Clculo vectorial
Unidad 1. Vectores y geometra en el
espacio
Sistema de coordenadas
tridimensionales
Para localizar un punto en el espacio, se utilizan tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares
Los ejes forman un sistema coordenado diestro o de mano derecha
Las coordenadas cartesianas (x,y,z) de un punto P en el espacio son los valores en los cuales los planos que pasan por P, perpendiculares a los ejes, cortan los ejes
Las coordenadas cartesianas del espacio tambin se llaman coordenadas rectangulares, porque los ejes que las defines se cortan en ngulos rectos
Los planos determinados por los ejes coordinados son:
plano xy, cuya ecuacin estndar es z = 0
plano xz, cuya ecuacin estndar el y = 0
plano yz, cuya ecuacin estndar el x = 0
Estos planos se cortan en el origen (0,0,0)
El origen tambin se identifica simplemente con la letra O
Los planos coordenados x = 0, y = 0 y z = 0 dividen al espacio en ocho celdas llamadas octantes
El octante en el cual todas las coordenadas de un punto son positivas se llama primer octante
No hay numeracin convencional para los otros siete octantes
Para escribir las ecuaciones de estos planos, se
utiliza la coordenada comn
El plano x = 2 es el plano perpendicular al eje x en x = 2
El plano y = 3 es el plano perpendicular al eje y en y = 3
El plano z = 5 es el plano perpendicular al eje z en z = 5
Observaciones
La distancia entre P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es
La ecuacin en forma estndar de la esfera de
radio a y centro en (x0,y0,z0) es
Distancia y esferas en el espacio
Vectores
Para describir una fuerza, se necesita registrar la direccin en la cul acta, as como la
magnitud
El desplazamiento de un cuerpo, presenta la direccin y que tan lejos se mueve
Con la velocidad de un cuerpo, se debe conocer hacia donde se dirige, as como la
rapidez con que viaja
Las cantidades antes mencionadas se representan por medio de un segmento de recta
dirigido
La flecha apunta en la direccin de la accin y su longitud representa la magnitud de la accin
en su unidad apropiada
Si varios vectores presentan la misma longitud, son paralelas y apuntan
en la misma direccin, sin importar su punto inicial, son iguales
Esto es: AB = CD = OP = EF
Sea v = PQ
Existe un segmento de recta dirigido igual a
PQ cuyo punto inicial es el origen
sta es la representacin de v en posicin
estndar y es el vector que normalmente se usa
para representar v
Se puede especificar a v escribiendo las coordenadas de su punto final (v1,v2,v3)
cuando v est en posicin estndar
Si v es un vector en el plano, su punto final (v1,v2) tiene dos coordenadas
Definicin
Dados los puntos P(x1,y1,z1) y Q(x2,y2,z2), el vector en posicin estndar
v = (v1,v2,v3) igual a PQ es
v = {x2 x1, y2 y1, z2 z1}
Dos vectores son iguales si y slo si sus vectores de posicin estndar son idnticos
De manera que (u1,u2,u3) y (v1,v2,v3) son iguales si y slo si u1 = v1, u2 = v2 y u3 = v3
La magnitud o longitud del vector v = PQ es el nmero positivo
El nico vector con longitud 0 es el vector cero 0 = (0,0) o
0 = (0,0,0)
Este vector es el nico sin direccin especfica
Operaciones algebraicas con vectores
Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son la suma de vectores y la multiplicacin por un escalar
Un escalar es simplemente un nmero real y se llama as cuando se quiere resaltar su diferencia en relacin con los vectores
Los escalares pueden ser positivos, negativos o cero y se usan para escalar un vector multiplicado
Sean u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3} vectores y k un escalar
Suma: u + v = {u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3}
Multiplicacin por escalar: ku = {ku1, ku2,ku3}
La suma de vectores se realiza sumando los componentes
correspondientes de los vectores
Se multiplica por un escalar haciendo el producto de cada
componente por el escalar
Se aplican exactamente en el plano {u1,u2} y {v1,v2}
Ley del paralelogramo
Resultante
Resultante
Interpretacin geomtrica Ley del paralelogramo
Mltiplos escalares de u
Si k > 0, entonces ku tiene la misma direccin que u
Si k < 0, entonces la direccin de ku es opuesta a u
Si se comparan las longitudes de u y ku, se observa que
La longitud de ku es igual al producto del valor absoluto
del escalar k por la longitud de u
La diferencia u v de dos vectores est definida por
u v = u + (-v)
Si u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}, entonces
u v = {u1 v1, u2 v2, u3 v3}
Propiedades de las operaciones con vectores
Cuando tres o ms vectores en el espacio se encuentran en
el mismo plano, se le conoce como coplanares
Por ejemplo, los vectores u,v y u + v siempre son coplanares
Vectores unitarios
Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario
Los vectores unitarios estndar son
i = {1,0,0}, j = {0,1,0} y k = {0,0,1}
Cualquier vector v = {v1,v2,v3} se puede escribir como una
combinacin lineal de los vectores unitarios estndar de la
siguiente manera
v = {v1,v2,v3} = {v1,0,0} + {0,v2,0} + {0,0,v3}
= v1{1,0,0} + v2{0,1,0} + v3{0,0,1}
= v1i + v2j + v3k
Se le llama escalar (o nmero) v1 el componente en i del vector v,
a v2 el componente en j y a v3 el componente en k
La expresin en componentes del vector de P1(x1,y1,z1) a P2(x2,y2,z2) es
