8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
1/20
ANTOLOGIA COMENTADA DEMATEMÁTICAS IV
(INTRODUCCIÓN ALCÁLCULO)
CURSO AL UE PERTENECE MATEMATICAS IV
...
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
ACADEMIA DE MATEMÁTICAS
Recopilado y Presentado por:
MM Carlos Hernández García
Ing. Kenninseb Lucía Ruiz Gamboa.
LCC Azucena América Álvarez Montejo
Cd. del Carmen, Campeche, 9 de Febrero de
Ciclo Escolar:
Febrero – Julio 2015
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
2/20
1 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................................... 2
OBJETIVO ................................................................................................................................................. 3
LECTURA 1: “ORIGEN DE LOS NÚMEROS” ...................................................................................... 5
1.1 CONJUNTOS ............................................................................................................................................... 5
COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE .................................................................................................. 9
VALORACIÓN CRÍTICA ......................................................................................................................... 11
Actividad 1 .............................................................................................................................................. 12
LECTURA 2: “ESCRIBIENDO, RESOLVIENDO Y GRAFICANDO DESIGUALDADES DE UNA
VARIABLE” ............................................................................................................................................. 13
1.2 DESIGUALDADES ...................................................................................................................................... 13
COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE ................................................................................................ 18
VALORACION CRÍTICA ......................................................................................................................... 18
Actividad 2 .............................................................................................................................................. 19
http://c/Users/campusII31/Documents/Unacar%20Azucena/Esdeped2014/ANTOLOGIA%20COMENTADA%20MATEIV_2015_ver2.docx%23_Toc410973799http://c/Users/campusII31/Documents/Unacar%20Azucena/Esdeped2014/ANTOLOGIA%20COMENTADA%20MATEIV_2015_ver2.docx%23_Toc410973799http://c/Users/campusII31/Documents/Unacar%20Azucena/Esdeped2014/ANTOLOGIA%20COMENTADA%20MATEIV_2015_ver2.docx%23_Toc410973799http://c/Users/campusII31/Documents/Unacar%20Azucena/Esdeped2014/ANTOLOGIA%20COMENTADA%20MATEIV_2015_ver2.docx%23_Toc410973804http://c/Users/campusII31/Documents/Unacar%20Azucena/Esdeped2014/ANTOLOGIA%20COMENTADA%20MATEIV_2015_ver2.docx%23_Toc410973804http://c/Users/campusII31/Documents/Unacar%20Azucena/Esdeped2014/ANTOLOGIA%20COMENTADA%20MATEIV_2015_ver2.docx%23_Toc410973804http://c/Users/campusII31/Documents/Unacar%20Azucena/Esdeped2014/ANTOLOGIA%20COMENTADA%20MATEIV_2015_ver2.docx%23_Toc410973804http://c/Users/campusII31/Documents/Unacar%20Azucena/Esdeped2014/ANTOLOGIA%20COMENTADA%20MATEIV_2015_ver2.docx%23_Toc410973799
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
3/20
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
4/20
3 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
OBJETIVO
Brindar a los estudiantes diversos elementos para conocer textos de carácter informativo y
científico, reflexionar sobre los temas de curso con el fin de aumentar su acervo cultural en el área
de Matemáticas IV (Introducción al Cálculo). Fundamentándonos en el Modelo Académico basado
en Competencias, que parte de los principios del Marco Curricular Común (MCC) establecidos en la
Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS) .
Esperando que esta Antología comentada sea de gran utilidad los docentes de Matemáticas IV
hemos realizado este producto con la finalidad de promover el gusto de la lectura esperando que el
estudiante adquiera un conocimiento básico que le permita comprender y despertar el interés sobre
los temas del área de matemáticas de este curso.
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
5/20
4 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Propósito de la secuencia didáctica:
Utiliza los números reales para resolver problemas de conteo, mediante operaciones con conjuntos;además representa la solución de las desigualdades de diferentes tipos y representa su solución de maneragráfica y por medio de intervalos. También analiza los elementos de una ecuación, con el fin de trazar sugráfica.
