Analisis Funcional
Tema 2: Ejemplos de espacios normados
19-20-21-26-27-28 de septiembre y 3 de octubre
1 Desigualdades
2 Dimension finita
3 Sucesiones
4 Funciones continuas
5 Espacios de Lebesgue
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdad de Young
Exponente conjugado
Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser
p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞
Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p
+1p∗
= 1
Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(
p∗)∗ = p
Desigualdad de Young
Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:
ab 6a p
p+
b p∗
p∗
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdad de Young
Exponente conjugado
Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser
p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞
Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p
+1p∗
= 1
Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(
p∗)∗ = p
Desigualdad de Young
Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:
ab 6a p
p+
b p∗
p∗
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdad de Young
Exponente conjugado
Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser
p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞
Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p
+1p∗
= 1
Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(
p∗)∗ = p
Desigualdad de Young
Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:
ab 6a p
p+
b p∗
p∗
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdad de Young
Exponente conjugado
Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser
p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞
Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p
+1p∗
= 1
Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(
p∗)∗ = p
Desigualdad de Young
Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:
ab 6a p
p+
b p∗
p∗
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdad de Young
Exponente conjugado
Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser
p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞
Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p
+1p∗
= 1
Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(
p∗)∗ = p
Desigualdad de Young
Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:
ab 6a p
p+
b p∗
p∗
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdad de Young
Exponente conjugado
Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser
p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞
Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p
+1p∗
= 1
Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(
p∗)∗ = p
Desigualdad de Young
Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:
ab 6a p
p+
b p∗
p∗
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdad de Young
Exponente conjugado
Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser
p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞
Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p
+1p∗
= 1
Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(
p∗)∗ = p
Desigualdad de Young
Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:
ab 6a p
p+
b p∗
p∗
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdad de Young
Exponente conjugado
Trabajaremos con un parametro p , pudiendo ser
p ∈ R con p > 1 , o bien p = ∞ . Escribimos 1 6 p 6 ∞
Para 1 < p < ∞ , el exponente conjugado p∗ viene dado por1p
+1p∗
= 1
Se tiene 1 < p∗ < ∞ y(
p∗)∗ = p
Desigualdad de Young
Para 1 < p < ∞ y a,b ∈ R+0 se tiene:
ab 6a p
p+
b p∗
p∗
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdades de Holder y Minkowski
Desigualdad de Holder
Para 1 < p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:
N
∑k=1
ak bk 6
( N
∑k=1
a pk
)1/p( N
∑k=1
b p∗k
)1/p∗
Desigualdad de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:( N
∑k=1
(ak +bk)p)1/p
6
( N
∑k=1
a pk
)1/p+
( N
∑k=1
b pk
)1/p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdades de Holder y Minkowski
Desigualdad de Holder
Para 1 < p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:
N
∑k=1
ak bk 6
( N
∑k=1
a pk
)1/p( N
∑k=1
b p∗k
)1/p∗
Desigualdad de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:( N
∑k=1
(ak +bk)p)1/p
6
( N
∑k=1
a pk
)1/p+
( N
∑k=1
b pk
)1/p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdades de Holder y Minkowski
Desigualdad de Holder
Para 1 < p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:
N
∑k=1
ak bk 6
( N
∑k=1
a pk
)1/p( N
∑k=1
b p∗k
)1/p∗
Desigualdad de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:( N
∑k=1
(ak +bk)p)1/p
6
( N
∑k=1
a pk
)1/p+
( N
∑k=1
b pk
)1/p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdades de Holder y Minkowski
Desigualdad de Holder
Para 1 < p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:
N
∑k=1
ak bk 6
( N
∑k=1
a pk
)1/p( N
∑k=1
b p∗k
)1/p∗
Desigualdad de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:( N
∑k=1
(ak +bk)p)1/p
6
( N
∑k=1
a pk
)1/p+
( N
∑k=1
b pk
)1/p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdades de Holder y Minkowski
Desigualdad de Holder
Para 1 < p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:
N
∑k=1
ak bk 6
( N
∑k=1
a pk
)1/p( N
∑k=1
b p∗k
)1/p∗
Desigualdad de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:( N
∑k=1
(ak +bk)p)1/p
6
( N
∑k=1
a pk
)1/p+
( N
∑k=1
b pk
)1/p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdades de Holder y Minkowski
Desigualdad de Holder
Para 1 < p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:
N
∑k=1
ak bk 6
( N
∑k=1
a pk
)1/p( N
∑k=1
b p∗k
)1/p∗
Desigualdad de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:
( N
∑k=1
(ak +bk)p)1/p
6
( N
∑k=1
a pk
)1/p+
( N
∑k=1
b pk
)1/p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Desigualdades de Holder y Minkowski
Desigualdad de Holder
Para 1 < p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:
N
∑k=1
ak bk 6
( N
∑k=1
a pk
)1/p( N
∑k=1
b p∗k
)1/p∗
Desigualdad de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ , N ∈ N y a1, . . . ,aN , b1, . . . ,bN ∈ R+0 se tiene:( N
∑k=1
(ak +bk)p)1/p
6
( N
∑k=1
a pk
)1/p+
( N
∑k=1
b pk
)1/p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes.
Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes.
Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes.
Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes.
Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes.
Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes.
Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes.
Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes.
Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes. Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes. Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes. Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
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Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes. Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes. Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Algunos espacios de Banach de dimension finita
Definiciones
N ∈ N fijo, KN espacio vectorial producto
para x ∈KN escribimos x =(
x(1),x(2), . . . ,x(N))
Para 1 6 p < ∞ definimos: ‖x‖p =( N
∑k=1
|x(k)| p)1/p
∀x ∈KN
y para p = ∞ : ‖x‖∞ = max|x(k)| : k ∈ N , k 6 N
Propiedades
Para 1 6 p 6 ∞ , la funcion ‖ · ‖p es una norma en KN
Todas las normas anteriores son equivalentes. Para 1 6 p 6 ∞ :
‖x‖∞ 6 ‖x‖p 6 ‖x‖1 6 N ‖x‖∞ ∀x ∈KN
La topologıa de todas ellas es la producto, o topologıa usual de KN
Todas ellas son completas
Resumen
Para N ∈ N y 1 6 p 6 ∞ , KN con la norma ‖ · ‖p es un espacio de Banach
se denota por l Np y su topologıa es la usual de KN
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Primeros espacios de sucesiones
El espacio de las sucesiones de escalares
KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,
o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,
es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y
)(n) = x(n) + y(n) y
(λx
)(n) = λx(n)
Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =
x ∈KN :∞
∑n=1
|x(n)| p < ∞
y tambien: ‖x‖p =
(∞
∑n=1
|x(n)| p)1/p
∀x ∈ lp
Los espacios lp con 1 6 p < ∞
Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Primeros espacios de sucesiones
El espacio de las sucesiones de escalares
KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,
o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,
es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y
)(n) = x(n) + y(n) y
(λx
)(n) = λx(n)
Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =
x ∈KN :∞
∑n=1
|x(n)| p < ∞
y tambien: ‖x‖p =
(∞
∑n=1
|x(n)| p)1/p
∀x ∈ lp
Los espacios lp con 1 6 p < ∞
Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Primeros espacios de sucesiones
El espacio de las sucesiones de escalares
KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,
o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,
es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y
)(n) = x(n) + y(n) y
(λx
)(n) = λx(n)
Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =
x ∈KN :∞
∑n=1
|x(n)| p < ∞
y tambien: ‖x‖p =
(∞
∑n=1
|x(n)| p)1/p
∀x ∈ lp
Los espacios lp con 1 6 p < ∞
Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
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Primeros espacios de sucesiones
El espacio de las sucesiones de escalares
KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,
o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,
es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y
)(n) = x(n) + y(n) y
(λx
)(n) = λx(n)
Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =
x ∈KN :∞
∑n=1
|x(n)| p < ∞
y tambien: ‖x‖p =
(∞
∑n=1
|x(n)| p)1/p
∀x ∈ lp
Los espacios lp con 1 6 p < ∞
Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
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Primeros espacios de sucesiones
El espacio de las sucesiones de escalares
KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,
o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,
es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y
)(n) = x(n) + y(n) y
(λx
)(n) = λx(n)
Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =
x ∈KN :∞
∑n=1
|x(n)| p < ∞
y tambien: ‖x‖p =(
∞
∑n=1
|x(n)| p)1/p
∀x ∈ lp
Los espacios lp con 1 6 p < ∞
Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
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Primeros espacios de sucesiones
El espacio de las sucesiones de escalares
KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,
o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,
es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y
)(n) = x(n) + y(n) y
(λx
)(n) = λx(n)
Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =
x ∈KN :∞
∑n=1
|x(n)| p < ∞
y tambien: ‖x‖p =
(∞
∑n=1
|x(n)| p)1/p
∀x ∈ lp
Los espacios lp con 1 6 p < ∞
Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
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Primeros espacios de sucesiones
El espacio de las sucesiones de escalares
KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,
o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,
es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y
)(n) = x(n) + y(n) y
(λx
)(n) = λx(n)
Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =
x ∈KN :∞
∑n=1
|x(n)| p < ∞
y tambien: ‖x‖p =
(∞
∑n=1
|x(n)| p)1/p
∀x ∈ lp
Los espacios lp con 1 6 p < ∞
Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
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Primeros espacios de sucesiones
El espacio de las sucesiones de escalares
KN es el espacio vectorial producto, de todas las sucesiones de escalares,
o todas las funciones de N en K , con operaciones puntuales,
es decir, para cualesquiera x,y ∈KN , λ ∈K y n ∈ N , se tiene:(x+ y
)(n) = x(n) + y(n) y
(λx
)(n) = λx(n)
Para 1 6 p < ∞ definimos: lp =
x ∈KN :∞
∑n=1
|x(n)| p < ∞
y tambien: ‖x‖p =
(∞
∑n=1
|x(n)| p)1/p
∀x ∈ lp
Los espacios lp con 1 6 p < ∞
Para 1 6 p < ∞ se tiene que lp es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
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Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
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Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
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Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
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Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
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Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
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Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
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Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
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Vectores unidad
Vectores unidad
Para n ∈ N , el n-esimo vector unidad es la sucesion en ∈KN dada por:
en(n) = 1 y en(k) = 0 ∀k ∈ N\n
en : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
Identificacion de dos espacios normados
X , Y espacios normados. Un isomorfismo isometrico de X sobre Y es
una biyeccion lineal Φ : X → Y tal que: ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ ∀x ∈ X
Cuando tal Φ existe, X e Y son isometricamente isomorfos,
y entendemos que son matematicamente identicos
Ejemplo
Para N ∈ N y 1 6 p < ∞ , Lin
e1,e2, . . . ,eN
, con la norma inducida por lp ,
es isometricamente isomorfo al espacio de Banach l Np
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp .
Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Un subespacio denso en los espacios lp
Sucesiones de soporte finito
Los vectores unidad en : n ∈ N forman una base del espacio vectorial
K(N) = Lin en : n ∈ N
El soporte de una sucesion x ∈KN es el conjunto n ∈ N : x(n) 6= 0
K(N) esta formado por las sucesiones de soporte finito
Densidad de las sucesiones de soporte finito
Para 1 6 p < ∞ , cada x ∈ lp se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en lp . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
si x =∞
∑n=1
αn en con αn ∈K para todo n ∈ N , y la serie converge en lp ,
entonces αk = x(k) para todo k ∈ N
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completos
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro p
Para 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completos
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro p
Para 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro p
Para 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro p
Para 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro p
Para 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro p
Para 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro p
Para 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro pPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro pPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro pPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lq
lp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro pPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro pPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro pPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
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Relacion entre los espacios lp
Espacios normados no completosPara 1 6 p < ∞ se tiene:
K(N) es un subespacio denso de lp , pero K(N) 6= lp
Por tanto, K(N) es un subespacio de lp que no es cerrado
K(N) (norma inducida por lp ) es un espacio normado no completo
Dependencia del parametro pPara 1 6 p < q < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ lq , ‖x‖q 6 ‖x‖p
Por tanto lp ⊂ lq , pero lp 6= lqlp es un subespacio denso de lp que no es cerrado
La restriccion de ‖ · ‖q a lp es una norma no completa
‖ · ‖p y la norma inducida por lq no son equivalentes
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por lq
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
El espacio de las sucesiones acotadas
El espacio l∞
El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares
l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
El espacio l∞
El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares
l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
El espacio l∞El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares
l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
El espacio l∞El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares
l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
El espacio l∞El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares
l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
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l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
El espacio l∞El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares
l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
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x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
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K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
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‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
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Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
El espacio l∞El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares
l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 .
Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones acotadas
El espacio l∞El espacio de todas las sucesiones acotadas de escalares
l∞ =
x ∈KN : sup|x(n)| : n ∈ N< ∞
es un espacio de Banach, cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = sup|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ l∞
Sucesiones convergentes a cero
K(N), visto como subespacio de l∞ , se denota por c00
c0 es el subespacio de l∞ formado por las sucesiones convergentes a cero:
c0 =
x ∈KN : lımn→∞
x(n) = 0
, c00 ⊂ c0 ⊂ l∞
Desarrollos en serie en c0
Cada x ∈ c0 se expresa en la forma x =∞
∑n=1
x(n)en
serie que converge en c0 . Este desarrollo en serie es unico, es decir:
αn ∈K ∀n ∈ N , x =∞
∑n=1
αn en =⇒ αk = x(k) ∀k ∈ N
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞
Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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El espacio de las sucesiones convergentes a cero
El espacio de Banach c0
c0 es el cierre de c00 en l∞Por tanto c0 es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖x‖∞ = max|x(n)| : n ∈ N
∀x ∈ c0
Relacion entre c0 y lp
Para 1 6 p < ∞ se tiene:
x ∈ lp =⇒ x ∈ c0 , ‖x‖∞ 6 ‖x‖p
lp es un subespacio denso en c0 , pero lp 6= c0
La restriccion de ‖ · ‖∞ a lp es una norma no completa
La topologıa de lp contiene estrictamente a la inducida por c0
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Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de Schauder
Si un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de Schauder
Si un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de Schauder
Si un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de Schauder
Si un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de Schauder
Si un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Bases de Schauder en espacios de Banach
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X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de Schauder
Si un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de SchauderSi un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de SchauderSi un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de SchauderSi un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Bases de Schauder en espacios de Banach
Bases de Schauder
X espacio de Banach, un ∈ X ∀n ∈ NLa sucesion un es una base de Schauder de X cuando:
Para cada x ∈ X existe una unica sucesion αn de escalares, tal que
x =∞
∑n=1
αn un , serie que converge en la topologıa de la norma de X
en es una base de Schauder de lp para 1 6 p < ∞ , y tambien de c0 ,
la base de vectores unidad de lp o de c0
Subespacio engendrado por una base de SchauderSi un es una base de Schauder de X , entonces:
un : n ∈ N es un conjunto de vectores linealmente independientes
El subespacio Y = Lin un : n ∈ N es denso en X , pero Y 6= X
un es una base algebraica de Y , pero nunca de X
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metrico
Un espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normado
Un espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
Espacios separables y no separables
Todo espacio de Banach con base de Schauder es separable
El recıproco es falso (Per Enflo, 1973)
l∞ no es separable
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metrico
Un espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normado
Un espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
Espacios separables y no separables
Todo espacio de Banach con base de Schauder es separable
El recıproco es falso (Per Enflo, 1973)
l∞ no es separable
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metrico
Un espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normado
Un espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
Espacios separables y no separables
Todo espacio de Banach con base de Schauder es separable
El recıproco es falso (Per Enflo, 1973)
l∞ no es separable
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metrico
Un espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normado
Un espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
Espacios separables y no separables
Todo espacio de Banach con base de Schauder es separable
El recıproco es falso (Per Enflo, 1973)
l∞ no es separable
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normado
Un espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
Espacios separables y no separables
Todo espacio de Banach con base de Schauder es separable
El recıproco es falso (Per Enflo, 1973)
l∞ no es separable
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normado
Un espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
Espacios separables y no separables
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l∞ no es separable
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Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normado
Un espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
Espacios separables y no separables
Todo espacio de Banach con base de Schauder es separable
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l∞ no es separable
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normadoUn espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
Espacios separables y no separables
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El recıproco es falso (Per Enflo, 1973)
l∞ no es separable
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normadoUn espacio normado es separable si, y solo si,
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Espacios separables y no separables
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Espacios separables
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Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normadoUn espacio normado es separable si, y solo si,
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normadoUn espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
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l∞ no es separable
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Espacios separables
Espacios topologicos separables
Un espacio topologico es separable cuando
contiene un conjunto denso y numerable
Caso de un espacio metricoUn espacio metrico es separable si, y solo si,
su topologıa tiene una base numerable
X metrico separable, Y ⊂ X =⇒ Y separable (topologıa inducida)
Caso de un espacio normadoUn espacio normado es separable si, y solo si,
contiene un subespacio denso, de dimension numerable
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El recıproco es falso (Per Enflo, 1973)
l∞ no es separable
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiados
Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiados
Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiados
Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiados
Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiados
Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiados
Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiados
Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiados
Si Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiadosSi Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞
Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N∞
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Espacios de funciones acotadas
Funciones acotadas en un conjunto arbitrario
Γ 6= /0 . KΓ espacio vectorial de todas la funciones de Γ en K ,
con las operaciones puntuales: para x,y ∈KΓ y λ ∈K se tiene:(x+ y
)(γ) = x(γ) + y(γ) y
(λx
)(γ) = λx(γ) ∀γ ∈ Γ
Consideramos el subespacio de KΓ formado por las funciones acotadas:
l∞(Γ) =
x ∈KΓ : sup|x(γ)| : γ ∈ Γ< ∞
El espacio de Banach l∞(Γ)
l∞(Γ) es un espacio de Banach, con la norma dada por
‖x‖∞ = sup|x(γ)| : γ ∈ Γ
∀x ∈ l∞(Γ)
La convergencia en l∞(Γ) equivale a la convergencia uniforme en Γ
Casos particulares ya estudiadosSi Γ = N , se tiene l∞(Γ) = l∞Si Γ tiene N ∈ N elementos, entonces l∞(Γ) = l N
∞
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El espacio de las funciones continuas y acotadas
Los espacios topologicos que nos interesan
Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos
de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos
localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto
El espacio de las funciones continuas y acotadas
El espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en Kes un subespacio cerrado de l∞(Ω)
luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:
‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈Cb(Ω)
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El espacio de las funciones continuas y acotadas
Los espacios topologicos que nos interesan
Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos
de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos
localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto
El espacio de las funciones continuas y acotadas
El espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en Kes un subespacio cerrado de l∞(Ω)
luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:
‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈Cb(Ω)
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El espacio de las funciones continuas y acotadas
Los espacios topologicos que nos interesan
Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos
de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos
localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto
El espacio de las funciones continuas y acotadas
El espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en Kes un subespacio cerrado de l∞(Ω)
luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:
‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈Cb(Ω)
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El espacio de las funciones continuas y acotadas
Los espacios topologicos que nos interesan
Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos
de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos
localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto
El espacio de las funciones continuas y acotadas
El espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en Kes un subespacio cerrado de l∞(Ω)
luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:
‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈Cb(Ω)
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El espacio de las funciones continuas y acotadas
Los espacios topologicos que nos interesan
Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos
de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos
localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto
El espacio de las funciones continuas y acotadas
El espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en Kes un subespacio cerrado de l∞(Ω)
luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:
‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈Cb(Ω)
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El espacio de las funciones continuas y acotadas
Los espacios topologicos que nos interesan
Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos
de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos
localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto
El espacio de las funciones continuas y acotadas
El espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en Kes un subespacio cerrado de l∞(Ω)
luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:
‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈Cb(Ω)
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El espacio de las funciones continuas y acotadas
Los espacios topologicos que nos interesan
Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos
de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos
localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto
El espacio de las funciones continuas y acotadasEl espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en K
es un subespacio cerrado de l∞(Ω)
luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:
‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈Cb(Ω)
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El espacio de las funciones continuas y acotadas
Los espacios topologicos que nos interesan
Ω sera siempre un espacio topologico que supondremos
de Hausdorff: cada dos puntos distintos de Ω tienen entornos disjuntos
localmente compacto: todo punto de Ω tiene un entorno compacto
El espacio de las funciones continuas y acotadasEl espacio Cb(Ω) de las funciones continuas y acotadas de Ω en K
es un subespacio cerrado de l∞(Ω)
luego es un espacio de Banach cuya norma viene dada por:
‖ f‖∞ = sup| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈Cb(Ω)
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compacto
Si K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compacto
Si K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compacto
Si K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compacto
Si K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compacto
Si K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compacto
Si K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compacto
Si K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compactoSi K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compactoSi K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compactoSi K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compactoSi K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
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Funciones continuas de soporte compacto
Soporte de una funcion
El soporte de una funcion f : Ω →K viene dado por:
sop f = t ∈ Ω : x(t) 6= 0
Se denota por C00(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , cuyo soporte es un subconjunto compacto de Ω
f ∈C00(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
C00(Ω) es un subespacio de Cb(Ω)
Abundancia de funciones continuas de soporte compactoSi K ⊂U ⊂ Ω , donde K es compacto y U es abierto,
entonces existe ϕ ∈C00(Ω) que verifica:
sop ϕ ⊂U , ϕ(t) ∈ [0,1] ∀ t ∈ Ω , ϕ(t) = 1 ∀ t ∈ K
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:
∥∥ f∥∥
∞= max
| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Funciones continuas que se anulan en el infinito
Funciones continuas que se anulan en el infinito
Una funcion continua f : Ω →K se anula en el infinito cuando
para todo ε > 0 , el conjunto t ∈ Ω : | f (t)|> ε es compacto
Se denota por C0(Ω) al conjunto de todas las funciones
continuas de Ω en K , que se anulan en el infinito
f ∈C0(Ω) =⇒ ∃ t0 ∈ Ω : | f (t)|6 | f (t0)| ∀ t ∈ Ω
El espacio de Banach C0(Ω)
C0(Ω) es el cierre de C00(Ω) en Cb(Ω)
En particular, C0(Ω) es un subespacio cerrado de Cb(Ω) ,luego un espacio de Banach, cuya norma viene dada por:∥∥ f
∥∥∞
= max| f (t)| : t ∈ Ω
∀ f ∈C0(Ω)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocido
N , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = R
Para una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocido
N , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = R
Para una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = R
Para una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = R
Para una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = R
Para una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = RPara una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = RPara una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = RPara una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = RPara una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Ejemplos de espacios funciones continuas
Un caso ya conocidoN , con la topologıa discreta, es un espacio topologico
de Hausdorff, localmente compacto
Cb(N) = l∞ , C00(N) = c00 y C0(N) = c0
Caso Ω = RPara una funcion continua f : R→K , se tiene:
f ∈C0(R) ⇐⇒ lımt→+∞
f (t) = lımt→−∞
f (t) = 0
C00(R) 6= C0(R) , luego C00(R) es un espacio normado no completo
Caso Ω = RN con N > 1
Usando la norma euclıdea en RN , para f : RN →K continua, se tiene:
f ∈C0(RN) ⇐⇒ lım
‖t‖→+∞
f (t) = 0
C00(RN)
6= C0(RN)
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Funciones continuas en un compacto
Caso compacto
Si K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio
C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,
es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K
∀ f ∈C(K)
Ejemplo: K = [0,1]
En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones
reales o complejas, continuas en [0,1] ,las funciones polinomicas forman un subespacio denso,
luego C[0,1] es separable
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Funciones continuas en un compacto
Caso compacto
Si K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio
C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,
es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K
∀ f ∈C(K)
Ejemplo: K = [0,1]
