Análisis estructural II
X Viga
Ray Rby
Y
F2
F
Rax
A Temática:
I. introducción
II. comparación de métodos de solución matricial
III. método de rigidez:
1. introducción
2. método de la deflexión de la pendiente teoría y aplicaciones.
3. Método de rigidez por deflexión de teoría y aplicaciones
4. Método de rigidez directo con matrices [A] teoría y problemas
5. Método de rigidez directo con cosenos directos teoría y problema
6. Método de la condensación estática
7. Método de rigidez para vigas-brazo rígido teoría de aplicaciones
8. Método de rigidez para pórtico-placa
9. Método de rigidez 3-D teoría y aplicaciones
1. VIGA 1:
Ecuaciones (EQ)
∑M =0 ∑FX =0
∑F =0 3EQ = ∑FY =0
∑MZ =0
Apoyo fijo apoyo móvil
Análisis estructural II
Ma
X
Y
Ray Rby
Rax
Rcy
EN 3-D
∑FX =0
∑F =0 ∑FY =0
∑FZ =0
∑MX =0
∑M =0 ∑MY =0
∑MZ =0
HIPERESTATICIDAD DE LA ESTRUCTURA EXTERNAMENTE
(GHE)
< 0 inestable (hipostático)
GHE = NR – NEQ = 0 isostática
> 0 hiperestática
NR =número de reacciones
NEQ = número de ecuaciones
De la VIGA 1 el GHE: GHE = 3 – 3 = 0 ______ isostática.
2. VIGA CONTINUA
3D
Análisis estructural II
M M
M
Ry
Rx
Ry Ry
Rx Rx
NR = 5 NEQ = 3
GHE = 5 – 3 = 2 hiperestática de 2do
grado externamente.
3. PORTICO
NR = 9 NEQ = 3
GHE = 9 – 3 = 6 hiperestática de 6to grado
- Grado de hiperestaticidad total ( GHT )
- Grado de hiperestaticidad interna ( GHI )
- grado de hiperestaticidad interna ( GHI )
- número de barras ( NB )
- numero de reacciones ( NR )
- numero de nudos ( NN )
GHT = GHI + GHE
GHE = NR – NEQ
GHT = 3 NB + NR – 3 NN
GHI = GHT – GHE
DE LA VIGA 2
GHE = 2do
grado
GHT = 3 (2) + 5 – 3 (3) = 2do
grado
Análisis estructural II
GHI = GHT – GHE
GHI = 2 – 2 = 0
DEL PORTICO 3
GHE = 9 – 3 = 6to
GHT = 3 (10) + 9 – 3 (9) = 12
GHI = GHT – GHE
GHI = 12 – 6 = 6do
grado
4. ARMADURA (estructura especial, total son 6 fuerzas.)
GHT = GHE + GHI
GHE = 0
GHT = NB + NR – 2 NN
GHT = 20 + 3 – 2(10) = 3
5. ARMADURA 2
GHE = 3er
GHT = 3(12) + 6 – 3(10) = 12
GHI= 9no
X3
X3
X2
X2
X1
X1
Rotula
Rotula
Análisis estructural II
Z
X
Y
3 – D
1. 3-D
NEQ = 6 (3 – D)
∑Fx = 0 ∑Fy = 0 ∑Fz = 0 ∑Mx = 0 ∑My = 0 ∑Mz = 0
NR = 24
GHE = NR – NEQ = 24 – 6 = 18vo
GHT = 6NB + NR – 6n (3 – D)
GHT = 6(8) + 24 – 6(8) = 24
GHI = GHT – GHE = 24 – 18 = 6to
2.
GHE = 5 – 6 = -1 hipostatico (inestable)
GHT = 6(8) + 5 – 6(8) = 5to
GHI = 5 – (-1) = 6to
Análisis estructural II
3. ARMADURA 3 - D
GHE = 9 – 6 = 3er
grado
GHT = GHE + GHI
GHT = NB + NR – 3m ARM 3 – D
GHT = 20 + 9 – 3(8) = 5
GHI = 5 – 3 = 2do
grado
HIPERESTATICIDAD CINEMATICA ( # G.D.L.)
3 DESPLAZAMIENTOS
θa y θb rotación
δb traslación
3 G.D.L (CINEMATICA)
A
Y
X
Análisis estructural II
HAY 6 G.D.L
SI EA = α
METODO DE LA FLEXION DE LA PENDIENTE
Ecuaciones de la deflexión de la pendiente:
Desplazamientos de:
Rotación:
Traslación:
Análisis estructural II
EJEMPLO 1:
Resolver:
Solución:
Paso 1:
Paso 2:
M0ab = - M
0ba = (P x L)/ 8 = (4 x 6) / 8 = 3 T-m
M0bc = - M
0cb = (W x L
2)/ 12 = (3 x 5
2) / 12 = 6.25 T-m
3 T-m -3 T-m 6.25 T-m
Paso 3:
Análisis estructural II
= 0 (I) = 0 (II)
+ = 0 = 0
Paso 4:
Mba = M0ba + 2EI / 6 2θb + 0 + 0 = -3 + (4EI / 6) θb
Mbc = M0bc + 2EI / 5 2θb + θc + 0 = 6.25 + (4EI / 5) θb + (2EI / 5) θc
Mcb = M0cb + 2EI / 5 2θc + θb + 0 = -6.25 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb
(a) Y (b) en I
-3 + (4EI / 6) θa + 6.25 + (4EI / 5) θb + (2EI / 5) θc = 0
1.47EI θb + 0.4EI θc = -3.25 (I)
(c) En II
-6.25 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb = 0
0.4EI θb + 0.8EI θc = 6.25 (II)
1.47 0.4 θb -3.25 /EI
0.4 0.8 θc 6.25/EI
θb = -5.02/EI θc = 10.33/EI
Mba = -3 + (4EI / 6) (-5.02/EI) = -6.35 T-m
Mbc = 6.25 + (4EI / 5) (-5.02/EI) + (2EI / 5) (10.33/EI) = 6.35 T-m
Mab = 3 + (2EI / 6) (-5.02/EI) = 1.33 T-m
Análisis estructural II
Diagrama de momento flector:
EJEMPLO 2:
* Cuando es empotramiento no se considera giro y el momento es cero
Análisis estructural II
Mba = M0ba + (2EI / 3) 2θb + 0 + 3δ/Lba = 0 + (4EI / 3) θb + (2EI / 3) δ
Mbc = M0bc + ( 2EI / 5) 2θb + θc + 0 = 4.17 + ( 4EI / 5 ) θb + ( 2EI / 5 ) θc
Mcb = M0cb + (2EI / 5) 2θc + θb + 0 = -4.17 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb
Mcd = M0cd + (2EI / 3) 2θc + 0 + 3δ/Lcd = 0 + ( 4EI / 3 ) θc + ( 2EI / 3 ) δ
(a) Y (b) en I
0 + (4EI / 3) θb + (2EI / 3) δ + 4.17 + (4EI / 5) θb + (2EI / 5) θc = 0
2.13 EI θb + 0.4 EI θc + 0.67 EI δ = -4.17 (I)
(c) Y (d) en II
-4.17 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb + 0 + (4EI / 3) θc + (2EI / 3) δ = 0
0.4EI θb + 2.13 EI θc + 0.67 EI δ = 4.17 (II)
Análisis estructural II
Mab = M0ab + (2EI / 3) 0+ θb + 3δ/Lab = 0 + (2EI / 3) θb + (2EI / 3) δ
Mdc = M0dc + (2EI / 3) 0 + θc + 3δ/Lab = 0 + ( 2EI / 3 ) θc + ( 2EI / 3 ) δ
Mab + Mba + Mdc + Mcd = 15
(e), (a), (f) Y (d) en III
0 + (2EI / 3) θb + (2EI / 3) δ + 0 + (4EI / 3) θb + (2EI / 3) δ +
0 + ( 2EI / 3 ) θc + ( 2EI / 3 ) δ + 0 + ( 4EI / 3 ) θc + ( 2EI / 3 ) δ = 0
2 EI θb + 2 EI θc + 2.67 EI δ = 15
2.13 0.4 0.67 θb -4.17/EI
0.4 2.13 0.67 θc 4.17/EI
2 2 2.67 δ 15 /EI
θb = -4.88/EI θc = -0.061/EI δ = 9.31/EI
Mba = (4EI / 3) (-4.88/EI) + (2EI / 3) (9.31/EI) = -0.3 T-m
Mbc = 4.17 + ( 4EI / 5 ) (-4.88/EI ) + ( 2EI / 5 ) (-0.061/EI ) = 0.24 T-m
Mcb = -4.17 + (4EI / 5) (-0.061/EI) + (2EI / 5) (-4.88/EI) = -3.19 T-m
Mcd = ( 4EI / 3 ) (-0.061/EI ) + ( 2EI / 3 ) ( 9.31/EI ) = 6.14 T-m
Mab = (2EI / 3) (-4.88/EI) + (2EI / 3) (9.31/EI) = 2.95 T-m
Mdc = ( 2EI / 3 ) (-0.061/EI ) + ( 2EI / 3 ) ( 9.31/EI ) = 6.14 T-m
Análisis estructural II
-Se condensa solo en los extremos, cuando esta empotrado no se condensa.
4.5T-m
1.8T-m 2.7T-m
6.3T-m
6.3T-m
7.2T-m
Análisis estructural II
Mba = M0ba + (2EI / 4) 2θb + 0 + 3δ/Lba = -2 + (4EI / 4) θb + (6EI / 16) δ
Mbc = M0bc + ( 2EI / 6) 2θb + θc + 0 = 1.8 + ( 4EI / 6 ) θb + ( 2EI / 6 ) θc
Mcb = M0cb + (2EI / 6) 2θc + θb + 0 = -2.7 + (4EI / 6) θc + (2EI / 6) θb
Mcd = M0
cd - (M0dc/2) + (3EI / Ldc) θc + 0 = 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) θc
(a) Y (b) en I
-2 + (4EI / 4) θb + (6EI / 16) δ + 1.8 + (4EI / 6) θb + (2EI / 6) θc = 0
1.67 EI θb + 0.33 EI θc + 0.38 EI δ = 0.2 (I)
Análisis estructural II
(c) Y (d) en II
-2.7 + (4EI / 6) θc + (2EI / 6) θb + 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) θc = 0
0.33EI θb + 1.17 EI θc + 0 EI δ = -7.2 (II)
(III)
Remplazando en (III):
Mab = M0ab + (2EI / 4) 0 + θb + 3δ/Lab = 2 + (2EI / 4) θb + (6EI / 16) δ
(e) Y (a) en III
-2 + (4EI / 4) θb + (6EI / 16) δ + 2 + (2EI / 4) θb + (6EI / 16) δ = 8
1.5EI θb + 0 EI θc + 0.75 EI δ = 8 (III)
1.67 0.33 0.38 θb 0.2/ EI
0.33 1.17 0 θc = -7.2 /EI
1.5 0 0.75 δ 8 /EI
Análisis estructural II
θb = -2.14/EI θc = -5.55/EI δ = 14.75/EI
Mba = -2 + (4EI / 4) (-2.14/EI) + (6EI / 16) (14.75/EI) = 1.39 T-m
Mbc = 1.8 + (4EI / 6) (-2.14/EI) + (2EI / 6) (-5.55/EI) = -1.48 T-m
Mcb = -2.7 + (4EI / 6) (-5.55/EI) + (2EI / 6) (-2.14/EI) = -7.12 T-m
Mcd = 6.3 - (-7.2/ 2) + (3EI/ 6) (-5.55/EI) = 7.12 T-m
Mab = 2 + (2EI / 4) (-2.14/EI) + (6EI / 16) (14.75/EI) = 6.46 T-m
Diagrama de momento flector:
Ejercicio 2:
C
Análisis estructural II
Solución:
Mba = M0ba - (M
0ab/2) + (3EI / Lab) θb + 0 = -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) θb
Mbc = M0bc - (M
0cb/2) + (3EI / Lbc) θb + 0 = 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) θb
(a) Y (b) en I
-2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) θb + 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) θb = 0
1.1 EI θb = 0.065 (I)
θb = 0.059/EI
4.44 T-m 2.22 T-m 3.75 T-m 2.5 T-m
Análisis estructural II
Remplazando θb en (a) y (b):
Mba = -2.22 - (4.44/ 2) + (3EI/ 6) (0.059/EI) = - 4.41 T-m
Mbc = 2.5 - (-3.75/ 2) + (3EI/ 5) (0.059/EI) = 4.41 T-m
Diagrama de momento flector:
Ejercicio 3:
Análisis estructural II
Paso3:
Mba = M0ba -(M
0ab/2)+ (3EI /Lba) θb + δ/Lba = 0+0+ (3EI/ 3.5)θb+(3EI/12.25) δ
Mbc = M0bc + (2EI / 5) 2θb + θc + 0 = 4.17 + (4EI / 5) θb + (2EI / 5) θc
Mcb = M0cb + (2EI / 5) 2θc + θb + 0 = -4.17 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb
Mce = M0ce + (2EI /3.5) 2θc + 0 + 3δ/Lce =1.47+ (4EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ
Mcd = M0cd + (2EI /5) 2θc + θd + 0 = 0 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θd
Mdc = M0dc + (2EI /5) 2θd + θc + 0 = 0 + (4EI / 5) θd + (2EI / 5) θc
Análisis estructural II