Competencias genéricas y atributos que se promueven:
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
1.4 Analiza críticamente los factores que influyen en su toma de decisiones.
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización demedios, códigos y herramientas apropiados.
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de suspasos contribuye al alcance de un objetivo.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntosde vista de manera crítica y reflexiva.
6.1
Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entreellas de acuerdo a su relevancia y confiablidad.
6.3 Reconoce los propios prejuicios, modifica sus puntos de vista al conocer nueva evidencias, e integranuevos conocimientos y perspectivas al acervo con el que cuenta.
6.4 Estructura ideas y argumentos de manera clara, coherente y sintética.
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
7.3 Articula saberes de diversos campos y establece relaciones entre ellos y su vida cotidiana.
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.8.2
Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo.
Bloque 1Operaciones con los números reales
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
6/20
5 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
LECTURA 1: “ORIGEN DE LOS NÚMEROS”
1.1 CONJUNTOS
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones
comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del
500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por
Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números
irracionales. Los números negativos fueron ideados
por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente
reinventados en China poco después, pero no se
utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las
soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo
se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió
con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números
reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica
matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los
números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos
utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de George Cantor
(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el
análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y
cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la
sistematización de los números reales en la historia, no de manera
espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y
pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann,
Cauchy y Weierstrass.
George Cantor
http://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrangehttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Weierstrasshttp://es.wikipedia.org/wiki/Weierstrasshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttp://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemannhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrangehttp://es.wikipedia.org/wiki/Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Leibnizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newtonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Cortaduras_de_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/Richard_Dedekindhttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/1871http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantorhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Europahttp://es.wikipedia.org/wiki/Chinahttp://es.wikipedia.org/wiki/600http://es.wikipedia.org/wiki/Indiahttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Antigua_Greciahttp://es.wikipedia.org/wiki/500_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/1000_a._C.http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Antiguo_Egipto
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
7/20
6 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución
de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se
consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones
armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que lesinspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima
«todo es número».
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables
si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos
sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una
unidad común para la que las dos magnitudes tengan una
medida entera. El principio pitagórico de que todo número es
un cociente de enteros, expresaba en esta forma que
cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante
el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues
no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos
catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :
Si √ 2 =
es un número racional donde
está reducido a sus términos mínimos (sin factor
común) entonces 2 = .
La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m.
Sustituyendo obtenemos 2q²= (2m)²= 4m² , y por tanto q²=2m².
Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un
número par, esto es, q=2n. Más esto es imposible, puesto que p y q
no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor
de ambos).
Por tanto, la suposición misma de que es un número racional
debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico:
todo número era racional, más la hipotenusa de un triángulo rectángulo
Eudoxo
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egiptohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_babil%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_babil%C3%B3nicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas_en_el_Antiguo_Egipto
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
8/20
7 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes
geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo
consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes. Los griegos
desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacerreferencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas
inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales
permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados
mediante el método de infinitas aproximaciones.
Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en
notación moderna) que si
es una aproximación a
entonces p=a+2b y q=a+b son tales que
es
una aproximación más precisa. Repitiendo el
proceso nuevamente se obtienen mayores números
que dan una mejor aproximación. Dado que las
longitudes que expresan los números irracionales
podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo
mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de losnúmeros reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos
de una línea recta.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el
desarrollo de la notación algebraica, lo que
permitió la manipulación y operación de
cantidades sin hacer referencia a segmentos y
longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas
para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado
de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales
incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números
no reales» (lo que ahora conocemos como
Los pitagóricos
http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_proporciones_de_Eudoxo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Teor%C3%ADa_de_proporciones_de_Eudoxo&action=edit&redlink=1
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
9/20
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
10/20
9 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE
De la lectura anterior existen muchos aspectos a reflexionar los cuales se mencionaran a
continuación:
La primera pregunta que uno se puede realizar al iniciar la lectura es ¿Por qué surgieron los
números? Los números han surgido a lo largo de la historia como una herramienta para resolver
problemas de conteo, medición, ordenación, etcétera satisfacen una necesidad, por ejemplo, el
hombre primitivo al volverse sedentario tuvo la necesidad de contar su ganado, la cantidad de frutos
o granos que tenía y a lo largo de los años sus necesidades sociales y de supervivencia se volvieron
más complejas, es decir, la necesidad de contar y administrar sus bienes se volvió sustancial.
