BANCO ÓPTICO: ESPEJOS
I. OBJETIVOS.
1.1.-Calcular experimentalmente la distancias focales de un espejo
cóncavo y de uno convexo
1.2.-Comparar estos valores con los valores teóricos.
II. FUNDAMENTO TEORICO
Las leyes de reflexión y refracción de la luz que se estudiaban
anteriormente para superficies planos ,se cumplen también para cualquier
punto en una superficies de un interfase ,en torres
Como ocurre su reflexión en una superficie exterior, consideramos el
siguiente diagrama:
FIGURA 1
Sea A O B una interfase esférica entre los medios con índice de refracción n
y n’ , C es el centro de curvatura . En adelante se asumirá la convención de
signos siguientes:
- La distancia de la derecha del vértice O del Interfase son positivas
y las que están en la izquierda negativas.
- Los ángulos serán medidos desde el eje POP’ del espejo y
también desde las normales de la superficie de interfase, se
consideran positivos los que se generan en sentido horario y
negativo los antihorarios (convención de referencia [1]) .
Según lo anterior apliquemos la ley de Snell en el punto A de la interfase.
Entonces :
n sen (-i) = n’sen ( i’) (1,1)
Ahora debemos hacer unas consideraciones adicionales: Las superficies que
se estudiarán tienen un diámetro despreciable en relación con las distancias
que separan al objeto en P de la imagen e P’.
Entonces los rayos serán prácticamente paralelos al eje de la superficie
inferior. Es decir serán paraxiales, por lo tanto los ángulos -n y n’ n la figura
serán muy pequeños, por lo que para este caso se consideran los siguientes:
Sen (x) ≈ tg(x) ≈ x (1.2)
Donde x está en radiantes; entonces (1.1) en (1.2) :
n (-i) = n’ (-i’) (1.3)
Luego podemos observar las siguientes relaciones geométricas en la figura:
En Δ APC : Sen (-i)/ PC = sen (-u) / AC (I)
En Δ AP’C : Sen (i’) /P’C = sen (u’) / AC (II) (1.4)
Además en los Δ’s APO Y ACO
h hTag(-u) = ----- y tg.(u’) = -----
-S S’
En (1.5) (I) ÷ (II) y de (1.1) y de la figura:
Sen(-i) P’C Sen(-u) n’ (s’-r) -u--------- . ------- = -------- ≡ -------------- ≈ ----- (1.6) Sen(i’) PC sen (u’) n (-s + r) u’
Pero de (1.5) y de (1.2) :
h h -u = ----- y u = --- entonces también de la figura : -s s’
us = u’s’ (1.7)
De (1.6) y de (1.7):
n’ (s’-r) s’ n’ (s’-r) n (-r + s) ------------ = ---- ≡ ----------- = ---------- n (r – s) s s’ s
Separando términos n y dividiendo entre r:
n’ n’ n n--- - ---- = --- - ---r s’ r s
Entonces finalmente al reordenar términos se obtiene
n’ n n’ – n--- - --- = ----------- (1.8)s’ s r
esta es la fórmula de Descartes para la reflexión en una superficie esférica.
Esta ecuación relaciona la distancia entre fase y objeto s’ y s distancia
interfase imagen S’ en la refracción en una superficie esférica, para nuestro
caso podemos adecuar (1.8) para la reflexión en espejos esféricos
considerando que el ángulo de incidencia (-i) está relacionado con el de
reflexión –i’ por
-i = i’ (1.9)
Pues según la convención de signos que se adopta el ángulo de reflexión de
referencia en sentido horario luego (1.9) en (1.6)
-n = n’ (1.10)
Y con (1.10) en (1.8) cambia a :
1 1 2 ---- + ----- = -- (1.11)
s’ s r
En (1.11) cuando S’ → ∞ o S → ∞ se tendrá
i) 1 1 2 : 1 2--- + -- = --- -- = ----∞ s r f r
ii) 1 1 2 : 1 2--- + -- = --- -- = ----s’ -∞ r f’ r
En donde f’ = f = r /2. f es denominada distancias focal del espejo y la
ecuación que se utiliza será:
1 1 1--- + -- = --- (1.12)S’ S f
Como hemos visto f es una cantidad constante que solo depende del radio de
curvatura del espejo. En particular el punto focal F será aquel en el eje del
espejo donde convergen todas los rayos que sean paralelos al eje en el caso
de un espejo cóncavo o convergente ; y será desde donde los rayos parecen
alejarse en el caso de un espejo convexo o divergente.