Mdf = M0df + (2EI /3.5) 2θd + 0 +3δ/Ldf = 0 + (4EI /3.5) θd + (6EI/12.25) δ
Remplazando:
(a) Y (b) en I
0 + 0 + (3EI/ 3.5)θb + (3EI/12.25 )δ + 4.17 + ( 4EI / 5 ) θb + ( 2EI / 5 ) θc = 0
1.66 EI θb + 0.4 EI θc + 0 EI θd + 0.24 EI δ = -4.17 (I)
(c), (d) y (e) en II
-4.17 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θb +1.47+ (4EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ +
0 + (4EI / 5) θc + (2EI / 5) θd = 0
0.4 EI θb + 2.74 EI θc + 0.4 EI θd + 0.49 EI δ = 2.7 (II)
(f) Y (g) en III
0 + (4EI / 5) θd + (2EI / 5) θc + 0 + (4EI /3.5) θd + (6EI/12.25) δ = 0
0 EI θb + 0.4 EI θc + 1.94 EI θd + 0.49 EI δ = 4 (III)
Para hallar la otra ecuación:
Análisis estructural II
+ + + 3 - 3 – 3.5 = 0
+ + = 3.5 IV
Ha x 3.5 = 0 He x 3.5 + Mec + Mce – 3 x 1.5 = 0
Ha = 0 He = 4.5 - Mec - Mce
He x 3.5 + Mfd + Mdf – 3.5 x 2.3 = 4
Hf = 12.05 - Mfd – Mdf
Remplazando Ha, He y Hf en IV:
4.5 - Mec - Mce + 12.05 - Mfd - Mdf =12.25
Mec + Mce + Mfd + Mdf = 4.3 IV
Mec = M0ec + (2EI /3.5) 0 + θc + 3δ/Lec = -1.10+ (2EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ
Mfd = M0fd + (2EI /3.5) 0 + θd +3δ/Lfd = -1.23 + (2EI /3.5) θd + (6EI/12.25) δ
(d), (g), (h) y (i) en IV
1.47+ (4EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ + 0 + (4EI /3.5) θd + (6EI/12.25) δ +
-1.10+ (2EI /3.5) θc + (6EI /12.25) δ + -1.23 + (2EI /3.5) θd +(6EI/12.25) δ = 4.3
0 EI θb + 1.71 EI θc + 1.71 EI θd + 1.96 EI δ = 5.16 (IV)
Análisis estructural II
1.66 0.4 0 0.24 θb -4.17/ EI
0.4 2.74 0.4 0.49 θc 2.7/ EI
0 0.4 1.94 0.49 θd 4/ EI
0 1.71 1.71 1.96 δ 5.16/ EI
θb = -2.79/EI θc = 1.11/EI θd = 1.81/EI δ = 0.08/EI
Remplazando θb, θc, θd y δ:
Mba = (3EI/ 3.5) (-2.79/EI) + (3EI/12.25) (0.08/EI) = - 2.37 T-m
Mbc = 4.17 + (4EI / 5) (-2.79/EI) + (2EI / 5) (1.11/EI) = 2.38 T-m
Mcb = -4.17 + (4EI / 5) (1.11/EI) + (2EI / 5) (-2.79/EI) = - 4.39 T-m
Mce = 1.47+ (4EI /3.5) (1.11/EI) + (6EI /12.25) (0.08/EI) = 2.78 T-m
Mcd = 0 + (4EI / 5) (1.11/EI) + (2EI / 5) (1.81/EI) = 1.61 T-m
Mdc = 0 + (4EI / 5) (1.81/EI) + (2EI / 5) (1.11/EI) = 1.89 T-m
Mdf = 0 + (4EI /3.5) (1.81/EI) + (6EI/12.25) (0.08/EI) = 2.11 T-m
Mec = -1.10+ (2EI /3.5) (1.11/EI) + (6EI /12.25) (0.08/EI) = -0.43 T-m
Mfd = -1.23 + (2EI /3.5) (1.81/EI) + (6EI/12.25) (0.08/EI ) = -0.16 T-m
Mab = 0
Análisis estructural II
Diagrama de momento flector
EA = α δ axial = 0
δ = 0
δ
δ = 0
δ = 0
δ = 0
δ = 0
Análisis estructural II
Ejercicio 4:
Paso 1:
paso2:
Momentos del tramo ab:
= 0.44 T-m = -0.66 T-m
Condensar giro d
Análisis estructural II
Momentos del tramo bc
Momentos del tramo cd
1.11T-m 1.11T-m
0.45T-m 0.66T-m
M0bc = 1.11 T-m + 0.45T-m = 1.56 T-m
1.56T-m 1.77T-m
-2.23T-m 2.23T-m
0.44T-m -0.66T-m
2.67T-m 2.89T-m
0.84T/m
M0cb = -1.11 T-m - 0.66T-m = -1.77 T-m
M0cd = 2.23 T-m + 0.44T-m = 2.67 T-m
M0dc = -2.23 T-m - 0.66T-m = -2.89 T-m
Análisis estructural II
Paso3:
Mba = M0ba + (2EI / 4) 2θb + 0 + 0 = -0.66 + (4EI / 4) θb
Mbc = M0bc + (2EI / 4) 2θb + θc + 0 = 1.56 + (4EI / 4) θb + (2EI / 4) θc
Mcb = M0cb + (2EI /4) 2θc + θc + 0 = -1.77+ (4EI /4) θc + (2EI /4) θb
Mcd = M0cd - (M
0dc/2) + (3EI /Ldc) θc + 0 = 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) θc
Remplazando:
(a) Y (b) en I
-0.66 + (4EI / 4) θb + 1.56 + (4EI / 4) θb + (2EI / 4) θc = 0
2EI θb + 0.5EI θc = -0.90 (I)
(c) Y (d) en II
-1.77+ (4EI /4) θc + (2EI /4) θb + 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) θc = 0
0.5EI θb + 1.75EI θc = -2.35 (II)
Análisis estructural II
2 0.50 θb -0.90/ EI
0.5 1.75 θc -2.35/ EI
θb = -0.12/EI θc = -1.31/EI
Remplazando θb y θc:
Mba = -0.66 + (4EI / 4) (-0.12/EI) = - 0.78 T-m
Mbc = 1.56 + (4EI / 4) (-0.12/EI) + (2EI / 4) (-1.31/EI) = 0.78 T-m
Mcb = -1.77+ (4EI /4) (-1.31/EI) + (2EI /4) (-0.12/EI) = - 3.14 T-m
Mcd = 2.67 - (-2.89/2) + (3EI/ 4) (-1.31/EI) = 3.14 T-m
Mdc = 0
Diagrama de momento flector:
Análisis estructural II
M0db =-2.4 T-m M
0bd =1.6 T-m
Ejercicio 5:
Solución:
3m
2.5m
4m
3T/m
3T/m
4m 3m
-1.5 T-m M
0ab =1.5 T-m M
0ba =-1.5 T-m
Análisis estructural II
Mba = M0ba -(M
0ab / 2)+ (3EI /Lab) θb + 0 = -1.5 - (1.5 / 2) + (3EI/ 3) θb
Mbc = M0bc + (2EI / 2.5) 2θb+θc+0 = 0 + (4EI / 2.5) θb + (2EI / 2.5) θc
Mbd = M0bd - (M
