Rangkaian Listrik Arus dan Tegangan AC Sinusoidal dan Phasor
©Alexander Sadiku
edited by Agus Virgono Ir. MT. & Randy E. Saputra
Prodi S1-Sistem Komputer
Fakultas Teknik Elektro
Universitas Telkom - 2016
Sinusoidal dan Phasor
9.1 Latar Belakang
9.2 Fitur Sinusoidal
9.3 Phasor
9.4 Hubungan Phasor untuk elemen rangkaian
9.5 Impedansi dan admittansi
9.6 Hukum Kirchhoff di domain frequensi
9.7 Impedansi kombinasi
Sine wave..? Why?
Latar Belakang
Bagaimana cara menyatakan v(t) dan i(t)?
vs(t) = 10V ???
Latar Belakang
• Sinyal sinusoidal mempunyai bentuk fungsi sinus atau cosinus.
• Persamaan umum dari sinusoidal,
dengan
Vm = amplituda dari sinusoidal
ω = frekuensi angular dalam rad/s
Ф = phasa
)sin()( tVtv m
Sinusoidal
Sebuah fungsi periodik adalah yang memenuhi v(t) = v(t + nT), untuk semua t dan semua n integer.
2T
HzT
f1
f 2
• Hanya dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama yang dapat dibandingkan perbedaan amplituda dan phasanya.
• Jika beda phasa nol, berarti mereka se-phasa; jika beda phasa tidak nol, berarti tidak se-phasa.
Sinusoidal
Sebuah fungsi periodik adalah yang memenuhi v(t) = v(t + nT), untuk semua t dan semua n integer.
• Hanya dua sinusoidal dengan frekuensi yang sama yang dapat dibandingkan perbedaan amplituda dan phasanya.
• Jika beda phasa nol, berarti mereka se-phasa; jika beda phasa tidak nol, berarti tidak se-phasa.
Sinusoidal
Contoh
Diketahui sebuah sinusoid 2 sin(6t + 30). Hitung
amplituda, phasa, frekuensi angular, frekuensi (Hz) dan periodanya.
Jawab: Amplituda = 2 Phasa = 30o
Frekuensi angular = 6 rad/s
Frekuensi = 3 Hz Perioda = 0.33 s
Sinusoidal
Latihan
1. Diketahui sebuah sinusoid 5 sin(4t – 60). Hitung amplituda, phasa, frekuensi angular, frekuensi (Hz) dan periodanya.
2. Diketahui sebuah sinusoid 4 sin(2t). Hitung
amplituda, phasa, frekuensi angular, frekuensi (Hz) dan periodanya.
Sinusoidal
Sinusoidal
sin ωt = cos(ωt – 90o)
cos ωt = sin(ωt + 90o)
Sinus vs Cosinus
2 rad = 360
1 rad = 360 57.3
2
Contoh
Cari sudut phasa antara i1 = –4 sin(377t + 25) dan i2 = 5 cos(377t – 40), apakah i1 leading atau lag i2?
Jawab: sin ωt = cos(ωt – 90o)
Maka i1 leading i2 155o
)115377cos(4)90205377cos(4)205377sin(4
)205377sin(4)25180377sin(4)25377sin(4
1
1
oooo
oooo
ttti
ttti
Sinusoidal
Leading = mendahului (phasa lebih besar) Lag = tertinggal (phasa lebih kecil)
– sin ωt = sin(ωt + 180o)
Latihan
1. Cari sudut phasa antara i1 = 4 cos(5t) dan
i2 = –5 cos(5t – 40), apakah i1 leading atau lag i2?
2. Cari sudut phasa antara i1 = 5 sin(3t + 115) dan i2 = 7 cos(3t + 15), apakah i1 leading atau lag i2?
Sinusoidal
• Sebuah phasor adalah bilangan kompleks yang menyatakan amplitudo dan phasa dari sinusoidal.
• Bisa dinyatakan dalam 3 bentuk dasar :
rz
jrez
)sin(cos jryjxz a. Rectangular
b. Polar
c. Exponential 22 yxr
x
y1tandengan
Phasor
1j
Ingat kembali sistem Kuadran..!!
