ANÁLISIS DE CONVERSIÓN Y TRATAMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA.
FRAN HEYDERMAN ESTUPIÑAN SINISTERRA
Cód: 1249909-3469
MILADY OROBIO VALLECILLA
Cód: 1252796-3469
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
2017
ANÁLISIS DE CONVERSIÓN Y TRATAMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
TRABAJO DE GRADO COMO REQUISITO PARA OPTAR TÍTULO DE:
LICENCIADO EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
FRAN HEYDERMAN ESTUPIÑAN SINISTERRA
Cód. 1249909-3469
MILADY OROBIO VALLECILLA
Cód. 1252796-3469
DIRECTORES:
DIANA MARCELA LOURIDO GUERRERO
ANDREA QUIÑONEZ RODRIGUEZ
UNIVERSIDAD DEL VALLE
INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA
ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN BÁSICA CON ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS
2017
AGRADECIMIENTOS
Primero, gracias a Dios por darme la vida y por haber permitido tener la oportunidad de vivir esta
experiencia.
A mi madre Carmen Tulia Sinisterra Murillo y mi padre Robinson Estupiñán Riascos por toda la
confianza y esfuerzo que han depositado en mí, por hacerme crecer cada día como persona, estoy seguro
que no me alcanzaría la vida para agradecerles todo lo que han hecho.
A mis hermanos y familiares por su apoyo incondicional.
A mi novia por la confianza que tiene en mí y por las incesantes noches en que me acompañó para el
desarrollo de este trabajo.
Al profesor José Francisco Vallecilla por su entrega, porque desde los primeros cursos me enseñó para
la vida, es mi segundo padre.
A las profesoras Diana Marcela Lourido y Andrea Quiñonez Rodríguez mi maestra, mi sensei por creer
en este trabajo y hacer de él un trabajo completo.
A los miembros de la institución educativa Francisco José de Caldas por su colaboración en el
desarrollo de este trabajo.
A mis amigos y compañeros que han creído en mí y que estuvieron siempre ahí cuando sentía alguna
adversidad
Fran Heyderman Estupiñan Sinisterra.
AGRADECIMIENTOS
Ante todo quiero agradecerle a Dios, por darme el maravilloso don de la vida.
En segundo lugar a mis padres Hubermán Orobio y Cenovia Vallecilla, por su apoyo incondicional, por
creer en mi desde los inicios de mis estudios.
A mis hijos Loidy Valeria y Maicol Efrén, por ser el motor de mi vida y por darme las fuerzas necesarias
que me impulsan a superarme cada día.
A mis hermanos por estar siempre en mi vida cuando más los he necesitado y darme ánimos para seguir
a delante y no mirar hacia atrás.
A mis compañeros, porque pude compartir con cada uno de ellos y aprender algo diferente y
experimentar el amplio mundo de las matemáticas, en especial a Fran Heyderman Estupiñan por siempre
recordarme que podía ser mejor.
A todos los profesores que nos acompañaron a lo largo de toda nuestra formación académica, a la
profesora Diana Lourido, a nuestra tutora Andrea Quiñones por haberse comprometido con nuestro
trabajo y tener un producto terminado.
Por último quiero agradecerles a todas esas personas que me acompañaron de forma presente y ausente
y que se sintieron alagadas cuando les decía que, estaba estudiando para ser docente de matemáticas.
Milady Orobio Vallecilla
FICHA GENERAL DEL TRABAJO
Título del trabajo de grado Análisis de conversión y tratamiento para la resolución de
ecuaciones lineales con una incógnita.
Nombres y apellidos de los
autores
1. Fran Heyderman Estupiñán Sinisterra.
2. Milady Orobio Vallecilla.
Correo electrónico 1. [email protected]
Linea de investigación Lenguaje, comunicación y razonamiento del conocimiento
matemático.
Director de trabajo de
grado
Andrea Rodríguez Quiñonez.
Diana Marcela Lourido Guerrero.
Resumen analítico
El presente trabajo presenta un análisis de las estrategias que
utilizan los estudiantes para resolver ecuaciones lineales con una
incógnita. Para dicho análisis se toman los trabajos
desarrollados por Duval (2004) donde enuncia que la
“adquisición” de conocimiento a través de registro de
representación semiótica. El trabajo se centra de forma
específica en las conversiones y los tratamientos teniendo en
cuenta los criterios de congruencia y cada una de las unidades
significantes de los registros: lengua natural, algebraico y
geométrico.
El trabajo se realizó con estudiantes de grado noveno de la
institución educativa Francisco José de Caldas a los cuales se les
aplicó dos pruebas que fueron seleccionadas de secuencias
didácticas diseñadas por Azañero (2013) y de los libros de texto
escolar símbolos (2006) y Espiral (2005). Los resultados
encontrados permitieron identificar que en el cambio de registro
se presentan algunas dificultades en la compresión de las
ecuaciones lineales debido a la no discriminación de las
unidades elementales de cada registro.
Palabras claves: Ecuación lineal, tratamiento, conversión,
unidades apofánticas y elementales, criterios de congruencia y
coordinación.
CONTENIDO
RESUMEN..................................................................................................................................... 1
CAPÍTULO 1. ASPECTOS GENERALES DEL TRABAJO .................................................. 5
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .......................................................................... 5
1.2 ANTECEDENTES ............................................................................................................ 10
1.3 JUSTIFICACIÓN ............................................................................................................. 15
1.4. OBJETIVOS ..................................................................................................................... 27
1.4.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................ 27
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ....................................................................................... 27
CAPÍTULO 2. MARCO DE REFERENCIA CONCEPTUAL .............................................. 28
2.1. ASPECTOS DISCIPLINARES ...................................................................................... 28
2.2 REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA ................................................ 33
CAPÍTULO 3. ASPECTOS METODOLÓGICOS ................................................................. 58
3.4 CRONOGRAMA .............................................................................................................. 62
CAPÍTULO 4.ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES .............................................................. 63
4.1 ACTIVIDAD 1 ................................................................................................................... 63
4.2 ACTIVIDAD 2 ................................................................................................................... 99
CAPÍTULO 5. CONSIDERACIONES FINALES ................................................................. 146
5.1. CONCLUSIONES .......................................................................................................... 146
5.2. RECOMENDACIONES: .............................................................................................. 149
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 151
ANEXOS .................................................................................................................................... 154
INDICE DE TABLAS
Tabla 1. Distribución porcentual de estudiantes según niveles de desempeño en la francisco josé de caldas b/tura.
Matemáticas - noveno grado............................................................................................................................... 21
Tabla 2. Comparación entre la distribución porcentual de estudiantes según niveles de desempeño en el
establecimiento educativo, la entidad territorial certificada a la que pertenece y el país. Matemáticas - noveno
grado. .................................................................................................................................................................. 22
Tabla 3. Fortalezas y debilidades en las competencias evaluadas en matemáticas en la ie francisco josé de caldas,
noveno grado. ..................................................................................................................................................... 23
Tabla 4. Puntaje promedio y desviación estándar del establecimiento educativo, la entidad territorial certificada a
la que pertenece, el país y los tipos de establecimientos de dicha entidad territorial. Matemáticas - noveno
grado. .................................................................................................................................................................. 24
Tabla 5. Fortalezas y debilidades de los componentes evaluados en matemáticas en la ie francisco josé de caldas,
noveno grado. ..................................................................................................................................................... 24
Tabla 6. Ejemplo de las transformaciones de las presentaciones semióticas que se pueden realizar en matemáticas.
............................................................................................................................................................................ 48
Tabla 7.clasificación de los diferentes tipos de registros movilizados en matemáticas. (duval, 2004b, p.52) ............ 49
Tabla 8. Operaciones de la función referencial y sus formas asociadas (duval, 2004, p. 100). ................................. 52
Tabla 9. Formas asociadas a la función de expansión discursiva (duval, 2004, p.119) ............................................. 56
Tabla 10. Formato de rejilla para el análisis de los enunciados. Pontón (2012). ...................................................... 60
Tabla 11. Formato de rejilla para el análisis de los aspectos semiótico y disciplinares. ........................................... 61
Tabla 12. Rejilla para el análisis de las producciones creada por los estudiantes. .................................................... 61
Tabla 13. Cronograma de actividades ........................................................................................................................ 62
Tabla 14. Segmentación del enunciado 1. ................................................................................................................... 64
Tabla 15. Segmentación de la pregunta 1.a. ............................................................................................................... 65
Tabla 16.segmentación de la pregunta 1.b. ................................................................................................................. 66
Tabla 17. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 1.a y 1.b. ............................................................. 67
Tabla 18. Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la actividad. 1, preguntas 1.a, 1.b. ................ 69
Tabla 19. Segmentación de la pregunta 1.c actividad 1. ............................................................................................. 72
Tabla 20. Segmentación de la pregunta 1.d. Actividad 1. ........................................................................................... 73
Tabla 21. Segmentación de la pregunta 1.e. Actividad 1. ........................................................................................... 74
Tabla 22. Segmentación de la pregunta 1.f. Actividad 1. ............................................................................................ 75
Tabla 23. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 1.c, 1.d, 1.e y 1.f. ................................................. 77
Tabla 24. Operaciones cognitivas desarrolladas a los preguntas 1.c, 1.d, 1.f y 1.e actividad 1. ............................... 80
Tabla 25. Segmentación del enunciado 2. ................................................................................................................... 83
Tabla 26. Segmentación de la pregunta 2.a. Actividad 1. ........................................................................................... 84
Tabla 27. Operaciones cognitivas desarrolladas en la pregunta 2.a .......................................................................... 86
Tabla 28. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.a. Actividad 2. ........................ 88
Tabla 29. Segmentación del enunciado 3. Actividad 1. ............................................................................................... 90
Tabla 30. Segmentación de la pregunta 3.a. Actividad 1. ........................................................................................... 91
Tabla 31. Segmentación de la pregunta 3.b. Actividad 1. ........................................................................................... 91
Tabla 32.segmentación de la pregunta 3.b. Actividad 1. ............................................................................................. 92
Tabla 33. Operaciones cognitivas desarrolladas a las preguntas 3.a, 3.b, 3.c. Actividad 1. ...................................... 93
Tabla 34.operaciones cognitivas de las preguntas 3.a, 3.b y 3.c desarrollada por los estudiantes. Actividad 1. ....... 97
Tabla 35. Segmentación del enunciado 1. Actividad 2. ............................................................................................. 100
Tabla 36. Segmentación de la pregunta 1.a. Actividad 2. ......................................................................................... 101
Tabla 37. Segmentación de la pregunta 1.b. Actividad 2. ......................................................................................... 102
Tabla 38. Segmentación de la pregunta 1.c. Actividad 2. ......................................................................................... 103
Tabla 39. Operaciones cognitivas desarrolladas a las preguntas 1.a, 1.b, 1.c. Actividad 2. .................................... 104
Tabla 40. Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.a. Actividad 2. ....................... 107
Tabla 41.actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.b. Actividad 2. ......................... 109
Tabla 42. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.c. Actividad 2. ...................... 112
Tabla 43. Segmentación del enunciado 2. Actividad 2. ............................................................................................. 113
Tabla 44. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 2.a, 2.b, 2.c. Actividad 2. .................................. 114
Tabla 45. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes al problema 2.a. Actividad 2. ........................ 118
Tabla 46. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.b. Actividad 2. ...................... 121
Tabla 47. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.c. Actividad 2. ...................... 123
Tabla 48. Segmentación del enunciado 3. Actividad 2. ............................................................................................. 126
Tabla 49.operaciones cognitivas desarrolladas a los problemas 3.a, 3.b. Actividad 2. ............................................ 128
Tabla 50. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes al problema 3.a. Actividad 2. ........................ 131
Tabla 51. Operaciones cognitivas desarrollada por los estudiantes a la pregunta 3.b. Actividad 2. ....................... 133
Tabla 52. Segmentación del enunciado 4. Actividad 2. ............................................................................................. 135
Tabla 53. Segmentación del problema 4.a. Actividad 2. ........................................................................................... 135
Tabla 54. Operaciones cognitivas desarrolladas a la pregunta 4.a. Actividad 2. ..................................................... 137
Tabla 55. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 4.a. Actividad 2. ..................... 140
Tabla 56. Segmentación del problema 4.b. Actividad 2. ........................................................................................... 141
Tabla 57. Operaciones cognitivas desarrolladas a la pregunta 4.b. Actividad 2. ..................................................... 142
Tabla 58. Operaciones cognitivas desarrolla por los estudiantes al problema 4.b. Actividad 2. ............................. 144
ÍNDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1. Diagrama conceptual de las expresiones algebraicas, los polinomios y las ecuaciones. ..................... 32
Ilustración 2. Esquema general de los tratamientos en matemáticas. ......................................................................... 41
Ilustración 3.diferentes tipos de actividad cognitiva en las matemáticas. Duval (2002b, p.54) ................................. 48
Ilustración 4. Pregunta 1. Actividad 1 ......................................................................................................................... 63
Ilustración 5. Respuesta de estudiante que responde la pregunta 1.b según azañero (2013). .................................... 72
Ilustración 6. Conversión de la pregunta 1.c. ............................................................................................................. 77
Ilustración 7. Problema 2, actividad 1. ....................................................................................................................... 82
Ilustración 8. Pregunta 3. Actividad 1 ......................................................................................................................... 89
Ilustración 9.no congruencia por el orden de unidades significantes. ........................................................................ 94
Ilustración 10. Pregunta 1. Actividad 2. ...................................................................................................................... 99
Ilustración 11. Orden de arreglo entre las unidades elementales del problema 1.a. Actividad 2. ............................ 105
Ilustración 12. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 1.b. Actividad 2. .............................. 105
Ilustración 13. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 1.c. Actividad 2. .............................. 105
Ilustración 14. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.a. Actividad 2. ................................ 115
Ilustración 15. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.b. Actividad 2. ................................ 115
Ilustración 16. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.c. Actividad 2. ................................ 115
Ilustración 17. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.d. Actividad 2. ................................ 116
Ilustración 18. Posible solución a la pregunta 2. B. Actividad 2. ............................................................................. 121
Ilustración 19.orden de arreglo de las unidades elementales en la pregunta 3.a. Actividad 2. ................................ 129
Ilustración 20. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 3.b. Actividad 2. .............................. 129
Ilustración 21. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 4.a. Actividad 2. ................................ 137
Ilustración 22. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 4.b. Actividad 2. ................................ 143
Ilustración 23. Estudiante resolviendo la actividad 1 .............................................................................................. 157
Ilustración 24. Estudiante resolviendo la actividad 1. .............................................................................................. 157
Ilustración 26. Estudiante resolviendo la actividad 2. .............................................................................................. 157
Ilustración 25. Estudiante resolviendo la actividad 2. .............................................................................................. 157
1
RESUMEN
El presente trabajo presenta un análisis de las estrategias que utilizan los estudiantes para
resolver ecuaciones lineales con una incógnita. Para dicho análisis se toman los trabajos
desarrollados por Duval (2004) donde enuncia que la “adquisición” de conocimiento a través de
registro de representación semiótica. El trabajo se centra de forma específica en las conversiones
y los tratamientos teniendo en cuenta los criterios de congruencia y cada una de las unidades
significantes de los registros: lengua natural, algebraico y geométrico.
El trabajo se realizó con estudiantes de grado noveno de la institución educativa
Francisco José de Caldas a los cuales se les aplicó dos pruebas que fueron seleccionadas de
secuencias didácticas diseñadas por Azañero (2013) y de los libros de texto escolar símbolos
(2006) y Espiral (2005). Los resultados encontrados permitieron identificar que en el cambio de
registro se presentan algunas dificultades en la compresión de las ecuaciones lineales debido a la
no discriminación de las unidades elementales de cada registro.
Palabras claves: Ecuación lineal, tratamiento, conversión, unidades apofánticas y elementales,
criterios de congruencia y coordinación.
2
INTRODUCCIÓN
A partir de diferentes investigaciones diseñadas a luz de la comprensión de los objetos
matemáticos se enmarca la teoría semiótica-cognitiva, donde se manifiesta que no es posible
acceder a la comprensión de un objeto matemático sin el uso ineludible de una representación.
En muchos contextos de enseñanza es muy común ver que cuando se inician procesos
algebraicos, se utilizan métodos que provienen del pensamiento aritmético y dichas expresiones
genera no comprensión de nuevos objetos matemáticos como por ejemplo las ecuaciones lineales
con una incógnita como menciona Castellanos y Obando (2009), por ello, se presenta la siguiente
investigación la cual indaga sobre los procesos que utilizan los estudiantes para resolver
ecuaciones lineales desde la perspectiva semiótica cognitiva. Ante ello, se hace una investigación
cuyo producto se presenta en cinco capítulos los cuales se presentan a continuación:
El capítulo 1 muestra una descripción de los aspectos generales de la investigación, las
características del funcionamiento cognitivo en el aprendizaje de las matemáticas y puntualmente
del aprendizaje del álgebra, particularmente se puntualiza la dificultad evidenciada en cuanto al
signo y el sentido del aprendizaje de las ecuaciones lineales donde la teoría semiótica-cognitiva
contribuye como mediadora para identificar los elementos que permiten la compresión del objeto
matemático en cuestión. Por otra parte, se presentan algunos estudios en relación al concepto de
estudio y los errores de la perspectiva semiótica-cognitiva por Azañero (2013), las propuestas
por Castellanos y Obando (2009) muestran un reconocimiento a las dificultades cuando se
resuelven ecuaciones lineales. Además, se aborda una reflexión teniendo en cuenta los
lineamientos curriculares propuestos por el MEN (1998) y los estándares básicos de
competencias por el MEN (2006) en torno a la actividad matemática donde se muestra la
importancia de los registros de representación semiótica en el aprendizaje de las matemáticas.
3
Luego de ello, se presentan algunos resultados de las pruebas Saber que presentan los estudiantes
de grado noveno de la Institución Educativa Francisco José de Caldas ubicada en el distrito de
Buenaventura.
En el capítulo 2 se desarrollan aspectos propios del álgebra como disciplina teniendo en
cuenta aportes de teóricos de Fraleigh (1967) donde se define las propiedades de las ecuaciones
polinómicas, en cuanto a la reflexión disciplinaria de la matemática y puntualmente de las
ecuaciones lineales, se hace un análisis de la teoría de las representaciones semióticas en el
aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas, teoría desarrollada por Duval (2002,
2004,2004b). En la descripción de este constructo teórico, se comenzó haciendo hincapié en el
concepto de representación en la historia de la Educación Matemática. Luego de ello, se esbozan
los tipos representación en el aprendizaje, seguido esto, se aborda una reflexión sobre los
registros de representación las representaciones semióticas que se desarrollan en el marco de la
actividad matemática. Seguido esto, se presentan algunas características de los registros de
representación semiótica y sus actividades cognitivas en matemáticas y específicamente en el
álgebra y algunos problemas para cambiar de registro. Por último, se definen las funciones
propias de la lengua natural y la descripción de cada una de éstas.
El desarrollo del capítulo 3 corresponde a la descripción de la metodología desarrollada
en el transcurso de la investigación. En ella, se caracterizó la población, se especificaron los
criterios para la selección de las actividades y las categorías que se desarrollaron para tener un
compendio de elementos que fueron estudiados en el análisis.
En el desarrollo del capítulo 4 concierne al análisis de las actividades se tomó en consideración
la rejilla de Pontón (2012) para segmentar las unidades apofánticas que componen un enunciado.
4
Luego de ello, se desarrolla un análisis semiótico teniendo en cuanta las operaciones cognitivas
posibles para el desarrollo de las preguntas seleccionadas, posterior a esto, se presenta los
criterios de congruencia entre los dos registro que permitieron la conversión y por último se
describe la solución que proponen los estudiante a cada uno de los ítems planteados donde se
analizaron cada una de las unidades elementales a la hora de realizar conversiones o tratamientos
bien sea el caso que proponen los estudiantes y una interpretación de las transformaciones que se
obtuvieron teniendo en cuenta los discursos de las actividades. El capítulo 5 corresponde al
planteamiento de algunas consideraciones finales en las que se abordan conclusiones
concernientes al trabajo realizado y varias recomendaciones para nuevas investigaciones
referentes a este campo de estudio.
5
CAPÍTULO 1. ASPECTOS GENERALES DEL TRABAJO
1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La Educación Matemática como campo de investigación indaga sobre los fenómenos de
enseñanza y aprendizaje en diversos contextos educativos, describiendo como caso particular,
existe una línea de investigación que se preocupa por el aprendizaje del sujeto cuando este se
enfrenta a situaciones que involucran el uso de las matemáticas, la cual corresponde a la línea de
lenguaje y razonamiento matemático del instituto de Educación y Pedagogía de la Universidad
del Valle. Uno de los investigadores relacionados con el aprendizaje de las matemáticas tomando
en consideración el funcionamiento cognitivo es Raymond Duval el cual manifiesta que:
El funcionamiento cognitivo implicado en la adquisición de los conocimientos
matemáticos es diferente al funcionamiento implicado en el aprendizaje de las otras
ciencias por dos razones: por el uso de representaciones semiótica donde se permiten
realizar algunos tratamientos matemáticos y por otro lado que los objetos matemáticos no
son adquiridos por la percepción como lo son la mayoría de las otras disciplinas. (Duval,
1996, p.1).
De acuerdo a lo anterior, se considera que el funcionamiento cognitivo en matemáticas
puede definirse como el accionar de la mente humana cuando identifica o comprende un objeto
matemático, requiriendo para dicha identificación el uso e interpretación de diversas
representaciones semióticas propias del objeto, la diferenciación significado, significante y la
coordinación entre las representaciones. Ahora bien, estas consideraciones permiten establecer
que, los procesos de aprendizaje en las matemáticas se presentan de forma individual y son
diferentes a otras áreas del conocimiento. Por ello, es pertinente centrarse en la idea que los
6
objetos matemáticos son aprehendidos1 mediante el uso de diversas representaciones semióticas
y es particular en cada sujeto. Se trata entonces de encontrar elementos que permitan avanzar en
la hipótesis: para comprender un concepto matemático se debe identificar el objeto en varios
registros semióticos de representación (lengua natural, tipos de figuras geométricas, íconos,
algebraico, sistemas numéricos, etc.).
En consecuencia, cuando se estudia el aprendizaje del álgebra es indispensable considerar
que en el aprendizaje de ésta se presentan dificultades debido a una oposición entre las
demarches2 algebraicas las cuales conduce a desarrollar dos tipos de problemas en la enseñanza
de las matemáticas relacionadas con los signos y el sentido. Duval (2002, pp 1-2). Tal como
ilustra Davis (como citado en Socas & Palarea, 1994) no hay una diferenciación entre el
significado y el significante.
“se plantean situaciones a los estudiantes en las que se les hace difícil dar respuestas
legítimas, estas dificultades está relacionada con la distinción entre la adición aritmética,
donde “+” es una pregunta o un problema (3 + 7) y la adición algebraica, como en 𝑥 +
7, donde la expresión describe, a la vez, la operación de sumar y el resultado” (p.94).
Al mismo tiempo, en el funcionamiento cognitivo implicado en la resolución problemas
se evidencian métodos algebraicos donde es necesario introducir operaciones cognitivas para el
aprendizaje de las matemáticas, estas operaciones son: de formación la cual permite mostrar en
1 Este término está estrechamente relacionado con el significado de noesis el cual se refiere a conocimiento. En otras
palabras, el término “aprehensión” significa la toma de un conocimiento.
2El término “demarche” es un término del francés que significa procedimiento, pasos que se utilizan para llegar a
algo, pero en este caso no es elección de un proceso metódico ni algorítmico, el término demarche alude a la forma
como el sujeto intenta hacer o realizar sin fijarse en procesos secuenciales.
7
qué registro inicial se representa un objeto matemático, la operación substitutiva de tratamiento,
esta se considera como un cambio de representación por medio de un mismo registro, es decir,
una transformación de la representación interna a un registro de representación o un sistema.
(Duval, 2004, p.44) y la actividad cognitiva de referenciación llamada conversión definida como
“una transformación externa relativa al registro de la representación de partida”. (Duval, 2004,
p.46). Ahora bien, cabe introducir un cuestionamiento: ¿De qué forma se presentan los signos3
relacionados con el uso de las demarches algebraicas? ¿Qué papel juega el primer registro de
representación (actividad de formación) para resolver ecuaciones lineales? ¿Qué actividades son
las que se proponen para ello? ¿Qué tan relevantes resulta ser para los estudiantes hacer estás
transformaciones?
Además, la perspectiva cognitiva que presenta Duval (2004, p. 62) describe que se debe
tener consciencia del objeto matemático más que la representación del objeto. Es decir, el sujeto
debe ser consciente4 de que la representación de un concepto matemático no es siempre la misma
y que esta es sólo una de las formas de conocer el objeto matemático. Así, por ejemplo, cuando
se presenta una ecuación lineal mediante un registro algebraico, el hecho de concluir que la
notación algebraica de este concepto es la única manera en que se puede representar este objeto
es un error, porque los objetos matemáticos se pueden expresar a través de diversos registros de
representación semiótica.
En el caso del álgebra y puntualmente de las ecuaciones lineales con una incógnita más
que proponer la formación del objeto, se necesita que haya una comprensión y discriminación de
3 El concepto que se presenta como signo en este caso concierne a la definición que utiliza Peirce “cualquier cosa
que se tenga, para cualquiera, en lugar de otra cosa”( Duval, 2004b, p.33) 4 Cuando se habla de ser “consciente” se refiere a la acción sujeto cuando identifica, resuelve y comprende el
objeto matemático en más de una representación, en otras palabras corresponde a la función de objetivación que
propone Duval (2004).
8
éste en cuanto a su carácter conceptual. De esto, se infiere que el uso de diversas
representaciones semióticas sea el medio para la comprensión de los objetos. Así, la designación
que se tiene sobre los signos matemáticos influye enormemente en la comprensión de un objeto.
