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CAMPOS
En física, un campo es cualquier magnitud física que queda en función del espacioo el tiempo.
Dicha magnitud, de forma general, será una magnitud tensorial
Ejemplo: en hidrostática, el campo de presiones en el seno de un líquido incompresible(no se deforma a compresión) como puede ser el agua pero sin resistencia a lacialladura (cortante).
En el campo gra!itatorio terrestre, en unpunto, cu"o !ector de posición es r, elmódulo de la presión (#a) es:
r= xi e i p x i e i= p0 g x03− x3
$%& : altura de la superficie libre del líquido
#%: presión en '%&
ρ: densidad del liquido
g: aceleración de la gra!edad
En este caso el campo sólo depende del !ector de posición, es decir es función del punto.
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CAMPOSEjemplo: en hidrostática, el campo de presiones en el seno de un líquido incompresible(no se deforma a compresión) como puede ser el agua pero sin resistencia a lacialladura (cortante).
En el campo gra!itatorio terrestre, en un punto, cu"o !ector deposición es r, el VECTOR de la presión (#a) es perpendicular alos planos que pasan por el punto:
p x ie i , n j=g x03− x3 n j p0
$%& : altura de la superficie libre del líquido
#%: presión en '%&
ρ: densidad del liquido
g: aceleración de la gra!edadn
j: !ector normal al plano j, que pasa por el
punto de !ector posición r
π j
π1
n1
n j
p x ie i , n j
En este caso el campo depende del !ector de posición, " de la ona del entorno del puntoconsiderado
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CAMPOSEste ejemplo es un caso particular de campos en medios continuos que dependen del punto" su entorno.
p x ie i , n j=T xi e i n j p0$%
& : altura de la superficie libre del líquido
#%: presión en '%&
ρ: densidad del liquido
g: aceleración de la gra!edadn
j: !ector normal al plano j, que pasa por el
punto de !ector posición r
ampo tensorial de dimensión & orden función de las coordenadas del punto o del!ector de posición (tensor de dimensión &orden *)
Así por tanto quedan generalizados los campos a campos
tensoriales.
+e !a a generaliar aquello que se !io en los primeros cursos de física:os gradientes, di!ergencias, circulación, potenciales, etc - lo son de campos
escalares
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Dierencial de una unci!nEste ejemplo es un caso particular de campos en medios continuos que dependen del punto" su entorno.
tan =m=f ' x0 y=mxn= f ' x0 xn
f x0= f ' x0 x0n⇒
n=f x0−f ' x0 x0⇒
y= f ' x0 x− x0 f x0 y− f x0= f ' x0 x
β
"
'
si x0⇒{ xdx
y− f x0=dy=df x
0}⇒ dy=df x0=f ' x0dx
/eneraliando:
dy=df x= f ' xdx
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Deri"ada direccional # gradienteEn el caso de que la función de lugar a una superficie. 0ómo será la pendiente de unarecta tangente a un punto #('
%, "
%,
%) de la superficie1 a recta debe ser elegida seg2n una
dirección del plano '" " su pendiente es la deri!ada direccional
Du=limh0
z x0i y
0 jh aib j − z x
0i y
0 j
h
Du=limh0
z x0h a , y0hb− z x0, y0
h
+ea un punto # de la superficie de ecuación (', ")(campo escalar en el plano)
u=a , b !ector unitario(su dirección es la de la deri!ada)
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gh= z x0h a , y
0hb
x= x0h a
y= y0h b
⇒g h= z x h, y h
3tra e'presión más 4e'presi!a es aquella que lle!a la concepto de gradiente " su significado
a función ('%5ha, "
%5hb) para un punto # " una dirección (a, b) sólo es función de h por lo
que se pude hacer g(h)('%5ha, "%5hb) quedando:
Du= limh0
z x0h a , y0hb− z x0, y0h
Du=limh0
g h− g 0h =g ' h
uego la deri!ada direccional es la
deri!ada de la función g(h), siendo 'e ", a su !e, funciones de h sepuede usar la regla de la cadena:
Du=g ' h= g
x
x
h g
y
y
h
Du=g ' h= z
x
x
h z
y
y
h
Deri"ada direccional # gradiente
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Du= z
x
x
h z
y
y
h
x
h=
x0ha
h =a y
h=
y0hb
h =b
⇒ Du= z
x a z
y b
+iendo Du el producto escalar de los
!ectores gradiente " !ector unitario
Du= z
x
z
y ab= ∇ z ·u
Deri"ada direccional # gradiente
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uando Du es má'ima
Du= ∇ z ·u=∇ z cos
+ignificado geom6trico del gradiente:0En qu6 dirección se da la má'ima pendiente a la que nos asomamos desde elpunto #1
" esto es así si cos(β)*, es má'imo
max Du=∇ zEl módulo del gradiente es la má'ima pendiente "
para que cos(β)* u tiene que tener la dirección
del gradiente
u∥ ∇ z
+i lo que se quiere es denotarcuando la pendiente es negati!aentonces la dirección que ha"que dar es
− ∇ z
Deri"ada direccional # gradiente
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El concepto de diferencial en una función dependiente de una !ariable, aquíse generalia. la diferencial de la función es:
Deri"ada direccional # gradiente
dz= z
x dx z
y dy= z
x
z
y dx
dy = ∇ z ·dx
dy #ara apro'imarse al !alor de la función en otro punto pró'imo:
z x , y= z x
0, y
0
x dx
z x0,
y0
y dy z x0, y0
/eneralice al caso de que el n2mero de !ariables sea n: '*, -, '
i, - '
n
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0ómo sería el gradiente de una función !ectorial1 por ejemplo dedimensión con dos !ariables (campo !ectorial)
Deri"ada direccional # gradiente
+e tendría el gradiente para cada una de las componentes dado una matri.+E 789EE8;< E /9<D3 DE ;E8+39
v x , y = ∇ v dxdy
v x0, y0=
v
x
x
v x
y v y
x
v y
y dxdy
v x0, y0
/eneralice al caso de que el n2mero de !ariables sea n: '*, -, '
i, - '
n " de
un !ector de dimensión m.
v x , y =v x x , yiv y x , y j
∇ v= v
x x
v x
y
v y
x
v y
y a apro'imación desde !('%, "%) a otro !ector !(',"):
+e puede generaliar a tensores de cualquier orden.
+u diferencial es d v=dv x
dv y = ∇ v
dxdy
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