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Álgebra Matricial
Manuel Valenzuela Rendón
Departamento de Mecatrónica y Automatización (DMA)Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey
11 de febrero de 2010
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 1 / 22
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Suma de matrices
A+ B =
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...
...an1 an2 · · · anm
+
b11 b12 · · · b1mb21 b22 · · · b2m...
...bn1 bn2 · · · bnm
=
a11 + b11 a12 + b12 · · · a1m + b1ma21 + b21 a22 + b22 · · · a2m + b2m
......
an1 + bn1 an2 + bn2 · · · anm + bnm
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 2 / 22
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Multiplicación escalar
rA = r
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...
...an1 an2 · · · anm
=
ra11 ra12 · · · ra1mra21 ra22 · · · ra2m...
...ran1 ran2 · · · ranm
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 3 / 22
. . . . . .
Resta de matrices
A− B =
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...
...an1 an2 · · · anm
−
b11 b12 · · · b1mb21 b22 · · · b2m...
...bn1 bn2 · · · bnm
=
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...
...an1 an2 · · · anm
+
−b11 −b12 · · · −b1m−b21 −b22 · · · −b2m...
...−bn1 −bn2 · · · −bnm
=
a11 − b11 a12 − b12 · · · a1m − b1ma21 − b21 a22 − b22 · · · a2m − b2m
......
an1 − bn1 an2 − bn2 · · · anm − bnm
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 4 / 22
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Multiplicación de matrices
C = A · B
A : k× m
B : m× n
C : k× n
cij =m∑
h=1
aihbhj
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 5 / 22
. . . . . .
Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por vector
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
x =
x1x2x3
Ax =
a11x1 + a12x2 + a13x3a21x1 + a22x2 + a23x3a31x1 + a32x2 + a33x3
(3× 3)(3× 1) ⇒ 3× 1
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 6 / 22
. . . . . .
Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por vector
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
x =
x1x2x3
Ax =
a11x1 + a12x2 + a13x3a21x1 + a22x2 + a23x3a31x1 + a32x2 + a33x3
(3× 3)(3× 1) ⇒ 3× 1
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 6 / 22
. . . . . .
Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por vector
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
x =
x1x2x3
Ax =
a11x1 + a12x2 + a13x3a21x1 + a22x2 + a23x3a31x1 + a32x2 + a33x3
(3× 3)(3× 1) ⇒ 3× 1
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 6 / 22
. . . . . .
Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por matriz
A =
[a11 a12a21 a22
]B =
[b11 b12 b13b21 b22 b23
]
AB =
[a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
]
(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 7 / 22
. . . . . .
Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por matriz
A =
[a11 a12a21 a22
]B =
[b11 b12 b13b21 b22 b23
]
AB =
[a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
]
(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 7 / 22
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Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por matriz
A =
[a11 a12a21 a22
]B =
[b11 b12 b13b21 b22 b23
]
AB =
[a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
]
(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 7 / 22
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Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por matriz
A =
[a11 a12a21 a22
]B =
[b11 b12 b13b21 b22 b23
]
AB =
[a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
]
(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 7 / 22
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Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por matriz
A =
[a11 a12a21 a22
]B =
[b11 b12 b13b21 b22 b23
]
AB =
[a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
]
(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 7 / 22
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Ejemplo de multiplicación de matricesMatriz por matriz
A =
[a11 a12a21 a22
]B =
[b11 b12 b13b21 b22 b23
]
AB =
[a11b11 + a12b21 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
]
(2× 2)(2× 3) ⇒ 2× 3
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 7 / 22
. . . . . .
Matriz identidad
La matriz identidad es la matriz cuadrada que tiene unos en la diagonal principaly ceros en todos los demás elementos.
I =
1 0 0 · · · 0 00 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...
. . ....
0 0 0 · · · 1 00 0 0 · · · 0 1
La multiplicación de cualquier matriz por la matriz identidad es igual a la matrizoriginal:
AI = IA = A
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 8 / 22
. . . . . .
Leyes de álgebra matricial
Leyes asociativas
(A+ B) + C = A+ (B+ C)
(AB)C = A(BC)
Ley conmutativa para adición
A+ B = B+ A
Leyes distributivas
A(B+ C) = AB+ AC
(A+ B)C = AC+ BC
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 9 / 22
. . . . . .
Transpuesta de una matriz
La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando renglones y columnas
A = [aij] =
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...
.... . .
...an1 an2 · · · anm
AT = A′ = [aji] =
a11 a21 · · · an1a12 a22 · · · an2...
.... . .
...a1m a2m · · · anm
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 10 / 22
. . . . . .