Phasor
x > 0
y > 0
x > 0
y < 0
x < 0
y < 0
x < 0
y > 0
Operasi Matematika dari bilangan kompleks:
1. Penjumlahan
2. Pengurangan
3. Perkalian
4. Pembagian
5. Reciprocal
6. Akar
7. Konjugasi kompleks
8. Identitas Euler
)()( 212121 yyjxxzz
)()( 212121 yyjxxzz
212121 rrzz
21
2
1
2
1 r
r
z
z
rz
11
2 rz
jrerjyxz
sincos je j
Phasor
Rectangular
Polar
Contoh
• Ubah bentuk phasor 3 + 4 j ke dalam bentuk polar
Maka 3 + 4 j = 553
• Ubah bentuk phasor 1030 ke dalam bentuk rectangular
Maka
Phasor
530sin10sin
3530cos10cos
ry
rx
533
4tantan
543
11
2222
x
y
yxr
x
y
yxr
1
22
tan
sin
cos
ry
rx
j5353010
Rectangular
Polar
Polar
Rectangular
Latihan
• Ubah bentuk phasor berikut ke dalam bentuk polar:
a. –3 + 4 j
b. 8 – 6 j
• Ubah bentuk phasor berikut ke dalam bentuk rectangular:
a. 860
b. 6135
Phasor
Latihan
• Hitunglah bilangan kompleks berikut:
a.
b.
Jawaban :
a. –15.5 + j13.67
b. 8.293 + j2.2
]605j4)1j2)([(5 o
oo
3010j43
403j510
Phasor
j 2 = –1
• Mentransformasikan sinusoidal dari domain waktu ke domain phasor dan sebaliknya :
(domain waktu) (domain phasor)
)cos()( tVtv m mVV
• Amplituda dan perbedaan phasa adalah dua hal yang paling diperhatikan dalam menyatakan sinusoidal tegangan dan arus
• Phasor akan didefinisikan sebagai fungsi cosinus dalam mata kuliah ini. Jika sebuah pernyataan arus atau tegangan dinyatakan dalam bentuk sinus, maka akan diubah jadi cosinus dengan mengurangi phasanya 90
Phasor
Contoh
Ubah sinusoidal ini ke phasor: i(t) = 6 cos(50t – 40) A
v(t) = –4 sin(30t + 50) V
Jawaban :
a. I = 6–40 A
b. Ubah menjadi bentuk positif :
–4 sin(30t + 50) = 4 sin(30t + 50 + 180) = 4 sin(30t + 230)
Ubah menjadi cos :
4 sin(30t + 230) = 4 cos(30t + 230 – 90) = 4 cos(30t + 140)
Bentuk phasor V = 4140 V
–sin ωt = sin(ωt + 180o)
–cos ωt = cos(ωt + 180o)
Contoh
Ubah phasor ini ke sinusoidal :
a.
b.
V 3010 V
A j12) j(5 I
Jawab:
a) v(t) = 10 cos(ωt + 210o) V
b) Bentuk polar :
i(t) = 13 cos(ωt + 22.62o) A
22.6213
12
5 tan512 j512 122I
Phasor
j 2 = –1
Perbedaan v(t) dan V:
• v(t) adalah representasi domain-waktu V adalah representasi domain frekuensi atau domain-phasor
• v(t) adalah waktu tak bebas, V bebas.
• v(t) selalu riil tidak dalam bentuk kompleks, V kompleks.
Catatan : analisa Phasor hanya bisa dilakukan ketika frekuensi konstan; untuk dua atau lebih sinyal sinusoidal hanya ketika mempunyai frekuensi yang sama saja
Phasor
Hubungan antara operasi differential dan integral di
phasor :
)(tv VV
dt
dvVj
vdtj
V
Phasor
Contoh
Gunakan pendekatan phasor untuk menentukan arus i(t) di sebuah rangkaian yang dinyatakan sebagai persamaan integral-differential :
Jawab :
)752cos(50384 tdt
diidti
2.14364.42.6877.10
7550
7550)2.6877.10(
7550)104(
)104(644)23(2
84384
i
i
ij
ijjijiiijij
idt
diidti
Phasor
• Turunkan persamaan differential untuk rangkaian berikut untuk mencari vo(t) di domain phasa Vo.
)154sin(3
40020
3
50
0
2
2oo tv
dt
dv
dt
vd
• Sepertinya cara ini cukup sulit .
Ada cara yang lebih mudah ?
