8/16/2019 Calculo Integral Capitulo 5 - Sustituciones Trigonometricas
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------------------------------------------------------------------------------------------------CAPITULO 5 CAPITULO 5CAPITULO 5CAPITULO 5--------------------------------------------------------------------------------------------
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SUSTITUCIONES TSUSTITUCIONES TSUSTITUCIONES TSUSTITUCIONES TRIGONOMÉRIGONOMÉRIGONOMÉRIGONOMÉTRICASTRICASTRICASTRICAS
En este capítulo estudiaremos las integrales cuyo integrando contiene una expresión de la
forma22
uk −
,22
uk +
o22
k u −
, donde 0>
k , a menudo es posible realizar laintegración por medio de una sustitución trigonométrica.
• Calcular la siguiente integral ∫+ 22 a x
dx
El integrando contiene la expresión de la forma22
k u+
Sea θ θ θ d adxentoncesa x 2sectan == , de manera que reemplazando en la integral
se tiene:
( )
C d
d d aa
a
d a
aa
d a
a x
dx
++==
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---------------------CAPITULO 5-----------------------
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(Figura 5.1)
)aciendo referencia al tri#ngulo, se tiene:
aa x 22
sec +
=θ ya x
=θ tan de manera que:
k a x x
C aa x x
C a
xa x
C a x
aa x
a x
dx
+++=
+−++=
+++
=
+++
=+
∫
22
22
22
22
22
ln
lnln
ln
ln
*onde =+−= C ak ln constante
5.1 SUSTITUCIONES RECONMENDAB ES DE ACUERDO A ASE!"RESIONES EN A INTEGRA
Expresión( )0>k Sustitución Identidad Triángulo
22 uk −
( ) ;θ ksenu =
20
π θ ≤≤ si 0≥u
02
≤≤− θ π
si 0
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22
uk +
( ) ;tan θ k u =
20
π θ ≤≤
si0≥
u
02
≤≤− θ π
si 0
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---------------------CAPITULO 5-----------------------
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5.# EM" EO DE SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS "ARA EC$ CU O DE INTEGRA ES DE A %ORMA
dxcbxax x R∫ ++2,
Completando cuadrado en cbxax ++2 y !aciendo una sustitución lineal, reducimos laintegral a una de las integrales de las formas siguientes:
a) duuk u R∫ − 22, &)∫ + duuk u R 22, c) duk uu R∫ −22,
Con 0>k $k - constante'.as tres integrales se e"al/an usando respecti"amente las sustituciones trigonométricas
anteriores.
El uso de sustituciones trigonométricas también es /til para el c#lculo de integrales de la
forma
( )dxcbxax x R∫ ++2, *onde R es una función racionalCompletando cuadrado en cbxax ++2 y !aciendo una sustitución lineal llegaremos a
una de estas tres formas para la integral anterior.
( ) ,, 22 duuk u R∫ − ( )duuk u R∫ + 22, y ( )duk uu R∫ − 22,
Estas /ltimas integrales se calculan, "aliéndose respecti"amente de las sustituciones,θ ksenu = θ tank u = y θ seck u =
• Calcular la integral ∫
−
dx x
x2
225
.
Me diante la sustitución adecuada, deseamos eliminar el radical 225 x− . (ara ello,!acemos 5 o tomamos en cuenta el triangulo rect#ngulo de la figura %.0
Ejemplo 5.#5.#5.#5.#:
Solución:Solución:Solución:Solución:
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(Figura 5.')
*el tri#ngulo rect#ngulo obtenemos el cambio de "ariable buscando la relación
trigonométrica m#s sencilla que implica a θ y a x , y ésta es ( ) 5 x
sen =θ . Entonces, al
despe ar x , al diferenciar y despe ar θ se tiene
( )θ sen x 5= 1 ( )θ cos5=dx 1
= 5
xarcsenθ 1
dem#s, del mismo tri#ngulo de la figura %.0 obtenemos ( )θ cos525 2 =− x
Sustituimos en la integral y resulta
( )( )
( )( ) ( )∫∫∫ ==−
θ θ θ θ θ
θ d d
sendx
x
x 222
2
cotcos525
cos525,
*onde usamos la identidad ( ) ( )( )θ θ
θ sen
coscot = .
