CÁLCULO D E I APLICADO A LOS NEGOCIOS
UNIDAD 5. APLICACIONES DE FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES
ESCUELA DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS
UNIVERSIDAD ANÁHUAC CANCÚN
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Aplicaciones
Cálculo Diferencial e Integral Universidad Anáhuac
En economía, a partir de las demandas, p y q, de dos artículos se dice que:
• Son sustitutos (competitivos) si el decremento en la demanda de uno produce un incremento en la demanda del otro. Ejemplo: Café y té.
•Son complementarios si un decremento en la demanda de uno produce un decremento en la demanda del otro. Ejemplo: automóviles y neumáticos.
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Aplicaciones
En Cálculo Multivariado, dadas dos funciones de demanda, x=f(p,q) y y=f(p,q), de los artículos A y B,
• A y B son sustitutos (competitivos) si
• A y B son complementarios si
0y 0
pg
qf
0y 0
pg
qf
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Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Aplicaciones
Ejemplo: Supongamos que la demanda diaria de la mantequilla y de la margarina, están dadas por
213
,pq
qpfx
q
pqpgy
1
2,
Donde p y q son los precios en USD/lb, x e y se miden en mdd. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.
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Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Aplicaciones
Ejercicio: La revista Home Entertainment determinó que las demandas de videocaseteras y videocasetes vírgenes son
22.01010000, qpqpfx
qpqpgy 208.05000, 2
Donde p y q son los precios en USD, x e y se miden en unidades semanales. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.de los dos
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Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Aplicaciones
Ejercicio: La revista Home Entertainment revisó las demandas de videocaseteras y videocasetes vírgenes y se modificaron a
qepqpfx 5.01010000,
pqqpgy 10400050000,
Donde p y q son los precios en USD, x e y se miden en unidades semanales. Determina si estos dos artículos son sustitutos, complementarios o ninguno.de los dos
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Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)
Pasos para encontrar extremos relativos1) Encontrar los puntos críticos de f(x,y), (a,b)2) Aplicar el criterio de la segunda derivada parcial
2, xyyyxx fffyxD
a) D(a,b)>0 y fxx(a,b)<0, es un máximo relativob) D(a,b)>0 y fxx(a,b)>0, es un mínimo relativoc) D(a,b)<0, no hay máximo ni mínimo relativosd) D(a,b)=0, no se puede concluir nada. Se
recomienda aplicar otra técnica para resolverlo.
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Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)
Ejemplos: Para cada función, encuentra los puntos críticos y, de ser posible, determina si se trata de un mínimo o un máximo absoluto.
13522, 22 yxxyyxyxf
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xyyxyxf 33,
1001002,, 22 yxzyxyxzyxf
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)
Ejercicios: Para cada función, encuentra los puntos críticos y, de ser posible, determina si se trata de un mínimo o un máximo absoluto.
xyyxyxyxf 45, 22
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yxyxyxyxf 90125.132, 2233
2001002,, 22 yxzyxyxzyxf
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)
Ejemplo 1: Sea P una función de producción dada por
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3232 09.089.102.054.0, kkllklfP
Donde l y k son las cantidades de trabajo y capital, respectivamente, y P representa la cantidad producida.Encuentra los niveles de l y k que maximicen P.
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)Ejemplo 2: Una empresa produce dos tipos de dulces, A y B, para los cuales, los costos promedio de producción son, respectivamente, constantes de $2 y $3 por libra. Las cantidades qA y qB (en libras) de A y B que pueden venderse cada semana están dadas por las funciones de demanda conjunta
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BAB
ABA
ppq
ppq
29400
400
Donde pA y pB son los precios de venta (en dólares por libra) de A y B, respectivamente. Determinar los precios de venta que maximizan las utilidades de la compañía, P.
UtilidadPor libra
De A
LibrasVendidas
De A
UtilidadPor libra
De A
LibrasVendidas
De AP = +
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)
Ejercicio 1: (Fijación de precios de productos que compiten entre sí) La compañía occidental de dulces, produce caramelos en dos tamaños a costos unitarios de $0.10 y $0.20 cada uno. Las demandas semanales x1 y x2 (en miles) para los dos tamaños están dadas por
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121 ppx
Donde p1 y p2 denotan los precios en centavos de los caramelos en los dos tamaños. Determina los precios p1 y p2 que maximizarían las utilidades semanales de la empresa
212 360 ppx
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización Restringidad (Máx/Mín)
Método de los Multiplicadores de LagrangeEn algunos casos, los problemas de optimización presentan condiciones adicionales, g(x,y)=0, que limitan a la función principal f(x,y).
Se deberá construir una nueva función F(x,y,) dada por
La cual deberá optimizarse encontrando los puntos críticos a partir de las soluciones de las ecuaciones
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yxgyxfyxF ,,,,
0;0;0
F
yF
xF
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización (Máx/Mín)
Ejemplo 1: Encuentra los valores extremos de la función f(x,y) = x2 + 2y2 que cumplan la condición x2 + y2 = 1R = Máx f(0,1)=2; Mín f(1,0)=1
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35355,353,351max f
Ejemplo 2: Encuentra los valores extremos de f(x,y,z) = x + 3y + 5z, cuyas coordenadas también deben cumplir la restricción x2 + y2 + z2 = 1
35355,353,351max f
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)
Ejercicios: Encuentra los valores extremos de la función dada sujeta a la restricción que se indica
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2082 ;64, 22 yxyxyxf
92 ;,, 222 zyxzyxzyxf
0 0
;12 ;,,
xyzzyx
zyxxyzzyxf
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)
Ejemplo 3: Los reglamentos de un servicio de paquetería especifican que la medida de los lados de la base de un paquete rectangular, incluyendo la altura del mismo, deben ser 108 pulg. Encuentra las dimensiones del paquete que cumpla las condiciones y permita el mayor volumen posible.
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Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)
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Ejercicio 4: Un edificio en forma de caja rectangular debe tener un volumen de 12,000 pie3. Se estima que los costos anuales por calefacción y enfriamiento para la parte superior serán de $2 p/pie2; para el frente y la parte posterior $4 p/pie2; y para los otros dos lados, será $3 p/pie2. Hallar las dimensiones del edificio que produzca los gastos anuales por calefacción y enfriamiento mínimos. ¿Cuál es el monto de dicho gasto?
Unidad 5. Funciones de Varias VariablesDerivadas Parciales. Optimización Restringida (Máx/Mín)
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Ejercicio 5: La ganancia semanal total (en USD) obtenida por la empresa Acrosonic al producir y vender sus sistemas de audio, está dada por la función de ganancia
Donde x denota el número de unidades totalmente ensambladas y y el número de equipos producidos y vendidos por semana. La gerencia ha decidido que la producción de ambos artículos deberá restringirse a 230 unidades por semana. Bajo tales condiciones, ¿cuántas unidades de cada tipo deberán producirse semanalmente para maximizar las ganancias de la empresa?
500010012041
83
41
, 22 yxxyyxyxP
UNIDAD 5. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Fin de la unidad.
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