0db/2) + (3EI /Ldb) θb + 0 = 1.6 - (-2.4/2) + (3EI/ 4) θb
Mcb = M0cb+ (2EI /2.5) 2θc + θb+0 = 0 + (4EI / 2.5) θc + (2EI / 2.5) θb
Remplazando:
(a), (b) y (c) en (I)
-1.5-(1.5/2) + (3EI/ 3) θb + (4EI/ 2.5) θb + (2EI/ 2.5) θc + 1.6-(-2.4/ 2) + (3EI/ 4) θb = 0
3.35 EI θb + 0.8 EI θc + = - 3.55 (I)
Análisis estructural II
(d) En (II)
(4EI / 2.5) θc + (2EI/2.5) θb+ = 0
0.8 EI θb + 1.6 EI θc = 0 (II)
3.35 0.8 θb -3.55/ EI
0.8 1.6 θc 0
θb = -1.20/EI θc = -0.60/EI
Mba = -1.5 - (1.5 / 2) + (3EI/ 3) (-1.20/EI) = -3.45 T-m
Mbc = 0 + (4EI / 2.5) (-1.20/EI) + (2EI / 2.5) (-0.60/EI) = -2.4 T-m
Mbd = 1.6 - (-2.4/2) + (3EI/ 4) (-1.20/EI) = 1.9 T-m
Mcb = 0 + (4EI / 2.5) (-0.60/EI) + (2EI / 2.5) (-1.20/EI) = 1.92 T-m
Diagrama de momento flector:
Análisis estructural II
MATRIZ DE RIGIDEZ POR DEFINICION
EJEMPLO:
D1 y D2 SON DE ROTACION Y D3 DE TRASLACION
VECTOR DE DESPLAZAMIENTO
GLOBALES DE LA ESTRUCTURA
EJEMPLO:
EJEMPLO:
LEY DE HOOKE GENERALIZADA:
⦋K⦋ = MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE LA ESTRUCTURA
Análisis estructural II
EJEMPLO:
SI D1 = 1 , D2 = D3 = 0
SI D2 = 1 , D1 = D3 = 0
FUERZAS
EXTERNAS
UNITARIAS
Análisis estructural II
SI D3 = 1 , D1 = D2 = 0
CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ:
EJEMPLO #1:
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
Análisis estructural II
K11 = Mbc + Mba
- Hallar Mbc
Mbc = M0
bc + (2EIV / LV) ⦋2D1 + D2 + 0 ⦋
Mbc = 0 + (2EIV / LV) ⦋2 (1) + (0) + 0 ⦋
Mbc = 4EIV / LV
- Hallar Mba
Mba = M0
ba + (2EIC / h) ⦋2D1 + D2+ (3D3/h) ⦋
Mba = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (1) + 0 + (3x0/h) ⦋
Mba = 4EIC / h
Remplazando:
K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h
Análisis estructural II
K21 = Mcb + Mcd
- Hallar Mcb
Mcb = M0
cb + (2EIV / LV) ⦋2D2 + D1 + 0 ⦋
Mcb = 0 + (2EIV / LV) ⦋2 (0) + (1) + 0 ⦋
Mcb = 2EIV / LV
- Hallar Mcd
Mcd = M0
cd + (2EIC / h) ⦋2D2 + D1+ (3D3/h) ⦋
Mcd = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (0) + 0 + (3x0/h) ⦋
Mcd = 0
Remplazando:
K21 = 2EIV / LV
Vba x h - Mab - Mba = 0
Vba = 6EIC/h2
∑F(x) = 0
K31 – Vba = 0
K31 = 6EIC/h2
Análisis estructural II
D2 = 1 , D1 = D3 = 0
K12 = Mbc + Mba K22 = Mcb + Mcd K32 – Vcd = 0
K12 = 2EIV / LV K22 = 4EIV / LV + 4EIC / h K32 = 6EIC/h2
D3 = 1 , D1 = D2 = 0
Análisis estructural II
K13 = Mbc + Mba
- Hallar Mbc
Mbc = M0
bc + (2EIV / LV) ⦋2D1 + D2 + 0 ⦋
Mbc = 0 + (2EIV / LV) ⦋2 (0) + (0) + 0 ⦋
Mbc = 0
- Hallar Mba
Mba = M0
ba + (2EIC / h) ⦋2D1 + D2+ (3D3/h) ⦋
Mba = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (0) + 0 + (3x1/h) ⦋
Mba = 6EIC / h2
Remplazando:
K13 = 6EIC / h2
K23 = Mcb + Mcd
- Hallar Mcb
Mcb = M0
cb + (2EIV / LV) ⦋2D2 + D1 + 0 ⦋
Mcb = 0 + (2EIV / LV) ⦋2 (0) + (0) + 0 ⦋
Mcb = 0
- Hallar Mcd
Mcd = M0
cd + (2EIC / h) ⦋2D2 + D1+ (3D3/h) ⦋
Mcd = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (0) + 0 + (3x1/h) ⦋
Mcd = 6EIC / h2
Análisis estructural II
Remplazando:
K23 = 6EIC / h2
Vba x h - Mab - Mba = 0
- Hallar Mab
Mab = M0
ab + (2EIC / h) ⦋2D2 + D1+ (3D3/h) ⦋
Mac = 0+ (2EIC / h) ⦋2 (0) + 0 + (3x1/h) ⦋
Mab = 6EIC / h2
Vba = 12EIC/h3 y Vcd = 12EIC/h
3
∑F(x) = 0
K33 – Vba – Vcd = 0
K33 = 12EIC/h3 + 12EIC/h
3 = 24EIC/h
3
K21 = K12
K31 = K13
K32 = K23
Análisis estructural II
EJEMPLO #2:
Hallar ⦋K⦋ de la estructura mostrada:
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h K21 = 2EIV / LV K31 = 6EIC/h2
K11 = 4EIV / 5 + 4EIC / 3 K21 = 2EIV / 5 K31 = 6EIC/9
Análisis estructural II
K12 = 2EIV / LV K22 = 4EIV / LV + 3EIC / h K32 = 3EIC/h2
K12 = 2EIV / 5 K22 = 4EIV / 5 + 3EIC / 2.5 K32 = 3EIC/2.52
D3 = 1 , D1 = D2 = 0
Hallar:
Análisis estructural II
K33 – Vba – V⋇cd = 0
K33 = 12EIC/h3 + 3EIC/h3
K13 = 6EIC / h2 K23 = 3EIC / h2 K33 = 12EIC/h3 + 3EIC/h3
K13 = 6EIC / 32 K23 = 3EIC / 2.52 K33 = 24EIC/33 + 3EIC/2.53
EJEMPLO #3: RESOLVER POR EL METODO DE RIGIDEZ POR DEFINICION:
E = 2 x 106 Ton/m2
I = ⦋0.30 x (0.55)3⦋/12
1. G.D.L = 2
Análisis estructural II
2. D1 = 1 y D2 = 0
K11 - Mab =0 K11 = Mab
K11 =4EI/5
K21 - Mba - Mbc =0 K21 = Mba + Mbc
K21 =2EI/5
D2 = 1 y D1 = 0
Análisis estructural II
K12 - Mab =0 K12 = Mab
K12 =2EI/5
K22 - Mba - Mbc =0 K22 = Mba + Mbc
