Análisis y Control de Sistemas Lineales
Análisis en el Dominio de la Frecuencia
Contenido
◼ Respuesta de frecuencia de sistemas en lazo cerrado
◼ Especificaciones en el dominio de lafrecuencia
◼ Gráficas de Bode◼ Ejemplos◼ Ejercicios
Análisis y Control de Sistemas Lineales 1 Ing. Eduardo Interiano
9. Análisis en el dominio de la frecuencia Tenemos una señal de entrada senoidal r(t) con amplitud R y frecuencia ω0 y nos interesa la salida y(t) en régimen senoidal permanente.
r t R sen t( ) = ω 0 (1)
( )y t Y sen t( ) = +ω φ0 (2)
en el dominio de la frecuencia compleja la salida es
Y s T s R s( ) ( ) ( )= (3)
para el análisis en régimen senoidal permanente hacemos s jω en la ecuación (3)
))R(jT(j)Y(jT(s)R(s)limY(s)limjsjs
ωω=ω==ω→ω→
))R(jT(j)Y(j ωωω = (4)
Análisis y Control de Sistemas Lineales 2 Ing. Eduardo Interiano
escribiendo Y(jω) como número complejo en magnitud y fase
( ) ( )Y j Y j Y jω ω ω= ∠ ( ) (5) donde
Y(j ) T(j R(jω ω ω= ) ) (6)
( ) ( ) ( )∠ = ∠ + ∠Y j T j R jω ω ω (7) de (1), (2) y (6) tenemos que la amplitud Y de la salida senoidal es:
Y R T(j= ω0) (8)
Análisis y Control de Sistemas Lineales 3 Ing. Eduardo Interiano
y de (1), (2) y (7) escribimos la fase de salida como:
φ ω0= ∠T(j ) (9)
( ) ( ) ( )φ ω ω ω= ∠ − ∠ = ∠Y j R j T j (10) Las características de magnitud y de fase de un sistema de lazo cerrado se pueden emplear para predecir el desempeño en estado estable cuando la entrada es senoidal; asi como el transitorio en el dominio del tiempo.
Análisis y Control de Sistemas Lineales 4 Ing. Eduardo Interiano
Respuesta de frecuencia de sistemas de lazo cerrado
+
-
G(s)R(s)
H(s)
Y(s)
Figura 10.1: Sistema de control de lazo cerrado
T(s) = Y(s)R(s)
G(s)+ G(s)H(s)= 1 (11)
Si s jω para régimen senoidal permanente
Análisis y Control de Sistemas Lineales 5 Ing. Eduardo Interiano
( ) ( )( )
( )( ) ( )
T jY jR j
G jG j H j
ωωω
ωω ω
= =+1
(12)
donde la función de transferencia en régimen senoidal permanente es
( ) ( )T j T j T jω ω ω= ∠ ( ) (13) o equivalentemente como número complejo
( ) ( ){ } ( ){ }T j T j j T jω ω ω= +Re Im (14) donde
))H(jG(j1)G(j
)T(jωω+
ω=ω (15)
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∠ = ∠ − ∠ +T j G j G j H jω ω ω ω1 (16) T(s) se interpreta como la función de transferencia de entrada-salida de un filtro eléctrico.
Análisis y Control de Sistemas Lineales 6 Ing. Eduardo Interiano
Especificaciones en el dominio de la frecuencia
10,707
0
0
T(jω)
φ T(jω)
ωr ωc= BW (en este caso)
pendiente decaída
Tr
Figura 10.2: Características típicas de ganancia y fase de un sistema de control realimentado
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Definiciones: Tr: Pico de resonancia, es el valor máximo de T(j )ω a la frecuencia de
resonancia ωr
• Valores deseados: 1,1…1,5 • Indica la estabilidad relativa y está directamente relacionado con el
sobrepaso en el tiempo ωr: Frecuencia de resonancia, frecuencia a la cual ocurre el pico de
resonancia Tr
ωc: Ancho de banda (BW) o frecuencia a la cual la magnitud ( )T jω cae al 70,7% ( )−3dB de su valor a ω=0. (BW = ωc pues el sistema no tiene frecuencia de corte inferior)
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Tr, ωr y BW para un sistema prototipo de 2° orden
( )T s Y sR s s s
n
n n
= =+ +
( )( )
ωξ ω ω
2
2 22 (17)
Pico de resonancia y frecuencia de resonancia
En régimen senoidal permanente (s ω)
2
21
1)()(lim
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
==→
nn
js
j
jTsT
ωω
ωωξ
ωω (18)
para simplificar hacemos
Ω = ωω n
Frecuencia normalizada (19)
( )T jj
ΩΩ Ω
=+ −
11 2 2ξ
(20)
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Figura 10.3: Magnitud en función de la frecuencia
normalizada de un sistema de control de lazo cerrado de 2º orden.