Actualmente a los números los vemos como algo que ha existido siempre; sin embargo a través de
la lectura se ve que en cada época, cuando se introdujo algún número nuevo o grupo de números
nuevos, a menudo se suscitaban polémicas muy fuertes y estos números tardaban muchos años en
ser aceptados por la comunidad en general. Tales son los casos del cero, de los números negativos,
los números irracionales, etcétera.
Aunque no se menciona los primeros números que surgieron históricamente fueron los números
naturales , , , , ... que nos sirven para contar. Aunque el cero apareció después, es más
práctico considerarlo dentro de los números reales. Denotamos por N al conjunto de los números
naturales, es decir, 1,2, 3, 4, 5, etc.
En la lectura se habla de que a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de
las ecuaciones y la pregunta es ¿Por qué no aceptaban la existencia de otros números? Una razón
es que aún no conocían los números negativos; lo mismo sucede en nuestros días en el proceso de
aprendizaje en un niño, por ejemplo, cuando un niño está aprendiendo a restar se le dice que 2 – 3
es una operación que no se puede realizar, o sin sentido. Lo que sucede es que la respuesta no es
un número natural por lo tanto se le tiene que enseñar la existencia de otro conjunto de números.
Para poder restar cualquier par de números naturales es necesario introducir los números enteros
negativos que junto con los números naturales constituyen los números enteros, recuerda que los
números enteros se representan a través de la letra .
http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIIIhttp://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_XVIII
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
11/20
10 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Debes saber que los números negativos son útiles en la vida cotidiana para representar cantidades
como temperaturas por debajo del punto de congelación del agua ( C), deudas monetarias y
profundidades con relación al nivel del mar de zonas que están por debajo de éste, situaciones
contables o administrativas entre otras cosas.
En la antigüedad se enfrentaron al problema de no poder restar si se tiene sólo números naturales,
también enfrentaron al problema de no poder dividir si se tiene sólo números enteros, esta traba
es del que habla la lectura como “Proyecto pitagórico” . Por ejemplo, al dividir 7 entre 2 no se obtiene
un número entero, por lo que es necesario ampliar el conjunto de números. Por ello surgió un nuevo
conjunto de números llamados números racionales, que son aquellos que pueden escribirse como
cociente de dos números enteros, donde el denominador no es el cero.
Observemos que como todo número entero se puede escribir como el cociente de él mismo entre
uno, =
1, entonces todo número entero es un número racional.
También se menciona a los números irracionales donde los pitagóricos, se dieron cuenta de que
con una regla y un compás se podía construir segmentos cuya longitud no se podía expresar como
cociente de dos enteros. Se hace mención que en el triángulo rectángulo cuyos catetos miden , la
hipotenusa mide y este número no se puede escribir en la forma con p y
q enteros; es decir, no es un número racional gráficamente se puede
plasmar como en la imagen derecha.
Todos los números racionales pueden identificarse con puntos en una recta. El hecho de que, por
ejemplo no sea un número racional, significa que hay un punto en la recta al que no se le ha
asociado ningún número racional; de hecho, hay una infinidad de dichos puntos, por lo que es
necesario inventar otros números, llamados números irracionales, para los puntos de la recta a los
que no se les ha asociado ningún número racional. Los números irracionales algunos autores lo
representan con la letra I o Q´ Es así como surgen los números reales, que son la unión de los
números racionales e irracionales.
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
12/20
11 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Podemos observar que en la lectura se comenta la existencia de “Números no reales” estos se
originan al tratar de obtener raíz cuadrada de los números negativos; por ejemplo, no existe
ya que no hay ningún número real “X” tal que x2 = -4. Por esto, es necesario introducir más números;
y surge el conjunto de los números complejos representado por la letra C, para poder, ahora sí,
obtener la raíz cuadrada, o cualquier otra raíz, de todo número real, o más en general, de todo
número complejo.
