1Animaciones tomadas de: Wikipedia y http://zonalandeducation.com/mstm/physics/waves/partsOfAWave/waveParts.htm#pictureOfAWave
ONDAS
Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera, Pablo Muñiz, José A. de Toro and Peter Normile
Departamento Física Apolicada. UCLM
2
Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo.
Ondas transversales: Las oscilaciones ocurren perpendicularmente a la dirección de propagación en que se transfiere la energía de la onda. Así ocurre por ejemplo en una onda viajera en una cuerda tensa, en este caso la magnitud que varía es la distancia desde la posición horizontal de equilibrio.
Ondas longitudinales: Aquellas en que la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración. Así el momvimiento de las partículas del medio es o bien en el mismo sentido o en sentido opuesto a la propagación de la onda. Por ejemplo, la propagación del sonido en un fluido: lo que cambia en este caso es la presión en el medio.
Vibración
PropagaciónVibraciónPropagación
Algunas ondas transversales, las ondas electromagnéticas, pueden propagarse en el vacío. Sin embargo, las ondas longitudinales se propagan solo en medios materiales.
3
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
tvxfy Ecuación de ondas
Signo +
La onda viaja hacia la derecha
La onda viaja hacia la izquierda
Signo -
Espacio Tiempo
Velocidad de fase
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
X
Y
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
X
Y
tvxfy
tvxfy
Forma de onda (perfil) f
Forma de onda (perfil) f
La ecuación de onda describe una onda viajera si está presente el grupo (x vt). Esta es una condición necesaria. (El término onda viajera se usa para enfatizar que nos referimos a ondas que se propagan en un medio, caso distinto del de las ondas estacionarias que se considerarán después.
4
Ecuación de onda 244
tvxy
donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s
Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
x (m)
y (m) t = 0
t = 5t = 10
EJEMPLOS
Ejemplo 1: pulso viajero
Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.
El pulso se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) a razón de 0.50 m/s
5
Ecuación de onda 221
2sentxtxy
donde x, y están en m, t en s
Gráfica de y en función del tiempo (instantánea)
Ejemplo 2: pulso viajero
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
x (m)
y (m)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
-0,1
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
t = 0
t = 2
t = 4
Cada perfil indica la forma del pulso
para el tiempo señalado.
Escribamos la ecuación de onda de modo que el grupo x+v·t aparezca explícitamente
2
241
22sen
tx
txy
Este pulso se mueve hacia la izquierda (sentido negativo del eje X) a razón de 0.50 m/s. Véase que vt = t/2.
EJEMPLOS / 2
6
Onda armónica moviéndose hacia la derecha
tvxAy 2sin
y
x
Ecuación de onda
tvxAy 2cos
o
ONDAS ARMÓNICAS
Podemos elegir cualquiera de las dos formas añadiendo una fase inicial 0 al argumento de la función…
Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno. ?
… lo que significa que elegimos el inicio de tiempos a nuestra conveniencia.
Una cosa más
Siempre que una onda armónica se propaga en un medio, cada punto del mismo describe un movimiento armónico.
0xx
Por ejemplo: Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su ecuación en forma coseno, entonces 0 = 0 y nos queda
2/2sin
tvxAy
002cos
tvxtyx
y
2/0
02cos
tvxAy
Esto describe exactamente la misma onda
tvxAy 2cos
¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda usando la ecuación para el seno?
Respuesta:
Recordatorio: cos2/sin cos2/cos sin2/sin
Perfil de onda en t = 0
y depende sólo del tiempo
0xx es una distancia
7Dependencia temporal en x = x0
t
y
Perfil de onda para t = t0
y
x
ONDAS ARMÓNICAS / 2
02cos
tvxAy
Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno)
Velocidad de fase
Espacio Tiempo
Recordatorio: la función coseno es periódica, verificando que.
Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad
Ttftf
Periodo
02cos
tvxAy
Fase
Amplitud
Fase inicial
Desplazamiento
1tt
10 , txy
2tt
20 , txy
T
T
espacio
tiempo
Valle
Cresta
A
-A
01, txy
1xx
02 , txy
2xx
Puntos en fase
Longitud de onda
Period
Foto instantánea Gráfica posición / tiempo
8
(s) t2
2(m) x
ONDAS ARMÓNICAS / 3
Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno)
Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A. Longitud de onda : distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es 2. . Número de ondas k: número de ondas contenido en una vuelta completa (2 radianes). A veces se le llama número de ondas angular o número de ondas circular.
m 3/2 1-m 3
3/222
k
Unidades S.I.: rad/m, pero a menudo se indica solo m-1.
