Bioestadística: Variables Aleatorias.Distribuciones de Probabilidad I
M. González
Departamento de Matemáticas. Universidad de Extremadura
M. González Bioestadística: Variables Aleatorias. Distribuciones de Probabilidad I
Variables Aleatorias: Conceptos Básicos
1. Considera el experimento aleatorio "observar el sexo de los hijosde una familia con 3 descendientes".
(a) Construye el espacio de probabilidad asociado sabiendo que laprobabilidad de ser varón es 0.49.
(Ω, P) V-Varón;M-Mujer
Ω = VVV, VVM, VMV, MVV, VMM, MVM, MMV, MMM
P(VVV) = 0.493
P(VVM) = 0.492 ∗ 0.51 = P(VMV) = P(MVV)P(VMM) = 0.49∗ 0.512 = P(MVM) = P(MMV)P(MMM) = 0.513
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Variables Aleatorias: Conceptos Básicos
1. (b) Calcula el espacio de probabilidad de la variable aleatoria (v.a.)X="número de hijos varones de una familia con 3 hijos", y calcula laprobabilidad de que la variable sea menor o igual que -0.05, 0, 0.5, 1, 3, 3.5
X : Ω −→ Ω′ = 0, 1, 2, 3 (Ω′, PX)VVV −→ 3
VVM −→ 2
. . .
MMV −→ 1
MMM −→ 0
PX(0) = P(X = 0) = P(ω ∈ Ω: X(ω) = 0) = P(MMM) = 0.513
PX(1) = P(X = 1) = P(ω ∈ Ω: X(ω) = 1) == P(VMM, MMV, MVM) = 3 ∗ 0.49∗ 0.512
PX(2) = P(X = 2) = P(ω ∈ Ω: X(ω) = 2) == P(VVM, VMV, MVV) = 3 ∗ 0.492 ∗ 0.51
PX(3) = P(X = 3) = P(ω ∈ Ω: X(ω) = 3) = P(VVV) = 0.493
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Variables Aleatorias: Conceptos Básicos
1. (c) Calcula E[X] y Var[X].
(Ω′, PX) Ω′ = 0, 1, 2, 3
PX(0) = P(X = 0) = 0.513
PX(1) = P(X = 1) = 3 ∗ 0.49∗ 0.512
PX(2) = P(X = 2) = 3 ∗ 0.492 ∗ 0.51PX(3) = P(X = 3) = 0.493
E[X] = µX =∑
xi∈Ω′ xiPX(xi) =0 ∗ PX(0) + 1 ∗ PX(1) + 2 ∗ PX(2) + 3 ∗ PX(3) = 1.47
Var[X] = σ2X =
∑xi∈Ω′(xi − E[X])2PX(xi) =∑
xi∈Ω′ x2i PX(xi)− E[X]2 = 02 ∗ PX(0) + 12 ∗ PX(1) + 22 ∗
PX(2) + 32 ∗ PX(3)− 1.472 = 0.7497
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Variables Aleatorias: Conceptos Básicos
1. (d) Si Y="número de hijas de una familia con 3 descendientes", ¿son X eY independientes?
Y : Ω −→ Ω′ = 0, 1, 2, 3 (Ω′, PY)VVV −→ 0
VVM −→ 1
. . .
MMV −→ 2
MMM −→ 3
PY(0) = P(Y = 0) = P(ω ∈ Ω: Y(ω) = 0) = P(VVV) = 0.493
PY(1) = P(Y = 1) = P(ω ∈ Ω: Y(ω) = 1) == P(VVM, VMV, MVV) = 3 ∗ 0.492 ∗ 0.51
PY(2) = P(Y = 2) = P(ω ∈ Ω: Y(ω) = 2) == P(VMM, MMV, MVM) = 3 ∗ 0.49∗ 0.512
PY(3) = P(Y = 3) = P(ω ∈ Ω: Y(ω) = 3) = P(MMM) = 0.513
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Variables Aleatorias: Conceptos Básicos
1. (d) Si Y="número de hijas de una familia con 3 descendientes",¿son X e Y independientes?
Independencia de Variables Aleatorias
X eY son independientes si para todoA, B⊆ Ω′
P(X ∈ A ∩ Y ∈ B) = P(X ∈ A)P(Y ∈ B)
P(X = 1 ∩ Y = 1) =P(VMM, MVM, MMV ∩ VVM, VMV, MVV) = P(∅) = 0
P(X = 1)P(Y = 1) 6= 0 DEPENDIENTES
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Variables Aleatorias: Distribución Binomial
Experimento aleatorio inicial:Ω = EXITO(E), FRACASO(F),P(E) = p, P(F) = 1− p.
Experimento aleatorio:"Repetirn veces de forma independiente elexperimento aleatorio inicial" (p = P(E) constante)
Ωn = E . . . E, FE . . . E, · · · , F . . . FE, F . . . FP(E . . . E) = pn
P(FE . . . E) = pn−1(1− p) = P(EFE. . . E) = · · · = P(E . . . EF)P(FFE . . . E) = pn−2(1− p)2 = P(FEFE. . . E) = · · · = P(E . . . EFF)P(F . . . F) = (1− p)n
X =número de éxitos en lasn repeticiones independientes delexperimento inicial.