Sin embargo el estudio de los números complejos e
imaginarios que son un subconjunto de los complejos no se
contempla en el plan curricular del nivel medio superior.
Pero en la facultad quizás los estudies ya que los números
complejos son la herramienta de trabajo del álgebra,
análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y
aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales,
aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran
importancia.
VALORACIÓN CRÍTICA
Los números surgen dada la necesidad de nuestros antepasados de contar los elementos de un
conjunto (por ejemplo los animales de un rebaño, la cantidad de maíz, dividir un pan entre los
integrantes de una familia, etc) y de asignar un símbolo a una determinada cantidad de objetos. Y
han sido la base para el desarrollo de las ciencias exactas y la tecnología.
En la vida diaria tenemos que enfrentarnos a situaciones que nos exigen habilidad en el manejo de
los números a la hora de tomar decisiones en el hogar, el estudio, el trabajo, etc.
Donde la matemática “con el número” como elemento fundamental, es la base para buscar y
encontrar soluciones a muchos de los casos a los que se debe como ser racional y social.
Deberíamos hacer uso de nuestro conocimiento numérico matemático en la toma de decisiones de
nuestra vida para evitar problemas, por ejemplo: en el uso de tarjetas de crédito, manejo de
ingresos y egresos en el hogar, comprar la cantidad de tela suficiente para realizar una cortina.
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
13/20
12 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Instrucciones: Contesta lo que se te pide en base a la lectura “Origen de los números”.
1.- ¿En qué siglo se utilizó al conjunto de los números reales sin una definición concisa?
2.- ¿Quiénes hacían uso de las fracciones en la resolución de problemas prácticos?
3.- ¿Quiénes descubrieron que las que las relaciones armónicas entre las notas musicales
correspondían a cocientes de números enteros?
4.- ¿Qué desarrollaron los griegos sin hacer referencia a valores numéricos?
5.- ¿Cuál es el ejemplo que marca la lectura de un número irracional?
6.- ¿De cuántos tipos de números reales habla la lectura?
7.- Elabora una línea del tiempo apoyándose de las TICS, en el que presentes los acontecimientos
más importantes de toda la lectura.
Nombre: ________________________________________________
Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. #1
ACTIVIDAD 1
PEGA EN ESTA SECCION LA LINEA DEL TIEMPO
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
14/20
13 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
LECTURA 2: “ESCRIBIENDO, RESOLVIENDO Y GRAFICANDO
DESIGUALDADES DE UNA VARIABLE”
1.2 DESIGUALDADES
Introducción
Algunas veces encontrar un rango de valores
posibles para una situación es más apropiado que
encontrar un valor individual. Cuando vas
conduciendo por la autopista y ves la señal
"Límite de Velocidad 65", sabes que no significaque debes conducir a 65 mph. Podrías ir a 64 o
incluso a 59.5. A una velocidad de 55 tal vez te
toquen algunos bocinazos y gestos enojados, pero nadie te multa. Hay todo un rango de velocidades
a las que tienes permitido conducir, no sólo una. En casos como este donde hay más de una
respuesta correcta, usamos desigualdades, no ecuaciones, para representar la situación.
Las desigualdades son declaraciones matemáticas que definen un rango de valores. Son fácilmente
reconocibles porque contienen los símbolos , o ≥.
Desigualdades y Ecuaciones
Las desigualdades sin distintas a las ecuaciones, aunque puedes aplicar lo que sabes de ecuaciones
para ayudarte a entender desigualdades. Las desigualdades y las ecuaciones son ambas
declaraciones matemáticas que comparan dos valores.
Una ecuación contiene el símbolo =, que liga dos expresiones que tienen el mismo valor. Ya este
familiarizado con ecuaciones como estas: 26 = 21 + 5 y = 3 x + b, 5t = 2(t + 3). Incluso sin resolverlas,
sabes que la cantidad de lado izquierdo del signo igual tiene el mismo valor que la cantidad del lado
derecho.