1st onda 2nd onda 3rd onda
Periodo T: tiempo que tarda la fase de la onda armónica en aumentar 2 radianes.
Frequencia f: inversa del periodo. La frecuencia nos dice el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Unidades S.I.: s-1 (1 s-1 = 1 Hz).
Frecuencia angular : número de oscilaciones en un intervalo de fase de 2 radianes.
2
k
fT
22
Tf 1
La velocidad de fase está dada porkT
v
02cos
tvxAy
Velocidad de fase
Espacio Tiempo
Amplitud
Fase inicial
Desplazamiento
02cos
tvxAy
Fase
En función del número de ondas y de la frecuencia angular, la ecuación de onda se escribe como
txkAy cos rad/s 82
THz 41
Tf
s 4/T
9
ONDAS ARMÓNICAS / 4
txkAy cos La ecuación describe una onda plana
Frentes de ondaCada punto x = cte describe un movimiento armónico simple
Y
tCTEAy cos
X
tAy cos
10
Onda armónica txy cos
Ejemplo 3: onda armónica viajera
donde x, y están en m, t en s
Comparar con
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
x (m)
y (m)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
t = 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
t = 2
t = 1
Hz s 211 1-
Tf
s 2T
m 2
EJEMPLOS / 3
Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 1.00 m/s
m/s 1m 1
rad/s 11-
kv
txkAy cos 2m 1 1- k
T 2rad/s 1
m 1A m/s 1m 2m 2
Tv
11
Onda armónica txtxy 2sin2cos
Ejemplo 4
donde x, y están en m, t en s
EJEMPLOS / 4
x (m)
y (m)
2t0t 4t
Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 0.50 m/s
Número de ondas y frecuencia
rad/s 1
tkxtkxy sincos
-1m 2k
m 2 k
s 22
T
1-s 211
T
f
m/s 5.0m 2
rad/s 11-
kv
Velocidad de fase
Comparando A = 1 m, y
12
VELOCIDAD DE LAS ONDAS MECÁNICAS
Tv
Bv
Yv
LLAFY
//
relativo toalargamienárea de unidadpor fuerza
VVPB/ volumendevariación
presión
Las ondas mecánicas necesitan un medio material para propagarsey su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio.
Fluidos densidad del fluido (kg/m3)Módulo de compresibilidad
Solidos densidad del sólido (kg/m3)Módulo de Young
Cuerda tensa
densidad lineal de masa (kg/m) (N) cuerda la detension T
VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO
txkAy cos
txkAtyy sin
yAtxkAtyy cos 222
2
Velocidad máxima Ay max
Aceleración máxima Ay 2
max
13
LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA
Cada sección de la cuerda (masa m) oscila hacia arriba y abajo debido a la energía transportada por la onda.
Consideremos una onda transversal en una cuerda.Según la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma describe un movimiento armónico.
x x
mA
A partir de la ecuación de onda, obtenemos para el elemento m en la posición fija x0
txkAy cos 0
Puesto que en un punto fijo k.x0 es constante, podemos escribir que
tAy cos
Esta es la ecuación del movimiento armónico descrito por el elemento de masa m. La frecuencia angular de ese movimiento es .
Recordemos que la energía de una masa m en un movimiento armónico de frecuencia angular y amplitud A está dada por
0x
2 21 AmE
Velocidad máxima
Sea la masa de la cuerda por unidad de longitud x xm
xAE 21 22
tvx
tvAE 21 22
Potencia transmitida por la onda
21 22 vA
tEE
Unidades: Julio/s = watio
14
TRANSMISIÓN DE INFORMACIÓN
Onda senoidal
AM
FM
15
EL SONIDO
Sistema mecánico vibrante. Variaciones de densidad en el medio
Frecuencia de vibración característica(depende del sistema)
Onda mecánica. Transporte de energía
P
Mayor amplitud de vibración
Menor amplitud de vibración
A
A
16
330
335
340
345
350
355
360
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Velocidad del sonido en el aire en funcion de la temperatura
v (m/s)
T (C)
Figura 1
EL SONIDO / 2
Máximos de presión
Mínimos de presión
ONDAS DE PRESIÓN
La velocidad del sonido aumenta cuando aumenta la rigidez del medio.
