8/16/2019 aplicacionlimites 3.docx

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Problemas de aplicación de límites

Pregunta 1

Se sabe que el precio de un artículo “P” a través del tiempo “t” (en meses) está

at+8dado por la función: P(t)= , si se sabe que el precio de este artículo el

t+ bpróximo mes será de $6.50, y el siguiente mes será de $6.00. Se desea saber:

a)El precio del artículo para este mes.

 b)En que mes el precio será de $5.50.

c)¿Qué ocurre con el precio a largo plazo?

Resolución

 Tenemos t: tiempo (meses)

P: precio del artículo ($)

at+8

P(t)=t+ b

Consideraremos el mes actual como t= 0 luego, el próximo mes corresponderáa t=1 y el siguiente mes (siguiente mes al próximo) corresponderá a t= 2.

Dato: El precio de este artículo el próximo mes será de $6.50.

a(1)+8

P(1)= 6.50  P(1)= (1)+ b 

a+8

  6.5=  

 b+1

de donde a−6.5b=−1.5 … (I)

Dato: El precio de este artículo

el siguiente mes - al próximo -

será de $6.00.

P(2)= 6.00  a(2)+8P(2)=  

(2)+ b

 2a+8

6=   b+2

de donde a−3b= 2 … (II)

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Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos: a= 5, b=1

5t+8Con a= 5 y b=1 tenemos la función: P(t)=  t+1

a. El precio del artículo para este mes: P(0)

P(0)= = 8

En este mes el precio del artículo es $8.00.

 b. En un tiempo “t” el precio del artículo será $5.50:

P(t)= 5.50

5t+8 5.50=  resolviendo obtenemos: t= 5 t+1

Dentro de cinco meses el precio del artículo será $5.50.

c. El precio a largo plazo ocurrirá cuando t→+∞ 

8

5+

5t+ 8t

= 5limP(t)= lim= lim t→+∞ t→+∞t+1t→+∞ 1

1+

t

 A largo plazo el precio del artículo tiende a $5.00.

Pregunta 2

Se estima que dentro de “t” años, la población “P” de un cierto país será de:

80

P(t)= −0.06t, millones dehabitantes. 8+12e

a. ¿Cuál es la población actual?

 b. ¿Cuál será la población dentro de 50 años?

c. ¿Después de cuanto tiempo la población será de 5 millones de habitantes?

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d. ¿Qué le sucederá a la población a largo plazo?

Resolución

a. Población actual: P(0)

80

  P(0)= −0.06(0)= 48+12e

  La población actual es de 4 millones de habitantes.

 b. Población dentro de 50 años: P(50)

80

  P(50)= −0.06(50)= 9.38+12e

  Dentro de 50 años la población será de 9.3 millones de habitantes.

c. En un tiempo “t” la población será de 5 millones de habitantes: P(t)= 5 80

  −0.06t= 58+12e

⎛2⎞ ln⎜ ⎟

  e−0.06t=  resolviendo t=⎝3⎠

= 6.8

−0.06

  Dentro de 6.8 años la población será de 5 millones de habitantes.

d. La población a largo plazo: t→ +∞ 

⎡ 80 ⎤ 80 limt→+∞P(t)= limt→+∞⎢⎣8+12e−0.06t⎥⎦ = 8+12(0)=10

 A largo plazo la población será de 10 millones de habitantes.

 Tenemos t: tiempo (años)

P: población (millones de habitantes)

80

P(t)=−0.06t 8+12e

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Pregunta 3

Se estima quet meses después del inicio de la crisis económica, el porcentaje de la

población económicamente activa que se encontrará desempleada estará dado pora

P(t)= −0.2t+ b. Si se sabe que inicialmente el 4% de la PEA estádesempleada y al

1+ecabo de 5 meses lo estará el 4.58%.

a)Encuentre los valores de “a” y “b”

 b)¿Qué porcentaje estará desempleado al cabo de 1 año?

c)¿Qué porcentaje estará desempleado a largo plazo?

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Resolución

 Tenemos t: tiempo (meses)

P: porcentaje de la PEA que está desempleada (%)

a  P(t)= −0.2t+ b

1+e

Dato:Inicialmente el 4% de la PEA está desempleada

a

t= 0, P= 4: 4= −0.2(0)+ b1+e

a

 = + b2

  a+ 2b= 8 … (I)

Dato: Alcabo de 5 meses lo estará el 4.58%.

a

t= 5, P= 4.58: 4.58= −0.2(5)+ b 1+ e

a

 = + b1.368

  a+1.368b= 6.265 … (II)

Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos: a= 2.51

2.51

Con estos valores: P(t)= −0.2t+ 2.745 1+ e

 b. Al cabo de 1 año: t=12

 b= 2.745

2.51

  P(12)= −0.2(12)+ 2.745= 5.051+ e

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  Al cabo de 1 año el 5.05% de la PEA estará desempleada.

c. A largo plazo: t→ +∞ 

⎡ 2.51 ⎤ 2.51

  +∞ +∞⎢1 + e−0.2t+ 2.745⎥⎦ = 1 +(0)+ 2.745

= 5.26⎣

  A largo plazo el 5.26% de la PEA estará desempleada.