De esta forma:
i) r > 0 Si el objeto se encuentra a la izquierda de la
superficie reflejante del espejo y es convexo
ii) r < 0 Si el objeto también está a la izquierda del espejo y su
superficie reflejante y si este es cóncavo. [[1]
Para poder determinar la imagen en un espejo se usa el método geométrico,
en donde para hallar la imagen del objeto se unirán dos rayos principales.
Rayo focal.- que pasa por el foco del espejo y luego se refracte paralelo al eje
o viceversa
Rayo radial.- que se dirige en la dirección radial al espejo de tal forma que se
refleja en la misma dirección. [3]
Para nuestro caso, los experimentos que realizamos buscaron comprobar
experimentalmente la ec. (1.12) en donde usamos un dispositivo que consiste
en un carril en el cual se deslizan espejos cóncavos y convexos, lentes y una
pantalla, este se denomina BANCO ÓPTICO.
III. MATERIALES
3.1 Una vela (fuente de luz)
3.2 Un banco óptico (BO), el cual incluye:
- Una lente convergente
- Un espejo cóncavo
- Un espejo convexo
- Una pantalla
3.3 Una regla milimetrada
IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
Parte a: Cálculo de la distancia focal de un espejo cóncavo
1. Se coloca el espejo en el extremo derecho del canal del BO y se pasa
la fuente de luz a la izquierda de ella, ajustando la posición hasta que
la imagen se reflejada esté a la misma distancia del espejo, que del
objeto del espejo.
2. Se coloca el espejo frente a la fuente con una separación de 30 cm. y se
ubica entre estas la posición de la imagen
3. Ahora se separan la fuente y el espejo 10 cm. y se coloca una lente
convergente a la izquierda de ellos para ubicar a la imagen a más corta
distancia de la que tenía en un inicio.
Parte b.: Distancia focal de un espejo convexo
1. Se coloca el objeto y la pantalla a 15 cm. de distancia y en medio de
ella se ubica la lente convergente de tal modo que se llegara a notar la
imagen en la pantalla.
2. Luego en medio de la lente y la pantalla se ubica el espejo convexo y
se posiciona de tal forma que la imagen invertida de la vela se
proyectare sobre sí misma.
3. Se repitieron todos los pasos anteriores por dos veces más cada una y
se anotaron los datos de longitudes.
V. DATOS EXPERIMENTALES
Según los diagramas que se indican a continuación, las distancias en
cada uno se señalan para los tres casos distintos.
Parte a: Distancia focal de un espejo cóncavo
1 = Cuando S = S’
Imagen espejo Fig. 4
TABLA Nº 1 .- DISTANCIAS “S” (*)
Nº -S (cm)± 0.05 cm.
1 + 22,00
2 + 21.00
3 + 21.50
2. Según 4. a 2. Cuando :
Vela imagen espejo Fig. 5
TABLA Nº 2 : Distancias S, S’ (*)
Nº - S (cm) ± 0,05cm
- S’( cm)± 0,05 cm
1 + 30.00 + 14.50
2 + 30.00 + 15.00
3 + 30.00 + 15.50
S = S’
S ≠ S’
(*) Los errores de medición que se muestran hasta en la tabla Nº 4 son debido a que al realizar la medición de distancias usamos una regla de escala mínima de 1 mm.
3. Cuando se usa la lente convexa
imagen lente vela espejo Fig. 6
TABLA Nº 3 : Distancias S, SX y SX’ .
Nº - SX’ (cm)± 0,05
- SX cm± 0,05 cm
- S cm± 0,05 cm
1 + 45 + 10 + 10
2 + 48 + 10 +10
3 + 40 + 12 + 10
Parte b: Distancia focal de un espejo convexo
imagen espejo lente vela Fig. 6
TABLA Nº 4 : Distancias y, x , e
Nº - r (cm)± 0,05
X cm± 0,05 cm
e cm± 0,05 cm
1 23 31 95
S X’
SX S
X
r
e
2 23 33 90
3 20 27 99
VI CALCULOS Y RESULTADOS
Parte a: CALCULO DE LA DISTANCIA FOCAL DE UN ESPEJO CONCAVO
6.a.1 Según la ec. (1.11) y (1.12 ); f = R/2 y según la figura 4 cuando S = S’ en (1.11)
1 1 1 S --- + --- = ---- ≡ ---- = f S S f 2
De la tabla 1 entonces se obtiene los siguientes resultados
TABLA Nº 5: PRIMEROS RESULTADOS DE DISTANCIA FOCAL
Nº f (cm)± 0,025 cm ≡ ± 0,03
1 11.00
2 10.50
3 10.75
Calculando el valor medio y la desviación estándar respectiva:
f = (11.00 + 10.50 + 10.75) / 3 = 10.75 cm
σ2 = [ (10.75 – 11.00)2 + (10.75 – 10.50)2 + (10.75 – 10.75)2 ] / 3 = 0.04167
σ2 = 0.204 cm., además el error acumulado por el instrumento de medición
es ± 0.03 cm.