En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones
reales o complejas, continuas en [0,1] ,las funciones polinomicas forman un subespacio denso,
luego C[0,1] es separable
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Funciones continuas en un compacto
Caso compactoSi K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio
C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,
es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K
∀ f ∈C(K)
Ejemplo: K = [0,1]
En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones
reales o complejas, continuas en [0,1] ,las funciones polinomicas forman un subespacio denso,
luego C[0,1] es separable
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Funciones continuas en un compacto
Caso compactoSi K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio
C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,
es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K
∀ f ∈C(K)
Ejemplo: K = [0,1]
En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones
reales o complejas, continuas en [0,1] ,las funciones polinomicas forman un subespacio denso,
luego C[0,1] es separable
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Funciones continuas en un compacto
Caso compactoSi K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio
C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,
es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K
∀ f ∈C(K)
Ejemplo: K = [0,1]
En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones
reales o complejas, continuas en [0,1] ,las funciones polinomicas forman un subespacio denso,
luego C[0,1] es separable
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Funciones continuas en un compacto
Caso compactoSi K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio
C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,
es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K
∀ f ∈C(K)
Ejemplo: K = [0,1]
En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones
reales o complejas, continuas en [0,1] ,las funciones polinomicas forman un subespacio denso,
luego C[0,1] es separable
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Funciones continuas en un compacto
Caso compactoSi K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio
C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,
es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K
∀ f ∈C(K)
Ejemplo: K = [0,1]
En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones
reales o complejas, continuas en [0,1] ,
las funciones polinomicas forman un subespacio denso,
luego C[0,1] es separable
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Funciones continuas en un compacto
Caso compactoSi K es un espacio topologico de Hausdorff, compacto, el espacio
C(K) = C00(K) = C0(K) = Cb(K)de todas las funciones reales o complejas, continuas en K ,
es un espacio de Banach cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ K
∀ f ∈C(K)
Ejemplo: K = [0,1]
En el espacio de Banach C[0,1] de todas las funciones
reales o complejas, continuas en [0,1] ,las funciones polinomicas forman un subespacio denso,
luego C[0,1] es separable
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Un espacio de funciones periodicas
Funciones periodicas continuas
T =
z ∈ C : |z|= 1
es un espacio topologico de Hausdorff, compacto
Cada funcion continua g : T→ C se puede identificar con
una funcion continua y 2π-periodica f : R→ C , mediante
f (t) = g(e i t) ∀ t ∈ R y g(z) = f (arg z) ∀z ∈ T
C(T) se puede ver como el espacio de Banach de todas las funciones
continuas y 2π-periodicas de R en C , cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Un espacio de funciones periodicas
Funciones periodicas continuas
T =
z ∈ C : |z|= 1
es un espacio topologico de Hausdorff, compacto
Cada funcion continua g : T→ C se puede identificar con
una funcion continua y 2π-periodica f : R→ C , mediante
f (t) = g(e i t) ∀ t ∈ R y g(z) = f (arg z) ∀z ∈ T
C(T) se puede ver como el espacio de Banach de todas las funciones
continuas y 2π-periodicas de R en C , cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R
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Un espacio de funciones periodicas
Funciones periodicas continuas
T =
z ∈ C : |z|= 1
es un espacio topologico de Hausdorff, compacto
Cada funcion continua g : T→ C se puede identificar con
una funcion continua y 2π-periodica f : R→ C , mediante
f (t) = g(e i t) ∀ t ∈ R y g(z) = f (arg z) ∀z ∈ T
C(T) se puede ver como el espacio de Banach de todas las funciones
continuas y 2π-periodicas de R en C , cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R
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Un espacio de funciones periodicas
Funciones periodicas continuas
T =
z ∈ C : |z|= 1
es un espacio topologico de Hausdorff, compacto
Cada funcion continua g : T→ C se puede identificar con
una funcion continua y 2π-periodica f : R→ C , mediante
f (t) = g(e i t) ∀ t ∈ R y g(z) = f (arg z) ∀z ∈ T
C(T) se puede ver como el espacio de Banach de todas las funciones
continuas y 2π-periodicas de R en C , cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R
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Un espacio de funciones periodicas
Funciones periodicas continuas
T =
z ∈ C : |z|= 1
es un espacio topologico de Hausdorff, compacto
Cada funcion continua g : T→ C se puede identificar con
una funcion continua y 2π-periodica f : R→ C , mediante
f (t) = g(e i t) ∀ t ∈ R y g(z) = f (arg z) ∀z ∈ T
C(T) se puede ver como el espacio de Banach de todas las funciones
continuas y 2π-periodicas de R en C , cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R
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Un espacio de funciones periodicas
Funciones periodicas continuas
T =
z ∈ C : |z|= 1
es un espacio topologico de Hausdorff, compacto
Cada funcion continua g : T→ C se puede identificar con
una funcion continua y 2π-periodica f : R→ C , mediante
f (t) = g(e i t) ∀ t ∈ R y g(z) = f (arg z) ∀z ∈ T
C(T) se puede ver como el espacio de Banach de todas las funciones
continuas y 2π-periodicas de R en C , cuya norma viene dada por
‖ f‖∞ = max| f (t)| : t ∈ R
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Los espacios de Lebesgue (I)
Notacion y definiciones
Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedades
Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f∥∥
p = |λ |∥∥ f
∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Los espacios de Lebesgue (I)
Notacion y definiciones
Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedades
Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f∥∥
p = |λ |∥∥ f
∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Los espacios de Lebesgue (I)
Notacion y definiciones
Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedades
Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f∥∥
p = |λ |∥∥ f
∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Los espacios de Lebesgue (I)
Notacion y definiciones
Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedades
Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f∥∥
p = |λ |∥∥ f
∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Notacion y definiciones
Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedades
Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f∥∥
p = |λ |∥∥ f
∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Notacion y definiciones
Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedades
Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f∥∥
p = |λ |∥∥ f
∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Notacion y definiciones
Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedades
Lp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f∥∥
p = |λ |∥∥ f
∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedadesLp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)
∥∥λ f∥∥
p = |λ |∥∥ f
∥∥p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedadesLp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f
∥∥p = |λ |
∥∥ f∥∥
p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Los espacios de Lebesgue (I)
Notacion y definiciones
Fijado N ∈ N , usaremos la medida y la integral de Lebesgue en RN
Ω sera un abierto no vacıo de RN
L(Ω) sera el espacio vectorial formado por todas las
clases de equivalencia de funciones medibles de Ω en K , entendiendo que
dos funciones son equivalentes cuando coinciden casi por doquier (c.p.d.)