Sólidos
Líquidos
Gases
Vel
ocid
ad d
el so
nido
17
LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS SONORAS
En el sonido la vibración de las partículas ocurre en la misma dirección de la transmisión de la onda: son ondas longitudinales. A la vibración de las partículas del medio les corresponden desplazamientos s(x,t) cuyo valor máximo llamaremos aquí s0:
2/ cos , 0 txkstxsEn la transmisión del sonido, la masa vibrando en cada punto será la que corresponda al volumen elemental V que contiene a dicho punto, esto es m = ρ V. La energía asociada con esta vibración es:
A tales desplazamientos les corresponden variaciones de presión alrededor de un valor de equilibrio p0, que se encuentran desfasadas /2 rad respecto a ellos
txkptxp cos , 0
donde 00 svp 22
0 21 smE 22
0 21 sV
En términos de energía por unidad de volumen
220
21 s
VE
Energía movimiento armónico
18
INTENSIDAD DE LAS ONDAS: APLICACIÓN AL SONIDO
Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación
AEI
Frentes de ondaRayos
Fuente
rAtV
EVVt
EtEE
r
vAVE
trA
VEE
vVE
AEI
2
1 21 2
0220 v
pvsI
Como la energía por unidad de volumen es
220
21 s
VE
00 svp v
ps
00
19
NIVELES
• Al definir un nivel es preciso indicar la base del logaritmo, la cantidad de referencia y el tipo de nivel (por ejemplo, nivel de presión sonora, nivel de potencia sonora o nivel de intensidad)
• Un NIVEL es el logaritmo de la razón de una cantidad dada respecto de una cantidad de referencia del mismo tipo.
010log10
WWLW
Potencia de referencia: W0 = 10-12 W)120log10(10
log10 1210
WWLW
Nivel de potencia sonora: Emisión de sonido por una fuente
010log10
IILI
Intensidad de referencia: I0 = 10-12 w/m2
• Umbral de audición: 10-12 w/m2 (0 dB)• Umbral de dolor: 1 w/m2 (120 dB)
Nivel de intensidad sonora: Recepción del sonido de una fuente
)120log10(10
log10 1210
IILI
20
010log10
IILI
0102
2log10IIL I 2log10log10 10
010
II dB 33log10
010
IL
II
NIVELES: EJEMPLO
a) Si se dobla la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?b) Si se multiplica por 10 la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad?
Se dobla la intensidad
01010
10log10I
IL I 10log10log10 100
10
II dB 1010log10
010
IL
II
Se multiplica por 10 la intensidad
21
EL ÓRGANO DEL OÍDO
22
UMBRALES de AUDICIÓN: MAF y MAP. SENSIBILIDAD DEL OÍDO A DISTINTAS FRECUENCIAS
UMBRAL DE MÍNIMO CAMPO AUDIBLE (MAF)Es el nivel de presión sonora del umbral de audición en jóvenes adultos con audición normal, medido en un campo libre (es decir, aquel campo de sonido en que la onda sonora se propaga a partir de la fuente sin efectos apreciables de límites ni obstáculos).Se determina para tonos puros, con el oyente frente a la fuente, y escuchando con ambos oídos.UMBRAL DE MÍNIMA PRESIÓN AUDIBLE (MAP)Es el nivel de presión sonora del umbral de audición en jóvenes adultos con audición normal, medido mediante la exposición de un oído al sonido a través de auriculares (la mayoría de las medidas de umbrales se llevan a cabo con auriculares, por ejemplo en audiometrías).
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
10 100 1000 104
Area de sensibilidad auditiva
MAF ISO
MAP ANSI
Frecuencia (Hz)
dB
Umbral de malestar Umbral de dolor
23
Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor.
EFECTO DOPPLER
Fuente y receptor en reposo Fuente moviéndose hacia el receptor
Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es mayor que la frecuencia de emisión.