Funciones de matrices
Las funciones de matrices se definen únicamente para matrices cuadradas(mismo número de renglones y de columnas).Una función polinomial:
f(A) = 3A3 − 2A2 + 2I
dondeAk = A× A× · · · × A︸ ︷︷ ︸
k veces
Función exponencial:
expA = I+ A+A2
2!+A3
3!+A4
4!+ · · ·
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 11 / 22
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Funciones de matrices
Las funciones de matrices se definen únicamente para matrices cuadradas(mismo número de renglones y de columnas).Una función polinomial:
f(A) = 3A3 − 2A2 + 2I
dondeAk = A× A× · · · × A︸ ︷︷ ︸
k veces
Función exponencial:
expA = I+ A+A2
2!+A3
3!+A4
4!+ · · ·
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 11 / 22
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Sistemas de ecuaciones en forma matricial
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
...
ak1x1 + ak2x2 + · · ·+ aknxn = bk
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 12 / 22
. . . . . .
A = (aij) =
a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m...
.... . .
...an1 an2 · · · anm
x =
x1x2...xn
b =
b1b2...bk
Ax = b
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 13 / 22
. . . . . .
Matriz inversa
.Definición..
.
. ..
.
.
SeaA una matriz n× n. La matrizB (que es también n× n) es la inversa deA siAB = BA = I.
Si la matrizB existe decimos que la matrizA es invertible..Teorema (8.6)..
.
. ..
.
.
Si la matrizA es invertible, entonces el sistema de ecuacionesAx = b tiene lasolución única x = A−1b.
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 14 / 22
. . . . . .
Matriz inversa
.Definición..
.
. ..
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SeaA una matriz n× n. La matrizB (que es también n× n) es la inversa deA siAB = BA = I.
Si la matrizB existe decimos que la matrizA es invertible..Teorema (8.6)..
.
. ..
.
.
Si la matrizA es invertible, entonces el sistema de ecuacionesAx = b tiene lasolución única x = A−1b.
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 14 / 22
. . . . . .
Determinantes.Definición (Determinante de un escalar)..
.
. ..
.
.
El determinante de una matriz 1× 1
[a]
es el escalar a.
.Definición (Determinante de una matriz 2× 2)..
.
. ..
.
.
El determinante de una matriz 2× 2[a bc d
]es el escalar ad− bc.
.Definición (Menor).... ..
.
.Dada una matrizA, un menor es el determinante de cualquier submatriz deA.
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 15 / 22
. . . . . .
Determinantes.Definición (Determinante de un escalar)..
.
. ..
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.
El determinante de una matriz 1× 1
[a]
es el escalar a.
.Definición (Determinante de una matriz 2× 2)..
.
. ..
.
.
El determinante de una matriz 2× 2[a bc d
]es el escalar ad− bc.
.Definición (Menor).... ..
.
.Dada una matrizA, un menor es el determinante de cualquier submatriz deA.
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 15 / 22
. . . . . .
Determinantes.Definición (Determinante de un escalar)..
.
. ..
.
.
El determinante de una matriz 1× 1
[a]
es el escalar a.
.Definición (Determinante de una matriz 2× 2)..
.
. ..
.
.
El determinante de una matriz 2× 2[a bc d
]es el escalar ad− bc.
.Definición (Menor).... ..
.
.Dada una matrizA, un menor es el determinante de cualquier submatriz deA.
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 15 / 22
. . . . . .
Determinantes
.Definición (Cofactor)..
.
. ..
.
.
Dada cualquier matriz cuadradaA, el cofactor del elemento aij es el escalar que seobtiene de multiplicar el término (−1)i+j y el menor que se obtiene de remover elrenglón i y la columna j.
.Definición (Matriz de cofactores)..
.
. ..
.
.
Dada cualquier matriz cuadradaA = [aij], su matriz de cofactores es la matrizC = [cij] donde el elemento cij es el cofactor del elemento aij deA.
.Definición (Matriz adjunta)..
.
. ..
.
.
Dada cualquier matriz cuadradaA = [aij], su matriz adjunta es la transpuesta de sumatriz de cofactores.
adjA = (matriz de cofactores deA)′
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 16 / 22
. . . . . .
Determinantes
.Definición (Cofactor)..
.
. ..
.
.
Dada cualquier matriz cuadradaA, el cofactor del elemento aij es el escalar que seobtiene de multiplicar el término (−1)i+j y el menor que se obtiene de remover elrenglón i y la columna j.
.Definición (Matriz de cofactores)..
.
. ..
.
.
Dada cualquier matriz cuadradaA = [aij], su matriz de cofactores es la matrizC = [cij] donde el elemento cij es el cofactor del elemento aij deA.
.Definición (Matriz adjunta)..
.
. ..
.
.
Dada cualquier matriz cuadradaA = [aij], su matriz adjunta es la transpuesta de sumatriz de cofactores.
adjA = (matriz de cofactores deA)′
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 16 / 22
. . . . . .
Determinantes
.Definición (Cofactor)..
.
. ..
.
.
Dada cualquier matriz cuadradaA, el cofactor del elemento aij es el escalar que seobtiene de multiplicar el término (−1)i+j y el menor que se obtiene de remover elrenglón i y la columna j.
.Definición (Matriz de cofactores)..
.
. ..
.
.
Dada cualquier matriz cuadradaA = [aij], su matriz de cofactores es la matrizC = [cij] donde el elemento cij es el cofactor del elemento aij deA.