Para 1 6 p < ∞ definimos: Lp(Ω) =
f ∈ L(Ω) :∫
Ω
| f (t)| p dt < ∞
∥∥ f
∥∥p =
(∫Ω
| f (t)| p dt)1/p
∀ f ∈ Lp(Ω)
Primeras propiedadesLp(Ω) es un espacio vectorial, subespacio de L(Ω)∥∥λ f
∥∥p = |λ |
∥∥ f∥∥
p ∀λ ∈K , ∀ f ∈ Lp(Ω)
f ∈ Lp(Ω) ,∥∥ f
∥∥p = 0 =⇒ f = 0
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Los espacios de Lebesgue (II)
Desigualdad integral de Holder
Para 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g∥∥
p 6∥∥ f
∥∥p +
∥∥g∥∥
p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-Fisher
Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Los espacios de Lebesgue (II)
Desigualdad integral de Holder
Para 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g∥∥
p 6∥∥ f
∥∥p +
∥∥g∥∥
p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-Fisher
Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Los espacios de Lebesgue (II)
Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g∥∥
p 6∥∥ f
∥∥p +
∥∥g∥∥
p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-Fisher
Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g∥∥
p 6∥∥ f
∥∥p +
∥∥g∥∥
p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-Fisher
Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de Minkowski
Para 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g∥∥
p 6∥∥ f
∥∥p +
∥∥g∥∥
p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-Fisher
Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Los espacios de Lebesgue (II)
Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:
∥∥ f +g∥∥
p 6∥∥ f
∥∥p +
∥∥g∥∥
p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-Fisher
Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g
∥∥p 6
∥∥ f∥∥
p +∥∥g
∥∥p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-Fisher
Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g
∥∥p 6
∥∥ f∥∥
p +∥∥g
∥∥p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-Fisher
Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g
∥∥p 6
∥∥ f∥∥
p +∥∥g
∥∥p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
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Para 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g
∥∥p 6
∥∥ f∥∥
p +∥∥g
∥∥p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-FisherPara 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
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Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g
∥∥p 6
∥∥ f∥∥
p +∥∥g
∥∥p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-FisherPara 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)
→ f c.p.d. en Ω
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Desigualdad integral de HolderPara 1 < p < ∞ , f ∈ Lp(Ω) y g ∈ Lp∗(Ω) , se tiene:
f g ∈ L1(Ω) con∥∥ f g
∥∥1 6
∥∥ f∥∥
p
∥∥g∥∥
p∗
Desigualdad integral de MinkowskiPara 1 6 p < ∞ y cualesquiera f ,g ∈ Lp(Ω) se tiene:∥∥ f +g
∥∥p 6
∥∥ f∥∥
p +∥∥g
∥∥p
Por tanto, ‖ · ‖p es una norma en Lp(Ω)
Teorema de Riesz-FisherPara 1 6 p < ∞ , Lp(Ω) es un espacio de Banach, con la norma ‖ · ‖p
Si
fn→ f en Lp(Ω) , existe una sucesion parcial
fσ(n)
, tal que
fσ(n)→ f c.p.d. en Ω
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)
Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)
Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)
Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)
Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
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Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
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Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)
Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)
Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)
Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (I)
Funciones simples integrables
Para un conjunto medible E ⊂ Ω , su funcion caracterıstica es χE ∈ L(Ω)
Para 1 6 p < ∞ se tiene: χE ∈ Lp(Ω) ⇐⇒ E tiene medida finita
Una funcion simple integrable en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de subconjuntos medibles de Ω , con medida finita
Primer teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones simples integrables en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Funciones escalonadas
intervalo acotado en RN = producto cartesiano de intervalos acotados en R
Una funcion escalonada en Ω es una combinacion lineal de
funciones caracterısticas de intervalos acotados contenidos en Ω
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
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Subespacios densos de los espacios de Lebesgue (II)
Segundo teorema de densidadPara 1 6 p < ∞ , las funciones escalonadas en Ω
forman un subespacio denso en Lp(Ω)
Como consecuencia, Lp(Ω) es separable
Funciones continuas de soporte compacto
Si vemos cada f ∈C00(Ω) como clase de equivalencia,
se tiene f ∈ Lp(Ω) para 1 6 p < ∞ ,
luego, como espacios vectoriales, podemos entender que C00(Ω)⊂ Lp(Ω)
Tercer teorema de densidad
Para 1 6 p < ∞ , C00(Ω) es denso en Lp(Ω)
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
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Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
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Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
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Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
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Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
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Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
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Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
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Funciones esencialmente acotadas
Supremo esencial
Para ϕ ∈ L(Ω) con ϕ(t) ∈ R+0 p.c.t. t ∈ Ω se define su supremo esencial por
ess sup ϕ = mın
M ∈ R+0 ∪∞ : ϕ 6 M c.p.d.
Funciones esencialmente acotadas
f ∈ L(Ω) es una funcion esencialmente acotada cuando ess sup | f | < ∞ ,
es decir, cuando existe M ∈ R+0 tal que | f |6 M c.p.d.
El espacio de las funciones esencialmente acotadas:
L∞(Ω) =
f ∈ L(Ω) : ess sup | f | < ∞
‖ f‖∞ = ess sup | f | ∀ f ∈ L∞(Ω)
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Un nuevo espacio de Lebesgue
El espacio L∞(Ω)
L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞
Funciones continuas y acotadas
Para cada funcion continua f : Ω →K , sea f ∈ L(Ω) su clase de equivalencia.
Entonces: f ∈Cb(Ω) ⇐⇒ f ∈ L∞(Ω), en cuyo caso:
‖ f‖∞ = ess sup | f | = sup| f (t)| : t ∈ Ω = ‖ f‖∞
Por tanto el espacio de Banach Cb(Ω) se considera como
subespacio cerrado de L∞(Ω) , con la norma inducida
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Un nuevo espacio de Lebesgue
El espacio L∞(Ω)
L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞
Funciones continuas y acotadas
Para cada funcion continua f : Ω →K , sea f ∈ L(Ω) su clase de equivalencia.