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La magnitud y fase son:
( )( ) ( )
T jΩΩ Ω
=− +
1
1 22 2 2ξ
(21)
( )∠ = −−
⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
−T jΩ ΩΩ
tan 12
21
ξ (22)
para encontrar el máximo derivamos respecto a Ω e igualamos a cero
( )[ ]d T jd
Ω
Ω= 0
(23)
⇒ Ω r frecuencia de resonancia:
Ω r =−
⎧⎨⎪
⎩⎪
0
1 2 2ξ (24)
Ω r = − <1 2 0 7072ξ ξ; , (25)
Análisis y Control de Sistemas Lineales 11 Ing. Eduardo Interiano
Ωr = 0 no es un máximo verdadero si ξ<0.707
desnormalizando, de (19) y (25)
ω ωr n= Ω r
ω ω ξ ξr n= − <1 2 0 7072 ; , (26)
Sustituyendo
0.707 ξ ; 121
2<
−=
ξξrT (27)
( )T jj
ΩΩ Ω
=+ −
11 2 2ξ
(20)
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Figura 10.4: Fase normalizada de un sistema prototipo de segundo orden
Relación con el gráfico de Bode
Significado del gráfico de Bode
Gráfico de Bode
Análisis y Control de Sistemas Lineales 13 Ing. Eduardo Interiano
10. Gráficas de Bode
( )( )( ) ( )
T sG s
G s H sG s
=+1
0 ( )
(1)
( ) ( ) G s K G s0 0=
(2)
( ) ( )lim
s jG s KG j
→=
0 0 (3)
Si deseamos encontrar el punto en el cual los polos se encuentran sobre el eje imaginario. La condición de ganancia 0 1 K
Análisis y Control de Sistemas Lineales 14 Ing. Eduardo Interiano
( )KG j
0 1 = (4)
Si K>0
( )G jK0
1 =
La condición de fase KG j0
( ) = 180º (5) „El sistema es inestable si la magnitud de la ganancia es mayor que uno a una frecuencia en la que la fase del sistema sea de 180º “
( )G jK0
1 1 = y ( ) = G j0 180
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Margen de Ganancia El margen de ganancia se define como la ganancia de amplitud necesaria para hacer GH=1 cuando la fase del sistema ( ) = G j0 180 .
( )( )
MG G jG j
= − =
0 0 1800
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Figura 11.1: Márgenes de ganancia y fase en la gráfica de Bode
Análisis y Control de Sistemas Lineales 17 Ing. Eduardo Interiano
Margen de fase Es la diferencia hacia 180° de la fase del sistema a una ganancia de 0dB. Si hay cruces múltiples de 180° entonces, el margen de ganancia es la menor de las posibilidades.
MF GHG
GH dBG
= +
=
1800
0
1 0
Para que un sistema sea estable debe cumplirse que: „los márgenes de fase y de ganancia deben ser positivos según las definiciones“.
Análisis y Control de Sistemas Lineales 18 Ing. Eduardo Interiano
Ventajas de las Gráficas de Bode • La gráfica se puede aproximar por segmentos de recta. • Los cruces de ganancia y fase asi como de los márgenes de ganancia y fase se
determinan más fácilmente que en una traza de Nyquist. • Para los propósitos de diseño es fácil visualizar el efecto de añadir controladores
y sus parámetros se visualizan mejor que sobre una gráfica de Nyquist. NOTA: Para más detalles sobre Bode y otros métodos de análisis descargue el ctm
o Tutor de Control en Matlab de la dirección: http://www.ie.tec.ac.cr/einteriano/analisis/ctm o en línea directamente en: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/
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Ejemplo 1: Margen de ganancia y margen de fase
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Ejemplo 1: Ancho de banda y tiempo de subida
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Ejemplo 1: Error de estado estacionario para sistema tipo 0
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Ejemplo 1: Respuesta de lazo cerrado ante escalón con tr y ess
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Ejemplo 2: Error de estado estacionario para sistema tipo 1
Análisis y Control de Sistemas Lineales 24 Ing. Eduardo Interiano
Resumen de fórmulas:
Coeficiente de error ess
-20db/dec
ω = 1
MF = 15°
ω = 1
MG = 25° -20db/dec
Ejemplo sistema tipo 1
Ejercicio 1: estabilidad y ess
-80
-60
-40
-20
0
20
40
Mag
nit
ud
(dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Fas
e (
de
g)
Diagrama de Bode de lazo abierto
Frecuencia (rad/sec)
Ejercicio 2: estabilidad y ess
-60
-40
-20
0
20
40
60
Mag
nit
ud
(dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Fas
e (
de
g)
Diagrama de Bode de lazo abierto
Frecuencia (rad/sec)
Referencias
◼ Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control
Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.
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