+sando luego la identidad ( ) ( ) 1csccot 22 −= θ θ , obtenemos
( )( ) ( )∫ ∫ +−−=−=−
C d dx x
xθ θ θ θ cot1csc
25 22
2
2eescribimos el resultado en término de la "ariable x, del tri#ngulo ( ) x
x 225cot
−=θ
y como
=5
xarcsenθ , 3inalmente obtenemos
1
∫ +
−−
−=−
C x
arsen x
xdx
x
x5
2525 2
2
2
x5
θ
25
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• E"aluar la siguiente integral( )
∫+++ 2 2 221 x x x
dx
•
Completando cuadrado tenemos:
( ) ( ) 11121222 222 ++=−+++=++ x x x x x , a!ora !acemos:dxdu xu =⇒+= 1 y 1−= u x , luego:
( ) ( ) ( ) ( )
∫
∫∫∫
+
=
++−=
+++
=+++
1
111111221
22
222222
uu
du
uu
du
x x
dx
x x x
dx
a integral resultante tiene la forma ∫ + duuk u R 22, tomamos,sectan 2 θ θ θ d duu =⇒= de modo que :
( )
∫
∫∫
∫∫∫
=
⋅==
=+
=+++
θ θ
θ
θ θ
θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
d sen
d sen
d
d d
x x x
dx
2
2
2
2
2
2
22
2
22
cos
cos
cos
1
tan
sec
sectan
sec
1tantan
sec
221
Sea θ θ θ d dt sent cos=⇒= , reemplazando se tiene:
( ) ∫∫ +−=+−==
+++
− C sen
C t
dt t x x x
dxθ
11
221
2
22
a sustitución1
tan uu ==θ , se puede representar por medio de un tri#ngulo rect#ngulo
como se indica en la figura %.4,
(Figura 5. )
Ejemplo 5.&5.&5.&5.&:
Solución:Solución:Solución:Solución:
u
1
θ
1
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(ara expresar el resultado de la integral en términos de la "ariable de integración u ,
utilizamos dic!o tri#ngulo ,12 +
=
u
usen θ *e manera que:
( ) C uu
x x x
dx+
+−=
+++∫1
221
2
22
C x
x x+
+
++=
1
222, donde 1+= xu
• )allar la siguiente integral ( ) dx x x
∫ − 2322
91
a integral tiene la forma duuk u R∫ − 22,
Sea θ θ θ θ θ d dxd dxsen x cos3
1cos33 =⇒=⇒=
θ sen x31= y ( ) θ 222 93 sen x x == , entonces
( ) ( )θ θ
θ
θ
d sen
sendx
x x cos
13
1
31
91 23
2
2
23
2
2
∫∫ −
=
−
( )θ θ
θ
θ d
sencos.
cos27
1
23
2
2
∫=
θ θ
θ θ
θ
θ θ d
send
sen ∫∫ == 22
3
2
cos27
1
cos
cos.
27
1
( )∫ ∫ −== θ θ θ θ d d 1sec271
tan27
1 22
C d d +−=−= ∫∫ θ θ θ θ θ 271
tan27
1
27
1sec
27
1 2
(ero la sustitución1
33
x xsen ==θ , se puede representar por medio de un tri#ngulo
rect#ngulo como se indica en la figura %.5,
Ejemplo 5.' 5.'5.'5.':
Solución:Solución:Solución:Solución:
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---------------------CAPITULO 5-----------------------
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(Figura 5. )
(ara expresar el resultado de la integral en términos de la "ariable de integración original
x , !acemos referencia a dic!o tri#ngulo
2913tan
x x
−=θ , adem#s, Si xarcsen xsen 33 =⇒= θ θ , finalmente obtenemos,
( )C xarcsen
x
x
C xarcsen x
xdx
x
x
+−−
=
+−−
=
−∫
327
1
919
327
1
91
3.
