UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena – EEL
ALCV
Bases
MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq
2012Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq2
ROTEIRO
Bases
• Dimensão e Base
• Coordenadas e Mudança de Base
• Bases Ortogonais
• Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt )
• Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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ROTEIRO
Bases
• Dimensão e Base
• Coordenadas e Mudança de Base
• Bases Ortogonais
• Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) •
• Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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Dimensão e Bases - Conceito
Uma BASE do espaço vetorial W é um conjunto de vetores LI que “gera” este espaço vetorial, em outras palavras, “QUALQUER VETOR no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos desta base”;
A DIMENSÃO do espaço é o NÚMERO DE ELEMENTOS desta base.
Conjuntos Geradores BasesBases
Conjuntos LI
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Dimensão e Bases - Conceito
Tendo em vista o conceito apresentado anteriormente, temos que responder duas questões para se definir uma base:
1- O que são vetores LI ?
Esta pergunta já foi respondida nos capítulos anteriores de nosso curso.
“Quando um vetor puder ser escrito com sendo a combinação linear de um conjunto
de outros vetores, este conjunto de vetores é chamado de LINEARMENTE
DEPENDENTE (LD). Caso contrário, os vetores são denominados de
LINEARMENTE INDEPENDENTES (LI)”
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Dimensão e Bases - Conceito
A segunda questão pode ser enunciada conforme segue:
2- Como saber se um conjunto de vetores LI “gera” um espaço U ?
Um conjunto de vetores LI gera um espaço W quando TODOS os vetores deste espaço puderem ser escritos como sendo uma COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores LI que constituem a referida base;
Ou seja, o espaço vetorial W é constituído por TODAS as combinações lineares dos vetores que compõe uma dada base S:
nnVVVSspanW ...)( 2211
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Exemplo 1.1
Demonstre que os vetores geram , sendo:
De acordo com o conceito apresentado anteriormente, devemos determinar se um
vetor arbitrário pode ser escrito como uma combinação linear dos
vetores .
e , 321 VVV 3R
e , 321 VVV
3
2
1
uuu
U
102
e 210
,321
321 VVV
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Exemplo 1.2
Ou seja, devemos verificar se:
O problema se reduz em provar que o sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO.
3322113 VVVURU
3321
221
131
2 3 2
2
uuu
102
e 210
,321
321 VVV
3
2
1
uuu
U
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Exemplo 1.3
Desde que:
O sistema é POSSÍVEL e DETERMINADO e tem solução única para todo valor de U.
Portanto, os vetores geram
3321
221
131
2 3 2
2
uuu
0123012201
e , 321 VVV3R
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Exemplo 2
Determine se o conjunto de vetores é LI, sendo:
O conjunto contém apenas dois vetores. Estes serão LD quando um vetor
for múltiplo do outro. Caso contrário, eles serão LI.
Claramente, o conjunto é LI.
, 21 VV
56
12
021
21 VeV
, 21 VV
, 21 VV
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ROTEIRO
Bases
• Espaços Vetoriais
• Dimensão e Base
• Coordenadas e Mudança de Base
• Bases Ortogonais
• Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) •
• Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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Coordenadas
Seja B uma BASE do espaço vetorial V e X um vetor pertencente a V. Logo, vale afirmar:
sendo
Os escalares são chamados de COORDENADAS de X relativas a
base B.
nnVVVX ...2211
nVVVB , ... , , 21
n ,...,, 21
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Exemplo 3
Encontre as coordenadas do vetor em relativos à base B, sendo:
Aplicando a definição:
É fácil perceber que: , ou seja, as
coordenadas de X , na base B, são dadas por:
3,1,2X 3R
nnVVVX ...2211
1,0,00,1,00,0,13,1,2 321
1,0,030,1,010,0,123,1,2
312
][ BX
1,0,0,0,1,0,0,0,1B
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Exemplo 4.1
Encontre as coordenadas do vetor em relativos à base B.
Aplicando a definição:
Chegaremos no sistema:
1,2,1 X 3R
nnVVVX ...2211
5,3,22,1,01,0,11,2,1 321
5,3,2,2,1,0,1,0,1 B
121
521310201
3
2
1
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Exemplo 4.2
Cuja solução será as COORDENADAS de X relativas à base B
121
521310201
3
2
1
285
][
3
2
1
BX
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Exemplos 5 e 6
5) Seja a base . Determine as coordenadas do vetor v na base B
sabendo-se que:
6) Sejam e duas bases de R2. Determine as
coodenadas de B’ em relação a B e as coordenadas de B em relação à B’.
2,0,1,1B
52
v
2
32
Bv
4,3,1,2 B 1,0,0,1'B
'11
111
401
B
'11
211
310
B
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Subespaços Gerados por Bases
Desde que, por definição,
“Uma BASE do espaço vetorial W é um conjunto de vetores LI que “GERA” este espaço vetorial, em outras palavras, “QUALQUER VETOR no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos desta base”,
Surge a questão: Determinar o SUBESPAÇO gerado por um CONJUNTO DE VETORES !!!