Entonces en el espejo cóncavo el foco tiene el valor:
- f = (1’0.75 ± 0.02 ± 0.03) cm
- f = 10.75 ± 0.05 cm (espejo cóncavo) (6.2)
6.a.2 De acuerdo a la figura 5 y con los datos de la taba 2 se puede recalcular
el valor de la distancia focal; antes de usar (1.12) veamos la forma de hallar los
errores propagados en:
(S’)-1 + S-1 = f-1
Además si
A = 1/B
Si se toma logaritmo natural de ambos miembros:
Ln(A) = - Ln(B)
Diferenciando ambos miembros:
Δ A Δ B ------ = ------
A B
De la relación anterior vemos que los errores relativos de A y B se tendrá el
mismo error relativo en valor absoluto, de donde:
δ A = δ B
entonces con (6.3) podemos hallar los valores de f para este caso:
TABLA Nº 6 Segundos valores de la distancia focal del espejo cóncavo
Nº Δ(s)
%
Δ(s’)
%
Δ f-1
%
Δf Δf
1 0.16 0.34 0.50 9.775 0.0488
2 0.16 0.33 0.49 10.000 0.0490
3 0.16 0.32 0.48 10.219 0.0490
Entonces los valores del foco:
f1 = (9.78 ± 0.05) cm
f2 = (10.00 ± 0.05) cm
f3 = (10.22 ± 0.05) cm
el valor medio y la desviación estándar:
f = (9.78 + 10.00 + 10.22) / 3 = 10.00 cm.
σ = [(10 – 10)2 + (10 – 9.78)2 + (10.22 – 10)2 / 3]1/2 = 0.179 cm
Luego de (6.4) el valor medio de Δ f = 0.05 cm.
Entonces:
f = (10.00 ± 0.179 ± 0.179 ± 0.05) cm.
f = (10.00 ± 0.23) cm (foco del espejo cóncavo) (6.5)
6.a.3 Según como lo indica 4.3.a para este caso se usa una lente bicóncava.
Para deducir la ecuación de luna lente se usará (1.8) dos veces asumiendo
que en un caso la imagen en el objeto para el requerido, entonces:
n’ n n’ – n__ - __ = --------- (a)S’a Sa r
n n’ n - n’__ - --- = --------- (b)S’b Sb r
Sumando a con b y reordenando se obtuvo:
1 1 n’ 2 ---- - ------ = ( --- - 1 ) (---- ) (6.6) Sb’ Sa n r
En la tabla 3 se tiene datos de la distancia del espejo convexo – objeto S, peo
de imagen espejo S’ no, son oque se halla una distancia diferente, que resulta
ser menor que S’ pues se usa para acelerar la convergencia de los rayos. En
bien de entender hallar el valor de la distancia imagen espejo en nuestro caso
podemos aplicar (6.6) considerando que la imagen quiere formar a la distancia
original del espejo S’, era un objeto virtual para la lente, entonces en nuestro
caso según la figura 6:
Sa = Sx’ – Sx con lo cual los valores de Sa son:
Sa(1) = 35 cm
Sa(2) = 38 cm
Sa(3) = 28 cm.
Además el término derecho de (6.6) es el inverso del foco de la lente y hay
que considerar que se que se unirán 2 lentes acoplados de valor R1 = 20 cm y
la segunda R2 = 10 cm. También se cumple la siguiente relación entre los
focos de la lente compuesta (2)
1 1 1 --- = ---- + --- (6.7)
f f1 f2
entonces en (6.6)
1 1 n’ 2 2--- - --- = ( --- - 1) (---- + -- )Sb’ Sa n R1 R2
Es la ecuación para la composición de 2 lentes con radios iguales en ambos
miembros. Para usar (6.8) tenemos todos los datos necesarios menos el
índice de refracción del material de la lente, entonces estimaremos este dato.
Según la referencia (2) Pág. 95 : M para el vidrio es aproximadamente = 1
Entonces :
1 1 1.5 2 2 3--- - -- = ( ---- - 1) ( --- + ---) = ---Sb’ Sa 1 10 10 20
Luego al calcular para los datos de la tabla 5, usando (6.8):
S’b = 8.23 cm ≈ 8 cm
S’b = 8.08 cm ≈ 8 cm
S’b = 8.08 cm ≈ 8 cm.
