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COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES
Familia de tres superficiesen el espacio
Conjunto de tresrelaciones
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Suponiendo que las relaciones son tales que:
• Para un punto dado P en el espacio, un miembro de cada familia q j de
curvas pasa por el punto dado• Las tres superficies son ortogonales entre sí en el punto P
• P es el punto único de intersección de las tres superficies
! Las superficies quedan definidas al evaluar la relación en las
coordenadas del punto P! Los vectores normales a cada superficie en P son perpendicularesentre sí
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES
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planohorizontal
cilindro
O
z P
r P
z
y
x
P
y P
x P
Familia de tres superficies en el espacio
Las tres superficies seintersectan en el punto P
Los vectores normales a las superficiesson perpendiculares entre sí en P
plano
vertical
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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Para un sistema ortogonal de superficiesq j , los valores q 1(P), q 2 (P) y q 3(P) son las
coordenadas del punto P en el sistema decoordenadas curvilíneas ortogonales. planohorizontal
cilindro
O
z P
r P
z
y
x
P
y P
x P
plano
vertical
El caso mostrado en la figura correspondea las coordenadas cilíndricas, definidascomo
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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Vectores Unitarios - General
planohorizontal
cilindro
O
z P
r P
z
y
x
P
y P
x P
plano
vertical
Sean P un punto en el espacio y S j
(P) lassuperficies definidas por q j (P) para j = 1,2,3
El vector unitario e
j (P) = e j es normal a S j (P) enel punto P y apunta en la dirección en que qj crece
El vector unitario e j es entonces tangente a la
línea L j (P) definida por la intersección de lassuperficies S i (P) y S k (P), con i j k.
ez
e
e
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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Vectores Unitarios - Sistema Cilíndrico
plano
horizont
al
cilindr
o
O
z P
r
P
z
y
x
P
y P x
P
plano
vertical
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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plano
horizont
al
cilindr
o
O
z P
r P
z
y x
P
y P x P
plano
vertical
Vectores Unitarios - Sistema Cilíndrico
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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Se ha logrado definir un sistema de tres
vectores unitarios, perpendiculares entre sí
Estos vectores forman una base para el sistema.
planohorizontal
cilindro
O
z P
r P
z
y
x
P
y P
x P
plano
vertical
ez
e
e
Presentan, sin embargo, la desventaja ser
variables con la posición, y por lo tanto,con el tiempo.
Esta característica debe ser considerada al evaluar sus derivadas, tanto espacialescomo temporales.
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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En forma matricial
[T]: Matriz de transformación de coordenadas, cumple con:
TRANSFORMACION DE COORDENADAS
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES
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TRANSFORMACION DE COORDENADAS
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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DERIVADAS ESPACIALES DE UN VECTOR EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
•
Vector en Componentes Cartesianas
• Vector en Componentes Curvilíneas
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES
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DERIVADAS ESPACIALES DE LOS VECTORES UNITARIOS DEL SISTEMACILÍNDRICO
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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DERIVADAS TEMPORALES DE UN VECTOR EN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES
Si el vector se representa mediante sus componentes curvilíneas
donde
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES
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DERIVADAS TEMPORALES DE LOS VECTORES UNITARIOS DELSISTEMA CILÍNDRICO
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LAS DERIVADAS DE LOS VECTORES UNITARIOS DEL SISTEMA CILÍNDRICO
e
#
e’
y
x
O
• Variación # de la coordenada #
e# mantiene su dirección, no sufriendo cambios! e
#
/ ! # = 0
• Lo mismo ocurre con respecto a z
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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#e e
e
#
y
x
e’
#
e’
O
x
Variación $ e#
cambia a e’ # , sufriendo una variación e#
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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#e e
