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Integrales Impropias
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Integrales Impropias - ResumenRev. 2011-05
Preparado por Gabriel C. LavoratoRevisado por Gustavo M. Murmis – Eduardo G. Murmis
U.B.A. - Facultad de Ingeniería – Análisis Matemático III
Definición
Integral impropia de 1a especie:
1
1 22
0 0lim lim
B
A
C ε B
ε ε
A C ε
f x dx f x dx f x dx
Integral impropia de 2a especie:
lim lim
C
B
A B A C
f x dx f x dx f x dx
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Valor Principal
Integral impropia de 1a especie:
1 20
lim
B C ε B
ε A A C ε
ε ε f x dx f x dx f x dx
Integral impropia de 2a especie:
lim A B
C A
A A C
f x dx f x dx f x dx
Criterios de convergencia
1. Comparación
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
V a V a
V a
g x f x h x
h x dx CV f x dx CV
g x dx CV
Corolarios:
( )( )
0 ( ) ( )
( )( )V a
V a
f x h x
f x dx CV h x dx CV
( )( )
0 ( ) ( )
( )( )V a
V a
f x h x
h x dx DV f x dx DV
2. Comparación por paso al límite
( )
( )
0( )lim
( )( ) ( )
( ) ( ) V a
V a
f x
g x f x dx CV DV
g x dx CV DV
x a
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Corolarios:
( )
( )
( )lim 0
( )
( )( ) V a
V a
f x
g x
f x dx CV g x dx CV
x a
( )
( )
( )lim
( )( )
( ) V a
V a
f x
g x f x dx DV
g x dx DV
x a
3. Criterio de Abel (en V( ∞ ))
4. Criterio de Leibnitz (comparación con series en V( ∞ ))
10
(serie numérica)
0 0
0
(serie numérica)
0 0
CV ( ) CV
Dada ( ) ( )
DV ( ) DV
( ) CV ( ) CV
Dadas
( )
n
n
nan a
n
n na a
n
n a
n n
n na a
n
na
u f x dx
f x dx f x dx u
u f x dx
f x dx u u f x dx
f x dx u
(serie numérica)
0 0
0
1
0
DV ( ) DV
Un criterio de convergencia de series numéricas alternadas:
( 1)
( 1)
lim 0
n
n a
n
n
n
n
n n n
n
nn
u f x dx
u
u u u CV
u
α(x) monótona
de 0
( ) 0 [ , )
'( ) 0 [ , )
lim ( ) 0
( , ) [
, ) : ( )
x
q
p
a
x
x x a
x x a
x
p q a x dx M
x dxCV
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Teoremas:
Dado : arco de circunferencia con centro en el origen,
lim ( ) 0 lim ( ) 0
R
R
z R zf z f z dz
lim ( ) 0
0lim ( )e 0
: Re
(0, )
R
z
imz
i R
R
f z
m f z dz
z
Generalizando:
lim ( ) 0
0lim ( )e 0
: Re
( ,2 )
R
z
imz
i R
R
f z
m f z dz
z
lim ( ) 0
0lim ( )e 0
: Re
( 2,3 2)
R
z
imz
i R
R
f z
m f z dz
z
lim ( ) 0
0lim ( )e 0
: Re( 2, 2)
R
z
imz
i R
R
f z
m f z dz
z
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Por otra parte:
00
00
lim( ) ( ) 0lim ( ) 0
:r
r
r r
z z f z f z dz
z z r
Y además:
0
00
0
1 ( )lim ( ) Re ( )
: y amplitudr
r r
z polo de orden de f z f z dz i s z
z z r
Casos de cálculo
Los casos analizados a continuación no representan teoremas ni reglasgenerales, sino que constituyen un conjunto de herramientas a modo deayuda para el cálculo de integrales impropias. Cada ejercicio deberá por lotanto ser analizado en forma particular.
1.2
0
Cambio de variable
(cos , ) Camino de integración en
: 1
i z e
R sen d
z
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2.
( ) ( )( )Sustitución
( ) ( )( )
Camino de integración en (ver figura)[ ( )] 2 [ ( )]
Aplicar teorema de los residuos( ) 0
Calcular lim R
P x P zP x x zdx
Q x Q zQ x
gr Q x gr P x
Q x x
3.
( ) ( )Sustitución
( ) ( ) ( )( )ó
Sustitución [cos( ), ( )]( )cos( )
Camino de integración en (ver figura)
A[ ( )] 2 [ ( )]
( ) 0
inz
P x P z x z
sen nx Q x Q zP xdx
nx sen nx eQ xnx
gr Q x gr P x
Q x x
plicar teorema de los residuos
Calcular lim
Separar parte Re y parte Im
R
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4.
( ) ( )Sustitución( ) ( ) ( )
Sustitución [cos( ), ( )]( )( ) Camino de integración( ) ó( )
cos( )
( ) tiene ceros en
semiplano inf. o sup.
inz
P x P z x z f x dx Q x Q z
nx sen nx esen nxP x
f xQ x
nx
Q x
en (ver figura)
Aplicar teorema de los residuos
Calcular lim
Separar parte Re y parte Im
R
5.
0
Sustitución ( ) ( )
Camino de integración en (ver figura). . ( )
Aplicar teorema de los residuos
( ) tiene polos de 1 orden Calcular lim y limer
R r
f x f z
V P f x dx
f x
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6.
Condición de
convergencia
1
0
0
( ) Sustitución ( ) ( )
Camino de integración en (ver figura)
/ 0 1 Aplicar teorema de los residuos
( ) 0 Calcular lim y lim
p
R r
I f x x dx f x f z
p p
f x x
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