En otras palabras, no basta con la representación única de un concepto matemático para
determinar la comprensión de éste, “se necesitan de varios o al menos dos registros de
representación semiótica para la comprensión de un objeto”. (Duval, 2004, p.27)
Duval (2004) manifiesta que la actividad cognitiva de conversión es la que permite que se
efectúen cambios de registros y como consecuencia, es la actividad cognitiva para la
comprensión de los objetos matemáticos; aunque no se debe dejar de lado que la actividad
cognitiva de tratamiento permite el aprendizaje de los objetos matemáticos porque en ésta se
pueden realizar operaciones de tipo matemático para la solucionar problemas y/o ejercicios.
Seguido a lo anterior, la conversión resulta ser compleja debido al nivel de congruencia que
existe entre los dos registro.
Por último, Duval (2004) manifiesta que el fenómeno de la coordinación entre los
registros de representación semiótica implica toda comprensión conceptual de los objetos. Dicho
en otros términos, la comprensión de los conceptos matemáticos se hace solamente mediante el
vínculo de la coordinación entre diferentes registros de representación semiótica. Esto, conduce
al sujeto cognoscente, ser identificador y diferenciador entre las diferentes representaciones que
un objeto matemático representa; ello arrastra una serie de consecuencias como: caracterizar
cada una de las unidades significantes de un registro y las relaciones entre los registros a realizar
actividades de conversión, discernir entre lo representante y lo representado, ser agente
fundamental de una comprensión integrativa en la que se vinculen varios registros de
representación. En este sentido, la conversión permite que haya un cambio de registro haciendo
9
alusión al mismo objeto matemático, en este caso particular el interés se centra las ecuaciones
lineales con una incógnita.
Del mismo modo, al hacer énfasis en el estudio del álgebra, Kieran & Filloy (1989)
realizan un estudio relacionado con las expresiones algebraicas donde se muestra una transición
entre la aritmética y el álgebra, el cual describe algunos resultados fundamentales que se deben
tener en cuenta en la enseñanza del álgebra. Desde esta perspectiva, ellos plantean que:
El álgebra incide directamente en el pensamiento del estudiantes donde se generan
dificultades debido a los métodos que se utilizaban en aritmética, esta dificultades se
reflejan directamente con: a) su forma de ver el signo igual, b) sus dificultades con la
concatenación y con algunas de las convenciones de notación del álgebra, y c) su falta de
habilidad para expresar formalmente los métodos y los procedimientos que usan para
resolver problemas. También da cuenta, en gran medida, de su interpretación (pp. 229-
230).
En síntesis, en el proceso de aprendizaje se presentan dificultades a raíz de la carencia de
aprehensión conceptual de la ecuación, esto, permite indicar que los errores que presentan los
estudiantes cuando resuelven ecuaciones pueden ser producto de la no discriminación de las
unidades significantes en un registro particular, mucho menos una relación con las unidades
significantes en otros registros de representación semiótica; en el caso de notación algebraica
existe la posibilidad que haya una no comprensión de las categorías de signos que se presentan
en este tipo de representación, por la forma de ver el signo igual y la formalización para llegar a
la solución de una ecuación puede que sus orígenes radiquen en la no identificación de los
10
signos, tipos de signos que subyacen en la representación algebraica referenciando la ecuación
lineal
Por ello, si solo se efectúan procesos aritméticos para la resolución de problemas
algebraicos, se logra un encapsulamiento en un registro semiótico en la resolución de problemas
bajo expresiones aritméticas, que en otras palabras se podría determinar como una comprensión
mono-registro. De ahí, se evidenciarán errores los cuales se consideran de manera general como
procesos equívocos en la resolución de problemas de tipo algebraicos y una posible no
comprensión conceptual de los objetos matemáticos. Por razón de todo lo anterior y las
preguntas mencionadas en el presente escrito, este trabajo aborda el siguiente interrogante:
¿De qué forma los estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Francisco
José de Caldas realizan procesos cognitivos (tratamiento y conversión) para resolver
ecuaciones lineales con una incógnita desde la coordinación de los registros de
representación semiótica?
1.2 ANTECEDENTES
A continuación se presentan algunos trabajos relacionados con el concepto de ecuación
lineal con una incógnita en el marco de la enseñanza y aprendizaje de éstas, en primer lugar se
muestra el trabajo propuesto por Filloy (1993), se evidencian algunas dificultades que presentan
los estudiantes mediante una prueba donde se involucran los sistemas matemáticos de signos. En
segundo lugar, otro estudio a nivel nacional hecho por Castellanos y Obando (2009) muestra las
dificultades que presentan los estudiantes para dar una generalización o una ecuación que surge
producto del análisis desde diferentes situaciones y por último, un trabajo de maestría realizado
11
por Azañero (2013) donde se aborda el concepto de ecuación lineal a partir de una perspectiva
semiótica con el objetivo de identificar los errores y las categorías de éstos.
Algunos estudios abordados en relación con el álgebra muestran diversas estrategias
relacionada con la enseñanza las ecuaciones lineales de primer grado, una de ellas propuesta por
Filloy (1993) el cual indaga sobre las resolución de ecuaciones, la variación proporcional con el
Teorema de Tales y las tendencias cognitivas teniendo en cuenta el uso competente de Sistemas
Matemáticos de Signos (SMS) más abstractos (álgebra). El objetivo general que tiene este
documento es explorar los procesos de abstracción en los estudiantes y su relación con las
nociones teóricas de significado y sentido para los SMS tales como signos geométricos,
algebraicos, aritmético y el lenguaje natural y las posibles relaciones entre éstas a la hora de
resolver ecuaciones lineales con una incógnita para concluir sobre algunos problemas que son
objeto de estudio de acuerdo a la perspectiva de este trabajo. La anterior investigación, es un
estudio de casos, como objeto de estudio se toman a los estudiantes de secundaria de 12-14
1993s de edad en la ciudad de México DC. En el documento se presenta una serie de cuestiones
que pueden ser objeto de estudio sobre los siguientes tópicos: El análisis de la traducción de una
situación problemática de un SMS a otro, manifiestan que las dificultades que se presentan son
de tipo representativo, el desarrollo de la noción de transferencia de los procesos de
descodificación de una situación problemática a otra.5 En síntesis, al aplicar la prueba se tenían
algunas dificultades con el registro algebraico y sus cambios desde los grado inferiores, se podría
decir que los grados que son de algebra inicial, en este caso el grado octavo y los posteriores a
este. De acuerdo al análisis que se realizó sobre el trabajo de Filloy (1993) se puede decir que se
5 Extraído del documento El estudio teórico local del desarrollo de competencias algebraicas, documento elaborado
por Filloy, E., Puig, L., & Rojano, T. (2008). De la página
http://ddd.uab.cat/pub/edlc/02124521v26n3/02124521v26n3p327.pdf el día 18 de Septiembre de 2016.
12
evidencian algunas dificultades para cambiar de registros. Sin embargo, el presente trabajo de
grado que se desarrolló tiene una intención desde una perspectiva semiótica-cognitiva en el
aprendizaje de las ecuaciones lineales más que la producción de signos matemáticos. Es decir, se
desea que los estudiantes describan características pertinentes para identificar el concepto de
ecuación lineal con una incógnita mediante diferentes sistemas semióticos, a saber esto, se desea
que el estudiante describa las propiedades que presentan las ecuaciones lineales en su proceso de
resolución, las operaciones pertinentes entre los signos que representan cantidades conocidas y
desconocidas, identificación de la igualdad, etc.; todo esto, a la luz de diversos registros de
representación semiótica, en cual se pueda hacer un análisis de los enunciados, las operaciones
cognitivas desarrolladas, el nivel de congruencia para solucionar el problema.
Otro estudio como es el caso de Castellanos y Obando (2009), tiene como objetivo
brindar una reflexión de las prácticas didácticas mediante la visualización de dificultades y
errores que se presentan en el álgebra con el fin de construir un cambio en el diseño de las
propuestas curriculares de las instituciones de educación básica y media a nivel nacional. A
partir de este documento se evidencian algunas dificultades en la resolución de ecuaciones
lineales tanto de tipo estructural como operativo evidenciados de la siguiente forma:
Los cambios conceptuales entre la aritmética y el álgebra tienen una importante
incidencia en la consecución de errores. El mayor cambio conceptual en el aprendizaje
del álgebra se centra alrededor de su diferencia con la aritmética especialmente en el
significado de los símbolos e interpretaciones de las letras. (Castellano & Obando, 2009,
p. 11)
13
De acuerdo a lo anterior, se conciben errores en cuanto a la identificación de las unidades
significantes de las ecuaciones lineales y de la significación de la variable. Es decir, no se hace
una discriminación del significado que tienen las letras en la expresión algebraica que se presenta
y las operaciones que se pueden realizar entre las cantidades conocidas y desconocidas. Por
ejemplo, al resolver una expresión algebraica y combinar las operaciones entre las cantidades
conocidas y desconocidas tal como: 20x-2= 18x. Por otro lado, se presentan errores que hacen
hincapié en comprender el significado del signo igual en el pensamiento algebraico, tal como se
puede observar en el siguiente apartado:
En lo que se refiere a la maduración del concepto de igualdad, se presenta un cambio
conceptual aún más crítico… un error bastante frecuente en la resolución de ecuaciones,
es efectuar operaciones en el primer miembro de la misma sin modificar el segundo
(Castellano & Obando, 2009, p. 11-12)
Esta intervención permite identificar algunos errores que son producto de la no
comprensión del concepto de ecuación lineal referente a la no-consciencia de la igualdad entre
dos expresiones que están separadas del signo igual. En este sentido, se aborda el aprendizaje de
la representación algebraica teniendo en consideración recursos académicos que son similares al
trabajo de investigación como la teoría de las representaciones semióticas, algunos errores
pueden ser sustentados desde la perspectiva semiótica-cognitiva ya que están directamente
identificados en la no aprehensión conceptual del objeto, de esta forma se puede decir que desde
la coordinación se puede abordar estas dificultades.
Por último, se presenta un trabajo de maestría “Errores que presentan los estudiantes de
primer grado de secundaria en la resolución de problemas con ecuaciones lineales” Elaborado
14
por Azañero (2013) donde se identifican los errores que cometen los estudiantes de primer grado
de secundaria, en el contexto colombiano “grado octavo” al resolver problemas con ecuaciones
lineales, la autora diseña secuencia de problemas que se resuelven usando ecuaciones lineales
partiendo del tratamiento y de la conversión en los registros algebraico, geométrico y verbal, se
construye una prueba de diagnóstico con la información obtenida y los criterios recogidos del
enfoque cognitivo y didáctico dado por Duval (2004), y se elaboran situaciones-problemas donde
a partir del avance de dichas situaciones, los problemas poseían mayor grado de complejidad,
que se considera deberían resolver los estudiantes. Una parte inicial fue considerar ítems sobre la
conversión específica de registros verbales a algebraicos y viceversa.
De ahí se presentan algunas conclusiones respecto al trabajo, entre ellas se enmarcan que
con la ayuda de la prueba diagnóstica se observó que las estudiantes al resolver las ecuaciones
lineales tenían dificultades al trasponer términos en la adición, sustracción, multiplicación y
división y al sumar expresiones algebraicas racionales, de esto, se puede decir que se observan
dificultades al realizar tratamientos en el registro algebraico. Las estudiantes, en su mayoría, son
capaces de realizar conversiones del registro verbal al algebraico, pero se evidenciaron
dificultades para realizar conversiones del registro algebraico al verbal, entre las dificultades
encontradas se especifican las siguientes:
Se hace uso inadecuado de la variable.
No se logra usar el concepto de perímetro en términos de la variable “x”.
No se pasa del cálculo aritmético al uso de una ecuación.
La representación verbal no corresponde a la representación algebraica.
La representación algebraica no corresponde a la representación verbal.
15
La autora menciona que se deben hacer investigaciones relacionadas con los registros de
representaciones semióticas teniendo como eje central la conversión del registro gráfico al
verbal. Además, construir investigaciones futuras que relacionen la conversión de los registros
algebraicos al verbal, con la creación de enunciados problemas; diseñar investigaciones
integradas con el área de comunicación integral que permitan identificar los tratamientos en el
registro verbal y complementar el análisis de los resultados de las pruebas escritas, con
entrevistas personales que permitan conocer mejor las razones de los errores y aciertos de los
estudiantes.
En resumen, la preocupación por la enseñanza y el aprendizaje de las ecuaciones lineales
con una incógnita ha sido objeto de estudio a nivel nacional e internacional y muestra que se
presentan diversas dificultades que deben ser objeto de estudio ante las propuestas curriculares y
pedagógicas que se proyectan a lo largo del presente siglo. Si bien, los autores mencionaron
varias dificultades concernientes a la crisis del aprendizaje del álgebra puntualmente al
aprendizaje de las ecuaciones lineales, desde la perspectiva semiótica-cognitiva se pueden hacer
grandes avances en el análisis del funcionamiento cognitivo para el aprendizaje de las ecuaciones
lineales.
1.3 JUSTIFICACIÓN
El Ministerio de Educación Nacional, presenta en los Estándares Básicos de
Competencias Matemáticas “EBC” propuestos por el MEN (2006) y los lineamientos
curriculares para la enseñanza de las Matemáticas “LCM” MEN (1998) algunas apreciaciones
referentes al objeto en cuestión. En este sentido, de acuerdo a los LCM se intenta mostrar una
16
perspectiva de acuerdo a las exigencias que debe presentar la educación a nivel nacional e
internacional, específicamente en relación con la Educación Matemática propone:
Las matemáticas, lo mismo que otras áreas del conocimiento, están presentes en el
proceso educativo para contribuir al desarrollo integral de los estudiantes con la
perspectiva de que puedan asumir los retos del siglo XXI. Se propone pues una educación
matemática que propicie aprendizajes de mayor alcance y más duraderos que los
tradicionales, que no sólo haga énfasis en el aprendizaje de conceptos y procedimientos
sino en procesos de pensamiento ampliamente aplicables y útiles para aprender cómo
aprender. (MEN, 1998, p. 18).
En este sentido, para que haya una formación ideal en los estudiantes es necesario que
ellos puedan comprender los conceptos de las matemáticas mediante un aprendizaje fundado en
el contexto. Ello, implicará que los educandos tengan una plena consciencia de la funcionalidad
de los objetos matemáticos que se están enseñando en el aula de clase, paralelo a esto, la
operatividad de los procedimientos que se hacen para darle respuesta a una situación
problemática particular. En consecuencia de lo anterior, es de vital importancia tener en cuenta la
existencia de dos tipos de saberes que son fundamentales para describir los procesos de
aprendizaje en Educación Matemática, el saber conceptual el cual está enfocado hacia la
comprensión de los objetos matemáticos y su funcionalidad al emplearlo en tres tipos de
contextos; el de las matemáticas, el de las demás ciencias y la vida cotidiana. Por otro lado, está
el saber procedimental el cual describe pasos necesarios los cuales pueden ser de tipo algorítmico
para comprobar resultados matemáticos; todo ello en función de cómo aprende el sujeto.
17
Para que haya una discriminación de los saberes mencionados anteriormente, es necesario
que los agentes del proceso educativo (estudiante-docente) evoquen ideas matemáticas por
medio de representaciones semióticas a partir de los registros que brinda la disciplina de las
matemáticas, estos registros pueden ser: el registro numérico, las expresiones algebraicas, los
gráficos cartesianos, etc. Y otros como la lengua natural, expresiones simbólicas donde se
requiere el uso de iconos para representar ideas matemáticas. Del mismo modo, el MEN (2006)
muestra una relación de los pensamientos a través de una reflexión que está enfocada hacia el
estudio de la complejidad de los símbolos lo cual corresponde al estudio del álgebra, los patrones
de variación y la casualidad determinística donde se enfoca el estudio del cálculo, los fenómeno
producto de la incertidumbre donde está enfocado la estadística y la probabilidad, la complejidad
de estructura y la organización formal del pensamiento; todas estas variables en función de
componentes de la disciplina matemática. En este sentido, para la comprensión de estas
variables, se toma como referencia los EBC donde muestran particularmente los tipos de
pensamiento matemáticos mediante la siguiente reflexión:
… Aquí se puede ver una clara relación con los cinco tipos de pensamiento matemático
enunciados en los Lineamientos Curriculares: en la aritmética, el pensamiento numérico;
en la geometría, el pensamiento espacial y el métrico; en el álgebra y el cálculo, el
pensamiento métrico y el variacional, y en la probabilidad y estadística, el pensamiento
aleatorio; finalmente, puede verse la alusión al pensamiento lógico, llamado también
hipotético-deductivo o pensamiento formal. (MEN, 2006, p.58)
De acuerdo a lo anterior, es pertinente mostrar una relación entre varios pensamientos
para la comprensión de los conceptos matemáticos en la educación escolar y esta comprensión
puede adquirirse a través del uso varios registros de representación semiótica propias a cada
18
pensamiento matemático, pero no basta solo con el uso de los diferentes pensamientos
matemáticos para representar ideas matemáticas de un mismo objeto, debe existir una
coordinación entre los registros. Por lo cual, para la coordinación de dos registros semióticos
debe conservarse una discriminación entre las unidades significantes de cada registro semiótico,
para que haya una plena consciencia de los conceptos matemáticos se necesita de una
coordinación entre los diversos registros de representación semiótica y a su vez una relación
entre los pensamientos matemáticos tal como plantea (Duval, 2004), “La actividad conceptual
implica la coordinación de los registros de representación” (p.63).
En efecto, El problema de comprensión y resolución de problemas que involucran las
ecuaciones lineales puede ser evidente en múltiples aspectos de la Educación Matemática. Así,
desde un aspecto cognitivo se evidencian algunas conclusiones en el trabajo de Arroyo (2014)
quien describe algunas dificultades relacionadas con la resolución de ecuaciones lineales a través
de la siguiente reflexión:
Mediante algunos problemas presentados a los participantes y observaciones realizadas
en las clases de matemática, se logró apreciar que varios de los estudiantes no
interrelacionan los contenidos matemáticos aprendidos y tienen vacíos conceptuales sobre
contenidos que tuvieron que ser aprendidos en la escuela y sétimo nivel. Se puede
concluir que aprendieron de memoria determinados procesos, pero sin analizar realmente
el razonamiento que cada problema conllevaba para su resolución. (p. 29).
Además, el estudio realizados por Castellano & Obando (2009) muestran la preocupación
de la enseñanza del pensamiento algebraico específicamente en el dominio de las ecuaciones
19
lineales, se evidencian dificultades de tipo cognitivo en la comprensión de los elementos que
subyacen en las ecuaciones lineales. Por lo cual, mediante su trabajo manifiestan que:
Los errores que estudiantes cometen al producir la generalización de expresiones
algebraicas o de ecuaciones producto del análisis de determinadas situaciones, son una de
las preocupaciones más constantes de los profesores de matemáticas en la educación
básica y media de nuestro sistema educativo Colombiano. (p.1)
De esto se infiere que, la reflexión en la enseñanza del álgebra es objeto de estudio a nivel
nacional puesto que los estudiantes no tienen plena consciencia de las expresiones algebraicas y
puntualmente de las ecuaciones lineales. Además, cometen errores de tipo representativo al hacer
conversiones de una situación en lenguaje natural al registro algebraico. De ahí, que no se
comprenda el concepto de ecuación y sus posibles representaciones. Ahora bien, la resolución de
las ecuaciones lineales es fundamental para la comprensión de la misma pues ésta permite
concluir de forma lógica e inequívoca una resolución y su interpretación con base en una
generalización ya comprendida. Por consiguiente, surgen algunas estrategias de tipo cognitivas
para el aprendizaje de éstas teniendo en cuenta algunos elementos semióticos como son las tareas
de conversión y tratamiento entre otras. En este sentido, los acercamientos que ha realizado el
MEN (2006) sobre las representaciones dentro de los lenguajes matemáticos son muy notables y
se presentan a lo largo de los estándares básicos de competencia teniendo como noción la idea de
ser matemáticamente competente, donde se establece que:
(…) Utilizar diferentes registros de representación o sistemas de notación simbólica para
crear, expresar y representar ideas matemáticas; para utilizar y transformar dichas
representaciones y, con ellas, formular y sustentar puntos de vista. Es decir dominar con
20
fluidez distintos recursos y registros del lenguaje cotidiano y de los distintos lenguajes
matemáticos (…) (MEN, 2006, p. 50).
Este pasaje permite mostrar que las formas de comunicar o evocar una idea son mediante
el uso de representaciones, estas representaciones pueden ser expresadas mediante un discurso
del lenguaje matemático, el lenguaje natural o el sistema de representación icónico y lo principal
en matemáticas es el dominio de los objetos y/o conceptos propios de las matemáticas y el
estudiante de estar en la capacidad de utilizar diferentes registros de representación y
coordinarlos entre sí.
En este orden de ideas, haciendo énfasis en el pensamiento variacional especialmente en
el álgebra el uso de los métodos algebraicos basado en la teoría de Duval (2002) muestra una
gran viabilidad para la comprensión entre los objetos matemáticos relacionados con este
pensamiento; por ejemplo para representar una idea que se encuentra en un lenguaje natural y
convertirlo en un lenguaje algebraico, este concepto necesita ser movilizado mediante
actividades las cognitivas mencionadas anteriormente. Así, el uso de los registros algebraicos,
geométricos, de la lengua natural y de los íconos para mostrar el concepto de las ecuaciones
lineales con una incógnita. Sin embargo, la toma de consciencia para la comprensión de los
objetos matemáticos no basta con el reconocimiento o manipulación de un registro de
representación en particular, esto puede evidenciarse en el siguiente apartado:
Podría decirse con Raymond Duval que si no se dispone al menos de dos formas distintas
de expresar y representar un contenido matemático, formas que él llama “registros de
representación” o “registros semióticos”, no parece posible aprender y comprender dicho
contenido.(MEN,2006, p.57)
21
Por lo anterior, este trabajo de investigación puede contribuir a una problemática que se
presenta a nivel nacional sobre las el planteamiento, resolución e interpretación de las ecuaciones
lineales con una incógnita.
Haciendo énfasis puntual en el plantel educativo en el cual se desarrollará el proyecto, se
presentan algunos resultados en el marco de las pruebas saber 9°en el año 20156 donde se
evalúan los desempeños de la institución internamente, los desempeños de la institución en
comparación con Buenaventura y el desempeño a nivel nacional, los promedios y las
desviaciones; además, se presenta un diagrama donde se obtiene resultados referentes a las
competencia y los pensamientos evaluados en matemáticas donde se evidencias fuertes
dificultades en relación con sus competencias en Matemáticas y se compara con las diferentes
entidades que circundan el establecimiento educativo, como se presenta a continuación:
Tabla 1. Distribución porcentual de estudiantes según niveles de desempeño en la Francisco José de Caldas
B/tura. Matemáticas - Noveno grado.
6 Estas pruebas fueron recuperadas de la página:
http://www2.icfesinteractivo.gov.co/ReportesSaber359/consultaReporteEstablecimiento.jspx el día 5 de Junio de
2016.
22
Tabla 2. Comparación entre la distribución porcentual de estudiantes según niveles de desempeño en el
establecimiento educativo, la entidad territorial certificada a la que pertenece y el país. Matemáticas - noveno
grado.
De acuerdo a lo anterior, los datos estadísticos brindan información relevante para
atender a la emergencia de hacer una profunda reflexión sobre el aprendizaje de los estudiantes
con las matemáticas. En primera instancia, las estadísticas muestran que la institución educativa
posee serias dificultades mostrando que sólo el 1% de los estudiantes alcanza un nivel
satisfactorio de los desempeños en matemáticas. En este mismo sentido, este trabajo intenta
mostrar que es de vital importancia la pertinencia del proyecto en la Institución Educativa por los
resultados evidenciados en el distrito de Buenaventura que de cierta forma son más lisonjeros en
relación con la Institución Educativa mencionada no son los más satisfactorios para el estudio y
avance de la calidad educativa en la Educación Matemáticas del distrito.
23
Tabla 3. Fortalezas y debilidades en las competencias evaluadas en Matemáticas en la IE francisco José de
Caldas, noveno grado.
Así, al describir otras características de tipo curricular y pedagógica se evidencian una
compleja situación de competencias matemáticas en el plantel educativo y los componentes
evaluados describen desde una perspectiva más puntal del problema. De manera más puntual, de
los datos estadísticos evidencian en primer lugar dificultades para resolver problemas en este
caso podrían ser problemas para resolver problemas vinculados al uso de expresiones algebraicas
teniendo en cuenta el grado de complejidad que se presenta en este grado. Por otro lado, se
presentan ideas para poder expresar ideas matemáticas por medio de la competencia de
comunicación, hipotéticamente esto puede tener sus raíces debido a la dificultad que despliega al
representar expresiones matemáticas y realizar los tratamiento y conversión tal como mencionan
los autores en apartados anteriores.
24
Tabla 4. Puntaje promedio y desviación estándar del establecimiento educativo, la entidad territorial certificada a
la que pertenece, el país y los tipos de establecimientos de dicha entidad territorial. Matemáticas - noveno grado.
Tabla 5. Fortalezas y debilidades de los componentes evaluados en Matemáticas en la IE francisco José de
Caldas, noveno grado.
Es decir, teniendo en cuenta las representaciones gráficas se evidencia que aunque el
componente con más fortaleza es componente variacional, posee resultados no satisfactorios para
desarrollar competencias matemáticas. De esta forma, se intenta hacer una intervención que
fortalezca la reflexión sobre los procesos de aprendizajes del álgebra en los estudiantes mediados
en el aula de clase.
25
El desarrollo de este trabajo es viable desde los aspectos disciplinares porque es un objeto
matemático vinculado con los principales conceptos que se estudian en el pensamiento
algebraico, por ello, es fundamental que el estudiante se apropie de los saberes procedimentales y
conceptuales que involucran este objeto matemático porque son indispensables para el
aprendizaje de una red conceptual que tiene mayor complejidad en las clases escolares.
Por otro lado, desde los aspectos curriculares y los estándares básicos de competencia se
hace evidente la necesidad de enseñar este concepto para fortalecer las competencias desde el
pensamiento algebraico. De modo que, es prioritario que el estudiante disponga de diferentes
herramientas para resolver problemas que se le presenten y los inicios del pensamiento
algebraico contribuyen al fortalecimiento de las competencias en matemáticas.