27
1
91
2
223
2
2
• Calcular la siguiente integral dx x x
∫ +− 65
12
Completando cuadrado en 5 6
4
256
4
25565 22 −++−=+− x x x x 4
12
52
−
−= x ,
2eescribiendo la integral se tiene,
( )
( ) ( )∫
∫∫
−−
=
−−
=+−
22
22
21
25
41
2565
x
dx
x
dx x x
dx
Ejemplo 5.55.55.55.5:
Solución:Solución:Solución:Solución:
3 x1
θ
1 9
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( )( )
C x x
C x x
C x
x
C x x
x
C x x
x
C x x x x
x x x
dx
+−
−=
+−
−=+
−
−=
+−−
−=
++−
−=
++−
−+−
−=
+−∫
2
3ln
2
3ln2
2
3ln2
23
3ln2
652
62ln2
652
1
652
52ln2
65
2
1
2
222
• Calcular la integral dxee
e x x
x
∫++ 12
•
)acemos la sustitución x x x d edt et =⇒= para simplificar la integral
∫∫++
=++ 11 22 t t
dt dx
ee
e x x
x
Completando cuadrado se tiene:
( )∫∫
++
=++
43
211
22
t
dt dx
ee
e x x
x
Sea θ tan2
32
1 =+t y θ θ d dt 2sec2
3= , de modo que:
∫
∫∫
+=
+
=++
1tan
sec
23
23
4
3tan
4
3
sec
2
3
1
2
2
2
2
2
θ
θ θ
θ
θ θ
d
d
eedxe x x
x
Ejemplo 5.( 5.(5.(5.(:
Solución:Solución:Solución:Solución:
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99
secsec
sec
sec
sec 2
2
2
∫∫∫ === θ θ θ θ θ
θ
θ θ d
d d
C ++= θ θ tansecln
6ol"amos a la "ariable x , como ,3
12tan += t θ entonces
(Figura 5.*)
)aciendo referencia al tri#ngulo rect#ngulo de la figura %.7, se tiene:
3
12sec
2 ++=
t t θ , de manera que la integral original nos queda:
C t t t
ee
dxe x x
x
+++
++
=++
∫3
12
3
12ln
1
2
2
C t t t
+++++
=3
1212ln
2
3ln1212ln 2 −+++++= C t t t
,1212ln 2 k eee x x x +++++= *onde xet = y 3ln−= C k
E)ERCICIOS * "ROB EMASE)ERCICIOS * "ROB EMASE)ERCICIOS * "ROB EMASE)ERCICIOS * "ROB EMAS +5.1,+5.1,+5.1,+5.1,
• +tilizar sustituciones trigonométricas para deducir las siguientes fórmulas.
1. ∫ +++++=+ C uauauauduua 222
2222 ln22
'. ∫ +=−
C au
arcsenua
du22
2 1
3
θ
2 1
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100
.∫ +=+ C au
auadu
arctan1
22
.∫ ++−
=−
C uaua
aaudu
ln2
122
5. ∫ +++=+
C auuau
du 2222
ln
E)ERCICIOS * "ROB EMAS +5E)ERCICIOS * "ROB EMAS +5E)ERCICIOS * "ROB EMAS +5E)ERCICIOS * "ROB EMAS +5.# .#.#.#,,,,
• Calcular las siguientes integrales indefinidas, utilizando el método de sustitucióntrigonométrica.
1. ∫− 25
22
x x
dx '. ∫ − dx x 249
.( )
∫+−− 231 2 x x x
dx .
( )∫ + dx x x
22
2
4
5.( )
∫−− 2
3245 x x
dx *.( )
∫++ 2
32 78 t t
t
ee
dt e
+. ∫+ 425
2
x x
dx ,. ∫− 22 x x
dx
-. ∫ ++ 132 y ydy 1 . ∫ − dx x x 423
11. ( ) dx x x x∫ +++ 221 2 1'. ∫ + dxee x x 22 1 1 . ∫
−
−dx
x
x21
53 1 . ( )∫ −−
−dx
x x x
2961
23
15. ∫ +− 2243
x xdx x 1*. ∫ −+ dxee
dx x x 22
1+. ∫ +−−
dx x x
x22
52 1,. ∫ ++ 2cxbxa
dx
1-.
( )∫
− 2
32
2
tan4
sec
x
xdx ' .
( )∫
+ 2
3
1 x
dx
'1. ∫−+ 2361 x x
xdx ''.( )∫ +− 22 11 x x
dx
' . ∫− 4ln
ln2
3
t t
tdt ' . dx xa xa∫ −
+
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