e
#
y
x
e’
#
e’
O
x
t muy pequeño $ es pequeño
e# tiende a ser perpendicular a e# , es decir,
tiene la dirección de e$
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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#e e
e
#
y
x
e’ #
e’
O
x
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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y
z
r P
z
x
P
y
x
e$
e#
e z
#
$
COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES - CILINDRICAS
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
z
r
z
y
h
Una partícula P desliza a lo largo de una
espiral cilíndrica de eje vertical, radio r y paso h
Se determinará las expresiones para lavelocidad y aceleración de P en un instantecualquiera
$ Sistema tiene 1 Grado de Libertad:desplazamiento a lo largo de la espiral
$
Se usará el ángulo $ de las coordenadascilíndricas como coordenada generalizada
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
zr
z
y
h
Se trata de evaluar los términos en lasexpresiones generales para la posición, velocidad y aceleración, en términos de los datos dados
(geometría y movimiento)
Expresiones generales para posición, velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas:
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
z = " h2#
$
% ˙ z = "h
2# $̇
, ˙̇ z = "h
2# ˙̇$
x
zr
z
y
h
1) Geometría cilindro:
2) Geometría espiral:
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
zr
z
y
h
% v = r "̇ e" #h
2$ "̇ e
z
%
a = "r #̇
2e$ + r ˙̇#
e# " h2%
˙̇#
e z
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
zr
z
y
h
Supóngase ahora que la partícula P desliza
hacia abajo con rapidez constante v o a lolargo de una espiral cilíndrica de eje vertical,radio r y paso h
Se determinará la aceleración de P en uninstante cualquiera
$ Sistema tiene 1 Grado de Libertad:desplazamiento a lo largo de la espiral
$ Con los datos dados, el movimiento está totalmente definido
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
zr
z
y
h
Se trata de evaluar los términos en lasexpresiones generales para la posición, velocidad y aceleración, en términos de los datos dados
(geometría y movimiento)Expresiones generales para posición, velocidad y aceleración:
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
zr
z
y
h
Geometría de la espiral:
h : Paso
& : Inclinación
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
zr
z
y
h
Dada la geometría del espiral, se tiene:
Dada la condición de rapidez constante a lo largo
de la espiral, se tiene:
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
zr
z
y
h
%
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
x
zr
z
y
h
%
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COORDENADAS CILINDRICAS - EJEMPLO
Solución directa
La velocidad es tangente a la trayectoria,
teniendo las siguientes componentes:
La componente en z es constante
La componente en es constante en módulo, pero cambia de dirección, generándoseentonces una aceleración centrípeta de valor:
x
zr
z
y
h
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COORDENADAS ESFERICAS
%
e
er
e%
r
P
r
O
z
y
x
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%
e
er
e%
r
P
r
O
z
y
x
COORDENADAS ESFERICAS
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35/40
%
e
er
e%
r
P
r
O
z
y
x
COORDENADAS ESFERICAS
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36/40
%
e
er
e%
r
P
r
O
z
y
x
Posición
Velocidad
Aceleración
COORDENADAS ESFERICAS
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COORDENADAS ESFERICAS - EJEMPLO
Tubo de forma semi-circular de radio R,
pivoteado en uno de sus extremos a un puntofijo O. En todo instante, todos sus puntos seencuentran en un plano vertical único,rotando en torno al eje z con velocidad angular constante '
Al interior del tubo circula una partícula conuna rapidez v o constante
Se determinará la velocidad y la aceleraciónabsolutas de la partícula uti l izandocoordenadas esféricas
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COORDENADAS ESFERICAS - EJEMPLO
b R
R
e
e%
b R
R
%
&
er
'
e'
vo
z
x
y
O
z
O
(
vo
Sistema tiene 3 Grados deLibertad:
•
La rotación en torno al eje z del plano vertical que contieneel anillo – definida por ángulo$ (coordenada esférica)
•
La rotación del anillo en su plano – definida por ángulo ( que forma diámetro del anillocon eje vertical
• El des l i zamiento de la partícula a lo largo del anillo –definido por ángulo & entrediámetro del anillo y línea b enla figura
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COORDENADAS ESFERICAS - EJEMPLO
b R
R
e
e%
b R
R
%
&
er
'
e'
vo
z
x
y O
z
O
(
vo
COORDENADAS ESFERICAS EJEMPLO
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COORDENADAS ESFERICAS - EJEMPLO
b R
R
e
e%
b R
R
%
&
er
'
e'
vo
z
x
y
O
z
O
(
vo