Así mismo, en los aspectos didácticos propuestos para abordar este trabajo se hace énfasis
en la teoría semiótica-cognitiva porque brinda características que contribuyen en la comprensión
y las posibles dificultades para resolver ecuaciones, características tales como los procesos
cognitivos (formación, tratamiento y conversión), los niveles de congruencia entre los registros
cuando se desarrolla conversión y lo fundamental que corresponde a la coordinación entre los
registros abordados para aprehensión conceptual de este objeto que son indispensables en el
funcionamiento cognitivo de las matemáticas.
Ante las consideraciones que presenta Arroyo (2009), las dificultades que precisa Filloy
(1993), Azañero (2013), los planteamientos que sostiene el MEN (1998) y MEN (2006) el
trabajo se hizo para que el docente reflexione sobre los procesos de enseñanza que se desarrollan
en el aula de clase, dentro de sus consideraciones tenga que en cuenta que el proceso de
comprensión de un concepto es una tarea compleja que como mediador entre el saber y el
26
estudiante debe saber sobrellevar. De esta forma, plantear situaciones problemáticas requiere de
un análisis y discriminación de elementos que subyacen previos al desarrollo del trabajo
propuesto. Por eso, es necesario que se tengan en cuenta cada una de las secciones que se
encuentran en este trabajo.
En consecuencia de lo anterior, es pertinente el uso de diversas representaciones
semióticas teniendo en cuenta las actividades cognitivas de tratamiento y conversión para la
resolución de problemas donde se involucre el uso de las ecuaciones lineales. No obstante, no se
debe extrapolar que el uso de las diferentes representaciones es lo esencial en la comprensión de
los objetos matemáticos, de hecho para que haya una comprensión de las ecuaciones lineales
relacionadas con la resolución de problemas se necesita una plena coordinación de los registros
de representación semiótica.
27
1.4. OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GENERAL
Analizar los procesos cognitivos (tratamiento y conversión) que realizan los estudiantes
de grado noveno de la Institución educativa Francisco José de Caldas del distrito de
Buenaventura para resolver ecuaciones lineales con una incógnita en actividades
planteadas desde registros de representación semiótica: lenguaje natural, algebraico,
geométrico.
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Seleccionar algunos problemas de las secuencias de Azañero (2013) de ecuaciones con
una incógnita y los propuestos por libros de textos Espiral (2005) y símbolos (2006) que
se resuelven usando ecuaciones lineales.
Identificar procesos cognitivos (tratamiento y conversión) desarrollados por los
estudiantes de grado noveno para resolver ecuaciones lineales.
Ejemplificar el desarrollo de los diferentes procesos cognitivos (tratamiento y
conversión) en los diversos registros de representación.
28
CAPÍTULO 2. MARCO DE REFERENCIA CONCEPTUAL
2.1. ASPECTOS DISCIPLINARES
Expresiones algebraicas:
Las expresiones algebraicas son representaciones que surgen de las operaciones (adición,
sustracción, producto, cociente, potenciación, y radicación) que se realizan entre números reales
y variables, donde se necesitan algunas restricciones teniendo en cuenta el dominio de la
expresión en el conjunto de los números reales. Algunos ejemplos concernientes a las
expresiones algebraicas son los siguientes:
√𝑎 3𝑥−2𝑦
3𝑥−𝑦 2𝑥2 − 4𝑥 + 5
1
2𝑧 + 𝑧3 2𝑥
La primera expresión algebraica tiene dominio exclusivamente ℝ+ ∪ 0, es decir que la
variable debe tomar números reales positivos y el número 0, este tipo de expresiones se conocen
como radicales. Para el segundo caso, el dominio de las variables 𝑥 e 𝑦 corresponde a los ℝ si y
sólo si 𝑥 ≠1
3𝑦, este tipo de expresiones reciben el nombre de racionales. En los demás casos, el
dominio de la variable puede ser cualquier número en ℝ, éstas son conocidas como expresiones
polinómicas.
En este orden de ideas, se aborda matemáticamente el concepto de polinomio que de
acuerdo a Fraleigh (1967, p.266), es definido de la siguiente forma:
Sea ℝ un anillo7. Un polinomio 𝑓(𝑥) con coeficientes en ℝ es una suma formal infinita
∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖∞
𝑖=0 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋅⋅⋅ +𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯,
7 Un anillo < ℝ, +,∙> es un conjunto ℝ junto con dos operaciones binarias + y ∗ llamadas suma y
multiplicación, que cumple con los siguientes axiomas:
29
Donde 𝑎𝑖 ∈ ℝ y 𝑎𝑖 = 0 excepto un número finito de valores de 𝑖.
En este sentido, se denomina coeficientes a todos los 𝑎𝑖 ∈ ℝ y cada uno de los monomios
que subyacen en el polinomio se les conoce como término polinómico. El término n corresponde
al grado del polinomio, este es un número entero positivo (ℤ+), en este sentido, el valor de n
determina el grado del polinomio; en los ejemplos anteriores se puede decir que el grado del
polinomio es de grado 2, es decir 𝑓(𝑛) = 2 de igual forma, el de los demás polinomios son
𝑓(𝑛) = 3 y 𝑓(𝑛) = 1 siendo estos denominados, cuadráticos, cúbicos y lineal respectivamente.
Además, se dice que cuando dos polinomios tienen el mismo grado son llamados polinomios
idénticos en la variable estudiada.
En este sentido, dos polinomios pueden ser iguales si su variable, su grado y sus
coeficientes son iguales, por ejemplo:
𝑧(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + ⋅⋅⋅ +𝑎𝑛𝑥𝑛 + ⋯ ,
𝑤(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + ⋅⋅⋅ +𝑏𝑚𝑥𝑚 + ⋯,
De ello, se obtiene que 𝑧(𝑥) = 𝑤(𝑥) si y sólo si 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖.
De acuerdo a las leyes y la teoría de las ecuaciones, para establecer un orden entre dos
polinomios se debe establecer la tricotomía la cual se conceptualiza de la siguiente forma:
<ℝ, +> es un grupo abeliano
Un grupo abeliano es un grupo <G,*> que cumple con la operación binaria * las siguientes
reglas:
Asociativa.
Si existe un elemento 𝑒 en G tal que 𝑒 ∗ 𝑥 = 𝑥 ∗ 𝑒 = 𝑥 para todas las 𝑥 ∈ 𝐺 (a 𝑒 se le conoce
como elemento identidad, o elemento neutro).
Para cada 𝑎 ∈ 𝐺 existe otro elemento 𝑎´ ∈ 𝐺 tal que 𝑎´ ∗ 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎´ = 𝑒 a 𝑎´se le conoce como
elemento inverso de la multiplicación.
La multiplicación es asociativa.
Para todas las 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, se cumple la ley distributiva izquierda 𝑎(𝑏 + 𝑐) = (𝑎𝑏) + (𝑎𝑐) y la
ley distributiva derecha (𝑎 + 𝑏)𝑐 = (𝑎𝑐) + (𝑏𝑐).
30
Sean dos polinomios 𝑧(𝑥) y 𝑤(𝑥) se presentan las siguientes relaciones:
𝑧(𝑥) > 𝑤(𝑥) 𝑧(𝑥) < 𝑤(𝑥) 𝑧(𝑥) = 𝑤(𝑥)
Para el caso de este trabajo se utilizó la tercera relación “igualdad”. En consecuencia, se
tiene que:
𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + ⋅⋅⋅ +𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + ⋅⋅⋅ +𝑏𝑚𝑥𝑚
La anterior relación se define el concepto expresión general de las ecuaciones
polinómicas, donde se siguen cumpliendo las mismas propiedades de las expresiones
algebraicas. Si la ecuación es de grado 1 se le conoce como ecuación lineal, de grado 2
cuadrática, para el caso de la ecuación de grado 3 será cúbica, para el caso de una ecuación de
grado n se denomina ecuación de enésimo grado.
Para el caso de las ecuaciones polinómicas es necesario introducir el concepto de raíz de
polinomio, definido como el conjunto de los valores reales que toma la variable tal que al
reemplazarlos en la expresión cumple con la identidad de la ecuación. Así mismo, el grado del
polinomio determina el número de raíces o ceros que tiene una ecuación tal como lo define
Fraleigh (1967), “un polinomio de grado n puede tener a lo más n ceros en un campo F” (p.279).
De acuerdo a los tipos de ecuaciones, estas se pueden clasificar en tres tipos las cuales son:
Ecuaciones condicionales: Este tipo de ecuaciones se caracterizan porque el conjunto
solución, raíces o ceros tiene algunas restricciones, dicho de otra forma el conjunto solución se
cumple para algunos casos. Por ejemplo: 2𝑥 + 2 = 4, para este tipo de ecuaciones el conjunto
solución corresponde al número 1. En el caso de la ecuación 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥 + 2 tiene raíces 𝑥 = 1
31
y 𝑥 = −2. En este sentido, se puede constatar lo que mencionó Fraleigh (1967) sobre las raíces
de las ecuaciones y el grado del polinomio.
Identidades: En este tipo de ecuaciones las variables pueden tomas cualquier valor real y
los polinomios serán equivalentes. Por ejemplo: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2. En la sustitución de
las variables puede observarse que el valor que tomen las variables, forma una equivalencia entre
los dos polinomios.
Inconsistentes: no presentan una consistencia en su resolución. Por ejemplo: 𝑥 = 𝑥 + 1,
como se puede observar, no existe ningún valor que satisfaga la igualdad entre las dos
expresiones.
En síntesis, es fundamental conocer la relación que existe entre los conceptos abordados
en este apartado porque permite comprender el concepto de ecuación a partir de las nociones
matemáticas como son las expresiones algebraicas y los polinomios. La igualdad entre
polinomios es fundamental en la construcción del concepto de ecuación ya que da la entrada al
concepto, así mismo las propiedades para la relación de equivalencia en el estudio de las
ecuaciones lineales. Por ello, es necesario mencionar las relaciones en cualquier conjunto, estas
son las siguientes8:
Sean A y B dos conjuntos, y todo elemento de A es un elemento de B, y todo elemento de B
es un elemento de A, entonces A es igual a B. La simbología formal corresponde de la siguiente
forma: 𝐴 = 𝐵 ↔ (∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑥: 𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐴). De esta forma, sean a, b, c
números reales, la relación de equivalencia debe cumplir con las siguientes propiedades:
8 Estas relaciones se tomaron del trabajo de grado “una propuesta didáctica para la resolución de ecuaciones de
primer grado como relación de equivalencia utilizando el modelo virtual de la balanza” por Galeano, O & Váquiro,
L. (2015) del instituto de educación y pedagogía de la universidad del Valle (Colombia).
32
Reflexividad: 𝑎 = 𝑎
Simétrica: 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 = 𝑎
Transitiva: 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑦 𝑏 = 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑐
Ley uniforme: 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑐 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑜𝑠 ℝ 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 𝑎 + (−𝑐) = 𝑏 + (−𝑐)
𝑎 ∗ 𝑐 = 𝑏 ∗ 𝑐
𝑎
𝑐=
𝑏
𝑐
Para sintetizar el constructo teórico- disciplinar de este apartado sobre la construcción de las
ecuaciones, se construye un esquema que abarca todos los elementos conceptuales que se han
desarrollado hasta el momento:
Ilustración 1. Diagrama conceptual de las expresiones algebraicas, los polinomios y las ecuaciones. De esta forma, se muestra la importancia de las propiedades que cumple con el objeto
matemático y la relevancia de ser consiente de estas propiedades para resolver ecuaciones
lineales con una incógnita, propiedades que serán de gran interés en el análisis de las actividades.
33
En el campo del álgebra escolar se tienen diversas conceptualizaciones sobre los
elementos que conforman las expresiones algebraicas en este caso se tomó la definición que
proponen Trigueros, Quintero, Reyes & Ursini (1996, p. 352) quienes consideran que existen tres
formas distintas que la variable suele usarse en el álgebra escolar y tienen las siguientes
características:
La variable como incógnita, cuyo valor se puede determinar con exactitud
tomando en consideración las restricciones del problema; la variable como número
general, es decir, aquélla que aparece en generalizaciones y en métodos generales; y la
variable en una relación de variación conjunta con otras variables que denominaremos
variable en relación funcional.
2.2 REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA
A partir de la década de los 80´s se comienza a estudiar la noción de representación desde
el punto de vista cognitivo. En este sentido, se propone hacer un estudio sobre las
representaciones y a lo largo de la historia se observa que en los 1924 – 1926 se presenta el
primer estudio sobre representación propuesto por Piaget con su obra la representación del niño
sobre el mundo, en dicha investigación se muestran las representaciones mentales concerniente a
la noción que tiene el niño sobre los fenómenos físicos que rodea al niño a través de la
percepción, al mismo tiempo, mediante esta teoría se tiene la idea del concepto de representación
evocación de objetos ausentes.(Duval, 2004).
Luego, a partir de los años 1955 se hace hincapié en otro tipo de investigación el cual
sostiene el concepto de representación computacional como “la codificación de la
información”; este tipo de investigación es abordada por autores como Posner, Clark, Chomsky,
Newel, Simons entre otros (Duval, 2004, pp.25-27).
34
Para los años posteriores al 80, se describe el concepto de representación en el marco de
la adquisición de conocimiento y es Radford (citado en Puig 2009) quien describe los diferentes
estudios sobre el concepto de representación en el campo de la Educación Matemática, en esta
investigación se puede observar que el concepto de representación hace alusión a
representaciones externas en las cuales la mente humana es fundamental para su desarrollo, así la
los referentes principales sobre este tópico de estudio tratan de mostrar un análisis sobre el
concepto de representación en diferentes teorías: Skemp con la teoría de los símbolos abordada
en (1980), Kieran y Filloy (1989) donde se hace énfasis de la representación como un sistema
matemático de signos y se abarcan todas las expresiones matemáticas como signos que propone
Peirce (citado en Duval, 2004b)“cualquier cosa que se tenga, para cualquiera, en lugar de otra
cosa”, los sistemas de notación bajo el escrutinio de Kaput (1992) y por último, la teoría de las
representaciones semióticas abordas por Duval en 1993.
Como resultado de estas minuciosas investigaciones sobre un concepto particular desde
diferentes posturas, la comunidad investigativa comienza a contemplar la necesidad de dar un
espacio al concepto de representación en el campo de la Educación matemática. En este sentido,
las representaciones en el área de las matemáticas en cuestión han sido concebidas como una
herramienta para evocar conceptos y procedimientos que preexisten en el desarrollo de la
matemática y permite describir el funcionamiento cognitivo de la mente humana.
Ante el estudio y el amplio campo que se ha investigado sobre el concepto de
representación es pertinente mostrar la reducibilidad de este concepto. Por ello, Duval (2002,
p.31) muestra tres oposiciones en la cual puede ser utilizado el concepto de representación:
35
“la variedad es tan grande que puede producir riegos equívocos en el interlocutor, esta
variedad se puede reducir a la utilización de tres grandes oposiciones: lenguaje/imagen,
mental/material, subjetivo/objetivo”
En este sentido, se muestran el significado de cada una de las oposiciones ligadas a las
representaciones desde la perspectiva cognitiva de Duval:
Oposición lenguaje/imagen: Esta oposición corresponde al campo de la psicología
cognitiva ligada al uso de una imagen y el pasaje a una frase. “no basta con tener una
imagen frente a los ojos para ver lo que hace falta” En otras palabras, uso de imágenes
no da cuenta de las características que tiene una situación, se necesita de un enunciado
que contextualice dicha imagen. En el caso de las matemáticas no se considera como
suficiente la aprehensión de los conceptos que esta disciplina demanda. (Duval, 2004b,
p.31). Por ejemplo, cuando se tiene al lado un cuadro frente a la pared y manifestar que la
figura representada es un rectángulo. Se necesitan de fundamentos teóricos para llegar a
la conclusión.
Oposición subjetivo/objetivo: Esta oposición es concerniente a los aspectos ligados a la
ciencia y opinión. Esta oposición sostiene que la verdad es relativa desde el sentido que
se observe. En ella, se subrayan el conocimiento formal que demanda la ciencia y la
opinión que sostiene un sujeto frente al mismo objeto. Esta concepción está enmarcada
desde la postura de Peirce sobre el signo (Duval, 2004b, p.32). Para ilustrar lo anterior, el
significado que se obtiene sobre expresiones algebraicas en los estudiantes de inicios al
álgebra con respecto a la variable 𝑥 puede mostrar la opinión que la variable es un signo
de multiplicación.
36
Oposición mental/material: Esta oposición establece una relación entre la naturaleza del
conocimiento y la comprensión de éste, en la que se cumple el fenómeno de
diferenciación entre significado y significante, es en esta oposición donde se fundamenta
la teoría de las representaciones semióticas para el aprendizaje de las matemáticas. Un
ejemplo sobre esta oposición corresponde al hecho de representar una ecuación lineal
mediante una representación en el marco de un sistema de representación geométrico o en
el de la lengua natural. (Duval, 2004b, p.33)
Primero, el objeto matemático se puede representar de diferentes formas debido a las
representaciones semióticas que tienen los sistemas. En otras palabras, “las representaciones
semióticas son representaciones en las cuales el modo de producción no puede hacerse sin la
movilización de un sistema semiótico”. (Duval, 1999, p.3) y en cuanto a su producción, presenta
tres tipos de fenómenos:
Aspecto estructural: Este aspecto trata sobre el significado del objeto en determinada
representación. Por ejemplo, una ecuación lineal comporta ciertas reglas ligadas con el
signo, cada uno de estos signos está ligado a una significancia de los registros. Así, en la
escritura algebraica, los signos presentados en la expresión permiten identificar que las
letras son variables o cantidades desconocidas, los signos operativos cumplen una función
y el signo igual cumple también una función diferente a los demás signos que constituyen
la expresión. (Duval, 1999)
Aspecto fenomenológico: Este fenómeno trata sobre la forma en la que se presenta la
representación para su aprehensión; estas formas en las cuales se puede mostrar una
37
representación pueden ser de tipo discursivas como la lengua natural, pueden ser de tipo
visual, sensorial, etc. (Duval, 1999)
Aspecto funcional: Este tipo de aspecto estás orientado hacia la pregunta del
aprendizaje: ¿para qué sirve la representación? De esta forma, permite mostrar las tres
funciones cognitivas9 que son primordiales para el aprendizaje de las matemáticas. Estas
funciones cognitivas son: la función de comunicación, la cual enfatiza en mostrar el
objeto matemático en cuestión mediante el registro. La segunda función relativa a las
transformaciones que se pueden hacer dentro y fuera de la representación en que se
presenta el objeto matemático. Por último, la función de objetivación la cual hace al
sujeto consciente de la representación, del objeto en diferentes registros de representación
semiótica permitiendo identificar características del objeto matemático en cada registro
de representación. (Duval, 1999)
Segundo, la adquisición de conocimientos en matemáticas requiere de la discriminación
de varios registros de representación semiótica. Es decir, para que se pueda comprender un
objeto matemático se necesita identificación del objeto en varios registros de representación. De
esta forma, el análisis del desarrollo del conocimiento y obstáculos donde se fundamenta el
aprendizaje con relación al razonamiento, la comprensión de textos, y comprensión de
tratamientos lógicos y matemáticos se ve afectada por tres fenómenos los cuales están
intrínsecamente relacionados un al otro. (Duval. 2004, p. 30-31)
9 No todos los sistemas semióticos constituyen registros de representación semiótica. Los registros de representación
son aquellos que permiten el cambio de representación de un sistema a otro, haciendo uso de las funciones
cognitivas mencionadas. Sólo los registros de representación son los que permiten el aprendizaje de las matemáticas.
Por ello, de ahora se establecerá la atención en los registros de representación semiótica y no en los sistemas
semióticos.
38
Diversificación de los registros de representación semiótica: En términos generales se
sostiene bajo la premisa de que un objeto matemático puede ser representado en
diferentes registros de representación teniendo en cuenta los tratamientos de tipo
matemático que se pueden realizar a lo largo de la solución de un problema. En este
sentido, el sujeto tendrá a disposición múltiples registros de presentación para representar
el objeto matemático.(Duval, 2004, p.30)
Sin embargo, no basta con los múltiples registros los cuales tiene a disposición un sujeto
para poder ser consciente de un objeto matemático, es importante la diferencia que presenta cada
registro, por ello se presenta el siguiente fenómeno:
Diferenciación entre representante y representado: este fenómeno está vinculado a lo
que “representa” una representación. Es decir, que se haga una identificación de un objeto
mediante un registro. Así mismo, permite que se haga una distinción entre el objeto
matemático y el registro en el cual se representa el objeto matemático. En línea con el
aprendizaje, este fenómeno permite que se haga consciencia en el sujeto de que un objeto
matemático no es el registro en que se presenta a un objeto, el registro es el medio para la
comprensión del objeto. (Duval, 2004, p.65)
Ante la complejidad conceptual que acarrean los registros de representación semiótica,
los diferentes registros vinculados a un mismo objeto, la diferenciación y las tensiones cognitivas
que son producto de los fenómenos anteriores el en términos de dificultad representativa,
algorítmica etc. Se presenta como fenómeno la coordinación entre los registros de representación
semiótica:
39
Coordinación de diferentes registros de representación semiótica: este fenómeno
sostiene que la coordinación entre registros permite una aprehensión conceptual de un
objeto matemático gracias a la discriminación de las unidades significantes10
que posee
cada registro de representación semiótica. Así, la comprensión de los objetos
matemáticos no se presenta de forma inmediata, este fenómeno es la condición esencial a
una comprensión integrativa, una comprensión que permita desarrollar conversiones
teniendo en cuenta las unidades significantes de cada registro. Duval (2004, p.75). La
coordinación puede denominarse como una transformación trans-registro donde se tienen
en cuenta una identificación y manipulación en simultáneo de las unidades significativas
de los dos registros.
Para tener una comprensión integrativa, una comprensión que involucre varios registros
de representación es necesario que se hagan procesos de transformación de los registros dentro y
fuera de éste. Sin embargo, para hacer estos tipos de transformaciones es necesario que se tenga
en consideración los tratamientos11
que son indispensables en cualquier sujeto que está
aprehendiendo.
De acuerdo con Duval (2004, p.40) “las representaciones semióticas son
representaciones que permite hacer tratamientos”. Tratamientos en otros términos son las
posibles manipulaciones que se pueden hacer a un registro de representación. Los tratamientos
que se describen a continuación hacer parte de todo aprendizaje, estos tratamientos son:
10
Este término consiste en mostrar las características del registro semiótico. Por ejemplo, las unidades significantes
de una ecuación en un registro algebraico consta de los signos (cantidades conocidas, cantidades desconocidas, el
signo igual) las unidades permiten identificar que es una ecuación. En los casos de las figuras geométricas se tienen
en cuenta los tipos de línea si es recta, curvas, cerrada, abierta, etcétera; y cada registro tiene unidades significantes
diferentes. 11
El concepto tratamiento es una función meta-discursiva la cual se basa en la transformación de todo los que se
puede comunicar, permitiendo ser más explícito o implícito lo que se está evocando. (Duval, 2004)
40
Los tratamientos cuasi-instantáneos son los tratamientos que se efectúan antes de haber sido
observados y producen las informaciones y las significaciones de las cuales un sujeto toma
consciencia de inmediato (Duval, 2004, p. 40).
Dicho en otras palabras, es un tipo de aprehensión que se efectúa incluso antes de haber
sido observadas, en este tipo de tratamientos, el sujeto toma de ipso-facto el objeto matemático.
Por ejemplo, evocar los términos: polinomio, ecuación en un estudiante de grado décimo, estos
términos pueden ser tan familiares para el sujeto que sin necesidad de una observación, ellos lo
pueden identificar. Por otro lado, se presenta los tratamientos intencionales los cuales se
definen como:
Aquellos que para ser efectuados toman al menos el tiempo de un control consciente y
que se dirigen exclusivamente a los datos previamente observados, en una visión incluso furtiva
del objeto. (Duval, p.41)
Estos son los tratamientos que requieren de un tiempo, de una descripción detallada de la
información que se le presenta al sujeto para que él tome consciencia del objeto en cuestión y a
su vez, depende intrínsecamente de los tratamientos cuasi-instantáneos para poder objetivar y así
construya nuevo conocimiento. En síntesis, toda actividad cognitiva de la mente humana
depende de la complementariedad de estos tipos de tratamientos. Al hacer tratamientos
intencionales necesitan de los tratamientos cuasi-instantáneos para poder comprender los objetos,
en efecto, mientras más tratamientos cuasi-instantáneos estimule el sujeto, será mayor su
aprehensión cognitiva. Ese fenómeno puede observarse en el siguiente esquema:
41
Ilustración 2. Esquema general de los tratamientos en Matemáticas.
Como se puede observar, los tratamientos que requieren un nivel de consciencia son de
carácter intencional y necesitan de los tratamientos cuasi-instantáneos para la aprehensión de
nuevo conocimiento, estos tratamientos que en un tiempo dejan de ser intencionales, permiten la
objetivación de nuevos conocimientos. En otras palabras, la adquisición de nuevos tratamientos
intencionales aparece pues como la condición de todo progreso cualitativo en el aprendizaje que
puede partir de situaciones cotidianas de los estudiantes y estos pueden resolver sin conocer el
objeto matemático a estudiar, luego de ello, se necesita una premeditación y un tiempo en la
aprehensión de los objetos.
Ahora bien, en el proceso de la semiosis se presentan tres tipos de actividades cognitivas
las cuales son fundamentales para el desarrollo del pensamiento. Estas actividades son las que
fundamentan el aprendizaje de los objetos matemático, éstas son: formación, tratamiento y
conversión.
La formación: es el recurso que presenta unos signos para actualizar la mirada de
un objeto para sustituir la visión de ese objeto. Los actos elementales de formación son,
según los registros, la designación nominal de objetos, la reproducción de su contorno
percibido, la codificación de relaciones o de algunas propiedades de un movimiento.
Estos actos son interesantes sólo en la medida en que las representaciones así formadas
42
están, implícitamente o explícitamente, articuladas en representaciones de orden superior:
frases, imágenes, esquemas, tablas… esta articulación de representaciones de orden
superior depende de las posibilidades de estructuración propia a cada sistema semiótico
que se utiliza. Por ello, es de vital importancia que la actividad cognitiva de formación
respete las reglas de conformidad para que se pueda comunicar un registro sino, además
tener la habilidad de hacer tratamientos mediante el sistema semiótico. (Duval, 2004,
p.43).