.Definición (Matriz adjunta)..
.
. ..
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.
Dada cualquier matriz cuadradaA = [aij], su matriz adjunta es la transpuesta de sumatriz de cofactores.
adjA = (matriz de cofactores deA)′
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 16 / 22
. . . . . .
Expansión por cofactores
Para obtener el determinante de una matrizA...1 Escoja cualquier renglón o columna de la matriz....2 Para cada elemento del renglón o columna que se escogió, encuentre sucofactor.
...3 Multiplique cada elemento del renglón o columna por su cofactor, y sumelos resultados.
.Teorema (9.3).... ..
.
.Una matriz es no singular si y sólo si su deteminante es diferente de cero.
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 17 / 22
. . . . . .
Expansión por cofactores
Para obtener el determinante de una matrizA...1 Escoja cualquier renglón o columna de la matriz....2 Para cada elemento del renglón o columna que se escogió, encuentre sucofactor.
...3 Multiplique cada elemento del renglón o columna por su cofactor, y sumelos resultados.
.Teorema (9.3).... ..
.
.Una matriz es no singular si y sólo si su deteminante es diferente de cero.
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 17 / 22
. . . . . .
Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
. . . . . .
Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
. . . . . .
Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
. . . . . .
Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
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Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
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Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
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Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
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Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
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Ejemplo de matriz de cofactores
A =
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
Matriz de cofactores:
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 3 4−1 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 3 2−1 3
∣∣∣∣−
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 2−1 1
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 −1−1 3
∣∣∣∣∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ −∣∣∣∣ 1 23 4
∣∣∣∣ ∣∣∣∣ 1 −13 2
∣∣∣∣
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 18 / 22
. . . . . .
Matriz de cofactores: −10 −7 117 3 −2−8 2 5
Matriz adjunta:
adjA =
−10 7 −8−7 3 211 −2 5
Matriz inversa
invA = A−1 =
−10 7 −8−7 3 211 −2 5
detA
=
−0.5263 0.3684 −0.4211−0.3684 0.1579 0.10530.5789 −0.1053 0.2632
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 19 / 22
. . . . . .
Ejemplo de determinantes
A =
1 −1 23 2 4−1 3 1
∣∣∣∣∣∣
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
∣∣∣∣∣∣ =1
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ − 3
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ − 1
∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =
1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 20 / 22
. . . . . .
Ejemplo de determinantes
A =
1 −1 23 2 4−1 3 1
∣∣∣∣∣∣
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
∣∣∣∣∣∣ =1
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ − 3
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ − 1
∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =
1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19
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Ejemplo de determinantes
A =
1 −1 23 2 4−1 3 1
∣∣∣∣∣∣
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
∣∣∣∣∣∣ =1
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ − 3
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ − 1
∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =
1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19
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Ejemplo de determinantes
A =
1 −1 23 2 4−1 3 1
∣∣∣∣∣∣
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
∣∣∣∣∣∣ =1
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ − 3
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ − 1
∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =
1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19
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Ejemplo de determinantes
A =
1 −1 23 2 4−1 3 1
∣∣∣∣∣∣
1 − 1 23 2 4− 1 3 1
∣∣∣∣∣∣ =1
∣∣∣∣ 2 43 1
∣∣∣∣ − 3
∣∣∣∣ −1 23 1
∣∣∣∣ − 1
∣∣∣∣ −1 22 4
∣∣∣∣ =1(2− 12)− 3(−1− 6)− 1(−4− 4) =
1(−10)− 3(−7)− 1(−8) = 19
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Uso de determinantesRegla de Cramer
.Teorema (9.4)..
.
. ..
.
.
SeaA una matriz no singular. Entonces...1
A−1 =1
detAadjA
...2 La solución al sistemaAx = b es
xi =detBi
detApara i = 1, 2, . . . , n
dondeBi es la matrizA con b sustituyendo la columna i deA.
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. . . . . .
Gauss-Jordan para inversión de matrices
Los métodos de eliminación gaussiana y Gauss-Jordan pueden ser utilizados paraencontrar la inversa de una matriz. En este caso, la matriz aumentada será lamatriz de original y la matriz identidad.
15 −5 0 1 0 0−5 15 −5 0 1 00 −5 20 0 0 1
∼
1 −0.3333 0 0.0667 0 00 13.3333 −5.0000 0.3333 1 00 −5.0000 20.0000 0 0 1
∼
1 0 −0.125 0.075 0.025 00 1 −0.375 0.025 0.075 00 0 18.125 0.125 0.375 1
∼
1 0 0 0.0759 0.0276 0.00690 1 0 0.0276 0.0828 0.02070 0 1 0.0069 0.0207 0.0552
La inversa son las últimas n columnas de la matriz aumentada:
A−1 =
0.0759 0.0276 0.00690.0276 0.0828 0.02070.0069 0.0207 0.0552
©M. Valenzuela ([email protected]) Álgebra Matricial 11 de febrero de 2010 22 / 22
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