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
15/20
14 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Las desigualdades son distintas. En una desigualdad, un lado de la desigualdad puede ser mayor o
menor que la cantidad del otro lado. Los símbolos matemáticos , y ≥ proveen información
sobre los tamaños relativos de las dos expresiones.
Notación Cómo Leerla Desigualdad Ejemplo
x < y “ x es menor que y ” 3 < 15
x ≤ y “ x es menor o igual que y ” número de personas presentes en la clase ≤ número de
personas inscritas en la clase
x > y “ x es mayor que y ” número de países en el mundo > número de continentes
en el mundo
x ≥ y “ x es mayor o igual que y ” 50 ≥ número de estrellas en la bandera de Estados
Unidos
Lo importante sobre las desigualdades es que tienen muchas posibles soluciones. Por ejemplo, la
desigualdad “50 ≥ número de estrellas en la bandera de Estados Unidos” es una declaración válida
para cada bandera Americana que ha ondeado — ninguna bandera ha tenido más de 50 estrellas.
También es cierto para la bandera diseñada en 1777 (13 estrellas, 50 ≥ 13), y como se veía en 1850
(30 estrellas, 50 ≥ 30), y como se ve ahora (50 estrellas, 50 ≥ 50).
Nota que la desigualdad x > y también puede escribirse como y < x . Los lados de cualquier
desigualdad pueden cambiar de lugar siempre y cuando el símbolo de desigualdad también sea
volteado.
Desigualdades en la Recta Numérica
Una forma de representar desigualdades es usando la recta numérica. En los ejemplos de abajo, losrangos de valores válidos para la desigualdad se muestran en rojo. Un punto abierto se usa para
representar relaciones ; este símbolo indica que el punto sobre la recta numérica NO está
incluido dentro del rango de valores posibles de la desigualdad. Un punto cerrado se usa para
representar ≤ y ≥, cuando los dos lados de la desigualdad PODRÍAN ser iguales. Ejemplos:
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
16/20
15 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Stan tiene más de $3.50 en su bolsillo.
La temperatura es mayor que -4º y menor que 12º.
t ≤ 19
Sumando y Restando Desigualdades
Al igual que con las ecuaciones, existen las Propiedades de la Desigualdad que nos permiten
trabajar con éste tipo de relaciones.
Empecemos con la suma y la resta de la
desigualdad simple a > b. Si queremos
sumar una cantidad C al lado izquierdo,
también tenemos que sumarla del lado
derecho para mantener válida la
desigualdad. Podemos escribir ésta propiedad como: Si a > b, entonces a + c > b + c.
La edad de las personas es un buen ejemplo para describir ésta propiedad. Por ejemplo, imagina
que conoces a dos personas: Edward y Bella. Sabes que Edward es mayor que Bella (pero no sabes
por cuántos años). Dentro de cierto número de años a partir de hoy, ¿Edward seguirá siendo mayor
que Bella? ¡Por supuesto! Edward es mayor y ambos envejecen al mismo tiempo. De forma
algebraica, podrías representar ésta desigualdad como:
Propiedades de Suma y Resta de la Desigualdad
Si a > b, entonces a + c > b + c
Si a > b, entonces a − c > b – c
http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/http://void%280%29/
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
17/20
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
18/20
17 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Grafiquemos en la recta numérica los enteros 5 y 2. Sabemos que 5 > 2. ¿Qué pasa si multiplicamos
ambos números por el mismo valor c=0.5? donde A=2 y B=5
Multiplicamos por .5
Nos dará el siguiente resultado:
Si tenemos que c = 0.5, podemos ver que 2.5 > 1, y AC > BC . La desigualdad se ha mantenido. A pesar
de que éste es un simple ejemplo, es válido para todos los valores donde c > 0. Esto normalmentese escribe como: Si a > b, entonces ac > bc, si c > 0.