Entonces: f ∈Cb(Ω) ⇐⇒ f ∈ L∞(Ω), en cuyo caso:
‖ f‖∞ = ess sup | f | = sup| f (t)| : t ∈ Ω = ‖ f‖∞
Por tanto el espacio de Banach Cb(Ω) se considera como
subespacio cerrado de L∞(Ω) , con la norma inducida
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Un nuevo espacio de Lebesgue
El espacio L∞(Ω)
L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞
Funciones continuas y acotadas
Para cada funcion continua f : Ω →K , sea f ∈ L(Ω) su clase de equivalencia.
Entonces: f ∈Cb(Ω) ⇐⇒ f ∈ L∞(Ω), en cuyo caso:
‖ f‖∞ = ess sup | f | = sup| f (t)| : t ∈ Ω = ‖ f‖∞
Por tanto el espacio de Banach Cb(Ω) se considera como
subespacio cerrado de L∞(Ω) , con la norma inducida
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Un nuevo espacio de Lebesgue
El espacio L∞(Ω)
L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞
Funciones continuas y acotadas
Para cada funcion continua f : Ω →K , sea f ∈ L(Ω) su clase de equivalencia.
Entonces: f ∈Cb(Ω) ⇐⇒ f ∈ L∞(Ω), en cuyo caso:
‖ f‖∞ = ess sup | f | = sup| f (t)| : t ∈ Ω = ‖ f‖∞
Por tanto el espacio de Banach Cb(Ω) se considera como
subespacio cerrado de L∞(Ω) , con la norma inducida
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Un nuevo espacio de Lebesgue
El espacio L∞(Ω)
L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞
Funciones continuas y acotadas
Para cada funcion continua f : Ω →K , sea f ∈ L(Ω) su clase de equivalencia.
Entonces: f ∈Cb(Ω) ⇐⇒ f ∈ L∞(Ω), en cuyo caso:
‖ f‖∞ = ess sup | f | = sup| f (t)| : t ∈ Ω = ‖ f‖∞
Por tanto el espacio de Banach Cb(Ω) se considera como
subespacio cerrado de L∞(Ω) , con la norma inducida
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Un nuevo espacio de Lebesgue
El espacio L∞(Ω)
L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞
Funciones continuas y acotadas
Para cada funcion continua f : Ω →K , sea f ∈ L(Ω) su clase de equivalencia.
Entonces: f ∈Cb(Ω) ⇐⇒ f ∈ L∞(Ω), en cuyo caso:
‖ f‖∞ = ess sup | f | = sup| f (t)| : t ∈ Ω = ‖ f‖∞
Por tanto el espacio de Banach Cb(Ω) se considera como
subespacio cerrado de L∞(Ω) , con la norma inducida
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Un nuevo espacio de Lebesgue
El espacio L∞(Ω)
L∞(Ω) es un espacio de Banach con la norma ‖ · ‖∞
Funciones continuas y acotadas
Para cada funcion continua f : Ω →K , sea f ∈ L(Ω) su clase de equivalencia.
Entonces: f ∈Cb(Ω) ⇐⇒ f ∈ L∞(Ω), en cuyo caso:
‖ f‖∞ = ess sup | f | = sup| f (t)| : t ∈ Ω = ‖ f‖∞
Por tanto el espacio de Banach Cb(Ω) se considera como
subespacio cerrado de L∞(Ω) , con la norma inducida
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (I)
Abiertos de medida finita
Si Ω tiene medida finita K ∈ R+ , para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f‖p 6 K(q−p)/pq‖ f‖q
entendiendo que (q− p)pq = 1/p cuando q = ∞
Caso N = 1 y Ω =]0,1[
Se puede trabajar con funciones medibles en ]0,1[ o en [0,1] ,
pues las clases de equivalencia son las mismas para ambos intervalos
Por ello, para 1 6 p 6 ∞ , se escribe Lp[0,1] en vez de Lp(]0,1[
)C00
(]0,1[
)⊂C0
(]0,1[
)⊂C[0,1]⊂Cb
(]0,1[
)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]
C[0,1] es un subespacio denso en Lp[0,1] para 1 6 p < ∞
y un subespacio cerrado de L∞[0,1]
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (I)
Abiertos de medida finita
Si Ω tiene medida finita K ∈ R+ , para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f‖p 6 K(q−p)/pq‖ f‖q
entendiendo que (q− p)pq = 1/p cuando q = ∞
Caso N = 1 y Ω =]0,1[
Se puede trabajar con funciones medibles en ]0,1[ o en [0,1] ,
pues las clases de equivalencia son las mismas para ambos intervalos
Por ello, para 1 6 p 6 ∞ , se escribe Lp[0,1] en vez de Lp(]0,1[
)C00
(]0,1[
)⊂C0
(]0,1[
)⊂C[0,1]⊂Cb
(]0,1[
)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]
C[0,1] es un subespacio denso en Lp[0,1] para 1 6 p < ∞
y un subespacio cerrado de L∞[0,1]
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (I)
Abiertos de medida finita
Si Ω tiene medida finita K ∈ R+ , para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f‖p 6 K(q−p)/pq‖ f‖q
entendiendo que (q− p)pq = 1/p cuando q = ∞
Caso N = 1 y Ω =]0,1[
Se puede trabajar con funciones medibles en ]0,1[ o en [0,1] ,
pues las clases de equivalencia son las mismas para ambos intervalos
Por ello, para 1 6 p 6 ∞ , se escribe Lp[0,1] en vez de Lp(]0,1[
)C00
(]0,1[
)⊂C0
(]0,1[
)⊂C[0,1]⊂Cb
(]0,1[
)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]
C[0,1] es un subespacio denso en Lp[0,1] para 1 6 p < ∞
y un subespacio cerrado de L∞[0,1]
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (I)
Abiertos de medida finita
Si Ω tiene medida finita K ∈ R+ , para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f‖p 6 K(q−p)/pq‖ f‖q
entendiendo que (q− p)pq = 1/p cuando q = ∞
Caso N = 1 y Ω =]0,1[
Se puede trabajar con funciones medibles en ]0,1[ o en [0,1] ,
pues las clases de equivalencia son las mismas para ambos intervalos
Por ello, para 1 6 p 6 ∞ , se escribe Lp[0,1] en vez de Lp(]0,1[
)C00
(]0,1[
)⊂C0
(]0,1[
)⊂C[0,1]⊂Cb
(]0,1[
)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]
C[0,1] es un subespacio denso en Lp[0,1] para 1 6 p < ∞
y un subespacio cerrado de L∞[0,1]
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Relacion entre los espacios de Lebesgue (I)
Abiertos de medida finita
Si Ω tiene medida finita K ∈ R+ , para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f‖p 6 K(q−p)/pq‖ f‖q
entendiendo que (q− p)pq = 1/p cuando q = ∞
Caso N = 1 y Ω =]0,1[
Se puede trabajar con funciones medibles en ]0,1[ o en [0,1] ,
pues las clases de equivalencia son las mismas para ambos intervalos
Por ello, para 1 6 p 6 ∞ , se escribe Lp[0,1] en vez de Lp(]0,1[
)
C00(]0,1[
)⊂C0
(]0,1[
)⊂C[0,1]⊂Cb
(]0,1[
)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]
C[0,1] es un subespacio denso en Lp[0,1] para 1 6 p < ∞
y un subespacio cerrado de L∞[0,1]
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (I)
Abiertos de medida finita