Fuente alejándose del receptor
Sucesivas ondas emitidas en intervalos de tiempo iguales
24
EFECTO DOPPLER (2)
ss
r fuv
vf
v velocidad de la onda
fr frecuencia que mide el receptor
fs frecuencia de la fuente
Subíndice s (fuente)
Subíndice r (receptor)
Alejamiento: signo +Acercamiento: signo
us velocidad de la fuente
Ejemplo. Un tren pasa por una estación a una velocidad de 90 km por hora. La frecuencia del silbato del tren es 1320 Hz. ¿Qué frecuencia percibirá una persona en el andén de la estación cuando el tren se acerca y cuando el tren se aleja? Suponemos que la velocidad del sonido es de 340 m/s.
m/s 25km/h 90 v
rfsf
su
rf
Hz 8.1424132025340
340
rfAcercándose
Hz 6.1229132025340
340
rfAlejándose
25Galaxia de Andrómeda
Galaxia de Pegaso
EFECTO DOPPLER (3)
El desplazamiento al rojo
26
ONDAS ESTACIONARIASUna onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de iguales amplitudes y frecuencias que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio.
Pero una onda estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su ecuación no contiene términos de la forma (k x - t).
Ejemplo sencillo de formación de ondas estacionarias: una onda viajera transversal que se propaga hacia la derecha () en una cuerda tensa fija por sus extremos. Esta onda se refleja en el extremo derecho y da lugar a una nueva onda que se propaga hacia la izquierda (). Su combinación puede formar ondas estacionarias.
Onda incidente, direccion (): )cos(1 tkxAy
Cuando la onda viajera viajando hacia la derecha se refleja en el extremo, su fase cambia radianes (se invierte).
Onda reflejada, direccion (): )cos(2 tkxAyT
fk 22 2
)cos(sin)sin(cos)cos()cos(2 tkxAtkxAtkxAtkxAy
)cos(1 tkxAy
)cos(2 tkxAy
tkxAtkxA sinsincoscos
tkxAtkxA sinsincoscos
tkxAtkxAtkxAyyy sinsin2)cos()cos(21
Cada punto de la cuerda tensa vibra describiendo un movimiento armónico de amplitud 2A sen kx: la amplitud de esta vibración depende de la posición, pero no del tiempo, pues el grupo kx-t no aparece. No es una onda viajera.
27
Como los extremos de la cuerda están fijos, la amplitud de vibración de tales puntos debe ser nula. Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes condiciones se deben verificar en todo momento:
¿Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y número de ondas?
NO!
00sin20
Ayx
0sin2
kLAyLx
nL
22nL
La igualdad L = n/2 significa que sólo aparecerán ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L sea un múltiplo entero de media longitud de onda.
T
Lnfn 2
nL
n2
ONDAS ESTACIONARIAS / 2
tkxAyyy sinsin221
,...3,2,1nnkL
Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que
nL
n2
Lvnfn 2
A partir de la relación entre frecuencia y longitud de onda f = v/, donde v es la velocidad de propagación,
nn
vf
Tv La velocidad es ...3 ,2 ,1n
n = 1 f1 frecuencia fundamental
n > 1 fn armónicos superiores
Nod0Nodo Nodo Nodo Nodo
Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo
Ejemplo:4o armónico
n = 4n+1 nodosn antinodos
28
Onda estacionaria en una cuerda
7th ARMÓNICO
Pesas para tensar la cuerda
n = 1 f1 Frecuencia fundamental
n = 2 f2 2º armónico
n = 3 f3 3er armónico
ONDAS ESTACIONARIAS / 3
29
ONDAS ESTACIONARIAS / EJEMPLO
Dos ondas viajeras de 40 Hz se propagan en sentidos opuestos a través de una cuerda tensa de 3 m de longitud dando lugar al 4º armónico de una onda estacionaria. La densidad lineal de masa de la cuerda es 510-3 kg/m.
nn
vf
Tv
m 5.14322
4
nL
n
4o armónico n = 4 de L = n/2 se obtiene
a) Calcular la tensión de la cuerda
m/s 605.14044 fv
N 1860105 232 vT
b) La amplitud de los antinodos es
4 sinsin2 ntxkAy nnn
3.25 cm. Escribir la ecuación de este armónico de la onda estacionaria
1-
44 m
5.122
k
rad/s 80 2 nn f
cm 25.32 A
(cm) 80sin 5.1
2sin25.3 txy
c) Calcular la frecuencia fundamental.
11
vf
m 61
321
La velocidad de propagación es constante, y la frecuencia fundamental cumple que
Hz 106
60
11
vf (Todos los armónicos son múltiplos enteros de la frec. fundamental, luego f4 = 4 f1)
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