Si tomamos los mismos dos números y los multiplicamos por -0.5, sucede algo distinto. El valor
resultante de AC =-2.5, queda más hacia la izquierda que el valor de BC =-1. La desigualdad se ha
invertido, y AC < BC . Ese patrón es válido para todas las desigualdades — si son multiplicadas por un
número negativo, la desigualdad se voltea. Esto se escribe formalmente como:
Si a > b, entonces ac < bc, si c < 0.
La Propiedad de División de la Desigualdad funciona de la misma manera. Si dividimos ambos lados
entre un número positivo, la desigualdad de conserva. Matemáticamente:
Si a > b, entonces, si c > 0.
Si dividimos ambos lados de la desigualdad entre un número negativo, la desigualdad se invierte. Si
a > b, entonces, si c < 0.
Ejemplo. Una mujer de negocios está comparando el valor de dos acciones, Goodman Rent-a-Car
(GRC) y Harris Home Construction (HHC). El lunes, GRC es más cara que HCC, pero el martes, ambas
acciones caen a la mitad de su valor. ¿Cuál es la relación que ella podría esperar entre las dos
acciones al final del martes?
A > B
A=2 B=5
A*0.5 > B*0.5
2 *0.5 5*0.5
AC > BC
B*C = 1 A*C = 2.5
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
19/20
18 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
A) El valor de GRC > el valor de HHCB) El valor de HHC > el valor de GRCC) El valor de HHC = el valor de GRCD) El valor de GRC − el valor de HHC = 0
(Respuesta: Inciso A)
COMENTARIO PARA EL ESTUDIANTE
En resumen una desigualdad expresa que
dos valores no son iguales. Los símbolos >, ” indica mayor que, por ejemplo: x > 5 se lee “x mayor que 5”,
Se anexa una imagen para clarificar mejor este punto que al estudiante le causa dudas a la hora de
resolver sus ejercicios.
VALORACION CRÍTICA
Las desigualdades son de gran importancia para solucionar problemas del mundo real y se usan todo
el tiempo. Encontrar la manera de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un proceso un
poco tedioso al principio, porque en el nivel medio superior es la primera vez que como estudiante
abordas el tema, sin embargo, es un paso importante para aprender a resolverlas en contextos
cotidianos.
Las desigualdades pueden ser usadas para modelar situaciones cotidianas. Cuando interpretes ese
tipo de problemas, empieza por identificar cómo las cantidades se relacionan una con la otra, y
luego elige el símbolo de desigualdad que sea apropiado a la situación. Cuando resuelvas estos
problemas, recuerda que la solución será un rango de posibilidades ya que las desigualdades no nos
dan sólo una respuesta, como lo hacen las ecuaciones.
8/9/2019 Antologia Comentada Matemáticas IV (Secuencia 1 - 2015)
20/20
19 ANTOLOGIA COMENTADA MATEMATICAS IV - AÑO 2015
Instrucciones: Expresa con desigualdades los siguientes enunciados
1.
El interés I no es mayor a $120: ______________________________________________________________
2. La distancia d es mayor que 12km, pero menor que 18km: ________________________________
3. Las edades x de los niños están desde 3 años y hasta 8 años: ______________________________
4.
El área de un terreno es mayor que 2 ha, pero menor que 3 ha: ___________________________
5.
El voltaje V es mayor o igual a 110 voltios: __________________________________________________
6.
El intervalo de temperatura, en grados Celsius, en el que se encuentra el agua en
estado líquido, a una atmósfera de presión: _________________________________________________
7. Para ángulos agudos muy cercanos a cero, los valores de su tangente son cercanos a
cero y cuando el ángulo es próximo a 90 grados, los valores de la tangente tienden a
infinito que se representa con el símbolo "∞". Por tal motivo, los valores posibles
para la tangente de un ángulo agudo son: ___________________________________________________
Contesta lo que se te pide.
8. En notación de intervalo > 7 se representa como ___________________________________ y
su representación gráfica es:
9.
Representa en forma descriptiva el siguiente intervalo [-4,2): ____________________________
10. Representa en forma descriptiva el siguiente intervalo [0,∞): _____________________________
Nombre: ________________________________________________
Grupo: ___________ Fecha: _________________ S.D. # 1
ACTIVIDAD 2
Top Related