K22 =4EI/5 + 4EI/6
Hallar EI:
⦋K⦋ {D} = {Q}
D1 = 2.85 x 10-4 D2 = -5.69 x 10-4
Por otro metodo, condensando:
D1 =1
Análisis estructural II
K11 - Mab =0 K11 = Mab K21 - Mba =0 K21 = Mba
K11 =4EI/4 K21 =2EI/4
K41 - Mcb =0 K41 = Mcb K31 – Mdb =0 K21 =Mdb
K41 =0 K31 =0
D2 = 1 , D1 = D3 = D4 = 0
Análisis estructural II
K12 - Mab =0 K12 = Mab K22 - Mba -Mbc -Mbd =0
K12 =2EI/4 K22 =4EI/4+4EI/3 +4EI/3.5
K42 – Mcb =0 K42 = Mcb K32 – Mdb =0 K32 =Mdb
K42 =2EI/3 K32 =2EI/3.5
D3 = 1 , D1 = D2 = D4 = 0
Análisis estructural II
K13 - Mab =0 K13 = Mab K23 - Mbd =0 K23=Mbd
K13 =0 K23 =2EI/3.5
K43 – Mcb =0 K43 = Mcb K33 – Mdb =0 K33 =Mdb
K43 =0 K33 =4EI/3.5
D4 = 1 , D1 = D2 = D3 = 0
Análisis estructural II
K14 - Mab =0 K14 = Mab K24 - Mbc =0 K24=Mbc
K14 =0 K24 =2EI/3
K44 – Mcb =0 K44 = Mcb K34 – Mdb =0 K34 =Mdb
K44 =4EI/3 K34 =0
Análisis estructural II
D1 = -5.75 x 10-4
D2 = 1.15 x 10-3
D3 = -5.75 x 10-4
D4 = -5.75 x 10-4
METODO DE RIGIDEZ DIRECTA (Con matrices de transformación ⦋A⦋)
LEY DE HOOKE GENERALIZADA:
{Ҩ } = ⦋K⦋ {D}………………….. (I)
Dónde:
{Ҩ } mx1 = vector de cargas globales de la estructura
{D} mx1 = vector de desplazamiento globales de la estructura
{K} mxm = matriz de rigidez global de la estructura
Dónde: m = # G.D.L
DEFINIR:
{d} e = ⦋A⦋e {D}………………. (II)
{d} e = desplazamiento locales del elemento
⦋A⦋e = matriz de compatibilidad o transformación del elemento.
Análisis estructural II
Únicamente por flexión
{de} e = vector desplazamiento del elemento en coordenadas locales.
{q}e = ⦋K⦋e {d}e -----------------------(III)
{q} e = vector de cargas del elemento
D1 = 1 D2 = 1
Análisis estructural II
{d} e = ⦋A⦋e {D}………………. (II)
Ejemplo:
Si
PRINCIPIO DE TRABAJO VIRTUAL:
δ Wext = δ Wint
PASOS:
1. Definir los grados de libertad G.D.L {D} m , m = # G.D.L.
2. Generar las matrices de compatibilidad o matrices de transformación de C/elemento; ⦋A⦋e.
3. Generar la matrices de rigidez en coordenadas locales de C/elemento; ⦋K⦋e.
4. Proceso de ensamblaje, obtención de la matriz de rigidez global de la estructura,
⦋K⦋G.
Análisis estructural II
5. Generar el vector de cargas globales de la estructura {Ҩ }.
6. Resolver {Ҩ } = ⦋K⦋G {D} --------------OBTENER {D}
7. Hallar {q}e = ⦋K⦋e ⦋A⦋e {D} - {q}eeq
8. Hallar {d}e = ⦋A⦋e {D} y D.M.F y D.F.C
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋ {D}
DONDE:
SI: solo por flexión.
Análisis estructural II
d1 = 1 , d2 = d3 = d4 = 0
d2 = 1 , d1 = d3 = d4 = 0
d3 = 1 , d1 = d2 = d4 = 0
d4 = 1 , d1 = d2 = d3 = 0
Análisis estructural II
Ejemplo#1:
Resolver: E = 2x 106
T/m2
, EA = α
Solución:
Paso 1:
G.D.L = 2
Paso 2: D1 = 1 , D2 = 0
Análisis estructural II
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋ {D} ⦋KTOTAL⦋ {D} = {Ҩ }
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋A⦋1 {D} - {q}1eq
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋A⦋2 {D} - {q}2eq
Diagrama de momento:
Análisis estructural II
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋A⦋1 {D} - {q}1eq
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋A⦋2 {D} - {q}2eq
{q} 3 = ⦋K⦋3 ⦋A⦋3 {D} - {q}3eq
{q} 4 = ⦋K⦋4 ⦋A⦋4 {D} - {q}4eq
Análisis estructural II
Diagrama de momento:
Ejemplo#3: el mismo que el #2 pero darle solución con el metodo de la
condensación:
Análisis estructural II
Paso 1:
D1 = 1 , D2 = D3 =0 D2 = 1 , D1 = D3 = 0
Paso 2:
D3 = 1 , D1 = D2 =0
Análisis estructural II
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋A⦋1 {D} - {q}1eq
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋A⦋2 {D} - {q}2eq
{q} 3 = ⦋K⦋3 ⦋A⦋3 {D} - {q}3eq
{q} 4 = ⦋K⦋4 ⦋A⦋4 {D} - {q}4eq
Diagrama de momento:
Análisis estructural II
METODO DE CONDENSACION ESTATICA
Sea por ejemplo:
GENERALIZANDO:
θθ {Ҩ } + θδ {δ} = {ϕ} ……………………………… (1)
δθ {Ҩ } + δδ {δ} = {F} …………………………….... (2)
Análisis estructural II
θθ {Ҩ } + θδ {δ} = {ϕ}
Tθθ θθ {Ҩ } = - Tθθ θδ {δ}
⦋ I ⦋ {Ҩ } = - -1
θθ θδ {δ}
{Ҩ } = - -1
θθ θδ {δ} ………………………...….. (3)
{Ҩ } = ⦋ T ⦋ {δ} ………………………………...….. (4)
DONDE:
⦋ T ⦋ = - -1
θθ θδ ……………………………….… (5)
Remplazando (3) en (2) tenemos:
δθ (- -1
θθ θδ {δ}) + δδ {δ} = {F}
{F} = ⦋ δδ - δθ -1
θθ θδ ⦋ {δ}
{F} = ⦋ L ⦋ {δ}
⦋ L ⦋ = rigidez lateral.