Si Ω tiene medida finita K ∈ R+ , para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f‖p 6 K(q−p)/pq‖ f‖q
entendiendo que (q− p)pq = 1/p cuando q = ∞
Caso N = 1 y Ω =]0,1[
Se puede trabajar con funciones medibles en ]0,1[ o en [0,1] ,
pues las clases de equivalencia son las mismas para ambos intervalos
Por ello, para 1 6 p 6 ∞ , se escribe Lp[0,1] en vez de Lp(]0,1[
)C00
(]0,1[
)⊂C0
(]0,1[
)⊂C[0,1]⊂Cb
(]0,1[
)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]
C[0,1] es un subespacio denso en Lp[0,1] para 1 6 p < ∞
y un subespacio cerrado de L∞[0,1]
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (I)
Abiertos de medida finita
Si Ω tiene medida finita K ∈ R+ , para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
f ∈ Lq(Ω) =⇒ f ∈ Lp(Ω) , ‖ f‖p 6 K(q−p)/pq‖ f‖q
entendiendo que (q− p)pq = 1/p cuando q = ∞
Caso N = 1 y Ω =]0,1[
Se puede trabajar con funciones medibles en ]0,1[ o en [0,1] ,
pues las clases de equivalencia son las mismas para ambos intervalos
Por ello, para 1 6 p 6 ∞ , se escribe Lp[0,1] en vez de Lp(]0,1[
)C00
(]0,1[
)⊂C0
(]0,1[
)⊂C[0,1]⊂Cb
(]0,1[
)⊂ L∞[0,1] ⊂ Lp[0,1]
C[0,1] es un subespacio denso en Lp[0,1] para 1 6 p < ∞
y un subespacio cerrado de L∞[0,1]
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = R
Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = R
Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = R
Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = R
Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = R
Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = R
Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = R
Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = R
Para 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
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Relacion entre los espacios de Lebesgue (II)
Relacion entre los espacios Lp[0,1]
Para 1 6 p < ∞ existe f ∈ Lp[0,1] tal que
si p < q 6 ∞ , se tiene f /∈ Lq[0,1]
Por tanto, para 1 6 p < q 6 ∞ se tiene:
Lq[0,1] es un subespacio denso de Lp[0,1] , pero Lq[0,1] 6= Lp[0,1]
Lq[0,1] (norma inducida por Lp[0,1]) espacio normado no completo
La topologıa de Lq[0,1] contiene estrictamente a la inducida por Lp[0,1]
Caso N = 1 y Ω = RPara 1 6 p 6 ∞ , existe f ∈ Lp(R) tal que
si 1 6 q 6 ∞ y q 6= p , entonces f /∈ Lq(R)
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Observaciones adicionales
Dependencia del abierto con el que se trabaja
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
Lp(Ω) es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(RN)
,
dado por:
f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω
Relacion con los espacios de sucesiones
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
lp es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(Ω)
En particular, L∞(Ω) no es separable
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Observaciones adicionales
Dependencia del abierto con el que se trabaja
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
Lp(Ω) es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(RN)
,
dado por:
f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω
Relacion con los espacios de sucesiones
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
lp es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(Ω)
En particular, L∞(Ω) no es separable
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Observaciones adicionales
Dependencia del abierto con el que se trabaja
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
Lp(Ω) es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(RN)
,
dado por:
f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω
Relacion con los espacios de sucesiones
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
lp es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(Ω)
En particular, L∞(Ω) no es separable
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Observaciones adicionales
Dependencia del abierto con el que se trabaja
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
Lp(Ω) es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(RN)
,
dado por:
f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω
Relacion con los espacios de sucesiones
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
lp es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(Ω)
En particular, L∞(Ω) no es separable
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Observaciones adicionales
Dependencia del abierto con el que se trabaja
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
Lp(Ω) es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(RN)
,
dado por:
f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω
Relacion con los espacios de sucesiones
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
lp es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(Ω)
En particular, L∞(Ω) no es separable
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Observaciones adicionales
Dependencia del abierto con el que se trabaja
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
Lp(Ω) es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(RN)
,
dado por:
f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω
Relacion con los espacios de sucesiones
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
lp es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(Ω)
En particular, L∞(Ω) no es separable
Desigualdades Dimension finita Sucesiones Funciones continuas Espacios de Lebesgue
Observaciones adicionales
Dependencia del abierto con el que se trabaja
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
Lp(Ω) es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(RN)
,
dado por:
f ∈ Lp(RN) : f (t) = 0 p.c.t. t ∈ RN \Ω
Relacion con los espacios de sucesiones
Si N ∈ N , Ω es un abierto no vacıo de RN y 1 6 p 6 ∞ ,
lp es isometricamente isomorfo a un subespacio cerrado de Lp(Ω)
En particular, L∞(Ω) no es separable
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