Así, las reglas de conformidad en palabras de Duval (2004) “Son aquellas que definen a
un sistema de representación y en consecuencia, los tipos de unidades por las cuales están
constituidas todas las representaciones en un registro”. En otras palabras, estas reglas permiten
que se pueda reconocer una representación como representación de un registro. Estas reglas de
conformidad son:
La determinación de unidades elementales: esta regla es encargada de mostrar la
identificación de los signos que son referentes al registro. Por ejemplo, en la expresión 𝑥,
se sobreentiende que bajo una representación algebraica tiene una designación que en
otros casos puede plantearse desde como una letras sin sentido, y en este caso, designa
algo desconocido en una expresión algebraica. (Duval, 2004, p. 43)
Las combinaciones admisibles de unidades elementales para formar unidades
de nivel superior: ley que se encarga de hacer la unión de varias unidades para construir
una unidad de nivel superior. Por ejemplo, en las ecuaciones lineales basado en el registro
algebraico la combinación de unidades como 3𝑥 + 1 = 0 conforman una unidad de nivel
superior y está constituida por unidades principiantes o primarias. (Duval, 2004, p.43)
43
Las condiciones para que una representación de orden superior sea una producción
pertinente y completa: reglas canónicas propias a un género literario o a un tipo de
producción en un registro. La consideración de las unidades debe tener términos y
significado de las unidades en el registro que se representa. En otras palabras, cada signo
de las unidades de orden superior debe tener un significado en la representación. Por
ejemplo, la representación 3𝑥 + 1 = 0 se pone en consideración que la variable
corresponde a las letras, el significado del signo igual y los coeficientes que se presentan
junto con la variable. (Duval, 2004, p.43).
La actividad cognitiva de formación y en particular las reglas de conformidad desde un
punto de vista epistémico y didáctico sirven para tener un control de aceptar una representación
producida en relación al registro en que está formada. Por otro lado, existen otras actividades
cognitivas relativas a la transformación dentro y fuera de los registros. Estas actividades
cognitivas son:
Tratamiento: Es la transformación de una representación a otra representación de
un mismo registro. Esta transformación se considera como una transformación intra
registro. Es un tipo de expansión discursiva del objeto dentro de un registro representado.
En el caso del álgebra, estos tipos de transformaciones permiten que se haga uso de
propiedades de la actividad matemática. Duval (2004, p.42).
La operación de tratamiento dentro del planteamiento de ecuaciones lineales presenta dos
tipos de operaciones sustitutivas, estas son:
1- Operaciones de cálculo y literal: Este tipo de reglas alude al hecho de que se debe
establecer una distinción y diferenciación entre las cantidades conocidas las cuales se
44
determinan con los signos numéricos y las cantidades desconocidas las cuales se designan
con los literales. El tipo de operación no se presenta de forma lineal, se deben establecer
reglas de tipo sintácticas para establecer la operacionalidad entre estos tipos de signos.
(Duval, 2002, pp. 9-10)
2- Desplazamiento de ciertos términos de un miembro a otro de la ecuación: Es un tipo
de operación que se presenta en el aprendizaje del álgebra que corresponde establecer
siempre la igualdad entre las dos expresiones que están separadas del signo igual, que
otras palabras siempre se debe tener en cuenta el salva aequalitate.12
. Este tipo de
operación es un tipo de operación de tipo semántico más que sintáctico porque se hace
alusión al sentido de la igualdad en la expresión en cuestión. (Duval, 2002, p. 10)
En síntesis, estas dos operaciones de tratamiento permiten una algoritmización de un
registro. Es importante tener en cuenta que aunque se efectúen tratamientos dentro de un registro
de representación semiótica, lo importante es la comprensión del objeto y para la compresión de
se necesita que haya una habilidad para cambiar de registro. Por esta razón, se presenta el tipo de
operación cognitiva relacionada con el trans-registro:
Conversión: Se considera como una transformación externa relativa al registro de
representación de partida (Duval, 2004, p.46). En otras palabras, corresponde a un
cambio de registro de representación sobre un objeto matemático a otro registro
conservando la esencia del objeto matemático. Para esta transformación, se requiere que
se ponga en correspondencia una organización de unidades del registro de partida con el
registro de llegada. La puesta en acto de una conversión hace que el sujeto tenga una
12
salva aequalitate corresponde al término en italiano que significa salvar la igualdad, en otros términos, conservar
la igualdad de la ecuación.
45
diferenciación entre el sentido y la referencia de los signos que subyacen en cada registro
de representación, ser consciente del contenido de la representación y lo ésta representa
en el sistema semiótico utilizado. En el aprendizaje del álgebra, la operación de
conversión tiene dos tipos de transformaciones relacionadas el registro de la lengua
natural y el registro algebraico las cuales se les conoce como designación funcional y
planteamiento de la ecuación:
1- Designación funcional: Como bien se mencionó anteriormente, los “signos”
concernientes al álgebra son las cantidades conocidas, las desconocidas y el signo igual.
Este tipo de designación se denota para establecer la incógnita como un símbolo para
designar un objeto en el enunciado porque este tipo de designación permite que se
reduzca el léxico en la lengua ordinaria. En este sentido, este tipo de operación permite
que gracias a la reducción de léxico se pueda hacer redesignación en función de la
incógnita. Dicho en otras palabras, el hecho de vincular una letra no solo se hace con el
objetivo de designar un objeto, más bien, para designar al menos dos objetos que sean
diferentes dentro del enunciado (Duval, 2002, p. 6)
2- Planteamiento de la ecuación: El segundo tipo de conversión corresponde a saber
establecer la ecuación, para este proceso, es muy importante que el sujeto haya
discriminado con anterioridad las unidades significantes y la designación que permite una
relación de igualdad, esta designación puede verse identificada mediante un verbo, por
ejemplo “es, se obtiene, hay” etc. Este tipo de conversión se presenta con mayor
frecuencia en los sistemas de ecuaciones donde se provee el uso de varias incógnitas.
(Duval, 2002, p. 8)
46
La actividad de conversión es la actividad cognitiva más compleja de adquirir para la
mayoría de los estudiantes y a su vez la menos natural de efectuar, pero es la actividad cognitiva
por excelencia para el aprendizaje puesto que permite el dominio de al menos dos registros de
representación semiótica. Sin embargo, pese a las dificultades que acarrea el efectuar
conversiones, se presentan dificultades que son producto de la congruencia y no congruencia
entre dos registros. De esta forma, la congruencia se presenta cuando hay una relación término a
término entre las unidades significantes respectivas a las dos representaciones. En otras palabras,
cuando se presenta una congruencia entre dos registros implica que las unidades significantes del
registro A sean coherentes al registro B y al hacer una conversión de B hacia A (Conversión
inversa) se mantengan las mismas unidades significantes entre los registros. Por esto, para
identificar la congruencia entre dos registro de registros de representación semiótica, es
considerable hacer hincapié sobre los criterios de congruencia entre las representaciones. Estas
reglas son:
1- Correspondencia semántica de los elementos significantes: “a cada unidad
significante simple de una de las representaciones, se puede asociar una unidad
significante elemental” (Duval, 2004, p.53). Esta regla permite identificar que un registro
al formar una unidad lexical de dicho registro se puede relacionar con una unidad lexical
del otro registro.
2-Univocidad semántica terminal: Esta regla define que a cada unidad significante
elemental de la representación de partida, le corresponde una sola unidad significante en
la de llegada. Es decir, un registro que enuncia un significado teniendo en cuenta las
unidades significantes, cada unidad significante representada de inicio le corresponde una
sola unidad representante de llegada. Una ilustración de esta regla podría ser el uso de la
47
lengua natural y el registro algebraico, la enunciación de la situación problema
relacionada con el objeto matemático ecuación lineal remite a que se desarrolle una
expresión algebraica donde cada unidad significante del registro en lengua natural le
corresponde una unidad significante en el registro algebraico. (Duval, 2004, p.53)
3- Orden de arreglo de las unidades que componen cada una de las dos
representaciones: Esta regla manifiesta que en el mismo orden en que se presentan las
unidades significantes en el registro de llegada, en ese mismo orden se presentará las
unidades significantes en el registro de salida teniendo en cuenta el mismo número de
dimensiones. (Duval, 2004, p.53)
La congruencia entre dos registros debe constar de los tres criterios mencionados, de lo
contrario, se presentará no-congruencia entre los registros de representación semiótica; esto
genera problemas en la conversión y entre mayor sea el grado de no-congruencia, mayor serán
las dificultades para cambiar de registro. Como consecuencia, se presenta encapsulamiento para
desarrollar trans-registro y encapsulamiento en los sistemas de representación.
En síntesis, el vínculo de las actividades cognitivas en la actividad matemática se puede
resumir en registros que pueden ser de tipo algorítmico o no y pueden cumplir una o muchas
funciones en las actividades cognitivas mencionadas tal como se puede observar en la siguiente
ilustración:
48
Ilustración 3.Diferentes tipos de actividad cognitiva en las matemáticas. Duval (2002b, p.54)
Como caso particular de este trabajo se propone un ejemplo de los conceptos
desarrollados en la ilustración anterior:
Tabla 6. Ejemplo de las transformaciones de las presentaciones semióticas que se pueden realizar en
Matemáticas.
49
En esta misma línea de ideas, Duval (2004b) presenta los tipos de registros que puede ser
de tipo algorítmico o no de acuerdo a su multifuncionalidad o monofuncionalidad y dependiendo
de la representación en que se proponga el objeto matemático:
Tabla 7.Clasificación de los diferentes tipos de registros movilizados en Matemáticas. (Duval, 2004b,
p.52)
Como puede observarse, los tipos de registros más utilizados para las ecuaciones lineales
son los registros en su mayoría registros de representación discursiva tomando registros multi y
monofuncionales. Por esta razón, es necesario hacer énfasis en el discurso particularmente en la
lengua natural como registro que cumple ciertas funciones.
2.3 LA LENGUA NATURAL Y LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA
Todos los registros de representación semiótica deben cumplir las funciones cognitivas:
comunicación, tratamiento y objetivación; estas funciones son independientes de cada sistema
50
semiótico, llamadas funciones meta-discursivas, es decir que todo registro debe cumplir con
dichas funciones. Sin embargo, cada registro tiene funciones que son propias de un sistema
particular y los registros de representación discursivos no son la excepción. De ahí, que la lengua
natural cumpla con ciertas funciones que permiten construir un discurso. En primer lugar, la
lengua debe nombrar objetos, enunciar características del objeto, realizar vínculos entre
proposiciones enunciadas y establecer valores de verdad sobre éstos (Duval, 2004). En otras
palabras, la lengua natural debe cumplir con las funciones de designación de objetos, función
apofántica de expresión de enunciados completos, función de expansión discursiva y función de
reflexividad, las cuales se explican a continuación:
La primera función de la lengua es permitir designar objetos (Duval, 2004, p. 94). A su
vez, de esta función se clasifican ciertas operaciones las cuales son:
Operación de designación pura: Esta operación consiste en identificar un objeto
mediante algún tipo de gesto, marca o alguna simbología particular (Duval, 2004, p.94).
Por ejemplo:
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Si el
primero mide 30° más que el segundo y el tercero 60° menos que el
primero ¿Cuál es la medida de cada ángulo?
La designación pura corresponde al sujeto “ángulos”
Operación de categorización simple: consiste en identificar un objeto con base en sus
cualidades (Duval, 2004, p.95). Respecto al ejemplo anterior, las operaciones de
categorización simple corresponden a los términos “suma”, “180°”, “primero”, “mide”,
“30°”, “segundo”, “60°”, “tercero”.
51
Operación de determinación: Consiste en precisar el campo en que se presentan esas
cualidades (Duval, 2004, p. 95). Considerando el ejemplo anterior, el campo
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Si el primero mide 30° más que
el segundo y el tercero 60° menos que el primero ¿Cuál es la medida de cada ángulo?
Operación de descripción: permite identificar un objeto mediante el cruce de varias
operaciones de categorización (Duval, 2004, p.95). Nuevamente se menciona el ejemplo
anterior:
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Si el primero mide 30° más que
el segundo y el tercero 60° menos que el primero ¿Cuál es la medida de cada ángulo?
En este orden de ideas, al designar un objeto, se debe tener un “léxico” para poder
nombrar algo sin importar qué sea. El léxico corresponde a “Un conjunto de elementos (signos,
símbolos, o palabras) que permiten marcar explícitamente el cumplimiento de una de las cuatro
operaciones que contribuyen a cumplir la función referencial” (Duval, 2004, p.94). No todos los
léxicos tienen el mismo modo de organización ni los mismos modos de extensión, por ello es
importante hacer una gran distinción entre los tipos de léxicos:
Un léxico es sistemático cuando se forma de la siguiente manera: “un conjunto de
objetos elementales y sus designaciones por medio de símbolos arbitrarios, los objetos se
designan por composición de símbolos arbitrarios” Granger (citado Duval, 2004, p. 97). De la
misma forma, se afirma que el léxico inicial corresponde a los símbolos que designan objetos
elementales. Por ejemplo, las escrituras algebraicas, los símbolos numéricos etc.; a su vez los
léxicos sistemáticos presentan una gran restricción y esta sólo permite designar únicamente un
objeto que pertenece a un dominio particular.
52
Un léxico es asociativo cuando su léxico de partida no remite a un conjunto de objetos
teóricamente elementales, sino a la diversidad de objetos y de fenómenos del medio físico y del
entorno sociocultural (Duval, 2004, p.98). De esta forma, los objetos y los fenómenos que se
designan en muchas ocasiones giran en función de características que los tipifican sin definirlo,
mostrando que la palabra que los designa refleja la imagen en la retina.
En la siguiente tabla se presenta las operaciones de la función referencial y las formas
asociadas en el registro de lengua natural y la lengua formal:
Tabla 8. Operaciones de la función referencial y sus formas asociadas (Duval, 2004, p. 100).
Ante la emergencia sobre de evocar objetos, no basta con la designación simple de éste.
Una lengua debe permitir que se pueda decir cualquier cosa sobre los objetos que se designan.
Esta característica que tiene la lengua natural recibe el nombre de función apofántica la cual
presenta un valor13
asociado. Además de ello, presenta dos operaciones:
13
En palabras de Ducrot, 1972 (como se cita en Duval, 2004, p.105) los enunciados completos pueden tener un
valor lógico de verdad o falsedad, un valor epistémico de certeza, de necesidad o verosimilitud, de posibilidad o de
absurdidad, un valor social de pregunta que obliga a una respuesta, de orden para ejecutarse, de deseo, de promesa.
53
Predicación: consiste en establecer la relación y un atributo de éste teniendo en cuenta
atributos como una propiedad, una acción o relación, con una expresión que designe los objetos.
En otras palabras, la predicación permite que se puedan dar características al sujeto, un
significado dentro de un contexto (Duval, 2004).
Acto ilocutorio: Se conoce como el acto que emite una acción cuando se dice algo, un
acto que compromete al locutor con el juicio emitido (Duval, 2004).
Para que una proposición sea un enunciado completo en lenguas naturales, no basta que
provenga de una operación de designación, también es necesario que se efectúe una fuerza
ilocutoria sobre la proposición emitida. Por ejemplo, ¡Cómprame un chocolate¡ ¿Puedes
comprarme un chocolate? Los actos ilocutorios pueden presentar teniendo en cuenta la
entonación con que se presente la proposición.
Ahora bien, las proposiciones que tienen su origen en la variación de las formas de
predicación presentan estructuras internas muy diferentes las cuales se denominan estructura
remática y estructura funcional. La primera, se identifica “por la combinación de un verbo, con
o sin expansión, y de una función que cumpla con la función referencial”(Duval, 2004, p.108);
este tipo de estructura se presenta en la lengua natural. Por otro lado, la segunda estructura
corresponde a las combinaciones que realizan en lengua formal14
.
Centrándose en las unidades apofánticas, es indispensable conocer la forma en que varía
la redacción de los textos, estas transformaciones que se realizan están directamente relacionadas
con el modo en que se explicita le contenido cognitivo en la comprensión de una unidad
apofántica (Duval, 2004, p.286), estas redacciones generalmente pueden ser explícitas o
14
No se profundiza debido que no se estudian las lenguas formales en este trabajo.
54
implícitas, he aquí donde los elementos explícitos son objeto de estudio en la tematización. Pero
lo que solamente es el objeto de una mención no puede considerarse como implícito, ni
redaccionalmente explícito. Lo que se puede considerar es denotarlo como redaccionalmente
mencionado. De ello, que se presenten variaciones en la redacción de un enunciado:
Primero, esta variación concierne a escoger elementos (objetos, relaciones, estados de
hecho...) subyacen bajo la función referencial, o tomados bajo una expresión que cumple
una función apofántica (frase). Segundo, Está relacionado con la escogencia de las
expresiones apofánticas para tematizar elementos que se quieren explicitar. El tercero
concierne el orden de presentación de los elementos explicitados. Es decir el orden de
sucesión de las frases. Pero también los elementos que, en cada frase, son explicitados a
través de una expresión referencial y que por tanto están en una posición de sujeto
gramatical del verbo principal. Estos tres factores de variación determinan lo que se llama
organización redaccional de un texto (Duval, 2004, pp.287-288).
Para ilustrar la variación redaccional, se presenta el siguiente ejemplo:
La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Si el primero mide 30° más
que el segundo y el tercero 60° menos que el primero ¿Cuál es la medida de cada
ángulo?
Claramente se explicita que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, las
escogencia de las expresiones para determinar las medidas de cada ángulo, el primero mide 30°
más que el segundo… el tercero 60° menos que el primero. Finalmente, el orden en que se
presenta el enunciado, se evidencia que se comienza indicando el valor total de los ángulos sin
conocerlos, luego, presentan una relación entre el primer ángulo y el segundo indicando que el
primero excede al segundo en 30°, después se establece relación entre el tercero y el primero con
la condición de que el primero es mayor que el tercero por 60° dejando como implícito que el
tercero es inferior al primero en 60°, por último se plantea la pregunta que abarca todas las
55
unidades apofánticas. De hecho, los elementos nombrados hacen parte de la organización
redaccional.
Así mismo, reducir el uso de la lengua a evocación de enunciados completos sino que
estos deben vincularse y relacionarse en la unidad de un demarche discursiva que tenga
continuidad y se presente de forma no tautológica (Duval, 2004). Este tipo de función
corresponde con la función de expansión discursiva, en efecto, uno de los principales problemas
que surgen en la comprensión de un discurso está relacionado como lo que el discurso deja
explícito y lo que no. El modo de producción de un discurso puede determinar las operaciones de
un discurso, este modo de producción puede realizarse de forma lógica, o descrito como lo hace
la “lengua natural”, estas expansiones pueden hacerse por acumulación o por sustitución:
Cuando la expansión discursiva se realiza por sustitución, el paso de un enunciado a otro
no depende de sus contenidos respectivos, sino del estatus15
respectivo de cada enunciado:
hipótesis dadas, premisas, conclusión intermedia o conclusión buscada, regla de sustitución
(Duval, 2004, p.115).
De otro lado, cuando la expansión discursiva se construye por acumulación, el paso de un
enunciado a otro depende del contenido16
respectivo: expresiones referenciales, expresiones
predictivas, estas deben provenir del mismo dominio de objetos o de la misma red semántica
(Duval, 2004, p.115).
15
Corresponde al papel que cumple una unidad apofántica con respecto a otra en la organización de un discurso. 16
Este corresponde a los diferentes aspectos bajo los cuales puede ser identificada, bien sea por la materialidad de
los signos que permite distinguirla de otras, y por tanto, repetirla, la significación de sus expresiones referenciales y
predicativas así como las asociaciones permitidas por la red semántica de la cual provienen, o su eventual valor de
verdad. (Duval, 2004, p. 115)
56
Ante los posibles tipos de expansión discursiva, se presentan cuatro formas en la
siguiente tabla:
Tabla 9. Formas asociadas a la función de expansión discursiva (Duval, 2004, p.119)
La similitud semiótica corresponde a la repetición de los mismos significantes de un
enunciado a otro. (Duval, 2004, p.117)
La similitud semántica permite que una invarianza referencial entre dos expresiones
diferentes permita una continuidad temática entre las frases que las contienen,
permitiendo que la segunda frase constituya un avance discursivo de la primera. (Duval,
2004, p. 117)
La similitud interna consiste en el paso directo de un enunciado a otro sin que se requiera
un tercer enunciado, sólo con estas dos asociaciones es posible determinar la similitud
semántica o semiótica entre los dos enunciados. (Duval, 2004, p.118)
57
La similitud externa permite el uso de un tercer enunciado bien sea directo, indirecto,
explícito o implícito para que haya una continuidad en el discurso formando así similitud
semiótica o semántica. (Duval, 2004, p.119)
Otro aspecto a considerar es que una lengua debe permitir también situar un enunciado en
relación con otros enunciados, según el empeño que el locutor ponga en lo que enuncia o incluso
en la relación que quiere establecer con el interlocutor. Esto quiere decir que una lengua debe
permitir explicitar en el enunciado mismo la manera como el locutor emplea la lengua para decir
lo que quiere decir y que según sea el valor de verdad de una función este dependerá únicamente
del valor de sus argumentos y de un conjunto que no cambie por el cambio de designación de
uno de sus elementos lo cual corresponde a la función de reflexividad. (Duval, 2004b. pp.121-
122).
58
CAPÍTULO 3. ASPECTOS METODOLÓGICOS
El tipo de investigación en el presente trabajo de grado sigue la modalidad descriptiva
documental, dado que esta modalidad logra caracterizar, describir y plantear un panorama con relación a
una cuestión o problemática como se plantea en este proyecto.
Ahora bien, para cumplir los objetivos propuestos, la presente investigación se elaboró en la
Institución Educativa Francisco José de Caldas la cual está ubicada en el distrito de
Buenaventura (Valle del Cauca-Colombia) el trabajo se realizó con estudiantes de grado noveno
con una selección de 2 estudiantes por cada grado de manera aleatoria para un total de ocho
estudiantes. Esta selección de hace debido que el análisis de los resultados pretende ser
cualitativo y al tener una mayor muestra, los resultados del estudio tendrían mayor extensión.
En esta investigación se propuso realizar dos actividades, así mismo, en su elección se
tuvo en cuenta aspectos semióticos-cognitivos de los registros de representación semiótica y en
particular las actividades cognitivas de tratamiento y conversión.
Las actividades son una selección de algunos problemas de la secuencia didáctica que
construye Azañero (2013) en la cual diseñó secuencias de problemas que se resolvieran usando
ecuaciones lineales, que estimularon tratamientos en los registros algebraico, numérico y verbal con
el fin de identificar errores al estimular operaciones cognitivas (tratamiento y conversión) en el
marco de la teoría semiótica cognitiva.
La segunda actividad que se propuso a los estudiantes es una selección de problemas que
se presentan en los libros de textos Espiral 8 y Símbolos 8 diseñado por Moreno (2008) &
Caraballo (2006) de la editorial Norma y Voluntad respectivamente. Se escogieron estos libros
porque son los recursos principales que poseen el docente y los estudiantes en el aula para el
59
desarrollo de sus clases. Al igual que la actividad anterior, los problemas seleccionados se
observaron desde la perspectiva semiótica apuntando a los procesos cognitivos, la congruencia y
la coordinación entre los registros.
Se pretende trabajar con estas actividades porque por medio del trabajo de Azañero
(2013) se desea identificar dificultades y la incidencia de algunos elementos semióticos en el
proceso de su resolución tales como la congruencia y el cambio de registro. Por otro lado, se
pretende desarrollar actividades desde la selección de los libro de textos porque es viable indagar
desde lo semiótico sobre las actividades ahí se proponen.
Teniendo en cuenta el tiempo para la resolución de las actividades, el desarrollo de éstas
tuvo un tiempo mínimo de dos horas por prueba. Así, los registros de representación semiótica
que se abordan en las actividades son el registro geométrico, algebraico, lengua natural.
De acuerdo a lo anterior, para obtener un análisis detallado de la información que brindan
las dos actividades desarrolladas en el aula, se construyen rejillas de análisis que en primera
instancia, aborda un análisis cualitativo de las preguntas que se proponen en lengua natural
mediante enunciados completos. Es decir, en la rejilla de análisis se tiene la intención de
establecer un estudio de los enunciados completos a través de unidades segmentadas, la rejilla es
tomada de Pontón (2012) la cual hace referencia a las unidades elementales que componen cada
uno de los enunciados que se presentan en lengua natural. Como puede observarse a
continuación:
60
Tabla 10. Formato de rejilla para el análisis de los enunciados. Pontón (2012).
La primera casilla corresponde a la pregunta en lengua natural que se va a analizar, las
abreviaturas U1, U2, Un son las unidades apofánticas que tiene el enunciado completo, la
categoría designada unidad de la unidad concierne a la unidad objeto de estudio, los elementos
explicitados hacen alusión a términos que son clarificados en el enunciado con relación a la
unidad de la unidad. Se estudia la forma de nombrar, los sujetos, los adjetivos, y los tiempos
verbales, luego se describe el orden en que se presentan los elementos que son explicitados en el
enunciado, los objetos matemáticos involucrados y la magnitud objeto de la unidad.
Para las categorías de análisis referente a los aspectos semióticos, se construyó otra rejilla
la cual cuenta con los conceptos de la semiótica- cognitiva que cuenta con los tres fenómenos
diferenciación, diversificación y coordinación, las operaciones cognitivas y los criterios de
congruencia, tal como puede observarse en la siguiente tabla:
61
ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE REPRESENACIÓN SEMIÓTICA
ACTIVIDAD
ACTIVIDADES COGNITIVAS
CONVERSIÓN
DESIGNACIÓN FUNCIONAL
AS
PE
CT
OS
DIS
CIP
LIN
AR
ES
PLANTEAMIENTO DE LA
ECUACIÓN
TRATAMIENTO
DESPLAZAMIENTO DE UN
TÉRMINO A OTRO
OPERACIONES DEL CÁLCULO
LITERAL
Tabla 11. Formato de rejilla para el análisis de los aspectos semiótico y disciplinares.