{F} = ⦋ L ⦋ {δ} ………………………………… (6)
SIENDO:
⦋ L ⦋ = ⦋ δδ - δθ -1
θθ θδ ⦋
Ejemplo #1: hallar la rigidez lateral de la estructura mostrada y graficar D.M.F.
Análisis estructural II
Solución:
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
K11 = 4EIV / LV + 4EIC / h
K11 = 4EIV / 7 + 4EIC / 3.5
K21 = 2EIV / LV
K21 = 2EIV / 7
K31 = 6EIC/h2
K31 = 6EIC/12.25
D2 = 1 , D1 = D3 = 0
K22 = 2EIV / LV
K12 = 2EIV / 7
K22 = 4EIV / LV + 4EIC / h
K22 = 4EIV / 7 + 4EIC / 3.5
K32 = 6EIC/h2
K32 = 6EIC/12.25
Análisis estructural II
D3 = 1 , D1 = D2 = 0
K13 = 6EIC/h2
K13 = 6EIC/12.25
K23 = 6EIC/h2
K23 = 6EIC/12.25
K33 = 12EIC/h3
K33 = 12EIC/42.88
4EIC/3.5 + 4EIV/7 4EIV/7 6EIC/12.25 D1 0
4EIV/7 4EIC/3.5 + 4EIV/7 6EIC/12.25 D2 = 0
6EIC/12.25 6EIC/12.25 24EIC/42.88 D3 F
21864.3 3085.7 6725.5 D1 0
3085.7 21864.3 6725.5 D2 = 0
6725.5 6725.5 7686.3 D3 7
⦋ L ⦋ = ⦋ δδ - δθ -1
θθ θδ ⦋
Análisis estructural II
⦋ L ⦋ = 5692.09 T/m2
{F} = ⦋ L ⦋ {δ}
{7} = ⦋ 5692.09 ⦋ {δ}
δ = 5692.09/7 = 1.2 x 10-3 m
⦋ T ⦋ = - -1θθ θδ
{Ҩ } = ⦋ T ⦋ {δ}
COLUMNA:
Msup = M0
ba + (2EIC / h) ⦋2D1 + 0+ 3D3 /h⦋
Msup = 3.05 Tn-m
Minf = M0
ab + (2EIC / h) ⦋0 + D1+ 3D3 /h⦋
Minf = 5.53 Tn-m
Análisis estructural II
VIGA:
MIZ = M0
ab + (2EIV / L) ⦋2D1 + D2 + 0 ⦋
MIZ = -2.99 Tn-m
MDER = M0
ba + (2EIV / L) ⦋ 2D2 + D1+ 0⦋
MIZ = -2.99 Tn-m
DIAGRAMA DE MOMENTOS:
Análisis estructural II
2.5 Kip/Pie
Ejemplo #2: resolver el problema usando el metodo de rigidez directa con
matrices de transformación. ⦋A⦋.
E= 29000 KSI , I=1780 plg4
SOLUCIÓN:
PASO 1:
Armaduras:
CABLE
A=1.6plg2
EA=α
18 Kip
Análisis estructural II
Si: d1 = 1 d2 = 1
K11= EA/L K12=-EA/L
K21= -EA/L K22=-EA/L
Paso 2:
D1 = 1 , D2 = D3 = 0
D2 = 1 , D1 = D3 = 0
Análisis estructural II
D3 = 1 , D1 = D2 =0
θ = 45° , cos θ = x/1 , x = cos θ = cos 45° = 0.707
Paso 3:
EI = 29000 x 1780 = 5162x 104 Kip-pie
2
EA = 29000 x 1.6 = 46400 Kip
Análisis estructural II
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋ {D} ⦋KTOTAL⦋ {D} = {Ҩ }
{q} 1 = ⦋K⦋1 ⦋A⦋1 {D} - {q}1eq
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋A⦋2 {D} - {q}2eq
{q} 3 = ⦋K⦋3 ⦋A⦋3 {D} - {q}3eq
Análisis estructural II
Diagrama de momento:
METODO DE RIGIDEZ DIRECTA
(Cosenos directores)
EJEMPLO:
{D} = DESPLAZ.GLOBALES DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES
48 G.D.L
Análisis estructural II
{Ҩ } = VECTOR DE CARGAS GLOBALES DE LA ESTRUCTURA EN COORDENADAS GLOBALES
“LEY DE HOOKE GENERALIZADA”
{Ҩ } mx1 = ⦋KTOTAL⦋mxm {D} mx1 ….…………………………… (I)
m= #G.D.L
DEL METODO ANTERIOR;
{Ҩ } = ∑⦋A⦋Te ⦋K⦋e ⦋A⦋e {D} ...……………………………..
(II)
ELEMENTO (e)
Ejes LOCALES
Ejes GLOBALES
Análisis estructural II
{d} e = ⦋A⦋e {D}
{Ҩ } = ⦋Aθ⦋ ⦋A⦋L {D} ………..…………………………… (III)
Dónde:
⦋Aθ⦋=Matriz de cosenos directores.
⦋A⦋L = Matriz de localización.
d1= d*1 cosθ + d*2 senθ
d2= d*1 senθ + d*2 cosθ
Vector de desplazamiento en
coordenadas locales/elemento
Se incluye
deformaciones axiales.
Análisis estructural II
FORMULACION DE METODO
---------------------------------------- (1)
----------------------------------------------- (2)
{Ҩ } = ∑⦋A⦋Te ⦋K⦋e ⦋A⦋e {D}
{Ҩ } = ∑ ⦋AL⦋T ⦋Aθ⦋T
⦋K⦋e ⦋Aθ⦋e ⦋AL⦋e {D} ----------------------------------- (3)
⦋K⦋e = matriz de rigidez del elemento en coord. Locales.