P1P2 = (x2 x1)i + (y2 y1)j + (z2 z1)k
Punto medio de un segmento de recta
Producto punto
Si se aplica una fuerza F a una partcula que se mueve a lo largo de una trayectoria, es
importante conocer la magnitud de la fuerza en
la direccin del movimiento
Si v es paralelo a la recta tangente a la trayectoria en el punto donde se aplica F, se
busca la magnitud de F en la direccin de v
La magnitud de la fuerza F en la direccin del vector v es la
longitud |F| cos de la proyeccin de F sobre v
ngulo entre vectores
Cuando dos vectores no nulos u y v se colocan de manera que sus puntos
Iniciales coincidan, forman un ngulo con medida 0
El ngulo entre dos vectores no nulos u = {u1,u2,u3} y v = {v1,v2,v3}
est dado por
Producto punto
Producto cruz
Cuando se necesitaba describir cunto se inclinaba una recta se utilizaba la pendiente y
el ngulo de inclinacin
En el espacio se quiere describir la forma en que se inclina un plano
Se consigue multiplicando dos vectores que se encuentran en el plano para obtener un tercer
vector perpendicular a ste
La inclinacin de este vector indica la inclinacin del plano
El producto que se usa para multiplicar los vectores es el producto vectorial o producto
cruz
Es el segundo mtodo de multiplicacin vectorial que se usa en clculo
El producto cruz de dos vectores
Sean u y v dos vectores en el espacio
Si u y v no son paralelos, entonces determinan un plano
Se selecciona un vector n perpendicular al plano mediante
la regla de la mano derecha
Entonces el producto cruz u v es el vector que se define
a continuacin:
u v = (|u| |v| sen ) n
Producto u v
Obtencin de componentes del producto cruz
|u v | como rea de un paralelogramo
Triple producto escalar o producto caja
El producto (u v) w se llama triple producto escalar de u, v y w
(en ese orden)
Como se puede ver en la ecuacin siguiente:
|(u v) w| = |u v| |w| |cos |, el valor absoluto del triple producto es el
volumen de un paraleleppedo
Rectas y planos en el espacio
En el espacio, una recta est determinada por un punto y un vector que indica la direccin de
la recta
L es una recta que pasa por P0(x0,y0,z0) y que es paralela a un vector v = v1i + v2j + v3k
L es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) tales que P0P es paralelo v
Por lo tanto, P0P = tv para algn parmetro escalar t
El valor de t depende de la localizacin del punto P a
lo largo de la recta, el dominio de t es (- , )
La forma desarrollada de la ecuacin P0P = tv es
(x x0)i + (y y0)j + (z z0)k = t(v1i + v2j + v3k)
xi + yj + zk = x0i + y0j + z0k + t(v1i + v2j + v3k)
Distancia de un punto a una recta
Para obtener la distancia de un punto S a una recta que pasa por un punto P,
paralela a un vector v, se determina el valor absoluto del componente escalar
de PS en la direccin de un vector normal a la recta
Ecuacin para un plano en el espacio
Un plano en el espacio esta determinado por un punto en el plano y su
inclinacin u orientacin
Esta inclinacin se define especificando un vector que es perpendicular
o normal al plano
Suponiendo que el plano M pasa por un punto P0(x0,y0,z0) y es normal
al vector n = Ai + Bj + Ck
Entonces M es el conjunto de todos los puntos P(x,y,z) para los cuales
P0P es ortogonal a n
Por lo tanto, el producto punto n P0P = 0
Esta ecuacin es equivalente a
(Ai + Bj + Ck) [(x x0)i + (y y0)j + (z z0)k] = 0
O bien,
A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0
Cilindros y superficies cuadrticas
Un cilindro es un superficie que se genera por el movimiento de una recta paralela a una recta
fija dada a lo largo de una curva plana dada
Superficies cuadrticas
Una superficie cuadrtica es a grfica en el espacio de una ecuacin de
segundo grado en x, y y z
Tiene por frmula general Ax2 + By2 + Cz2 + Dz = E
Donde A, B, C, D y E son constantes
Grficas de superficies cuadrticas
Problemas resueltos Problema 1.
Problema 2.
Problema 3.
Problema 4.
Problema 5.
Problema 6.
Dos botes remolcadores estn empujando un barco,
como se muestra en la figura. Cada bote
remolcador est ejerciendo una fuerza de 400
libras. Cul es la fuerza resultante sobre el barco?
Problema 7.
Problema 8.
Problema 9.
Problema 10.
Problema 11.
Problema 12
Problema 13.
Una cmara de televisin de 120 libras est colocada en un trpode, como se muestra en
la figura. Representar la fuerza ejercida en cada pata del trpode como un vector.
Sean los vectores F1, F2, y F3 las fuerzas ejercidas en las tres patas. A partir de la figura, se
puede determinar que las direcciones de F1, F2 y F3 son las siguientes:
Solucin
Problema 14.
Problema 15.
Problema 16.
Problema 17.
Problema 18.
Problema 19.
Una lancha de 600 libras se encuentra sobre una rampa inclinada 30, como se muestra en
la figura. Qu fuerza se requiere para impedir que la lancha resbale cuesta abajo por la
rampa?
Problema 20.
Problema 21.
Negativo de a)
Problema 22.
Problema 23.
Problema 24.
Se aplica una fuerza vertical de 50 libras al extremo de una palanca de un pie de longitud
unida a un eje en el punto P, como se muestra en la figura. Calcular el momento de
esta fuerza respecto al punto P cuando = 60
Problema 25.
Problema 26.
Problema 27.
Problema 28.
Problema 29.
Problema 30.
Problema 31.
Problema 32.
Problema 33.
Problema 34.
Problema 35.
Problema 36.