Conjuntos Geradores BasesBases
Conjuntos LI
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Subespaços Gerados por Bases
Considere o subespaço de R3 gerado pelo conjunto de vetores:
A descrição de S como espaço gerado NÃO DEIXA CLARO se S é TRIVIAL ou uma RETA que passa pela origem ou um PLANO que passa pela origem !
Qual é o procedimento para estabelecer esta descrição (trivial, reta ou plano) do subespaço gerado?
1,2,2,1,0,3,1,2,1 B
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Subespaços Gerados por Bases
Por definição: 1,2,2,1,0,3,1,2,1 B
1,2,21,0,31,2,1,, cbazyx
nnVVVX ...2211
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Mudança de Base
Os exemplos anteriores ilustram a metodologia de obtenção das coordenadas de um dado vetor referenciado à uma base B;
Observa-se também que um espaço vetorial pode conter mais de uma base. Obviamente, para cada base, o vetor em análise apresentará diferentes coordenadas.
Este fato leva à questão: Existe uma correspondência entre as BASES que geram um dado espaço vetorial??? Em outras palavras, qual a relação matemática que exprime esta correspondência ?
Conjuntos Geradores BasesBases
Conjuntos LI
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Matriz de Mudança de Base: TL
Considere duas bases associadas ao espaço vetorial V, denominadas de B e B’.
Vamos supor que EXISTE UMA RELAÇÃO entre os vetores das respectivas bases, ou seja:
O que significa dizer:
},{
},,{'2
'1
21
VVB
VVB
dc
Vba
V BB ][ e ][ '2
'1
21'2
21'
1 ,
dVcVV
bVaVV
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Matriz de Mudança de Base: TL
Considere o VETOR pertencente à base B’:
Então, substituindo as relações anteriores, tem-se:
2
1][ ,kk
V Bvv
221121
212211
'22
'11
)()( )()(
VdkbkVckakdVcVkbVaVk
VkVk
v
21'2
21'
1 ,
dVcVV
bVaVV
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Matriz de Mudança de Base: TL
Esta expressão pode ser escrita na forma matricial conforme segue:
ou seja:
221121 )()( VdkbkVckak v
2
1
21
21 kk
dbca
dkbkckak
Bv
''2
'1 BB VV vv
Coordenadas do vetor v na base B’.
2
1][ kk
Bv
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Matriz de Mudança de Base: TL
A expressão deduzida anteriormente estabelece uma relação matemática entre as bases B e B’;
É interessante observar a MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO é gerada a partir do conhecimento entre os respectivos vetores constituintes das bases;
Esta matriz de transformação é dada por:
sendo A '
dbca
BB
'' BBBB A vv
Matriz de Mudança de Base
Base B’ para a base B
21'2
21'
1 ,
dVcVV
bVaVV
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Exemplo 5.1
Considere as bases B e B’ no . Determine:
Matriz de mudança de base de B’ para B;
Matriz de mudança de base de B para B’;
As coordenadas do vetor na base B.
22
,21
'
,2
4,
23
B
B
2R
21
'
BV
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Exemplo 5.2
Matriz de mudança de base de B’ para B:
A partir da definição, tem-se:
Portanto:
Na forma matricial: e
22
,21
'
,2
4,
23
B
B21'2
21'
1 ,
dVcVV
bVaVV
242322
,242321
dcba
21
2243
ba
2
222
43dc
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Exemplo 5.3
Resolvendo o sistema, tem-se:
22
,21
'
,2
4,
23
B
B
21
2243
ba
2
222
43dc
1223
' dbca
ABB
2012Álgebra Linear e Cálculo Vetorial MAURICIO Guimarães da Silva, Pesq28
Exemplo 5.4
Matriz de mudança de base de B para B’:
Desde que , tem-se que:
1223
'BBA
3221
1223 1
'BBA
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Exemplo 5.5
As coordenadas do vetor na base B
A partir da definição:
Ou seja:
Apenas reforçando, as componentes de V na base B são
21
'
BV
'' BBBB VAV
01
21
1223
BV
01
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ROTEIRO
Bases
• Espaços Vetoriais
• Dimensão e Base
• Coordenadas e Mudança de Base
• Bases Ortogonais
• Ortogonalização de Bases (Gram Schmidt ) •
• Ref: Pole, David; Álgebra linear , 1ª Edição, Thompson.
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TRABALHOS
1-Resolução de Equação 3º grau
2-Demonstração do Método de Kramer
3-Aplicação de Matriz de Mudança de coordenadas:Cilíndrica <> Cartesiana
4-Aplicação de Matriz de Coordenadas:Esférica <> Cartesiana
5-Aplicação de Matriz de Coordenadas:Esférica <> Cilíndrica
6-Números de Fibonacci e o conceito de Autovalores/Autovetores
7-Aplicação de Tranformações Lineares : Elipse Hipérbole Parábola
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