el
n3mero correcto de vectores para tener una base& entonces basta con verificar
Te$"ema '.
a$ Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es un conjunto de n vectores linealmente
independiente en un espacio V de dimensin n, entonces S es una base
para V.b$ Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es un conjunto de n vectores que %enera un espacio
V de dimensin n, entonces S es una base para V.c$ Si S = {v 1,v 2 ,…..,v n } es un conjunto linealmente independiente en un
espacio V de dimensin n & r ' n, entonces se puede a%radar S (asta
!ormar una base para V ) es decir , e*isten vectores V r +1 ………..,V n ,
tales que {v 1,v 2 ,…..,v r , v r +1….. v n }
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Espacios de reglones ycolumnas de una matriz;
rango; aplicaciones para
hallar bases.
Definición considere la matriz m x n
A)
a11 a 12 a1 n
a21
a22
a2 n
am 1 am 2 amn
1os vectores >7 ) % a77 $a78@@@@ a7n&
>8 ) % a78 $ a88 @@ $ a8n &
>m) % am7, am8@@@amn &
Kormados a partir de los ren/lones de A se conocen como vectores ren/lón de A y
los vectores :
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97 )
a11
a21
am 1
, c8 )
a12
a22
am 2
,@ 9n )
a1 n
a2 n
amn
Kormados a partir de la columna A El subespacio de >n
/enerado por losvectores ren/lón es el espacio de ren/lones de A, ye le subespacio de >m
/enerado por los vectores columna es el espacio de columnas de A
Ejemplo:
!ea
A)2 1 0
3 −1 4
1os vectores ren/lón de A son
r 7 ) %8, 7,*& r 8 ) %?,-7,L&
y los vectores columna de A son
c7 )2
3 c8)1
−1 c? )0
4
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Espacios vectoriales
con producto internoDefinición.
7 uvG ) vuG axioma de simetr2a8 u $ v FG ) uF G $ v FG axioma de aditividad? u vG ) uvG axioma de =omo/eneidadL vv M * y vv G ) * axioma de positividad
!i y solo si v ) *
Un producto interior sobre un espacio vectorial N es una función que asocia un numero real
u,v G con cada pareja de vectores u y v en V , de tal manera que se satisface los axiomas
si/uientes por todos los vectores u , v y F en V y todos los escalares de
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Un espacio vectorial con un producto interior se conoce como espacio de
productos interiores
1as si/uientes propiedades adicionales se deducen de inmediato a partir de los
cuatro axiomas de los productos interiores
a *vG ) v*G ) *b u v$ FG ) uv G $ uFGc u vG ) uvG
!e probara %N& y se dejan %A& e %9& como ejercicios
u v$ FG ) v $ F uG por simetr2a
) vuG $ FuG por aditividad
) uvG $ u FG por simetr2a
Esto es, la función producto interno es tambi+n lineal en su se/unda posición
%variable& por inducción tendremos # 9ombinar estas propiedades nos conducen a
la formula /eneral escrita a continuación:
'odemos =acer, por orden las si/uientes observaciones:
Oota 7: el axioma PI7Q por si mismo implica
En consecuencia, PI7Q,PI8Q,ePI?Q son equivalentes a PI7Q,PI8Q y el axioma :
PIR?Q si u S *, necesariamente G*
T sea una función que satisface PI7Q,PI8Q,ePI?Q es un producto interno
Oota 8: de acuerdo con PI?Q, es no ne/ativo y por lo tanto existe una ra2z cuadrada
real positiva utilizamos la notación el n3mero real no ne/ativo se determina la
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normal o lon/itud de u Esta función satisface los axiomas de una norma para un
espacio vectorial
Ejemplo 7-
a& !ea V el espacio vectorial de las funciones reales continuas en el intervalo
a t b el si/uiente es un producto interno en V:
6onde f%t& y /%t& son a=ora funciones continuas cualquiera en Pa,bQ
b& !ea V nuevamente el espacio vectorial de las funciones reales continuas en el
intervalo a t bsi F%t& es una función continua dada ,positiva en Pa,bQ otroproducto interno en V es:
En este caso F%t& se denomina una función peso para el producto interno
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