Los elementos que fueron objeto de estudio para la recolección de información están
ligados a las actividades cognitivas de tratamiento y conversión, las operaciones substitutivas y
referenciales respectivamente vinculadas al aprendizaje del álgebra. Se realizó un análisis de las
operaciones cognitivas donde se describió cómo pueden ser los posibles procesos de tratamientos
para poder identificar la génesis de diferentes problemas para realizar operaciones algorítmicas,
identificar la variable, operar y utilizar las propiedades en el campo de los números reales de
forma correcta, la designación de la variable cuando se plantean ecuaciones lineales. En síntesis,
se realizó un contraste entre las posibles respuestas que puede tener un problema teniendo en
cuenta las operaciones cognitivas tratamiento y conversión y los procesos que pueden desarrollar
los estudiantes. El análisis de estas producciones se diseñó en otra rejilla que se presenta de la
siguiente forma:
Tabla 12. Rejilla para el análisis de las producciones creada por los estudiantes.
62
La primer fila alude a la pregunta que se va a analizar, la columna Est corresponde a la
cantidad de estudiantes que presentaron la prueba, en las respuestas realizadas se presentan las
producciones que realizan los estudiantes para ello se presenta una imagen de la solución a la
pregunta, para las columnas conversión y tratamiento se realiza un análisis teniendo en cuenta las
operaciones que presenta cada uno de los dos registros de representación semiótica.
Luego de ello, las variables para el análisis de las producciones que desarrollaron los
estudiantes teniendo en cuenta los aspectos disciplinares fueron: el grado de la variable, el
planteamiento de la ecuación, el uso correcto de las propiedades y la solución de la ecuación. Por
otro lado, las variables referentes a los aspectos semióticos que se abordaron en la investigación
estaban ligadas a los procesos cognitivos (tratamiento y conversión) y la incidencia de los
criterios de congruencia para plantear resolver el problema. También, la rejilla de Pontón (2012)
permitió identificar la unidad y sobre quién se hace alusión, (Función referencia), darle un
contexto completo a dicha unidad (apofántica), la estructura como se desarrollan de manera
progresiva los enunciados.
3.4 CRONOGRAMA
El trabajo de investigación se realizó el siguiente cronograma el cual corresponde a todo
el recorrido y las actividades a lo largo de éste.
Tabla 13. Cronograma de actividades
Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre
RESUMEN X
INTRODUCCIÓN X
ANTECEDENTES X
PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA XX
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA X
1.1.OBJETIVOS XX
JUSTIFICACIÓN X
METODOLOGÍA XX
MARCO TEÓRICO XX XXXX
TRABAJO DE CAMPO XXXX XXX
ANÁLISIS DE LAS SECUENCIAS X XX
CONCLUSIONES XX
63
CAPÍTULO 4.ANÁLISIS DE LAS ACTIVIDADES
4.1 ACTIVIDAD 1
A continuación se realizará la segmentación de la información a partir de las rejillas
teniendo en cuenta los elementos teóricos que en capítulos anteriores se han explicado.
Este primer problema, hace parte de un conjunto de problemas que Azañero (2013)
diseñó con varios ítems para estimular la conversión de un registro semiótico a otro. Para
efectos del trabajo se segmentó ítem por ítem a su vez, el enunciado principal.
Ilustración 4. Pregunta 1. Actividad 1
64
Se ha denominado enunciado 1 al principal del problema.
Tabla 14. Segmentación del enunciado 1.
Como se puede evidenciar, la información que se explicita es la que el estudiante
deberá tener en cuenta al momento de realizar el problema. Dicha información alude a las
dimensiones de la cancha de Vóley y explicita una condición importante que es “Ser el doble
de” es decir que una de las dimensiones debe cumplir con esta condición. Es importante tener
en cuenta que la presentación de los elementos explicitados tiene como objetivo que el
estudiante pueda responder los ítems que se encontrará de acuerdo a la información que ha
sido suministrada.
A continuación se abordará el primer ítem del problema desde la rejilla para observar
qué elementos complementan la información para que los estudiantes puedan concatenar lo
65
explicitado más sus conocimientos les permitan coordinar las conversiones entre registros que
se puedan suscitar.
Tabla 15. Segmentación de la pregunta 1.a.
Existe una congruencia entre las unidades significantes del enunciado principal y este
primer ítem, puesto que aluden a la cancha de vóley, se explicita una de las dimensiones que
ya son distintas a la anterior pues en este ítem “Camila va a construir” hay un faltante de
información que es el ancho de la cancha de Vóley que debe ser hallado según la condición
dada información que se pide de manera clara en el enunciado. Por otro lado, se pide que se
dibuje un rectángulo y se pongan las dimensiones correspondientes, a diferencia del
enunciado principal en este se explicita que las dimensiones pertenecen a un rectángulo,
mientras que en la información inicial se encuentra de manera explícita quizás considerando
que los conocimientos previos de los estudiantes les lleven a concluir que según la
66
información cuando las medidas son diferentes más que la cancha tiene cuatro lados se habla
de un rectángulo, es notorio que se espera que la condición inicial sea suficiente para que el
estudiante pueda realizar las operaciones cognitivas correspondientes.
Tabla 16.Segmentación de la pregunta 1.b.
De la anterior segmentación nótese que no hay congruencia entre las unidades que
componen el enunciado principal y este ítem debido a que aunque se haya encontrado el
ancho del rectángulo que diseña Camila en el enunciado 1.a y se establezca explícitamente la
condición dada en el enunciado 1.b, la univocidad semántica deja de existir ya que se
introduce otra unidad la cual no había sido desarrollada en ninguno de los ítem anteriores la
cual corresponde al concepto “perímetro”. Así mismo, se pide que se calcule el perímetro del
rectángulo que “diseña Camila” el cual no había sido desarrollado hasta el momento.
Sin embargo, en cuanto a los fenómenos relacionados con los aspectos semióticos que se
expuso en el marco teórico, las preguntas 1.a y 1.b cumplen con la diversificación puesto que
se puede representar el enunciado en un registro geométrico construyendo una figura
rectangular que cumpla con la condición dada y por otro lado se evidencia el fenómeno
67
diferenciación porque permite mostrar una característica del enunciado, como es el caso del
registro geométrico el cual permite una visualización concreta de la situación que se presenta
en lengua natural, el registro numérico y algebraico va permitir calcular el perímetro del
rectángulo. Tal como se observa en la siguiente tabla:
Tabla 17. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 1.a y 1.b.
De acuerdo a las transformaciones desarrolladas en la anterior tabla se puede observar
que el objetivo de las preguntas 1.a y 1.b apuntan específicamente a realizar un cambio de
registro desde lengua natural al registro numérico, cuyo cambio de registro se hará teniendo
en cuenta la condición dada. Azañero (2013) presenta una dificultad que pueden tener los
estudiantes al resolver el problema, dicha dificultad radica en la no comprensión del concepto
perímetro la cual presenta no-congruencia con el enunciado 1. Ante esta, con el fin de
contrastar lo que se esperaba y lo que sucedió se presentan la resolución de las preguntas por
parte del estudiantado:
68
1. Las dimensiones oficiales de las canchas de vóley son 18m de largo y 9m de ancho.
Todas las canchas de vóley deben cumplir la condición de ser rectangulares, con la longitud del
largo el doble de la longitud del ancho.
a) Si la arquitecta Camila diseña una cancha de vóley cuyo largo mida 14 m ¿Cuánto debe medir el ancho
según la condición dada? Dibuja un rectángulo y pon las dimensiones correspondientes.
b) Calcula el perímetro de la cancha de vóley que diseña la arquitecta Camila.
EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
17
18
Se realiza una
transformación de la
lengua natural al registro
geométrico.
Desarrolla conversión del
registro geométrico al
algebraico y por último
estimula la conversión del
registro algebraico al
numérico.
Se realiza adición entre las
cantidades numéricas
concerniente a los lados del
rectángulo.
2
El estudiante desarrolla
conversión de lengua
natural al registro
geométrico y luego al
sistema numérico.
Se efectúa el producto por
separado del largo y el ancho
multiplicándolo por dos,
luego se realiza la suma
correspondiente teniendo en
cuenta las cantidades
resultantes del producto.
17 Todos los estudiantes a excepción de un estudiante construyeron el rectángulo con las mismas dimensiones.
18 Dos estudiantes realizaron el mismo procedimiento para calcular el perímetro.
69
3
Desarrolla conversión de
la lengua natural al registro
numérico y posterior a
ello, estimula conversión
al registro numérico.
Se realiza la suma de las
longitudes que se presentan en
la imagen.
4
El estudiante realiza
conversión de lengua
natural al sistema
geométrico.
Responde en lengua natural
que el perímetro es 27.
5
Estimula trans- registro
desde la lengua natural al
registro geométrico y
numérico.
Respondió en lengua natural
que el ancho de la cancha de
vóley era 7m.
Tabla 18. Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la actividad. 1, preguntas 1.a, 1.b.
De lo anterior, se puede decir que la mayoría de los estudiantes desarrollaron el problema
correctamente, tuvieron en cuenta cada una de las unidades apofánticas de la pregunta 1.a para la
resolución del problema y el objetivo que se propuso anteriormente se cumplió puesto que la
conversión fue desarrollada de forma correcta. De acuerdo, a la pregunta 1.a teniendo en cuenta
la segmentación de las unidades que componen el enunciado y el desarrollo del problema
propuesto por los estudiantes se nota que todos tuvieron en cuenta los elementos de la unidad 1,
“si la arquitecta Camila diseña una cancha de vóley cuyo largo mide 14 metros” es decir que
70
los estudiantes comprendieron que el largo de la cancha medía 14metros el cual fue explícito en
el enunciado de la pregunta.
La unidad 2 “cuánto debe medir el largo según la condición dada” fue comprendida
excepto un estudiante “5”quien ubicó la magnitud equivocadamente y presentó dificultades en la
resolución del problema porque no identificó con claridad la condición estipulada en el
enunciado 1 “condición dada”, para el caso de la unidad 3 “dibuja un rectángulo”, se
presentaron dificultades respecto a la unidad de la unidad “rectángulo” puesto que algunos de los
estudiantes aunque realizaron el dibujo tal como lo menciona el verbo de dicha unidad, no
colocaron las unidades correspondientes y se dejaron llevar por la imagen que tenía el enunciado
1, dichos estudiantes son 3 y 4, de esto se puede decir que existe una dificultad en identificar la
longitud de los lados opuesto de un rectángulo. La unidad relativa a la ubicación de las
dimensiones catalogada como unidad 4 no tuvo dificultad para la resolución del problema porque
los estudiantes realizaron el proceso tal cual como lo exigía el enunciado.
De lo anterior, se observó que la mayor dificultad que tuvieron los estudiantes para
resolver el problema fue porque la unidad 3 no fue comprendida en su totalidad, dicha unidad
presenta un concepto cuyo léxico es sistemático el cual general procesos erróneos en su
resolución, cabe la posibilidad de que si se hubiera nombrado la unidad de la unidad 3 bajo el
término “cancha de vóley” posiblemente los estudiantes podrían haber resuelto el problema.
Para el análisis de la pregunta 1.b, se observó que el verbo calcular fue comprendido de
forma satisfactoria puesto que todos los estudiantes realizaron el proceso relativo a encontrar un
valor correspondiente. Sin embargo, se observa que uno los estudiantes aludió al término de
perímetro sumando tres lados, dejó de lado de que un rectángulo tiene 4 lados y debía sumar,
71
podría pensarse que hay dificultad en la comprensión del rectángulo como figura que tiene cuatro
lados. El estudiante 5 presentó dificultades para resolver la pregunta 1.b ya que no se evidencia
transformaciones que den cuenta del objeto matemático relacionado con el concepto de
perímetro.
De lo anterior, se puede decir que la mayoría de los estudiantes desarrollaron el problema
correctamente, tuvieron en cuenta cada uno de las unidades apofánticas “calcula el perímetro de
la cancha de vóley que diseña la arquitecta Camila” para la resolución del problema. Sin
embargo, hubo una no-congruencia en la situación y el cambio de registro porque había una
unidad que relacionaba dos unidades que se mencionaron y un nuevo concepto en el análisis
semiótico y esto puede que haya influido de forma incorrecta en la solución del problema por
parte de algunos estudiantes.
Comparando las soluciones que encontró Azañero (2013, p.78) respecto a la pregunta 1.a,
el 90% de los estudiantes dibujaron el rectángulo tal como lo propone el enunciado, en el caso
relativo al cálculo numérico del ancho un poco menos de la mitad logró hacerlo porque no tienen
claridad sobre algunos elementos que son explícitos en el planteamiento de la pregunta tales
como la condición dada, el largo, el ancho. Por otro lado, el caso de los estudiantes que se
abordaron en este trabajo de grado, se obtuvo elementos similares a la investigación de Azañero
(2012) los errores y aciertos distan en el sentido de que el concepto rectángulo no es claro para la
mayoría de los estudiantes de la institución educativa.
De acuerdo a los resultados propuestos por Azañero (2013) respecto a la pregunta 1.b. se
observó que un alto índice de estudiantes “90%” calculó el perímetro del rectángulo
correctamente salvo un caso que la autora menciona relativo a la no identificación de la unidad
72
apofántica 1 que correspondía a la pregunta 1.a decir que “si la arquitecta Camila diseña una
cancha de Vóley cuyo largo mide 14 metros”, la estudiante cuyo representación geométrica
construyó fue la siguientes:
Ilustración 5. Respuesta de estudiante que responde la pregunta 1.b según Azañero (2013).
Se desarrolla un análisis en conjunto sobre las preguntas 1.c, 1.d, 1.e y 1.f que
corresponden al compilado de preguntas concernientes a las expresiones algebraicas:
Tabla 19. Segmentación de la pregunta 1.c actividad 1.
73
Como se observa, la pregunta refleja la unidad apofántica 1 que se debe utilizar una
representación gráfica que tenga las cualidades de un rectángulo que representa una cancha de
vóley sin olvidar la condición principal “el largo, el doble del ancho”. Sin embargo, se
agrega una nueva expresión “usa la variable x para indicar sus dimensiones”. En este
sentido, el término x tendrá la función de expresar algebraicamente el largo y el ancho de la
cancha, matemáticamente se destaca que la variable permitirá establecer un tipo de expresión
algebraica (polinómica, racional o radical), pero no especifica cuál de las dos dimensiones
debe ser designada con principalmente con la variable. En este sentido, se observa no-
congruencia porque se establece otra unidad correspondiente a la variable cuya determinación
no había sido desarrollada en este momento, de ello, se puede decir que se pierde la
correspondencia semántica se pierde al introducir un nuevo concepto tal como se apreció en el
ítem 1.b.
Tabla 20. Segmentación de la pregunta 1.d. Actividad 1.
En esta pregunta, es claro que la unidad apofántica 1 permite un hilo conductor entre
la pregunta 1.c, cuando se utiliza el verbo “usa”, además de ello, se observa que se introduce
74
la unidad apofántica 2 “escribe la ecuación que exprese que el perímetro de la cancha de
vóley es 48” para establecer una relación de equivalencia y resolver el problema. De ahí que
se observe la no-congruencia porque se introduce un nuevo concepto que desde los disciplinar
se desarrolla desde otro campo de conocimiento en las matemáticas el cual corresponde al
álgebra el cual se referencia en el ítem “una ecuación”.
Tabla 21. Segmentación de la pregunta 1.e. Actividad 1.
Está claro lo que se propone en cada una de las unidades de la pregunta 1.e. Por un
lado, la unidad apofántica 1 “resuelve la ecuación planteada en d” permite relacionar las
unidades elementales del enunciado anterior y la unidad apofántica 2 permite la univocidad y
la correspondencia semántica con los ítems anteriores a este problema. Por tanto, se puede
decir que hay una congruencia entre el enunciado presentado y los relacionados
anteriormente. La unidad 2 “dibuja el rectángulo que representa la cancha de vóley con las
dimensiones halladas”, aquí se deja explícito el rectángulo que se desea construir teniendo en
cuenta la unidad anterior a esta unidad.
75
Tabla 22. Segmentación de la pregunta 1.f. Actividad 1.
Se puede observar que la unidad apofántica deja explícito que se debe constatar los
valores que de obtuvieron en la resolución. Sin embargo, no se especifica sobre qué resultados
se realizará la prueba de los resultados. Por no ser explícito en el planteamiento del problema
esto puede generar algunas dificultades en su resolución. Por tal razón, el enunciado presenta
no-congruencia en el desarrollo de la conversión porque se deja de lado la univocidad
semántica terminal.
Los tres enunciados anteriores presentan diferentes apreciaciones para resolver el
problema que conciernen a una cualidad de nombrar a la variable x como las dimensiones de
un rectángulo. La primera, establece que la dimensiones del rectángulo pueden ser nombradas
por la variable 𝑥, la dificultad en este caso es que no se tiene diferenciada cuál dimensión
tiene se le asigna la variable x teniendo en cuenta la condición establecida. Es decir, no se
presenta quién es 𝑥, 2𝑥 𝑜 𝑥
2 dependiendo de la designación presentada en el desarrollo de la
76
pregunta. En el segundo caso, se realiza planteamiento de la ecuación, este elemento explícito
en el enunciado presenta una condición esencial para encontrar el valor de la incógnita x que
bien puede ser el largo o el ancho dependiendo de la designación que se desarrolle para la
variable. Por último, la pregunta 1f la cual va a constatar los valores encontrados teniendo en
cuenta la solución de la ecuación de se preguntó en 1.e.
Las preguntas desarrolladas en la primera sección tienen la característica de tener un
léxico asociativo porque se evidencia diferentes objetos ligados a un mismo entorno, además,
se presentan más de dos enunciados teniendo una similitud externa y diferentes significantes
para un mismo objeto, pudo verse el caso de las dimensiones (largo, ancho, x), cancha de
vóley (rectángulo), en el cual se exige un amplio dominio de leyes, conceptos para el objeto
matemático (rectángulo).
De acuerdo a los fenómenos implicados en los aspectos semióticos desarrollados en el
análisis de las preguntas, se evidencia diversificación de los registros de representación
cuando además de las preguntas donde se alude la lengua natural, se proponen las preguntas
1.c y 1.d y 1.e las cuales permiten el desarrollo de la conversión atribuyendo los sistemas
geométricos y algebraicos, en el caso del registro numérico cuando se desarrolla la conversión
en la pregunta 1.f.
Teniendo en cuenta las exigencias en relación con la diversificación del os registros
mencionados, se evidencian algunas características relativas a dicho fenómeno, por ejemplo,
la lengua natural permite la relación entre las dimensiones del rectángulo “el largo el doble del
ancho” el sistema semiótico geométrico contribuye en la visualización del rectángulo (cancha de
vóley, rectángulo) y establecer la condición de las dimensiones de los lados, el registro algebraico
permite encontrar una relación entre las cantidades desconocidas que se encuentran en los registros
anteriormente mencionados en relación con el perímetro del rectángulo para plantear la relación de
77
equivalencia entre dos polinomios y por último, el registro de representación numérico establece una
relación numérica entre los lados del rectángulo y su perímetro.
Tabla 23. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 1.c, 1.d, 1.e y 1.f.
De acuerdo con las actividades que selecciona Azañero (2013), el objetivo de la
pregunta 1.c está encaminada a la conversión de lengua natural al registro algebraico. De la
siguiente forma:
Ilustración 6. Conversión de la pregunta 1.c.
78
De esta forma, se espera que se presenten dificultades en los estudiantes para designar
la variable x y utilicen expresiones numéricas 1cm y 2cm para el ancho y el largo
respectivamente.
Además de ello, bajo su escrutinio el objetivo de la pregunta 1.d consistía en el trans-
registro de la lengua natural al sistema algebraico donde posiblemente se presentan
dificultades para el planteamiento de la ecuación. Además, para los casos 1.e el objetivo se
destaca en el tratamiento del registro algebraico que de forma hipotética se espera que los
estudiantes no resuelvan la ecuación porque la ecuación no fue planteada de forma correcta.
Por último, para el caso 1.d se pretende que el estudiante desarrolle conversión del registro
algebraico al numérico y posterior a ello, se evidencie intra-registro para verificar los
resultados obtenidos. Conforme a ello, con el fin de establecer un contraste de lo que se
esperaba y la resolución de los estudiantes a los problemas planteados se desarrolla la
siguiente rejilla de análisis:
c) Dibuja un rectángulo que represente una cancha de vóley que cumple con la condición exigida y
usa la variable “x” para indicar sus dimensiones.
d) Usa lo hecho en la parte (c) y escribe una ecuación que exprese que el perímetro de la cancha de
vóley es 48 metros.
e) Resuelve la ecuación planteada en (d) y dibuja el rectángulo que representa la cancha de vóleibol,
con las dimensiones halladas.
f) Verifica mediante una prueba si los resultados que has obtenido son los correspondientes a cada
longitud. EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
Se realiza conversión
del registro verbal al
registro geométrico y
numérico.
Suma y su resultado
es 48.
2
La conversión efectuada
corresponde a un
cambio de la lengua
natural al registro
geométrico, algebraico y
numérico.
Se desarrolla
tratamiento en el
registro numérico.
79
3
Al igual que la
estudiante anterior, se
realiza conversión del
registro verbal
El estudiante
multiplica por dos
cada una de las
dimensiones, luego
suma los resultados.
4
El cambio de registro
efectuado corresponde a
una transformación de
un sistema en la lengua
natural al geométrico
utilizando cantidades
numéricas.
El desplazamiento
de los términos no se
efectúa de forma
concreta porque no
hay una igualdad
entre dos cantidades.
Sin embargo, las
operaciones de
cálculo literal son
realizadas de forma
satisfactoria.
5
Se evidencia un cambio
de registro entre la
lengua natural al
registro geométrico y
luego se convierten a
expresiones algebraicas.
Si se evidencian las
unidades significantes
relacionadas con el
enunciado principal el
cual corresponde con el
largo es el doble del
ancho.
No se efectúan
desplazamiento de
términos. Sin
embargo, las
operaciones de
cálculo literal son
realizadas en su
totalidad correcta
para las preguntas d,
e y f.
80
6
La conversión realizada
por este estudiante tiene
similitud a la de otro
(est2).
Llega a la respuesta el
estudiante indicando
que el largo es 16m y al
ancho 8m.
Las operaciones de
cálculo literal son
realizadas en su
totalidad cual
responde la pregunta
1f.
7
Hay conversión del
registro inicial lengua
natural al registro
geométrico.
El desplazamiento
de los términos no se
efectúa de forma
concreta porque no
hay una igualdad
entre dos cantidades.
No obstante, las
operaciones de
cálculo literal son
realizadas de buena
manera.
Tabla 24. Operaciones cognitivas desarrolladas a los preguntas 1.c, 1.d, 1.f y 1.e Actividad 1.
De acuerdo a la anterior rejilla y teniendo en cuenta la pregunta la pregunta 1c, se
observó que los estudiantes desarrollaron la conversión trasformando del lenguaje natural al
geométrico, pero no se tuvo en cuenta lo que exigía la unidad apofántica 2 la cual
correspondía a “usar la variable x para indicar su dimensiones”, los estudiantes no
designaron ninguno de los lados correspondientes a la cancha de vóley que representaba el
rectángulo. De ahí, que se pueda decir que el elemento explícito indició de forma negativa en
la resolución del problema porque se utilizaron cantidades numéricas para la solución del
problema.
81
Para el caso de la pregunta 1d “Usa lo hecho en la parte (c) y escribe una ecuación
que exprese que el perímetro de la cancha de vóley es 48 metros”, se observa que además de
utilizar todas las condiciones del caso 1c esto incluye que se tomen las condiciones anteriores
tal como lo establece la unidad apofántica 1. Así mismo, en la unidad apofántica 2 se
menciona que se debe “establecer una ecuación que exprese el perímetro sea 48 metros” lo
cual implicó el desarrollo de esta pregunta puesto que no se diferenciaron los lados del
rectángulo cuya condición estaba dada en unidad anterior, en ese sentido 4 de los 8
estudiantes desarrollaron la pregunta pero no hicieron la respectiva distinción de los lados,
porque no tuvieron en cuenta la unidad de la unidad la cual consistía en “determinar en
términos de la variable x las dimensiones” quien se designó para encontrar el perímetro del
rectángulo, los demás utilizaron entre expresiones numéricas y otras que con la expresión de
polinomio.
Seguido esto, los estudiantes no resuelven la ecuación que proponen, pero encuentran
desarrollan las operaciones de suma y producto, utilizan el tanteo para llegar a la solución que
en algunos casos fue correcta. Dicha afirmación toma fuerza cuando se observa que cuando se
le pide a los estudiantes que “resuelvan la ecuación propuesta en d” el cual corresponde a la
unidad apofántica 1 de la pregunta 1.e, los estudiantes no desarrollan lo que propone el ítem,
pero sí desarrollan lo propuesto en la unidad 2 la cual establece que “dibuja el rectángulo que
representa la cancha, con las dimensiones correspondientes”. De igual forma, se observa que
el objetivo planteado por Azañero (2013) respecto a esta pregunta no fue desarrollado porque
no plantearon la ecuación y no se presentó la posible dificultad que presenta la autora en su
trabajo.
82
Con lo anterior, se evidencia que la no-congruencia jugó un papel fundamental en la
resolución del ítem porque se aluden a otro concepto el cual generó dificultades a lo
establecido en problemas desarrollados hasta el momentos, como son el cado de plantear en
términos de la variable x y plantear la ecuación.
EL segundo problema, fue seleccionado de las actividades que igualmente propone
Azañero (2013) el fin de desarrollar procesos de conversión de sistemas semiótico en los
estudiantes, el problema se presenta a continuación:
Ilustración 7. Problema 2, Actividad 1.
De acuerdo a esto, se denominó enunciado 2 del problema y se desarrolló la
segmentación correspondiente a este enunciado.
83
Tabla 25. Segmentación del enunciado 2.