{Ҩ } = ⦋KTOTAL⦋ {D} ----------------------------------------------- (4)
-------------------------------------- (5)
{q} e = ⦋K⦋e ⦋Aθ⦋e ⦋AL⦋e {D} - {q}eeq
--------------------------------- (6)
6 x G.D.L
6 x 5
6 x 5
Θ=90° Θ=0°
DESPLAZ. DE ELEMENTOS
EN COORD. GLOBALES
Análisis estructural II
A = 0.25 x 0.45 = 0.1125 m2
E = 2 x 106 T/m
2 , L = 4m
I = (0.25 x 0.453) / 12 = 1.89 x 10
-3 m
4
Análisis estructural II
EJEMPLO N°2: HALLAR LAS FUERZAS INTERNAS EN LA ARMADURA MOSTRADA
P= 50 Klb
L = 20Pie
A= 8 pulg2 (const)
E = 30000 Ksi (const)
Análisis estructural II
{q} 2 = ⦋K⦋2 ⦋Aθ⦋2 ⦋AL⦋2 {D} - {q}2eq
{q} 3 = ⦋K⦋3 ⦋Aθ⦋3 ⦋AL⦋3 {D} - {q}3eq
{q} 4 = ⦋K⦋4 ⦋Aθ⦋4 ⦋AL⦋4 {D} - {q}4eq
Análisis estructural II
{q} 5 = ⦋K⦋5 ⦋Aθ⦋5 ⦋AL⦋5 {D} - {q}5eq
{q} 6 = ⦋K⦋6 ⦋Aθ⦋6 ⦋AL⦋6 {D} - {q}6eq
EJERCICIO PROPUESTO: Wu = 1.4 CM + 1.7 CV
C1 = 18 Tn , C2 = 10 Tn , C3 = 9 Tn
CM1 = 2.5 T/ml , CM2 = 2 T/ml , CM3 = 1 T/ml
CV1 = 1.5 T/ml , CV2 = 1 T/ml , CV3 = 0.5 T/ml
Análisis estructural II
D13 = 1 D14 = 1
D15 = 1
MATRIZ DE RIGIDES TOTAL DE TODO EL PORTICO (KTOTAL):
10666.7 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0
1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0
0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0
0 0 1777.8 10666.7 0 0 0 1777.8 0 0 0 0 3555.6 -1777.8 0
1777.8 0 0 0 10666.7 1777.8 0 0 1777.8 0 0 0 -1777.8 3555.6 -1777.8
0 1777.8 0 0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 0 -1777.8 3555.6 -1777.8
0 0 1777.8 0 0 1777.8 14222.2 1777.8 0 0 1777.8 0 -1777.8 3555.6 -1777.8
Análisis estructural II
0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 0 0 0 1777.8 -1777.8 3555.6 -1777.8
0 0 0 0 1777.8 0 0 0 7111.1 1777.8 0 0 0 -1777.8 1777.8
0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 1777.8 0 0 -1777.8 1777.8
0 0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 10666.7 1777.8 0 -1777.8 1777.8
0 0 0 0 0 0 0 1777.8 0 0 1777.8 7111.1 0 -1777.8 1777.8
3555.6 3555.6 3555.6 3555.6 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 0 0 0 0 9481.5 -4740.7 0
-1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 3555.6 3555.6 3555.6 3555.6 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -4740.7 9481.5 -4740.7
0 0 0 0 -1777.8 -1777.8 -1777.8 -1777.8 1777.8 1777.8 1777.8 1777.8 0 -4740.7 4740.7
⦋ L ⦋ = rigidez lateral.
⦋ L ⦋ = ⦋ δδ - δθ -1
θθ θδ ⦋
EJEMPLO
PLACA
Análisis estructural II
EA = α 6G.D.L (4 ROT. Y 2 TRASL.)
EJERCICIO #3: HALLAR LOS DESPLAZAMIENTOS LATERALES.
D1 = 1 D2 = 1
PLACA
Análisis estructural II
K11 = 4EI/6 + 4EI/3 K12 = 2EI/6
K21 = 2EI/6 K22 = 4EI/6 + 4EI/3
K31 = -6EI/9 K32 = -6EI/9
K41 = 6EI/9 K42 = 6EI/9
D3 = 1 D4 = 1
K13 = -6EI/9 K14 = 6EI/6
K23 = -6EI/9 K24 = 6EI/9
K33 = 48EI/27 K34 = -24EI/27
K43 = -24EI/27 K44 = 24EI/27
Análisis estructural II
⦋ L ⦋ = rigidez lateral.
⦋ L ⦋ = ⦋ δδ - δθ -1
θθ θδ ⦋
⦋ L ⦋ {δ} = {F}
{Ҩ } = - -1
θθ θδ {δ}
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL PORTICO – PLACA
Análisis estructural II
SE TIENE:
Parte flexible:
{qe} = ⦋Ke⦋4x4 {đe} ________________________________________ (1)
POR COMPATIBILIDAD:
VA = 1 VA = Vi + a x θi
θA = θi
VB = 1 VB = Vj - b x θj
θB = θj
Análisis estructural II
⦋H⦋ Flexible rígido
⦋H⦋ = Matriz de compatibilidad
VA = 1 x Vi + a x θi + 0 x Vj + 0 x θj
θA = 0 x Vi + 1 x θi + 0 x Vj + 0 x θj
VB = 0 x Vi + 0 x θi + 1 x Vj - b x θj
θB = 0 x Vi + 0 x θi + 0 x Vj + 1 x θj
POR EQUILIBRIO:
Vi = VA
Mi = a x VA + MA
Vj = VB
Mj = -b x VB + MB
Vi = 1 x VA + 0 x MA + 0 x VB + 0 x MB
Mi = 0 x VA + 1 x MA + 0 x VB + 0 x MB
Vj = 0 x VA + 0 x MA + 1 x VB + b x MB
Mj = 0 x VA + 0 x MA - b x VB + 1 x MB
Análisis estructural II
⦋H⦋T Flexible rígido
POR LA LEY DE HOOKE :
Si remplazamos (3) en (2):
Si remplazamos (1) en (4):
⦋K⦋P = PLACA
Análisis estructural II
LTOTAL = a + b + L
FACTOR DE FORMA:
f = 1.2 f = 10 / 9 f = 2 f = Area axial / Area alma
PROBLEMA:
Análisis estructural II
30 Tn
4.00 m
8.00m 2.00
.20
1. HALLAR: LA MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL
2. HALLAR: LA MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL
3. HALLAR: DESPLAZAMIENTO LATERAL
E = 2 x 106 Ton/m VIGA
PLACA
C° A°
COLUMNA
30 x 70
30 x 70
Análisis estructural II
L = 8.35 m
a = 1.00 m
b = 0.00 m
E = 2 x 106 T/m
2
I = 0.30 x (0.70)3 / 12 m
4
EI = 17150 Tm-m2
COLUMNA:
L = 3.65 m
a = 1.00 m
b = 0.00 m
E = 2 x 106 T/m
2
I = 0.30 x (0.70)3 / 12 m
4
EI = 17150 Tm-m2
PLACA:
L = 3.65 m
AP = 1.00 m
E = 2 x 106 T/m
2
I = 0.20 x (2.00)3 / 12 m
4 = 0.133
EI = 266666.67 Tm-m2
= 0.20
f = 1.2
Análisis estructural II
⦋ L ⦋ = rigidez lateral.