X : Ωn → 0, 1, . . . , n
P(X = k) =(
nk
)pk(1− p)n−k, k = 0, . . . , n
X ∼ B(n, p) E[X] = µX = np, Var[X] = σ2X = np(1− p)
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Variables Aleatorias: Distribución Binomial
3. Se sabe que un determinado antígeno da reacciones positivas en un20% de la población. ¿Cuál es la probabilidad de que tomando 5muestras de sangre al azar, se produzca reacción como máximo en dosde las muestras?. ¿Y exactamente en 3 de ellas? ¿Y en ninguna de lasmuestras?
X=número de muestras de sangre entre 5 tomadas al azar que danpositivo ante el antígeno∼ B(5, 0.2)
P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =0.328+ 0.410+ 0.205= 0.943
P(X = 3) = 0.051
P(X = 0) = 0.328
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Variables Aleatorias: Distribución Normal
Es el modelo teórico que viene determinado por la siguiente funciónde densidad, definida en toda la recta real:
f (x) =1
σ√
2πe−(x−µ)2/2σ2
, −∞ < x < ∞
Intuitivamente, es la distribución de probabilidad que se asume paravariables consideradas simétricas respecto a su media y cuyos valoresse disponen en un "histograma" que se ajusta a la forma de la llamadacampana de Gauss
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
N(0, 1)
Los parámetros de esta distribu-ción son su media,µ, que es eleje de simetría de la gráfica, y lavarianzaσ2. EscribiremosX ∼N(µ, σ2)
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Variables Aleatorias: Distribución Normal
−6 −4 −2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
N(0,1)
x
−6 −4 −2 0 2 4 6
0.00
0.10
0.20
N(0,4)
x
−6 −4 −2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
N(2,1)
x
−6 −4 −2 0 2 4 6
0.00
0.10
0.20
N(2,4)
x
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Variables Aleatorias: Distribución Normal
TIPIFICACIÓN:
X ∼ N(µ, σ2) ⇒ Z =X− µ
σ∼ N(0, 1)
A la distribuciónN(0, 1) se le denomina Normal Estándar.
TABLA III-2: u≥ 0→ P(Z ≤ u)
u
P((Z ≤≤ u))
La distribuciónN(0, 1) es lasimétricarespecto al 0, es decir, siZ ∼ N(0, 1)
P(Z ≤ u) = P(Z ≥ −u) P(Z ≥ u) = P(Z ≤ −u)
u −u
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Variables Aleatorias: Distribución Normal
9. Supongamos que la presión diastólica en mujeres hipertensas se centraentorno a una media de 100mm con una desviación típica de 14mm y que sudistribución es normal. Calcula:
(a) La probabilidad de que la presión diastólica sea menor que 88mm.
(b) La probabilidad de que la presión diastólica sea mayor que 115mm.
X =presión diastólica de una mujer hipertensa∼ N(100, 142)(a)
P(X < 88) = P
(X− 100
14<
88− 10014
)Z =
X− 10014
∼ N(0, 1)
= P(Z < −0.86) = P(Z > 0.86) = 1− P(Z ≤ 0.86)= 1− 0.8051= 0.1949
−0.86 0.86
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Variables Aleatorias: Distribución Normal
9. X =presión diastólica de una mujer hipertensa∼ N(100, 142)(c) La probabilidad de que la presión diastólica se encuentre entre 96 y104mm.
P(96≤ X ≤ 104) = P
(96− 100
14≤ X− 100
14≤ 104− 100
14
)= P(−0.29≤ Z ≤ 0.29) = P(Z ≤ 0.29)− P(Z ≤ −0.29)= P(Z ≤ 0.29)− (1− P(Z ≤ 0.29))= 2 ∗ P(Z ≤ 0.29)− 1 = 2 ∗ 0.6141− 1
= 0.2282
0.29−0.29
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Variables Aleatorias: Distribución Normal
TABLA III-1: α ∈ [0, 1] → zα ≥ 0 Z ∼ N(0, 1)P(Z ≥ zα) = α/2 P(Z ≤ zα) = 1− α/2 P(−zα ≤ Z ≤ zα) = 1− α
9. X =presión diastólica de una mujer hipertensa∼ N(100, 142)(d) El valor t, tal que la probabilidad de que la presión sea menor que t, sea0.95.
P(X < t) = 0.95 ⇔ P
(X− 100
14≤ t − 100
14
)= 0.95
⇔ P
(Z ≤ t − 100
14
)= 0.95
1− α/2 = 0.95⇒ α = 0.1
t − 10014
= z0.1 = 1.645⇒ t = 100+ 14∗ 1.645= 123.03
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Variables Aleatorias: Distribución Normal
TABLA III-1: α ∈ [0, 1] → zα ≥ 0 Z ∼ N(0, 1)P(Z ≥ zα) = α/2 P(Z ≤ zα) = 1− α/2 P(−zα ≤ Z ≤ zα) = 1− α
9. X =presión diastólica de una mujer hipertensa∼ N(100, 142)(e)El valor t, tal que la probabilidad de que la presión sea mayor que t, sea0.95.(f) Dos valores simétricos entorno a la media tales que la probabilidad deque la presión esté entre ellos sea de 0.95.
P(100− t < X < 100+ t) = 0.95 ⇔
⇔ P
((100− t)− 100
14≤ X− 100
14≤ (100+ t)− 100
14
)= 0.95
⇔ P
(−t14≤ Z ≤ t
14
)= 0.95
1− α = 0.95⇒ α = 0.05t
14= z0.05 = 1.960⇒ t = 14∗ 1.960= 27.44
100− t = 72.56 100+ t = 127.44M. González Bioestadística: Variables Aleatorias. Distribuciones de Probabilidad I