Respecto a lo que se evidencia, en el enunciado se explicita que el estudiante debe
tener en cuenta el concepto de proporcionalidad, condición que es importante para el
desarrollo de las preguntas que depende de dicho enunciado, todo ello en la unidad apofántica
1 “la profesora luz enseña el concepto de proporcionalidad”. Además de lo anterior, la
segunda unidad apofántica referencia que “la foto tiene dimensiones 3cm y 3.5cm”, condición
que es explícita en el enunciado.
Seguido esto, se aborda la primera pregunta teniendo en cuenta el ítem anterior
mediante la rejilla se segmentación para observar qué elementos brindan información para el
desarrollo de la pregunta y así enlazar con el enunciado 2 y desarrollar las respectivas
operaciones cognitivas de forma coordinada.
84
Tabla 26. Segmentación de la pregunta 2.a. Actividad 1.
De acuerdo a la segmentación de la pregunta 2.a, nótese que la primer unidad
establece que “la maestra quiere hacer un cuadro de la foto ampliada de los perritos” de
acuerdo con esto, se establece que hay una relación entre el enunciado 2 y la pregunta
abordada en este ítem puesto que ambas tratan de la foto, a su vez, es clara la intención que se
evidencia entre el tema proporcionalidad y el elemento explicitado “foto ampliada” para el
desarrollo de la pregunta. Luego de ello, la unidad 2 plantea una relación conforme al
enunciado principal porque enlaza tanto a la unidad de la unidad “altura” de la foto ampliada
y la foto original. Además, se observa que se concatena la unidad 3 y el enunciado mediante
el elemento explícito “no se conoce la base del cuadro que se va a ampliar”. Sin embargo, se
observa una nueva unidad relacionada con conceptos de tipo algebraicos, donde se establece
que “plantea y resuelve una ecuación” elemento que aún no ha sido tomado en el enunciado
principal. En este sentido, no hay congruencia porque no hay correspondencia semántica entre
el enunciado y el ítem que referencia la pregunta a desarrollar.
85
Respecto al análisis semiótico se puede decir que de acuerdo a la diversificación es un
enunciado-problema que se presenta en primera instancia en lengua natural, en esa misma
forma, presenta una visualización del problema mediante una imagen (ícono), en la cual se
puede evidenciar un rectángulo, lo que conlleva a establecer una conversión entre el registro
geométrico y la lengua natural. A su vez con la pregunta 2a, se propone hacer una conversión
al registro algebraico.
Por otro lado, en ineludible reconocer la diferenciación del objeto matemático
trabajado cuando se realiza una proporción entre las dimensiones de la figura inicial y el
registro geométrico. La lengua natural muestra una identificación correspondiente a la
proporción entre el cuadro de la imagen y la figura que se va construir, la imagen muestra una
visualización de las dimensiones utilizadas para el problema y el registro algebraico permitirá
concatenar todas las unidades y los elementos explícitos para formar la ecuación lineal. Las
operaciones cognitivas desarrolladas en el problema son:
86
Tabla 27. Operaciones cognitivas desarrolladas en la pregunta 2.a
De acuerdo a las transformaciones desarrolladas en el ítem anterior, se observa que no
hay un orden en el arreglo de las unidades porque la unidad significante relativa a la ecuación se
presenta después de las unidades significantes concernientes a imagen ampliada. Esto posiblemente
puede contraer dificultades en la resolución del problema, desde esta perspectiva, Azañero (2013)
presenta dicho problema con el fin de estimular la conversión de la lengua natural al registro
algebraico principalmente. Nótese que la conversión debe ser mediada por la identificación de una
87
figura que presenta el enunciado. A partir de lo anterior, el desarrollo que proponen los estudiantes
relativos a la solución de problema se evidencia en la siguiente tabla:
2. La profesora Luz enseña a sus alumnas el tema de Proporcionalidad y les comenta a sus
alumnas que esta foto de sus mascotas tienen ciertas dimensiones mide 3cm x 3.5 cm.
a) La maestra quiere hacer un cuadro de la foto ampliada de sus perritos. Si la altura debe ser de
60cm. Plantea y resuelve una ecuación para encontrar la longitud de la base.
ES
T
RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
Se realiza conversión de
registro de la lengua natural
al algebraico temiendo
como apoyo una
representación geométrica
la cual es intermedia para la
identificación del objeto.
Dividió entre dos
el número 60.
2
Se usa el registro numérico
para resolver el problema.
La operación
efectuada se realiza
de forma equívoca
y se confunde con
la operación
aditiva.
3
El cambio de registro
corresponde a una
transformación de la lengua
natural y luego al registro
algebraico.
Los
desplazamientos
realizados a los
términos no son
desarrollados
correctamente en
su totalidad.
4
Se evidencia conversión al
registro numérico pero no
se observa un
planteamiento de ecuación
donde se identifiquen todas
las unidades elementales
del enunciado.
Desarrolla intra-
registro, divide el
número 60 entre 2.
88
5
Se desarrolla conversión al
registro algebraico y el
planteamiento de la
ecuación es completo.
No hay
transformaciones
intra-registro.
6 Otros estudiantes no resolvieron la pregunta.
Tabla 28. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.a. Actividad 2.
De acuerdo a las producciones desarrolladas, nótese que un gran porcentaje de los
estudiantes identificaron la intención de la pregunta puesto que en el desarrollo del problema
se observa que las unidades apofánticas 1 y 2 “la maestra quiere hacer un cuadro de la foto
ampliada” y “si la altura debe ser de 60cm” respectivamente si se consideraron en el
planteamiento de la solución. No obstante, se observa que la unidad apofántica 3 relativa al
planteamiento de la ecuación se abordó hasta cierto punto porque Un estudiante plantea una
relación entre dos polinomios pero no efectúa tratamiento para resolver el problema, en otros
casos no son tenidas en cuenta todas las unidades elementales del enunciado para el
planteamiento de la ecuación y mucho menos para encontrar el valor de la incógnita se realiza
por yuxtaposición de la cantidad numérica, algunos estudiantes siguen utilizando la condición
dada que se presentó en la pregunta 1, otros estudiantes por el contrario no pudieron realizar
el problema porque no entendían cómo encontrar la base de la foto ampliada. Ante los
procesos cognitivos relacionados con el intra-registro los estudiantes no tienen en cuenta las
propiedades para la resolución del problema; algunos cálculos no son desarrollados
correctamente.
Esto quiere decir que la no-congruencia incidió en la resolución del problema
particularmente en la tercera unidad “plantea y resuelve una ecuación para encontrar la
longitud de la base” la cual no había sido establecida en el enunciado principal.
89
El conjunto de problemas seleccionados del trabajo de Távara (2013) termina con el
problema número 3 el cual se realiza en un contexto de la lengua natural mediado por el
diagrama de Venn y las expresiones algebraicas puntualmente las ecuaciones, de igual forma
se propende a plantear un análisis teniendo en cuenta la segmentación de las unidades
apofánticas del enunciado:
Ilustración 8. Pregunta 3. Actividad 1
Se denominó enunciado 3 a lo planteado como elemento principal del problema.
90
Tabla 29. Segmentación del enunciado 3. Actividad 1.
La información explicitada brinda información de cada uno de los procesos y los
elementos que tendrá que realizar el estudiante en el desarrollo del problema. El estudiante
debe identificar cada una de las unidades las cuales les permiten identificar por un lado, que
en el problema “se realizó una encuesta a 40 alumnos” la cual corresponde a la unidad
apofántica 1, por otro lado está en la obligación de detallar el “gráfico” el cual es un
diagrama de Venn que se realizó después de haber hecho desarrollado la unidad 1.
91
Tabla 30. Segmentación de la pregunta 3.a. Actividad 1.
Existe congruencia entre lo que propone el enunciado 3 y la pregunta 3.a porque
dentro de la una unidad de la pregunta se toman todas las unidades elementales del enunciado
1, unidades como “problema que inventó Juan” además, el estudiante debe ser muy enfático
en discriminar las unidades que se despliegan del gráfico que presenta la encuesta.
Tabla 31. Segmentación de la pregunta 3.b. Actividad 1.
De acuerdo a la anterior segmentación nuevamente existe no congruencia entre las dos
preguntas porque se omite la univocidad semántica terminal y el orden de arreglo que
componen las unidades elementales porque se establece nuevamente el concepto de
92
“ecuación” el cual hasta el momento no se ha abordado. En este sentido, el estudiante debe
ser consciente de concatenar la información que presenta el enunciado 3, el diagrama de Venn
y las unidades apofánticas 1 para poder entender sobre qué le exige la unidad dos.
Tabla 32.Segmentación de la pregunta 3.b. Actividad 1.
Como puede observarse la unidad apofántica de la pregunta 3.c tiene como propósito
la resolución de la ecuación propuesta en la unidad 2. En este caso, el enunciado deja de
forma explícita que debe resolverse la ecuación, dicha resolución debe ser acorde con la
magnitud prepuesta que se presenta, es decir va tomar números naturales.
De acuerdo a los fenómenos evidenciados desde la perspectiva semiótica cognitiva se
observa el caso de la diversificación en la medida que como puede observarse, problema puede
expresarse en un registro discursivo (lengua natural) luego uno no discursivo como la representación
algebraica y la mediación del diagrama. Por otro lado, es indispensable la diferenciación porque se
utilizan diagramas de Venn para la visualización de la cantidad de personas, pero se hace un
planteamiento de ecuación teniendo en cuenta el enunciado que se presenta en el enunciado de la
pregunta, de ahí que se diferencie el significado y el significante.
Para efecto de dichas apreciaciones desarrolladas con los estudiantes se presentan las
siguientes producciones:
93
Tabla 33. Operaciones cognitivas desarrolladas a las preguntas 3.a, 3.b, 3.c. Actividad 1.
De acuerdo a los objetivos planteados por Azañero (2013) el objetivo de las preguntas
3.a, se pueden son desarrollar conversión del registro algebraico a la lengua natural, en cuanto
a ello la autora espera que los estudiantes identifiquen cuántas personas practican sólo futbol
y cuántas sólo básquet. Las dificultades que se esperan es que redacten el problema de
acuerdo a los propósitos estipulados. Así mismo, se espera que para la pregunta 3.b cuyo
propósito es que se estimule el trans-registro de la lengua natural al registro algebraico se
pueden presentar dificultades respecto al planteamiento correcto de la ecuación y por último
la pregunta 3.c tiene como objetivo el intra-registro del sistema semiótico algebraico. Por otro
94
lado, se evidencia algunos elementos incidentes en la no-congruencia en el proceso de
conversión para la resolución del problema:
No hay univocidad semántica terminal cuando se utiliza la intersección para completar
la cantidad de estudiantes que practican fútbol y por otro lado los que practican
básquet se utiliza para los dos conjuntos y además se debe restar con la intersección tal
como muestra la propiedad:
Fútbol: 𝑥 + 10, Básquet: 2𝑥 + 10,
Total alumnos: 40 Fútbol y Básquet: 10
(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴 + 𝐵 − (𝐴 ∩ 𝐵)
No se evidencia un orden de unidades significantes, como se observará en el siguiente análisis:
Ilustración 9.No congruencia por el orden de unidades significantes.
Las unidades significantes del primer registro son identificables, es clara la magnitud
abordada en el planteamiento y es acorde a la solución del problema (magnitud discreta al
tratarse de alumnos). Del mismo modo, se evidencia que en el registro algebraico existe plena
identificación del registro y tiene características muy similares al registro de partida. La
solución de las preguntas que desarrollaron los estudiantes fueron:
95
3. Juan preguntó a 40 alumnos si practican básquet o fútbol. Al terminar de preguntar, Juan se
inventó un problema e hizo el siguiente gráfico.
Observando el gráfico,
a) Escribe el problema que tú piensas que inventó Juan.
b) Plantea una ecuación para resolver el problema que inventaste.
c) Resuelve el problema usando la ecuación.
ES
T
RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
Desarrolló conversión del
registro algebraico a la
lengua natural, no hay una
interpretación correcta
referente al enunciado. No
tuvo el en cuenta las 40
personas.
El estudiante sumó
y colocó el
resultado
encontrado.
2
El planteamiento de la
ecuación no es completo
teniendo en cuenta que las
unidades elementales que
presenta el problema son
en su totalidad 40
alumnos.
Desarrolla
tratamiento cuando
plantea el problema
que él considera
que inventó Juan.
3 Plantea una situación
donde se evidencia la
cantidad de jugadores de
fútbol y básquet las cuales
son 𝑥 + 10 y 2𝑥
respectivamente.
No hay
desplazamiento de
términos y las
operaciones de
cálculo literal no
son correctas.
96
4
El argumento presentado
por el estudiante
corresponde a una parte
de enunciado al decir que
la una cantidad menor
practica futbol en relación
a los que practica básquet.
El estudiante planteó dos
polinomios
No hay
desplazamiento de
términos y las
operaciones se
realizan de forma
correcta.
5
No se presentan
elementos significativos
donde se evidencie
aspectos propios del
problema.
Designa las unidades
elementales concernientes
al registro algebraico las
cuales son 𝑥 + 10 y
2𝑥 + 10 de futbol y
básquet respectivamente.
No hay
desplazamiento de
términos, solo se
evidencian
operaciones de
cálculo literal las
cuales no se
realizan de forma
correcta.
97
6
Desarrolla conversión del
registro algebraico a la
lengua natural.
Responde parcialmente de
forma correcta a la
pregunta establecida la
cual consiste en
identificar cuántos
estudiantes practican
fútbol y cuántos
estudiantes practican
básquet; sin embargo, no
se presentan la cantidad
que practica fútbol y
básquet.
No hay
operaciones de
cálculo literal que
se evidencien de
forma correcta.
7
El planteamiento de la de
la situación corresponde a
las exigidas teniendo en
cuenta el diagrama y el
enunciado en lengua
natural.
Se establece una
designación funcional
donde se evidencia que
los alumnos que practican
futbol corresponde a
𝑥 + 10 y los que
practican básquet son
2𝑥 + 10. Sin embargo, no
se realiza una ecuación
que dé cuenta de las
condiciones que exige el
problema.
No hay
transformaciones
en el registro
algebraico.
Tabla 34.Operaciones cognitivas de las preguntas 3.a, 3.b y 3.c desarrollada por los estudiantes. Actividad
1.
Respecto a las operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes comprenden de
forma general el problema, es decir que identifican claramente sobre qué se les pregunta.
Puede verse en la argumentación que sustentan en la unidad 1 de le pregunta 3.a. Por otro
lado, se observa que no hay un planteamiento de ecuación donde se reflejen aspecto ligados a
98
las unidades elementales del problema. Los estudiantes sólo proponen expresiones
polinómicas y no tienen en cuenta el enunciado principal para resolver el problema, de ahí
que se utilicen yuxtaposiciones para solucionar el problema.
La intersección de los dos conjunto generó dificultades en la solución del problema ya
que ninguno tuvo en cuenta dicha unidad que aportaba el diagrama de Venn. En este sentido,
la unidad 3.b tenía explícito que se debía plantear una ecuación. Paralelo a esto, se hace
evidente la no-congruencia en el desarrollo del problema puesto que no se fue claro algunas
unidades elementales que de cierta forma se omiten como es el caso de la intersección o la
diferencias entre los dos conjuntos. Para terminar, la unidad 3 no es concatenada porque no se
utilizaron los elementos que eran necesarios de las unidades apofánticas 3.a y 3.b porque en
primer caso no se planteó la ecuación, es por esto que utilizan cantidades numéricas.
99
4.2 ACTIVIDAD 2
La segunda parte de este análisis corresponde al estudio de la segunda actividad de la cual
se seleccionaron los libros de textos símbolos 8 de Caraballo (2006) y espiral 8 de Moreno
(2005), el objetivo de la selección de estos problemas fue evidenciar si existe un estímulo de las
operaciones cognitivas tratamiento y conversión entre registros semióticos de representación
como en el de Azañero (2013). El análisis se presenta de la misma forma en que se presentó el
anterior, comenzando por la rejilla que segmenta las unidades apofánticas de cada enunciado.
La primera actividad de este apartado se presenta a continuación:
Ilustración 10. Pregunta 1. Actividad 2.
Se ha denominado enunciado 1 al elemento principal del problema.
100
Tabla 35. Segmentación del enunciado 1. Actividad 2.
En este enunciado se puede evidenciar que el objetivo principal que tiene corresponde a
desarrollar conversión de la lengua natural al registro algebraico y luego desarrollar
transformaciones intra-registro para resolver la ecuación. Sin embargo, en el enunciado se
utilizan los términos “situación” el cual es confuso en tanto es como si se hablara de un contexto
particular y no de los tres tipos que se estudian en matemáticas tales como las matemáticas, otras
ciencias y el contexto. A su vez, se evidencia el uso de la expresión “forma escrita” el cual puede
aludir al registro en lengua natural o algebraico. Para ilustrar el caso anterior, se presenta el
siguiente ejemplo: sea 34𝑧 + 3 = 2𝑧 − 1. De ello, se puede decir que es un problema que
presenta una situación de tipo matemática y de forma escrita. Para efectos de la coherencia entre
la temática abordada se estudiará el primer problema teniendo en cuenta su segmentación:
101
Tabla 36. Segmentación de la pregunta 1.a. Actividad 2.
La información que brinda el enunciado permite al estudiante tener en cuanta algunos
elementos que son indispensables en cuanto su reconocimiento. Por un lado, se observa que la
identificación del sujeto es claro y además de ello la condición explícita “el triple de un número
es 45” tiene claridad. Sin embrago, hay un grado menor de no-congruencia entre el enunciado 1
y la unidad apofántica perteneciente a la pregunta 1.a porque las unidades elementales no son
específicas del primer apartado no contempla específicamente las condiciones del problema 1.a y
de ser así, tampoco tendrá congruencia con los problemas que pertenezcan a este mismo ítem.
Posterior a ello, de muestra la segmentación del problema 1.b:
102
Tabla 37. Segmentación de la pregunta 1.b. Actividad 2.
Este segundo problema se presenta en lengua natural y tiene la particularidad de tener un
número natural del cual el estudiantado debe ser consciente, además de ello ,debe discriminar las
unidades que presenta el ítem tales como “adicionado”, “consecutivo” sin olvidar el enunciado
principal del problema que corresponde al enunciado 1 de la actividad 2. Así mismo, se
segmentará la unidad apofántica correspondiente al ítem 1.c.
103
Tabla 38. Segmentación de la pregunta 1.c. Actividad 2.
El tercer problema tiene como registro inicial la lengua natural donde el estudiante tendrá
que identificar la unidad de la unidad que cual corresponde a un “número” sobre el cual debe
reflexionar discriminando la cantidad puesto que el ítem sostiene que es un solo número. Luego
de ello, el estudiante debe considerar los elementos que se encuentran explícitos tales como “el
doble, el triple” que permitirán desarrollar procesos cognitivos relativos a la conversión.
De acuerdo a los análisis semióticos, los problemas cumplen con los fenómenos de
diversificación porque el objeto matemáticos puede ser representado además de la lengua natural
en los registros algebraicos, icónico. A su vez, se evidencia el fenómeno de diversificación
debido que se puede observar que el objeto matemático es implícito en la representación, se trata
de encontrar un valor desde el registro de la lengua natural pero no es la única vía de acceso para
104
la solución del problema. Para efectos de lo anterior, se presenta la posible respuesta que los
estudiantes realizarán de cada uno de los ítems propuestos:
Tabla 39. Operaciones cognitivas desarrolladas a las preguntas 1.a, 1.b, 1.c. Actividad 2.
Nótese que la congruencia entre los dos registros de representación es correcta porque se
presenta los criterios de correspondencia y univocidad semántica porque a cada una de las
105
unidades elementales de la lengua natural se le atribuye única unidad elemental en el registro
algebraico y de acuerdo al orden de arreglo entre las unidades se observa lo siguiente:
Ilustración 11. Orden de arreglo entre las unidades elementales del problema 1.a. Actividad 2.
Ilustración 12. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 1.b. Actividad 2.
Ilustración 13. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 1.c. Actividad 2.
Como se pudo observar, existe una identificación clara de las unidades significantes de
cada registro en simultáneo. Las unidades significantes del enunciado del registro de partida
tienen con claridad una y única unidad en el registro de llegada y se puede trabajar en paralelo
entre las dos representaciones. Ante ello, las respuestas que presentaron los estudiantes respecto
a dicho problemas fueron las siguientes:
106
1. Para cada situación escriba una ecuación que le corresponde tanto de forma escrita como
algebraica, luego resuelve dicha ecuación:
1a. El triple de un número es 45.
EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
19
El estudiante usa el registro
numérico para resolver el problema.
Sin embargo, presenta una
conversión que no es acorde con el
planteamiento de la ecuación. Así
mismo, se evidencian problemas
relativos a la conversión del
registro en cuanto a la designación
funcional y mucho más en el
planteamiento de una ecuación.
Cuando realizan el
tratamiento y todo
el desarrollo
operatorio, se
observa que
confunden la
operación
potenciación con la
multiplicación.
2
Se estimula la conversión de la
lengua natural al registro numérico
y dan por hecho que el número
correspondiente a la solución del
problema es el número 15 sin
plantear una ecuación.
El tratamiento que
se realiza concierne
a la propiedad. Se
propone
tratamiento.
3
Se evidencia conversión de la
lengua natural al registro simbólico,
partiendo de que ya se conoce el
valor de la incógnita. Por
consiguiente, no se hace una
designación funcional de la variable
y no se plantea la ecuación.
Suma el número 15
tres veces para
tener como
resultado el
número 45.
4
Se utiliza el registro algebraico para
resolver el problema, pero, no
efectúa un planteamiento
coordinado entre los dos registros,
la conversión que se evidencia no
tiene un sentido completo con la
expresión general de una ecuación
lineal.
Se desarrolla el
tratamiento a través
del cálculo literal.
5
Se plantea una ecuación pero no
hay relación con las unidades
elementales correspondiente al
primer registro, se utiliza el número
15 el cual no se evidencia de forma
explícita en ninguna de las unidades
significantes de la lengua natural.
No se desarrolla de
forma correcta
tratamientos para
encontrar el valor
de la incógnita
relativo a la
transposición de
términos.
19
Esta respuesta es igual a la que propone otro estudiante. Por ello, no es necesaria incluir la otra
imagen.
107
6
Se evidencia la conversión al
registro algebraico, se plantea una
ecuación teniendo en cuenta las
exigencias establecidas pero no la
resuelve.
No se observan
operaciones intra-
registro a la
ecuación planteada
luego de efectuar
conversión, no se
efectúan
tratamientos.
7
Se realiza la conversión de la
lengua natural al registro algebraico
dejando como implícito la
designación funcional del número a
encontrar y lo simboliza con la letra
𝑥.
Resuelve la
ecuación y
encuentra el valor
de la incógnita
además utiliza
implícitamente las
propiedades de los
números reales y
los tratamientos
respectivos
(desplazamiento de
términos y cálculo
literal) para darle
solución al
problema.
Tabla 40. Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.a. Actividad 2.
Las interpretaciones que surgen a partir de la pregunta 1.a son fundamentales y divergen
unas de otras. El sujeto en este caso, resulta ser la expresión “un número” el cual es un número
desconocido, pero los estudiantes en muchos casos representan como un número dado, puede
observarse que se utiliza el número 15 para representar dicho número que no se conoce hasta el
momento. En cuanto a la operación de categorización el triple, se tienen también varias
representaciones y una de ella concerniente a la confusión entre el triple y el cubo de un número,
además de ello, la potencia cúbica se resuelve como una suma repetitiva, a partir de la
representación se puede apreciar cierta confusión entre la operación de potenciación, el producto
y la adición; otras representaciones corresponden a establecer el triple como tres objetos, en el
primer caso se toma como un número específico el cual corresponde al número 15 en que se
puede denominar como “tres números quince”, otra estudiante utiliza dos números quince y un
número arbitrario “𝑥” para resolver problema. Otra operación de categorización corresponde al
108
verbo “es” quien establece la relación de igualdad en los dos miembros de la ecuación, en ello
hubo una estudiante que no tuvo en cuenta este verbo para establecer la ecuación, por ello no la
pudo resolver. Otros estudiantes tomaron en cuenta ciertos los elementos del enunciado y no
tuvieron dificultad alguna en interpretar de forma algebraica.
Se observa que en muchos casos a los estudiantes se les dificultó plantear una ecuación
teniendo en cuenta todas las unidades elementales de la unidad apofántica. En este sentido, los
estudiantes conocen el número que cumple con la condición dada pero les cuesta un gran proceso
desarrollar una conversión al registro algebraico de forma coordinada para resolver el problema.
1. Para cada situación escriba una ecuación que le corresponde tanto de forma escrita como
algebraica, luego resuelve dicha ecuación:
1.b) Un número natural adicionado a su consecutivo equivale a 27.
EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
Se usa el registro numérico sólo
numérico
No hay una designación
funcional de las cantidades
desconocidas ni conocidas.
No hay discriminación de
unidades significantes entre los
dos registros.
Se evidencia un
cálculo literal
consecutivo
independiente de la
ecuación establecida
para llegar al número
27.
2
Resultado basado en el registro
numérico donde se yuxtaponen
dos términos independientes de
las unidades elementales de
enunciado- problema.
Se hacen
operaciones de
cálculo literal.
3
20
Uso de representación numérica
que resolver el problema. Los
números encontrados para la
resolución se encuentran por
tanteo.
Se efectúan las
operaciones de
cálculo literal luego
de haber encontrado
los números
consecutivos.
20
Se presentan dos estrategias más similares a ésta.
109
4
Se utiliza el registro numérico y
las unidades elementales del
nuevo registro no tienen ninguna
relación con las unidades
elementales del registro anterior.
Se realiza
operaciones de
cálculo literal luego
de encontrar los dos
números.
7
Se usa el registro algebraico y se
establece una ecuación
correspondiente al enunciado en
lengua natural, sin embargo no
se establece una correspondiente
transformación de las unidades
elementales entre los dos
registros. Da por hecho que el
número natural que satisface la
condición es el número 13 y el
número consecutivo lo establece
como una cantidad desconocida.
Establece
transformaciones
intra-registro y
efectúa
desplazamiento de
términos dejando
implícita la
propiedad del
inverso aditivo y las
operaciones de
cálculo literal se
realizan de forma
correcta.