Luego de esta las distancias reales son:
S’ = Sx’+ Sb’
S’ = 45 + 8 : S= 10 cm y f = 8.41 cm
S’ = 48 + 8 : S = 10 cm y f = 8.48 cm.
S’ = 40 + 8 : s = 10 cm, y f = 8.17 cm.
Entonces el valor promedio del foco para este caso:
f = 8.38 cm. (6.9)
El resultado que se muestra es solo una estimación.
Parte b.- Cálculo de la distancia focal de un espejo convexo.
Debido a las condiciones del procedimiento experimental el foco puede ser
calculado directamente:
Según la tabla Nº 9 el valor del foco del espejo es equivalente a la mitad de r .
(f = r/2)
Esto debido a:
Cuando la lente se posiciona de tal forma que se notará la imagen de la vela
en la pantalla. En ese momento los puntos en la pantalla y los puntos en la
vela, formaban un PAR CONJUGADO respecto a la lente.
Luego al colocar el espejo entre la imagen y la lente; si es que la posición de la
lente es tal que la imagen de la vela se reflejara sobre si misma quiere decir
que los rayos de luz desde la lente incidirán en forma normal al espejo, y a la
vez si reflejaban siguiendo la misma dirección en la que llegaban; esto ocurre
solamente si los puntos en la pantalla se hallan a una distancia del espejo
igual a su propio radio de curvatura.
De donde de la tabla 5 se deduce que los valores del foco del espejo convexo
tendrán el valor que se muestra en la tabla:
TABLA Nº 7 : FOCOS PARA EL ESPEJO CONVEXO
Nº - f = r/2 (cm)
± 0.025 ≡ 0.03 cm
1 11.50
2 11.50
3 10.00
Entonces los valores medios y la desviación estándar:
f = (11.50 + 11.50 10.00) / 3 = 11.00 cm.
σ = [((11 – 11.5)2 + (11 – 11.5)2 + 10 – 11)2 ) / 3]1/2 = 0.70 cm.
Entonces el valor de la distancia focal:
-f = (11.00 ± 0.70 ± 0.03) cm
-f = (11.00 ± 0.1) cm (Distancia focal espejo convexo) (6.10)
VII. OBSERVACIONES
VII.1 Los datos que se muestran en las tablas de 1 a 4 deberían tener
un error de medición mayor, debido a que la medición también se hizo
con la mínima escala del banco óptico, la cual era de 1 cm..
Entonces :
Δ S = ± 0.5 ± 0.05 = 0.55 cm.
VII.2 Para el caso (1) obtenemos que la distancia focal es:
f1 = (10.75 ± 0.05) cm (6.2)
f2 = (10.00 ± 0.23) cm (6.5)
El dato que se obtuvo en la tercera parte de este procedimiento no lo
consideramos pero a parte de ser muy lejano a los valores que hemos
mostrado, en su cálculo se requiere considerar datos que no se
obtuvieron.
VII.3 Para el caso (2) el valor de f para el espejo cóncavo es.
f = (11.00 ± 0.1) cm (6.10)
VII.4 Como dato teórico se obtuvieron los valores de los radios de las
lentes cóncava y convexa , R = 20 cm. Para los dos casos con lo cual el
dato teórico de f es f = 10 cm.
Entonces al comparar los resultados tenemos los siguientes errores
experimentales.
Caso (1)
a) % error = 7.5 %
b) % error = 0.0 %
Caso (2)
% error = 10%
Que fueron calculados por la fórmula:
%error = [(fteo – fexp.) / fteo] x 100
VIII. CONCLUSIONES
VIII.1 El valor del foco del espejo cóncavo se acerca mejor a :
f = (10 ± 0.23) cm.
Pues este es el único valor que presenta una divergencia
insignificativa con respecto al valor experimental .
Y el valor del foco en el espejo convexo es el que se muestra en (6.10),
pero el error experimental es muy grande 10%.
Como sabemos esto se debe a factores de error intrínsecos en el
proceso de experimentación.
IX. SUGERENCIAS
Para poder haber obtenido un valor más del foco del espejo cóncavo ,
en la tercera parte habría sido mejor medir la distancia imagen espejo
directamente, pues el uso de la lente solo complicó los cálculos.
X. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[ 1 ] FRISH, S; TIMOREVA, A : CURSO DE FISICA GENERAL,
TOMO III. Editorial MIR. Moscú .1968.
[ 2 ] HETCH; EUGENE : OPTICA . TERCERA EDICION : España
Pearson Education. 2005
[ 3 ] SEARS, F. : ZEMANSKY, M; YOUNG, M; FREDDMAN; R:
FISICA UNIVERISTARIA VOL: II: Undécima Edición . México:
Pearson Education. 2005. Pág. 1282 - 1283