Phasor
YA! Ada
Daripada mengubah persamaan differential
dan mengubahnya ke phasor untuk mencari
Vo, bisa dilakukan transformasi semua
komponen RLC ke phasor terlebih dahulu,
baru menerapkan hukum KCL laws dan
teorema lainnya untuk mendapatkan
persamaan phasor Vo secara langsung.
Phasor
Resistor: Induktor: Kapasitor:
Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian
Hubungan arus-tegangan
Elemen Domain waktu Domain Frequensi
R
L
C
Riv RIV
dt
diLv LIjV
dt
dvCi CVjI
Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian
Contoh
Jika tegangan v(t) = 6 cos(100t – 30o) diterapkan
ke kapasitor 50 μF, hitunglah arus i(t) yang
melalui kapasitor.
Jawab :
i(t) = 30 cos(100t + 60o) mA
Hubungan Phasor pada Elemen Rangkaian
60m30
30m30901
)30m30(
)306μ50100(
306
j
j
CVjI
V
1. Diketahui tegangan sinusoid v(t) = 50 cos(30t + 10) V.
Hitung amplituda Vm, frekuensi f, perioda T, dan besar
tegangan v(t) pada t = 10 ms.
2. Diketahui arus sinusoid i(t) = 8 cos(500t – 25) A.
Hitung amplituda Im, frekuensi angular , frekuensi f,
dan besar arus i(t) pada t = 2 ms.
3. Ubah sinusoidal berikut ke dalam bentuk cosinus : a) 4 sin(t – 30)
b) –2 sin(6t)
c) –10 sin(t + 20)
d) –10 sin(3t – 85)
Latihan Soal
4. Untuk tiap pasangan sinusoid v(t) dan i(t) berikut,
tentukan apakah i(t) leading atau lag terhadap v(t) dan
berapa beda phasa-nya : a) v(t) = 20 sin(t + 60) dan i(t) = 60 cos(t – 10)
b) v(t) = 4 sin(4t + 50) dan i(t) = 10 cos(4t – 60)
c) v(t) = 4 cos(377t + 10) dan i(t) = –20 cos(377t)
d) v(t) = 15 cos(2t – 11) dan i(t) = 13 cos(2t) + 5 sin(2t)
5. Jika diketahui tiga phasor yaitu z1 = 6 – j8, z2 = 10–30,
dan z3 = 8–120, hitunglah :
Latihan Soal
6. Hitunglah operasi phasor berikut dan tuliskan hasilnya
dalam bentuk rectangular :
7. Hitunglah operasi phasor berikut dan tuliskan hasilnya
dalam bentuk polar :
Latihan Soal
• Impedansi (Z) dari sebuah rangkaian adalah rasio dari
phasor tegangan V ke phasor arus I, bersatuan ohms
(Ω).
untuk R (nilai real) = resistansi, sedangkan X (nilai
imaginer) = reaktansi. X positif untuk L dan X negatif
untuk C.
• Admittansi Y adalah kebalikan dari impedansi, dengan
satuan siemens (S).
jXRI
VZ
V
I
ZY
1
Impedansi dan Admittansi
RY
1
LjY
1
CjY
Impedansi dan admittansi dari elemen pasif
Elemen Impedansi Admittansi
R
L
C
RZ
LjZ
CjZ
1
Impedansi dan Admittansi
LjZ
CjZ
1
Z
Z
;
0;0
0;
;0
Z
Z
Impedansi dan Admittansi
Contoh
Tentukan v(t) dan i(t).
Jawab : i(t) = 1.118cos(10t – 26.56o) A; v(t) = 2.236cos(10t + 63.43o) V
)10cos(5 tvs
Impedansi dan Admittansi
Latihan
Tentukan v(t) dan i(t).
)10cos(5 tvs 10 mF
Impedansi dan Admittansi
• Kedua KVL dan KCL dilakukan di domain
phasor atau umum disebut domain frekuensi.
• Variable dalam bentuk phasor, berupa bilangan
kompleks.
• Semua operasi matematik di domain kompleks.
• Impedansi pada rangkaian seri/paralel
konsepnya sama seperti resistansi
Hukum Kirchoff di Domain Frekuensi
Contoh
Tentukan impedansi input dari rangkaian dibawah ini
dengan ω =10 rad/s.
Jawaban : Zin = 32.38 – j73.76
Kombinasi Impedansi
Latihan
Tentukan v(t).
tA4cos10
4 F4
1v
Kombinasi Impedansi
Top Related