8
Se hace transformación de
lengua natural al registro
numérico, las unidades
elementales del nuevo registro
no corresponden a las del primer
registro, por ello, no se establece
una coordinación entre los dos
registros.
Las operaciones de
cálculo literal que se
evidencia en esta
producción no son
correctas.
Tabla 41.Actividades cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.b. Actividad 2.
En torno a la pregunta 1b se evidencian diferentes producciones generadas a partir de la
determinación del sujeto “número”, se establece que es un solo número que va poseer los
siguientes atributos se “adiciona” con su “consecutivo” y esa adicción “equivale” a “27”. En
efecto, hubo un estudiante el cual utilizó el elementos explícito consecutivo para resolverla
haciendo una sucesión de números hasta llegar al número 27, de ahí que no se tenga en cuenta
todos los elementos de la unidad apofántica tales como un número, adicionado, equivale a.
Varios estudiantes encontraron los números sumando números consecutivos pero no se utiliza la
variable “x” para designar un número desconocido que a su vez será la variable del polinomio
para construir la equivalencia entre ellos. Hubo un estudiante que realizó una adición entre el
número 26 y el 1 donde se toma en consideración que sumó el número 1 atribuyendo el sentido
110
de que el número consecutivo se le agrega la unidad y esto le da como resultado el número 27, de
los cual se constata que no se utilizó el sistema algebraico por parte de dicho estudiante. La
elaboración más cercana a la planteada por los estudiantes corresponde a la desarrollada bajo la
expresión 13 + 𝑥 = 27 donde se tomó el sujeto como número pero no se le atribuye la operación
de categorización “consecutivo de” involucrando al número trece cuyo objeto no se encuentra en
el enunciado. Hubo dos casos en que los estudiantes realizaron una suma sin tener en cuenta el
elemento explícito “consecutivo” tales que su resultado fuera el número 27. En general, un gran
porcentaje de los estudiantes no son conscientes del uso del registro algebraico, porque la unidad
no es tomada como un número desconocido y es por eso que para resolver el problema acuden al
tanteo.
Para el análisis de la pregunta 1.c se desarrolló la segmentación correspondiente teniendo
en cuenta dicho enunciado.
1. Para cada situación escriba una ecuación que le corresponde tanto de forma escrita como
algebraica, luego resuelve dicha ecuación:
1.c) El doble de un número, aumentado en su triple es 85.
EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
Se realiza conversión lengua
natural- registro numérico,
además se identifica el número
que satisface las condiciones
dadas en el enunciado. No
obstante, no se establece una
designación funcional y mucho
menos un planteamiento de
una ecuación. No se reconocen
las unidades elementales
relativas a la simbolización de
un número desconocido.
Se utiliza cálculo literal
efectuando las
operaciones de
multiplicación y de
suma para dar con el
resultado establecido en
el enunciado.
2
Se establece una conversión
lengua natural- numérico
donde no se evidencia ninguna
relación entre las unidades
significantes de los dos
registros. En este sentido, no
se hace una discriminación de
Se realizan operaciones
de cálculo literal y se
procede a encontrar el
resultado que presenta
el enunciado.
111
las unidades el doble de un
número, el triple de un
número.
3
Conversión lengua natural-
registro geométrico. No se
establecen unidades
elementales relativas el
enunciado, en consecuencia,
no se designan las cantidades
conocidas y menos se plantea
la ecuación.
Se realizan operaciones
de cálculo literal pero
no se efectúa de forma
correcta, se añade el
número 3 creando un
error de tipo
procedimental.
4
Se presentan conversión de la
lengua natural al registro
numérico, identifica algunas
unidades elementales del
enunciado, pero no presenta
una representación que tenga
todas las unidades en el
registro numérico de forma
completa. Además, al no
realizar una conversión al
registro algebraico, no se
designa y mucho menos se
plantea la ecuación.
Las operaciones de
cálculo literal no se
evidencian en ninguna
de las dos
representaciones que se
propone el estudiante.
5
Se realiza conversión de la
lengua natural al registro
numérico, las unidades
elementales del nuevo registro
no están de forma coordinada.
Si se realiza una designación
pero no es acorde con las
unidades significativas del
primer registro.
No se evidencia ningún
tipo de tratamiento para
resolver el problema.
6
Se realiza conversión lengua
natural- registro algebraico se
designa como 𝑥 al número
además de ello, se realiza un
excelente planteamiento de la
ecuación de acuerdo con la
unidades elementales que se
tienen en el primer registro.
En el tratamiento
efectuado a la ecuación
el estudiante realiza
implícitamente la
operación de cálculo
literal. Es decir, la
segunda fila tiene como
denominador el número
5 pero en el
planteamiento anterior
no tiene una expresión
igual a 5𝑥, luego,
desplaza términos
omitiendo la propiedad
del inverso
multiplicativo. Para
112
corroborar el conjunto
solución encontrado, el
estudiante realiza una
prueba con el valor
numérico encontrado y
llega al mismo
resultado.
7
Se estimula conversión de la
lengua natural al registro
numérico.
Se efectúan cálculo de
operación literal (Sólo
números) para llegar a
la solución.
8
Uso del registro numérico para
llegar a la solución. En primer
instancia, las unidades
elementales que se presentan
en lengua natural no son
acordes en el cambio de
registro realizado por el
estudiante. Se hace énfasis en
el tanteo para llegar a la
solución sin tener en cuenta las
condiciones del primer
registro.
Se efectúan operaciones
de cálculo literal donde
solo se involucran
expresiones numéricas.
Tabla 42. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 1.c. Actividad 2.
Así mismo, se presenta el problema 2 referente a la actividad 2 que tiene como objetivo
estimular la conversión del registro algebraico a la lengua natural y tratamiento en el registro
algebraico. Para el desarrollo de este problema se tuvo en cuenta la segmentación en enunciado
principal del problema llamado enunciado 2.
113
Tabla 43. Segmentación del enunciado 2. Actividad 2.
Al igual que el enunciado principal 1 de la actividad 2, la primera unidad apofántica
plantea que se debe “establecer una situación” dada la ecuación. El estudiante puede tener
algunas dificultades respecto a la unidad de la unidad “situación” porque como se presentó en el
enunciado anterior la expresión algebraica y pertenece a una situación la cual está vinculada al
contexto matemático. Desde esta perspectiva, respecto al ítem el objetivo de éste es que el
estudiante dé un significado en lengua natural a la expresión algebraica que se le propuso.
Ante ello, se presentan las posibles operaciones cognitivas desarrolladas a la luz de la
resolución de dichos numerales.
114
Tabla 44. Operaciones cognitivas desarrolladas en las preguntas 2.a, 2.b, 2.c. Actividad 2.
115
De acuerdo al análisis desarrollado se evidencian los fenómenos de diversificación dado
que el objeto puede representarse en la lengua natural, en este sentido el objeto matemático
cuenta con más de un registro para representar. Por otro lado, se observa el fenómeno de la
diferenciación porque el objeto matemático tiene una representación algebraica pero no es la
única, puede hacerse una conversión, la representación algebraica no significa que sea la
ecuación lineal.
Los problemas anteriores cuentan con los criterios de congruencia, primero se presenta una
correspondencia con los elementos significantes del registro algebraico y la lengua natural. Segundo, en
cada uno de los problemas mencionados se puede observar una correspondencia única del registro
algebraico a la lengua natural a excepción del ejercicio número 2. Por último, se presenta un orden de las
unidades elementales de los dos registros.
Obsérvese el arreglo en cada una de las dos transformaciones en las siguientes ilustraciones:
Ilustración 14. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.a. Actividad 2.
Ilustración 15. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.b. Actividad 2.
Ilustración 16. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.c. Actividad 2.
116
Ilustración 17. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 2.d. Actividad 2.
Las unidades son fácilmente identificables en cada una de las conversiones que se desarrollaron.
Se puede observar un trabajo en simultáneo con las dos representaciones, por tanto se puede establecer la
respectiva coordinación entre los registros desarrollados en esta sección de la actividad. Ante ello, las
respuestas que presentaron los estudiantes respecto a dicho problemas fueron las siguientes:
2. Establezca una situación en cada una de las ecuaciones que se presentan a continuación, de solución a
la situación: 2. 𝑎) 𝑥 + 9 = 15
EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
No se establece una
situación donde se efectúe
un cambio de registro de
la lengua natural.
Se evidencia las
operaciones
“desplazamiento de
términos y cálculo
literal” para encontrar el
valor de la incógnita
aunque implícitamente
se utiliza la propiedad
del inverso aditivo.
Se encuentra el
conjunto solución de la
ecuación planteada.
2
No propone una situación
relativa a la ecuación
planteada.
El estudiante plantea
una ecuación que no es
acorde con las unidades
significantes del registro
utilizado.
Cambia los valores que
son necesarios para
resolver la ecuación.
3
No propone una situación
para la ecuación
planteada.
No se evidencia un
tratamiento relativo a la
operación de
“desplazamiento de
términos”, da valor a la
variable 𝑥 por simple
yuxtaposición con un
117
valor numérico.
4
Se evidencia mono-
registro para plantear la
situación concerniente a
la pregunta establecida.
No da sentido a las
unidades elementales en
otro registro.
Se observa que efectúa
la transposición de
términos donde se
evidencia
implícitamente el
inverso aditivo del
número 9 y utiliza de
buena forma el cálculo
literal.
5
21
Usa la lengua natural para
establecer una situación al
problema relacionado.
las unidades elementales
del registro algebraico son
coordinadas de manera
simultánea con la lengua
natural.
Desarrolla intra-registro
para llegar a la solución
concluyendo que la
incógnita es 6.
6
22
Se evidencia el uso de la
lengua natural para
establecer la situación.
La conversión que se
evidencia en el
planteamiento que
propone el estudiante
implícitamente deja ver
que la designación
funcional como la
cantidad de uvas que
tiene Yendy, unidad que
hasta el momento es
válida. Sin embargo, al
introducir la unidad
significante concerniente
a signo más, éste no es
tenida en cuenta en la
lengua natural y la
cantidad conocida (9) es
designada como una
unidad desconocida “la
cantidad de uvas que
El tratamiento que se
observa para resolver la
ecuación no cuenta
opera con la operación
substituva
“desplazamiento de
términos” pero llega a
la respuesta por tanteo.
21
El estudiante en su planteamiento sostiene lo siguiente: En un salón de clases hay 30estudiantes y la
la mitad quiere participar en los juegos supérate pero sólo pueden entrar x mujeres y nueve hombres ¿cuántas
mujeres pueden entrar? R/ 6 y 7 hombres porque la (x = 6). 22
El estudiante dice: la cantidad de uvas que tiene Yendy son tres veces más que la cantidad de uvas que tiene Karen
dándose que su resultado es 15.
118
tiene Karen”.
7
El cambio de registro que
se evidencia en la
producción que tiene este
estudiante fue correcta
salvo que deja implícita la
designación funcional,
por lo cual se sobre
entiende que la cantidad
desconocida corresponde
al número de estudiantes.
Las transformaciones de
las unidades elementales
que se efectúa entre los
registros se presentan de
forma coordinada.
No se evidencia
transformaciones intra-
registro en ninguna de
las dos
representaciones.
8
Aunque se presenta una
conversión de un sistema
semiótico a otro (lengua
natural- algebraico), la
transformación trans-
registro no es de forma
coordinada porque las
unidades elementales del
segundo registro no se
presentan de una forma
sintáctica bien
estructurada. Además de
ello, la designación
funcional se establece
pero la designación que se
obtiene sobre el número
nueve no tiene una
correspondencia con la
unidad de la lengua
natural.
No se evidencia intra-
registro.
Tabla 45. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes al problema 2.a. Actividad 2.
El enunciado que se presenta en la pregunta 2 corresponde en términos generales a
establecer una situación “en lengua natural” a partir de una expresión algebraica. Ante ello, cinco
de los estudiantes que realizaron la prueba no plantearon una situación en lengua natural frente a
la expresión algebraica dada, de lo que se evidencia una interpretación diferente frente a las
expresiones algebraicas presentadas, cabe preguntarse si tenían claro el término “situación”
como un cambio de la expresión simbólica a partir de un ejemplo cotidiano. Por otro, lado, un
119
estudiante presenta una situación acorde a la ecuación lineal presentada pero no resuelve la
ecuación. Algo pudo haber sido que los estudiantes se confundieran por el la unidad de la unidad
que plantea el enunciado 2 “situación” y por ello no plantearan la solución.
La situación que presenta un estudiante donde el sujeto designado corresponde a “uvas”,
se utiliza el elementos explícito “son tres veces más” el cual no hace referencia a ninguna de las
unidades propuestas en la expresión algebraica confundiéndose con 9 uvas teniendo en cuenta el
caso que ella propone; las demás unidades son desarrolladas correctamente.
En cuanto al desarrollo de la unidad apofántica 2 relacionada con “dé solución a la
ecuación” los estudiantes en su mayoría no resolvieron la ecuación ni la situación que proponen
en lengua natural salvo el estudiante 1. Por otro lado, se observa el planteamiento de un
estudiante que desarrolla 𝑥 + 14 = 15, se observa que el estudiante desde casos anteriores no
discrimina el significado de la variable, tiene la concepción de decir que la variable vale 1
porque su coeficiente lo es, estudiante desde casos anteriores sostiene que el valor de la variable
es 1 porque no tiene coeficiente, confundiendo el valor del coeficiente con el de la variable. En
otros casos, algunos estudiantes desarrollan yuxtaposición para el desarrollo del problema.
2. Establezca una situación en cada una de las ecuaciones que se presentan a continuación, de solución a
la situación:
2. 𝑏) 2(𝑡 + 3) = 5 ES
T RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
No se establece una
situación en otro
registro.
El tratamiento
empleado sin tener en
cuenta los paréntesis
que representa
producto entre 𝑡 + 3 y
el número2.
120
2
23
Se emplea la lengua
natural para
establecer la
situación problema.
No se evidencia
tratamiento en
ninguno de los dos
registros.
3
Presenta un cambio
de registro del
registro algebraico a
la lengua natural,
donde designa a la
variable t como
cantidad de
ancianos.
No se desarrolla intra-
registro.
4
Se realiza conversión
del registro
algebraico a la
lengua natural. Pero,
las unidades
significantes que
produce el estudiante
no corresponden a
las unidades que se
presentan en el
registro inicial.
No se utiliza la
propiedad distributiva
y no se tiene en
cuenta el valor de la
incógnita.
5
No se presenta trans-
registro.
No se efectúan
operaciones de
cálculo literal de
forma correcta.
6
24
Se desarrolla
conversión del
registro algebraico al
numérico.
La propiedad
distributiva no es
tenida en cuenta para
la encontrar la
incógnita.
23
El estudiante dice: En un jardín tenemos 5 manzanas y un conejo sembró 2𝑡 y esto dio 5 manzanas ¿cuántas
manzanas sembró el concejo? 24
El estudiante menciona que: 1(𝑡 + 4) = 5, 1 + 4 = 5 porque t es 1 pero no se cuenta.
121
7
No se realiza
transformación en
otro registro.
No se utilizan los
valores establecidos
en la ecuación que se
le presenta.
Tabla 46. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.b. Actividad 2.
De acuerdo a la actividad, se evidencian algunas dificultades respecto a aspectos
semióticos tales como el tipo de variable que se le atribuye y su designación. Por ejemplo, la
“cantidad de manzanas” dada que la variable se caracteriza por ser continua, los estudiantes la
desarrollan de forma discreta. Esto deja ver no existe una diferenciación entre significado y
significante. Otras dificultades se evidencian en la discriminación de todas las unidades
elementales de los dos registros de lo que se evidencia no- coordinación entre ambos registro.
Además, se observa que no se desarrolla el proceso de resolución de la ecuación de forma
correcta porque los estudiantes no tuvieron en cuenta los paréntesis donde debía aplicar la
propiedad distributiva o utilizar el inverso multiplicativo y aditivo junto con la ley uniforme para
resolver el problema el desarrollo del estudiante fue 2(𝑡) + 3 = 5. La posible resolución era las
siguientes:
Ilustración 18. Posible solución a la pregunta 2. b. Actividad 2.
Todas las posibles dificultades se presentan a continuación:
La situación que construye otro estudiante donde se nomina el sujeto “estudiante” donde
usa la expresión “se le aumenta dos de otro salón” y da como resultado 5. En ello, se evidencia
que no hay coherencia entre las unidades establecidas al sujeto no se le puede aumentar otro, si
122
no están dentro de un conjunto. En otras palabras la confusión alude a mencionar la expresión
“en un salón de clase hay ciertos estudiante y se le aumentan dos de otro salón”. Sin embargo,
no es posible que se establezca una como un enunciado coordinado teniendo en cuenta las
características del sujeto y la solución de la pregunta.
Además de las observaciones mencionadas, se nota la construcción de un enunciado
hecho por un estudiante donde se establece como sujeto “anciano”, donde enuncia dos veces el
sujeto bajo la característica de multiplicarlos no evidencia un sentido respecto a la expresión
algebraica “el doble de ancianos de un ancianato multiplicado a un número de ancianos”.
Además, no se observa relación entre la magnitud con respecto a la expresión algebraica cuya
solución es −1
2.
La solución propuesta por los estudiantes a la pregunta 2.c se presenta en la siguiente
tabla.
2. Establezca una situación en cada una de las ecuaciones que se presentan a continuación, de solución a
la situación:
2. 𝑐) 15 − 2𝑛 = 𝑛 EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
No se efectúa cambio
de registro.
Se hace desplazamiento de
términos sin tener en cuenta
las propiedades de los
números reales, la tercera
línea corresponde a primera
línea y se realiza cálculo
literal luego de haber
realizado el desplazamiento
de términos.
2
Se evidencia mono-
registro.
No se realiza un correcto
desplazamiento términos en
el que no se efectúa respecto
a las propiedades de los
números reales.
123
3
Realiza trans-registro
donde se evidencia
álgebra-lengua natural.
No se realiza transformación
interna en ninguno de los dos
registros.
4
25
Se evidencia
designación funcional,
𝑛: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑧𝑎𝑛𝑎𝑠. Y
cambio de registro a la
lengua natural.
.
En el intra- registro
efectuado no se evidencia
transformaciones teniendo
en cuenta las operaciones
substitutivas de tratamiento.
En este sentido, no se realiza
desplazamiento de términos
y el cálculo literal
correspondiente al
planteamiento efectuado.
5
26
Se desarrolla cambio
de registro teniendo en
cuenta la lengua
natural.
Realiza una prueba en la cual
llega a una equivalencia
15 − 2 ∗ 5 = 5 que
evidentemente tiene
solución.
6
No se establece un
cambio ningún
registro.
Las transformaciones intra-
registro que el estudiante
construye puede
evidenciarse no
interpretación de la ley
simétrica respecto a la
equivalencia entre las dos
expresiones de la segunda
línea que ella construye
7
No se construye una
representación trans-
registro.
Las operaciones relativas al
tratamiento no se efectúan y
la solución concerniente al
intra-registro no corresponde
a la solución.
8
27
Se realiza conversión
sin tener en cuenta las
unidades elementales
del primer registro.
Se presenta intra-registro
donde no se evidencia
relación con la ecuación
presentada.
Tabla 47. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 2.c. Actividad 2.
25
El estudiante dice: Hay 15 manzanas en cada uno de los canastos, en uno de sus canastos se dañaron 2 dándose
que su resultado es 13. 26
El estudiante dice: Mariana tiene 15 peras y le quiere dar a sus dos hermanos una cantidad igual entre ellos,
entonces Mariana plantea esta ecuación en donde la n= hermanos y 15 peras. ¿Cuántas manzanas le toca a cada
hermano? R/5 porque n es igual a cinco ya que 15- 2*5=5. 27
El estudiante dice: 2-8n=n 2-8n=n porque n es el que vale
124
De la misma forma que en las preguntas 2a y 2b los cinco estudiantes no presentan
situaciones concretas con base en las ecuaciones lineales propuestas. De otra forma se observa
que los estudiantes que proponen una situación referente a la expresión algebraica dada, entre
ellas se destacan:
Un estudiante propone una situación donde el sujeto es “peras” y añade que tiene 15, usa
la expresión “quiere darle a sus hermanos” para referenciar el signo menos (-) y referencia de
forma correcta la variable a emitir “una cantidad”. Hasta ese momento el estudiante presenta un
orden de las unidades, designa un objeto y añade atributos sobre éste. En las unidad apofántica
“una cantidad entre ellos y ella entonces ella plantea esta ecuación donde n: hermano y 15:
peras” se desliga de lo mencionado anteriormente porque al principio hablaba de peras la cual
utiliza dos tipos de magnitudes diferentes las cuales desea operar de forma simultánea. Luego, la
pregunta que añade como “Cuántas manzanas le toca a cada hermano” por lo que deja ver que
el estudiante no diferencia los dos tipos de magnitudes, además de eso el sujeto en la pregunta
corresponde a otro muy diferente de las unidades anteriores.
Otro estudiante propone una situación donde se designa el objeto “manzana” donde
correctamente se le atribuye la operación de categorización mencionando 15 de éstas, utiliza la
expresión “se dañaron 2” que alude a la expresión matemática (-2) y no se toma en cuenta el
significado de la variable n porque que responde asertivamente 13 y lo observa como una
expresión aritmética.
Se observa por último que un estudiante utiliza la expresión persona como sujeto en la
expresión algebraica donde especifica un atributo concerniente a “15”, utiliza la categorización
“restada” para referirse a la sustracción en la expresión algebraica y asertivamente usa el
atributo “el doble de otras personas” donde se evidencia una generalización de la cantidad de
125
personas usa la expresión es para establecer la igualdad y finalmente usa la expresión “un
número de personas”. Del ejemplo anterior puede observarse la discriminación de las unidades
teniendo en cuenta también la cantidad de personas la cual corresponde a una magnitud discreta
tal como la presenta la solución de la ecuación que corresponde a 5. Sin embargo, se observa que
hay dificultad para designar la variable porque utiliza el estudiante utiliza un elementos explícito
“otras” el cual no debe ser designado con la misma variable porque son incógnitas distintas.
El enunciado de la pregunta 4 se enmarca en el contexto de un sistema geométrico en el
cual debe hallarse el perímetro.
126
Tabla 48. Segmentación del enunciado 3. Actividad 2.
El enunciado muestra tres unidades apofánticas de las cuales el estudiante debe tener
presente lo siguiente: para el caso de la unidad 1, él va conocer el perímetro de la figura, en este
caso el término “figura” es denominado como “terreno” del cual se puede decir que existe un
grado menor de congruencia entre las figuras y el término que las designa en cuanto su
correspondencia semántica. Así mismo, la unidad apofántica 2 describe que debe plantear una
127
ecuación donde enmarca dos unidades elementales de la unidad apofántica anterior, y para el
caso de la unidad 3 el estudiante debe encontrar el valor de la incógnita. Se puede observar que
no hay congruencia entre la unidad 1 y 2 por el uso del término ecuación dado que en la primera
unidad no se evidencia, en ese mismo orden se evidencia no congruencia entre las unidades
elementales de la unidad 3 porque no tiene las unidades elementales tales como perímetro sino el
valor de incógnita.
Desde los elementos semióticos estudiados, se puede decir que los problemas pueden
plantearse desde la lengua natural, registro algebraico y geométrico, por tanto, existen varios
registros que pueden dar cuenta para llegar a la solución del problema, es decir que se desarrolla
el fenómeno de diversificación del os registro para proponer el problema. Por otro lado, los
problemas planteados donde el significante es el registro geométrico utilizando símbolos
matemáticos y el significado concerniente al planteamiento de una ecuación lineal para hallar el
valor de la incógnita, en este caso se puede decir que presenta el fenómeno de la diferenciación.
Así mismo, una de las posibles operaciones cognitivas que se espera de los estudiantes es la
siguiente:
128
Tabla 49.Operaciones cognitivas desarrolladas a los problemas 3.a, 3.b. Actividad 2.
Como se pudo ver, las unidades elementales del registro inicial le corresponden una unidad del
registro el cual se desarrolla la conversión, por ello se puede decir que existe correspondencia
semántica entre los dos registros, pero no existe univocidad semántica dado que el elementos
explícito “perímetro” no tiene única unidad de referencia porque se le atribuye la suma en el
caso de registro geométrico la suma de los lados y en el algebraico, la suma de los términos del
129
polinomio. Así mismo, se desarrolla el grado de congruencia teniendo en cuenta el orden de las
unidades elementales en ambos registros.
Ilustración 19.Orden de arreglo de las unidades elementales en la pregunta 3.a. Actividad 2.
Ilustración 20. Orden de arreglo de las unidades elementales de la pregunta 3.b. Actividad 2.
Se observa que las unidades significantes de cada una de las dos representaciones son
discriminadas en simultáneo y este proceso que se realiza genera la coordinación entre los dos
registros. En este sentido, se presenta las producciones de los estudiantes con el fin de analizar
sus estrategias para resolver los problemas.
130
. En cada uno de los terrenos se conoce el perímetro. Construya una ecuación para el perímetro de
los terrenos y calcula el valor de la incógnita.
EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
28
Se realiza un cambio de
registro geométrico-
algebraico.
Las unidades
significantes del
segundo registro no
corresponden al del
primero.
El tratamiento
realizado no
contiene sus
operaciones
substitutivas. En este
sentido, se realiza
por tanteo el cálculo.
2
29
Se realiza conversión
del registro geométrico
al registro numérico.
El valor de la incógnita
se encuentra por tanteo,
por ello no hay un
planteamiento de
ecuación.
Se efectúan cálculos
literales con los
valores que se
representan cada uno
de los lados y llega a
una equivalencia.
3
La conversión que se
presenta, corresponde a
los registros geométrico
y numérico y el valor de
la incógnita se efectúa
por tanteo.
Se efectúan
operaciones de
cálculo literal de
forma correcta,
llegando a la
solución de
problema.
4
Se efectúa conversión al
registro geométrico y se
plantea la ecuación.
No hay cambio intra-
registro.
28
Igual representación de otro estudiante. 29
Otro estudiante presenta la misma solución.
131
5
Se establece un cambio
de registro al álgebra,
donde se plantea la
ecuación de forma
correcta.