⦋ L ⦋ = ⦋ δδ - δθ -1
θθ θδ ⦋
⦋ L ⦋ = 17355.5 T/m
⦋ L ⦋ {δ} = {F}
Análisis estructural II
17355.5 {δ} = {30}
{δ} = D3 = 1.73 x 10-3
m
{Ҩ } = - -1
θθ θδ {δ}
ANALISIS MATRICIAL 3-D
HIPOTESIS:
1. LA LOSA DEBE SER INFINITAMENTE RIGIDA.
LOSA
LOSA
Análisis estructural II
2. LOS PORTICOS SEAN ORTOGONALES CON RESPECTO A SU BASE.
3. CONSIDERA 3 G.D.L / NIVEL UBICADOS EN SU CENTRO DE MASAS.
{D} 3m x 1 = DESPLAZAMIENTOS GLOBALES DE LA ESTRUCTURA, m = # DE PISOS
LEY DE HOOKE GENERALIZADO
⦋ EDIF⦋ = MATRIZ E RIGIDEZ GLOBAL DEL EDIFICIO m = # pisos
P = # DE PORTICOS
m = # DE PISOS
DONDE:
⦋A⦋P mx3m = MATRIZ DE COMPATIBILIDAD DEL PORTICO “P”
⦋KL⦋P = RIGIDEZ LATERAL DEL PORTICO “P” (CONDENSACION ESTATICA)
Análisis estructural II
PISO “i”
Dij = Dxi Cos γj + Dyi Sen γj + Dϕi Rij
Numero de piso, se tiene:
⦋A⦋mxm = MATRIZ DE COMPATIBILIDAD O DE TRANSFORMACION
EJEMPLO #1: 3 G.D.L/ NIVEL
Hallar D.M.F De los pórticos del edificio mostrado:
PLANTA PISO:
C = 35x45 h = 3.2m
V1 = 35x45 V2 = 35x40
4m
4m
5m 5m
Análisis estructural II
PÓRTICO A, B y C PORTICO: 1, 2 y 3
3.2m 3.2m
5m 5m 4m 4m
35x45 35x45
35x45 35x45 35x45
35x40 35x40
45x35 45x35 45x35
Análisis estructural II
,
PÓRTICO A, B y C:
PÓRTICO 1, 2 y 3:
R1A = (0 – 0) 0° - (-4 – 0) 1 = 4
R1B = (0 – 0) 0° - (0 – 0) 1 = 0
R1C = (0 – 0) 0° - (4 – 0) 1 = -4
R11 = (-5 – 0) 1 - (-4 – 0) 0 = -5
R12 = (0 – 0) 1 - (0 – 0) 0 = 0
R13 = (5 – 0) 1 - (0 – 0) 0 = 5
Análisis estructural II
PORTICO KL 1x1 γP Cos γP Sen γP R1P
A 3807.6 0° 1 0 4
B 3807.6 0° 1 0 0
C 3807.6 0° 1 0 -4
1 2527.6 90° 0 1 -5
2 2527.6 90° 0 1 0
3 2527.6 90° 0 1 5
⟨A⟩A = ⟨ 1, 0, 4 ⟩ ⟨A⟩B = ⟨ 1, 0, 0 ⟩ ⟨A⟩C = ⟨ 1, 0, -4 ⟩
⟨A⟩1 = ⟨ 0, 1, -5 ⟩ ⟨A⟩2 = ⟨ 0, 1, 0 ⟩ ⟨A⟩3 = ⟨ 0, 1, 5 ⟩
Análisis estructural II
⦋KTOTAL⦋ {D} = {Ҩ }
Pórtico B:
Hallar el desplazamiento lateral {d}:
{d} e = ⦋A⦋e {D}
{d} B = 1.3 x 10-3
m
3.2m
5m 5m
35x45 35x45
35x45 35x45 35x45
Análisis estructural II
Mba = M°ba + 2EI / Lba ⦋ 2θb + θa + 3δ/Lba ⦋
Mab = M°ab + 2EI / Lab ⦋ 2θa + θb + 3δ/Lab ⦋
Mbc = M°bc + 2EI / Lbc ⦋ 2θb + θc + 3δ/Lbc ⦋
Mcb = M°cb + 2EI / Lcb ⦋ 2θc + θb + 3δ/Lcb ⦋
Mcd = M°cd + 2EI / Lcd ⦋ 2θc + θd + 3δ/Lcd ⦋
Mdc = M°dc + 2EI / Ldc ⦋ 2θd + θc + 3δ/Ldc ⦋
Mce = M°ce + 2EI / Lce ⦋ 2θc + θe + 3δ/Lce ⦋
Mec = M°ec + 2EI / Lec ⦋ 2θe + θc + 3δ/Lec ⦋
Análisis estructural II
Mef = M°ef + 2EI / Lef ⦋ 2θe + θf + 3δ/Lef ⦋
Mfe = M°fe + 2EI / Lfe ⦋ 2θf + θe + 3δ/Lfe ⦋
DIAGRMA DE MOMENTO FLECTOR:
Análisis estructural II
n= # pisos = 2
Ri P = (Xi –X0) Sen αP – (Yi –Y0) cos αP
Resolviendo: Ri P
R1 A = R2 A = (5 – 0) Sen 900
– (0 – 0) cos 900 = 5
R1 B = R2 B = (0 – 0) Sen 00
– (10 – 0) cos 00 = -10
R1 C = R2 C = (0 – 0) Sen 00
– (-10 – 0) cos 00 = 10
R1 D = R2 D = (-15 – 0) Sen 900
– (0 – 0) cos 900 = -15
Hallando la matriz de compatibilidad:
Análisis estructural II
Pórtico A:
Hallar el desplazamiento lateral {d}:
{d} e = ⦋A⦋e {D}
1er
PISO
2do
PISO
Análisis estructural II
ANALISIS MATRICIAL DE EDIFICIO 2GDL/NIVEL
Ejercicio #3: hallar los desplazamientos laterales y los DMF de la.
Estructura mostrada.
Nivel 1
Nivel 2
Análisis estructural II
Hallar la matriz de compatibilidad de los pórticos: n = # pisos
Resolviendo: Ri P
Para el pórtico 1: αP = 90°
Análisis estructural II
Para el pórtico 2: αP = 90°
Para el pórtico 3: αP = 90°
Para el pórtico 4: αP = 90°
Para el pórtico A:
Análisis estructural II
Para el pórtico B: αP = 0°
Para el pórtico C:
Para el pórtico D:
Para el pórtico E:
Análisis estructural II
PÓRTICO A:
Hallar el desplazamiento lateral {d}:
{d} e = ⦋A⦋e {D}
139892,88
-70009,56 0 -34973,22 17502,39 0
-70009,56 122516,73 -52507,17 17502,39 78760,755 8751,195 0 -52507,17 52507,17 0 -96263,145 -8751,195
-34973,22 17502,39 0 6448859,14 -
2776941,02 0
17502,39 78760,755 -96263,145 -
2776941,02 4419250,24 -130308840
0 8751,195 -8751,195 0 -130308840 130326343
Análisis estructural II
Ejemplo #4:
Hallar las fuerzas y Desplazamientos laterales de los pórticos del edificio:
Análisis estructural II
3 G.D.L
PISO 1 PISO 2
PISO TIPICO 2 NIVELES
SI:
PORTICO A y B PORTICO 1 PORTICO 2
PORTICO A y B
Análisis estructural II
α =Cos-1
(3/13.34) = 77°
Para el pórtico A: αP = 0°
Para el pórtico B: αP = 0°
Análisis estructural II
{d} e = ⦋A⦋e {D}
PÓRTICO A:
Hallar el desplazamiento lateral {d}:
{d} e = ⦋A⦋e {D}
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