Las operaciones de
cálculo literal son
realizadas de forma
correcta y el
desplazamiento de
los términos se
desarrolla de igual
forma sin tener en
cuenta la propiedad
del inverso
multiplicativo.
6
Se cambia de
representación al
registro algebraico y se
plantea la ecuación.
Se calcula por tanteo el
valor de la incógnita.
Se realizan
operaciones de
cálculo literal para
llegar a la
equivalencia.
Tabla 50. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes al problema 3.a. Actividad 2.
De dichas producciones se observa que a los estudiantes se les dificulta plantear la
ecuación teniendo como referencia el registro algebraico y el objeto matemático perímetro. Un
estudiante plantea la ecuación de la forma 4𝑥4 + 5𝑥5 = 260𝑥del cual se observa que hay
dificultades para sumar términos semejantes relativos a las expresiones que componen el
polinomio. Se evidencia que el estudiante posiblemente confunda la propiedad relativa a
𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑚+𝑛 por el caso de la suma 𝑎𝑛 + 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚. Además, se evidencia que el
132
estudiante 2 presenta la dificulta de cambiar de registro porque suma solo los coeficientes del
polinomio, otros estudiantes utilizan procesos numéricos para la solución de dichos problemas.
Para el caso de la pregunta 3.b se presentan las apreciaciones que desarrollaron los estudiantes.
3. En cada uno de los terrenos se conoce el perímetro. Construya una ecuación para el perímetro de
los terrenos y calcula el valor de la incógnita.
3.b)
EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
La conversión que se
realiza al registro
algebraico no corresponde
a la situación planteada
puesto que las unidades
del segundo registro son
magnitudes cuadráticas.
No se efectúa intra-
registro para llegar a
la solución.
2
Se construye una
representación numérica
donde no se tiene en
cuenta el valor de la
variable.
Las operaciones de
tratamiento no se
realizan de forma
correcta.
3
Se usa el registro
numérico para llegar a la
solución del problema. De
esta forma, no se efectúa
una designación funcional
para la variable.
Las operaciones de
cálculo literal no se
realizan de forma
correcta porque
establecen que
2 ∗ 8 + 1 = 17.
133
4
Se plantea la ecuación de
forma correcta.
No se efectúan
tratamiento en
ninguno de los dos
registros.
5
Se usa el registro
algebraico para solucionar
el problema donde se
efectúa de forma correcta
el planteamiento de la
ecuación.
En cuanto a las
operaciones de
cálculo literal, estas
no se efectúan de
forma correcta
porque los
coeficientes de la
variable debían dar
como resultado el
número 11, el
estudiante tiene
como resultado el
número 13.
6
No plantea una ecuación
acorde con la situación
planteada.
Los valores de la variable
tienen diferentes
cantidades numéricas.
Las operaciones de
cálculo literal se
presentan de forma
correcta.
7
De desarrolla trans-
registro del sistema
geométrico al sistema
numérico.
No se desarrollan las
operaciones.
Tabla 51. Operaciones cognitivas desarrollada por los estudiantes a la pregunta 3.b. Actividad 2.
134
Las representaciones que se observan a la luz de las producciones de los estudiantes en
torno a la pregunta 3a* y 3b* se enmarcan de diversas formas; se parte del hecho que hay dos
terrenos quienes son los objetos que se designan en el enunciados cuya otra forma de nombrar
corresponde también al término “figura geométrica”, tiene un elemento explícito el cual se
denomina perímetro y éste se conoce. Se presenta una unidad apofántica la cual va permitir
plantear una ecuación teniendo en cuenta el atributo “perímetro” del objeto designado “terreno”
cuya característica tiene una incógnita.
De acuerdo a las respuestas que se tiene de los estudiantes se puede observar que el estudiante 1
presenta las mismas características para desarrollar el problema, en este caso se evidencia que el
estudiante confunde propiedad de la potenciación con la agrupación de términos semejantes de
un polinomio. Además, se evidencia que los estudiantes no son conscientes de las soluciones que
presenta la variable respecto a su grado porque en el desarrollo del problema le asignan dos
valores a la variable “x”. De acuerdo a lo anterior, el grado de congruencia influyó en la
resolución de las preguntas porque se evidenció que el elemento explícito “perímetro” el cual no
tenía univocidad semántica fue el factor determinante en el planteamiento de la ecuación que los
estudiantes no pudieron establecer.
Para finalizar el análisis, se presenta la última actividad que se desarrolla en lengua natural.
135
Tabla 52. Segmentación del enunciado 4. Actividad 2.
Tabla 53. Segmentación del problema 4.a. Actividad 2.
136
Como puede observarse, el sujeto hace referencia a un triángulo del cual el estudiantes
debe ser consciente de que tiene elementos explícitos tales como, tener tres lados con ciertas
condiciones un lado excede al otro en 2 metros y al mismo tiempo en 5 metros al otro y tener un
perímetro el cual corresponde a 38 metros. El enunciado presenta una coherencia en la magnitud
de las medidas, sin embargo, estas condiciones que se presentan puede presentar problemas en la
elaboración de la conversión.
De acuerdo a los elementos semióticos se puede observar que cumple con los fenómenos
de diversificación porque puede representarse desde la lengua natural y en el registro algebraico
y por otro lado, cuenta con el fenómeno de diferenciación debido que es un enunciado en el que
puede identificarse la idea de ecuación lineal desde un principio. Sin embargo, mediante este
registro no es el único medio para llegar a la solución del problema. De esta forma, el enunciado
no es la ecuación lineal, sino una representación donde se necesita el planteamiento de la
ecuación. De esta forma, se desarrollaron las respectivas operaciones cognitivas.
137
Tabla 54. Operaciones cognitivas desarrolladas a la pregunta 4.a. Actividad 2.
No se evidencia una correspondencia semántica dado que las unidades elementales de la lengua
natural (más) cuando se realiza la conversión al registro algebraico, el término más pasa a ser el signo
menos. Por otro lado, no hay correspondencia semántica en cada una de las unidades elementales de los
dos registros y en cuanto al orden en que se presentan las unidades en ambos registro, se nota que no hay
un orden de arreglo.
Ilustración 21. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 4.a. Actividad 2.
138
Después de haber identificado la no-congruencia entre las dos representaciones, se
identifica que las unidades significantes que tiene cada una de las dos representaciones son
identificables y se pueden operar de manera simultánea. Es decir, hay una identificación ñas
unidades significantes y tienen la misma característica en ambos registros. Además de lo
anterior, se presentan las respuestas que desarrollaron los estudiantes al problema:
4.a) Halla las longitudes de un triángulo cuyo perímetro es 38 metros. Además se sabe que uno
de los lados del triángulo mide 2 metros más que el segundo y 5 metros más que el tercero.
EST RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
30
Se hace cambio de registro
de la lengua natural, al
registro geométrico
teniendo en cuenta
cantidades que requieren
de expresiones algebraicas.
No se efectúa
transformaciones intra-
registro.
2
Se realiza conversión
trans-registro hacia el
sistema geométrico. Sin
embargo, las unidades
elementales no
corresponden a las
establecidas en el
enunciado en lengua
natural.
La transformación que
se evidencia
corresponde a la lengua
natural, donde se alude
a explicar lo que
presenta el problema.
30
Otro estudiante presenta la misma solución.
139
3
Se utiliza un sistema
geométrico para resolver el
problema. Sin embargo,
las unidades elementales
no corresponden a las
unidades que presenta el
enunciado.
Las cantidades numérica
son encontradas por
tanteo.
No hay tratamiento.
4
Se utiliza un sistema
geométrico para resolver el
problema. Sin embargo,
las unidades elementales
no corresponden a las
unidades que presenta el
enunciado.
Las cantidades numérica
son encontradas por
tanteo.
No hay intra-registro.
5
Se cambia de registro.
Se acude al registro
algebraico para resolver el
problema, en el cual se
plantea la ecuación de
manera correcta.
No se efectúan
operaciones de cálculo
literal y no se realiza un
pleno desarrollo del
desplazamiento de los
términos.
Utiliza una
yuxtaposición del valor
numérico encontrado
para llegar a la
equivalencia
correspondiente al
perímetro que tiene una
magnitud de 38 metros.
6
EL trans-registro realizado
por estudiante corresponde
al cambio de
representación del registro
de la lengua natural a un
sistema geométrico.
Se evidencia tanteo para
llegar a la solución aunque
se presenta de forma
Se presenta una
argumentación en
lengua natural para
explicar el por qué la
longitud de los lados.
140
correcta.
7
EL planteamiento de la
ecuación que propone no
es acorde con la situación
planteada. Sin embargo,
usa una representación
geométrica para darle
solución al problema
teniendo en cuenta que se
utiliza el tanteo para llegar
a la solución.
No se evidencian
transformaciones
internas en ningún
registro.
Tabla 55. Operaciones cognitivas desarrolladas por los estudiantes a la pregunta 4.a. Actividad 2.
De acuerdo a la producción que desarrollaron los estudiantes, se observa que cuatro de los ocho
estudiantes que presentaron la prueba respondieron de forma satisfactoria la pregunta salvo que
sólo uno de los cuatro utilizó el registro algebraico para desarrollar el problema. Por otro lado, de
los estudiantes que realizaron de forma equívoca el problema, tres de ellos utilizaron expresiones
algebraicas las cuales no son coordinadas respecto a la imagen anterior, de estos tres se tiene el
caso de un estudiante que tomas las expresiones 2metros más… 5 metros más como si fueran
lados del triángulo por lo que utilizan las expresiones 2𝑥, 5𝑥, lo cual se identifica una no
comprensión de las expresiones lingüísticas que se enmarcan en el desarrollo del enunciado.
Los demás estudiantes utilizaron expresiones equivalentes a las figuras que se
encontraban en los enunciados de las figuras geométricas anteriores 3a* y 3b*, de lo que se
infiere que las expresiones del enunciado no fueron tomadas en cuenta a la hora de resolver el
problema.
141
Para terminar, a los estudiantes les resultó difícil ser conscientes del tipo de triángulo que se
estaba trabajando, puesto que en la imagen que ellos produjeron el tipo de triángulo correspondía
a un triángulo equilátero o isósceles pero no el escaleno puesto que sus lados son desiguales.
Para terminar el análisis se presenta la segmentación del problema 4.b.
Tabla 56. Segmentación del problema 4.b. Actividad 2.
El sujeto designado en este enunciado corresponde a “los miembros de un club de tenis”,
tiene los elementos explícitos “las tres cuartas partes”. Se presentan dos unidades apofánticas
para tener un enunciado completo, se menciona que otras personas las cuales no se sabe si son
diferentes a las que pertenecen al club, van a participar en el torneo que tuvo un total de 84
142
miembros. La pregunta es saber cuántos miembros tiene el club. Esta pregunta puede tener
algunas dificultades al no diferenciar la cantidad de personas inscritas al torneo que se
encuentran en el club y la cantidad total de los miembros del club, otra dificultad que se puede
identificar podría ser que los nueve sean del mismo club y los designen con la variable x.
La posible solución al problema se desarrolla a continuación:
Tabla 57. Operaciones cognitivas desarrolladas a la pregunta 4.b. Actividad 2.
De lo anterior, se evidencia diversificación dado que el enunciado-problema cuenta se presenta
en lengua natural, además de este registro, el objeto involucrado puede representarse mediante el
registro algebraico. Por otro lado, se presenta la diferenciación en la medida que el significado
alude al planteamiento de la ecuación en cambio el significante se enmarca en el registro de la
lengua natural. En el estudio de la congruencia se nota que a las unidades elementales del primer
143
registro le corresponde una unidad en el registro de llegada. Además a univocidad semántica
semántica terminal se evidencia de forma correcta y el orden en que se presentan las unidades se
presenta a continuación:
Ilustración 22. Orden de arreglo de las unidades elementales del problema 4.b. Actividad 2.
La solución de la pregunta tiene una coordinación entre registros porque se mantiene una
relación directa de las unidades significantes en cada registro, conservando las mismas
magnitudes discretas en cada registro (personas) y la solución es acorde con la magnitud que
presenta la representación lengua natural. En este sentido, se presenta las respuestas que
proponen los estudiantes con base a dicho problema:
4.b) Las tres cuartas partes de los miembros de un club de tenis se inscribieron en el torneo. El
día del torneo entraron 9 personas más, lo que hizo un total de 84 inscritos. ¿Cuántos miembros
tiene el club?
ES
T RESPUESTAS REALIZADAS CONVERSIÓN TRATAMIENTO
1
Se utiliza las operaciones
básicas de la aritmética para
llegar a la solución del
problema. Las unidades
significantes del problema no
son coordinadas para resolver
el problema.
Las operaciones son
realizadas de forma
correcta.
2
No hay trans-registro. No se evidencian
trasformaciones
internas para llegar a
la solución.
144
3
Usa expresiones numéricas
llegar a la solución del
problema.
Se plantea una expresión
donde se evidencia el valor de
la incógnita.
Las operaciones de
cálculo literal se
presentan de forma
correcta.
4
No hay trans-registro. No se evidencian
trasformaciones
internas para llegar a
la solución.
5
Se usan términos numéricos
para llegar a la respuesta las
cuales no están correctamente
coordinadas.
Las operaciones de
cálculo literal no se
efectúan de forma
correcta en su
totalidad.
6
No hay trans-registro. No se evidencian
trasformaciones
internas para llegar a
la solución.
7
8 Tabla 58. Operaciones cognitivas desarrolla por los estudiantes al problema 4.b. Actividad 2.
Bajo las representaciones que se desglosan producto de las repuestas desarrolladas por los
estudiantes se observa que el objeto “miembros de un club” no es denominado como una
expresión general y las características concernientes a ese objeto tales como tres cuartos, 9 más,
total, 84 inscritos no son tomadas del todo, además, puede observarse que un estudiante presenta
que el club tiene 4 miembros, estrategia la cual no se observa en ninguna de las unidades. Un
estudiante plantea una expresión numérica para desarrollar el problema dejando de lado la
expresión que está referenciada como incógnita. Otros estudiantes utilizan tratamientos
numéricos para llegar a la solución donde se establece un producto entre el 84 y 3 luego, el
cociente entre el número encontrado y el cuatro, después de esto, se observa una adición entre el
número encontrado y el inicial para un resultado de 147 miembros. De ello, no se identifican las
145
unidades que pertenecen al sentido completo del enunciado. Dos estudiantes más realizan una
suma entre el total de inscritos y las 9 personas más que se inscribieron para un total de 96
miembros, esto deja ver que no es usó la expresión racional 3
4 para resolver el problema.
146
CAPÍTULO 5. CONSIDERACIONES FINALES
A partir del desarrollo de este trabajo se pudo evidenciar la manera como los estudiantes de
grado noveno de la institución educativa Francisco José de Caldas en la ciudad de Buenaventura,
resuelven ecuaciones lineales con una incógnita mediante el desarrollo de operaciones
cognitivas. Teniendo como herramienta, la selección de los problemas de Azañero (2013) y de
los libros de textos escolares permitió identificar algunos aspectos en los procesos cognitivos que
llevan a cabo los estudiantes para resolver ecuaciones. Ejemplificándolos a partir del desarrollo
de las actividades planteadas mediante la lengua natural, el registro geométrico y algebraico. En
este sentido, es viable emitir algunas apreciaciones evidenciadas para que pueden tenerse en
cuenta en el proceso de enseñanza.
5.1. CONCLUSIONES
Con respecto a la primera prueba en la cual se seleccionaron secuencias de problemas
diseñada por Azañero (2013) a los estudiantes se les dificultó desarrollar procesos de conversión
de los registros geométricos y lengua natural al registro algebraico evidenciando que:
En el planteamiento de la ecuación lineal con una incógnita en lengua natural, las
unidades elementales deben ser discriminadas de forma correcta en los estudiantes para
que el proceso de conversión en otros registros permita una aprehensión conceptual del
objeto matemático.
Algunos conceptos utilizados en las unidades apofánticas de un enunciado deben ser
mediados en el proceso de enseñanza y aprendizaje, porque posiblemente se presenta un
alto grado de no-congruencia y esto permite que hayan dificultades en el proceso de la
solución de una ecuación lineal.
147
Los estudiantes presentan dificultad en desarrollar una proporción si se empleaban
expresiones algebraicas, se notó de forma repetitiva que por tratar de resolver el problema
utilizaban procesos aritméticos, debido a que las unidades elementales en lengua natural
y en el registro algebraico no eran suficientemente claras generando la no resolución del
problema.
En la resolución del problema perteneciente a los diagramas de Venn el cual sirve como
mediación entre la lengua natural y el registro algebraico, la dificultad al plantear la
ecuación, es la no claridad de la intersección entre los dos conjuntos, elemento que
semióticamente no era congruente porque no cumplía con la univocidad semántica
terminal y el orden en el arreglo entre las unidades elementales.
Con relación a las actividades que fueron propuestas de los libros de textos Espiral 8 (2005) y
símbolos 8 (2006) de evidenciaron algunas dificultades como:
En el desarrollo de la conversión de la ecuación lineal representada en lengua natural al
registro algebraico, se observó que los estudiantes conocían el número que cumplía con
condición de la ecuación y caracterizaban las unidades apofánticas que componían el
enunciado. Sin embargo, los estudiantes tuvieron dificultad en expresar algebraicamente
algunos elementos explícitos como: el doble de, el triple de, el consecutivo, equivale,
aumentado y trataban de resolver el problema desde el registro numérico.
Algunos enunciados que especifican lo que debe resolverse presentan ambigüedad porque
no muestran de forma específica la intención de los problemas. Tales casos se pudieron
evidenciar en los enunciados 1 y 2 donde se utilizaban términos como “situación” y
“forma escrita”.
148
Se presenta dificultad para plantear un enunciado a partir de las unidades elementales del
registro algebraico. Por ello, es importante se haga consciente al estudiante de los
elementos que constituyen la ecuación: identificación de la variable, el grado de la
ecuación, términos semejantes, equivalencia entre dos polinomios, etc.
Hay dificultades para desarrollar conversión de la lengua natural al registro algebraico
específicamente en el planteamiento de la ecuación con coeficientes racionales, puesto
que las operaciones desarrolladas con los coeficientes se establecen de forma lineal.
Las preguntas que presentaban menor grado de congruencia fueron las presentaron mayor
grado de dificultad Según Damm (citado en Duval, 2004, p. 55) “Cuando la no-
congruencia aumente, la tasa de éxito raramente alcanza a un cuarto de la población de
final de 5°, y hasta clase de 8° se puede observar un porcentaje no despreciable de
fracaso”. Esto deja ver que el nivel de congruencia influye en el desarrollo de un
problema y el grado de congruencia dependerá de los criterios que se presenten. En este
caso particular tenían dificultad en identificar que la unidad de un enunciado aludía a un
mismo objeto, por lo que había disociación de unidades. De igual manera, en casos donde
no se evidencia correspondencia semántica de la lengua natural al registro algebraico se
observa que signo de la operación influye en el proceso de la solución del problema y
esto puede generar errores en la resolución del problema.
Los problemas que tenían mayor grado de no-congruencia los estudiantes presentaban la
solución en el mismo registro o el registro aritmético para resolver el problema. Según
Duval (2004, p. 61) “los fracasos debido a la no-congruencia revelan un encapsulamiento
de los registros de representación semiótica”, a pesar del grado en que se encuentran los
149
estudiantes dicho encapsulamiento en el registro numérico aún sigue latente aunque se
propendan otros sistemas semióticos.
Los estudiantes, se desarrollan tratamientos de forma correcta pero el trans-registro no.
Ello implica que aunque se realicen cambios intra-registro la conversión predomina sobre el
tratamiento porque si no se efectúa un trabajo en simultáneo entre las unidades significantes de
cada registro no puede generar aprendizajes. En este sentido, se puede decir que la conversión
de la actividad cognitiva por excelencia y ella es la que permite mayores elementos para la
compresión en matemáticas.
Finalmente, se puede decir que, la conversión y el tratamiento son indispensables en el
desarrollo de la actividad matemática, pero generalmente se presentan dificultades producto de la
no-congruencia, por ello debe hacerse una discriminación de las unidades significantes de cada
uno de los registros. Puesto que antes de proponer una situación en cualquier registro semiótico
de representación es necesario que se haga un análisis de dichas unidades que componen el
sistema y en ese momento se encontrará la génesis de algunas dificultades y las posibles
mediaciones de ellas que como educador matemático se deben mediar.
5.2. RECOMENDACIONES:
1. Para próximas investigaciones se sugiere que se diseñen secuencias didácticas
relacionadas con ecuaciones lineales que permitan el estímulo de la conversión de la lengua
natural al registro algebraico.
2. Proponer investigaciones donde se evidencie la conversión del registro algebraico a la
lengua natural y que en el trans-registro desarrollado se tenga en cuenta la discriminación de las
unidades elementales de los dos registros.
150
3. Diseñar secuencias didácticas donde se estimule el cambio de registro algebraico al
registro geométrico en la cual se integren conceptos como la proporcionalidad, el estudio de
figuras geométricas, su perímetro.
4- Investigar sobre los procesos de resolución de problemas cuando se realizan
tratamientos en el conjunto de los números reales especialmente los números fraccionarios.
151
6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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ecuaciones lineales: El caso de estudiantes de octavo nivel de un colegio de
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caos de la generalización y el razonamiento algebraico. Asociación Colombiana de
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Didactique des Mathèmatiques, vol. 16, #3.
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Lang/Universidad del Valle. [Original: Sémiosis et pensée humaine. Bern: Peter Lang,
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formas superiores en el desarrollo cognitivo. (M. V. Restrepo, Trad.) Cali, Colombia:
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objetos (trabajo de grado). Traducción Echeverry, F. & Martínez, W. Instituto de
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Ciudadanas. Documento N. 3. Bogotá, Colombia: Ministerio de Educación Nacional.
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aprendizaje inicial de los números racionales (Tesis de doctorado). Universidad del
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Puig, L. (2009). Sobre las nociones de representación y comprensión en la investigación en
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lenguaje algebraico. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas,
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Távara, L. M. A. (2013). Errores que presentan los estudiantes de primer grado de secundaria
en la resolución de problemas con ecuaciones lineales (Tesis de maestría, Pontificia
Universidad Católica del Perú, Escuela de Posgrado. Mención: Enseñanza de las
Matemáticas).
Trigueros, M., Quintero, R., Reyes, A., & Ursini, S. (1996). Diseño de un cuestionario de
diagnóstico acerca del manejo del concepto de variable en el álgebra. Enseñanza de las
ciencias, 14(3), 351-363.
154
ANEXOS
PROBLEMAS CON ECUACIONES LINEALES
Nombre: _________________________________________________________________
Colegio: _________________________________________________________________
Grado: _______ Nivel: Secundaria Fecha: _____/___________/_______
Lee detenidamente cada una de las siguientes situaciones y responde.
1. Las dimensiones oficiales de las canchas de vóley son 18m de largo y 9m de ancho.
Todas las canchas de vóley deben cumplir la condición de ser rectangulares, con la longitud del largo el
doble de la longitud del ancho.
a) Si la arquitecta Camila diseña una cancha de vóley cuyo largo mida 14 m ¿Cuánto debe medir el
ancho según la condición dada? Dibuja un rectángulo y pon las dimensiones correspondientes.
b) Calcula el perímetro de la cancha de vóley que diseña la arquitecta Camila.
c) Dibuja un rectángulo que represente una cancha de vóley que cumple con la condición exigida y
usa la variable “x” para indicar sus dimensiones.
d) Usa lo hecho en la parte (c) y escribe una ecuación que exprese que el perímetro de la cancha de
vóley es 48 metros.
e) Resuelve la ecuación planteada en (d) y dibuja el rectángulo que representa la cancha de vóleibol,
con las dimensiones halladas.
f) Verifica mediante una prueba si los resultados que has obtenido son los correspondientes a cada
longitud.
155
2. La profesora Luz enseña a sus alumnas el tema de Proporcionalidad y les comenta a sus alumnas
que esta foto de sus mascotas tienen ciertas dimensiones mide 3cm x 3.5 cm.
a) La maestra quiere hacer un cuadro de la foto ampliada de sus perritos. Si la altura debe ser de
60cm. Plantea y resuelve una ecuación para encontrar la longitud de la base.
3. Juan preguntó a 40 alumnos si practican básquet o fútbol. Al terminar de preguntar, Juan se
inventó un problema e hizo el siguiente gráfico.
Observando el gráfico,
a) Escribe el problema que tú piensas que inventó Juan.
b) Plantea una ecuación para resolver el problema que inventaste.
c) Resuelve el problema usando la ecuación.
156
Nombre: _________________________________________________________________
Colegio: _________________________________________________________________
Grado: _______ Nivel: Secundaria Fecha: _____/___________/_______
ACTIVIDAD 2
Para cada situación escriba una ecuación que le corresponde tanto de forma escrita como
algebraica.
1. 𝑎. 𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 45.
1. 𝑏. 𝑈𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑠𝑢 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 27.
1. 𝑐. 𝐸𝑙 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑒𝑠 85.
2. Establezca una situación en cada una de las ecuaciones que se presentan a continuación, de solución a
la situación:
2. 𝑎) 𝑥 + 9 = 15
2. 𝑏).2(𝑡 + 3) = 5
2. 𝑐)15 − 2𝑛 = 𝑛
2. 𝑑) .2𝑟 − 3 = 7
TOMADO DE: Serie de matemáticas para básica secundaria y media (espiral 8 página 86).
3. En cada uno de los terrenos se informa el perímetro. Calcula el valor de la incógnita.
4.a) Halla las longitudes de un triángulo cuyo perímetro es 38 metros. Además se sabe que uno
de los lados del triángulo mide 2 metros más que el segundo y 5 metros más que el tercero.
4.b) Las tres cuartas pates de los miembros de un club de tenis se inscribieron en el torneo. El
día del torneo entraron 9 personas más, lo que hizo un total de 84 inscritos. ¿Cuántos miembros
tiene el club?.
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Ilustración 24. Estudiante resolviendo la actividad 1.
Ilustración 23. Estudiante resolviendo la actividad 1
Ilustración 25. Estudiante resolviendo la actividad 2. Ilustración 26. Estudiante resolviendo la actividad 2.
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