Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico Simple
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 180
Cuaderno de Actividades: Física I
7) Movimiento Armónico
Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.
Movimiento Armónico: sen, cos
Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.
Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para descripción de movimiento periódicos complejos.
7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.
i) Descripción Cinemática del MAS
Fenomenología del MAS
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=0
PE
x-A 0 x+A x
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Cuaderno de Actividades: Física I
Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x 0), la oscilación esta confinada para –A x A,
¿Cómo debería ser x(t) ?
Donde,
w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.
w = wk,m
A, : Dependen de las condiciones iniciales del sistema.
c.i.:x (0) v (0)
Para la velocidad,
Para la aceleración,
Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento circular uniforme (MCU).
La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando un comportamiento cinemático idéntico al MAS.
ii) Descripción Dinámica del MAS
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La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de la posición, esto es,
, c: depende del sistema
Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma → MAS.
F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ma
a v x
FR F = -k x m
m +kx 0
+ 0
+ w2x 0,
→
W: frecuencia angular
A,: c.i.
X: Posición→ Elongación
A: Amplitud
: Desfasaje
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F(x) x -A 0 x A
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Cuaderno de Actividades: Física I
7.2) Casos especiales de MAS
i) Sistema m-k
1)1)
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PE m k =0
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Cuaderno de Actividades: Física I
3)
Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con w2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en PE PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.
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PE
2) k d
m PE’
PE
PE’ k
o m d o’
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Cuaderno de Actividades: Física I
Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).
ii) Sistema l–g
wt w sen
FRes wt -mg sen
: pequeño sen
F -mg, FRes - cx
FR,t mat
(t) m senwt + ; m A, . : desfasaje
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O O g t g
l
wt
PE n PE : describe la posición
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Cuaderno de Actividades: Física I
Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s l,
; ,
iii) Péndulo Físico
Es un CR pendular,
produce un restaurador que debe llevar al CR a la PE,
- r w sen, w mg
: pequeño = - r w Sen
O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),
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CR 0
PE
0
C
PE
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Cuaderno de Actividades: Física I
,
t m sen wt +
iv) P éndulo de Torsión
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A
0 0
P P
PE PE
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Cuaderno de Actividades: Física I
Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un torque restaurador proporcional a (para pequeños s) de tal forma que:
restaurador - k
k: constante de torsión (de la varilla)
Analogía: k k (resorte) FRes = - kx
O: punto fijo.
;
(t) m senwt + ,
7.3) Energía en el MAS
i) Energía Cinética, Ek
Si x(t) A sen wt +
v(t) (t) Aw coswt +
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ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el
; x : posición deformación , 0 PE
iii) Energía Mecánica, EM
EM Ek + Ep cte sistemas MAS,
mw2 = k
En particular sistema m–k
Gráficos:
i) Ek
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Ek
0 T t
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ii) Ep
¿?
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Ek
-A 0 +A x
Ep
0 T t Ep
x 0
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Cuaderno de Actividades: Física I
¿?
Observaciones:
En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional, la EM deberá considerarse,
EM Ek + Ep,el +Ep,g PE
EM Ek + Ep,el PE’
7.4) Oscilaciones amortiguadas
Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad, esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos como aire, agua, aceites, etc.
f: fuerza de fricción
f a + bv + cv2 + …
f (v)
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0
x
192
Cuaderno de Actividades: Física I
Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,
MAA
Comparaciones: MAS
m – k :
l – g :
PF :
PT :
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1) Caso de interés: wb < wr
Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)
A A(0) amplitud inicial
: Frecuencia de oscilación
La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la oscilación dada por el factor exponencial.
w del resorte, “w” del medio
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X
A
0 t
194
Cuaderno de Actividades: Física I
2) Caso cuando wb wr, Movimiento críticamente amortiguado,
3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,
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x
t
x
t
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S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg,
a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?b) Determinar el valor para el movimiento amortiguado débil.c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud
de 0,5 m.
SOLUCION:
= 0, 11 kg/s (=b) MAAk = 180 N/mm= 0, 31 kg
Oscilador armónico amortiguado
Wb < w0 wk
Oscilador críticamente amortiguado
Wb w0
Oscilador sobreamortiguado
Wb > w0
en donde
a)
;
wb < w0 wk :MAA
b)
15
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c)
x(0) = 0,5
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X
A
0 t
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S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:
a) El desplazamiento en función del tiempo.b) La velocidad cuando x = +A/2.c) La aceleración cuando x = + A/2.d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = /15 s?
SOLUCIÓN:
a) x(t) = A sen (wt + ) x(0) = A sen (w(0) + )=Asen()=+0,05
v(t) = Aw cos (wt + ) v(0) = Aw cos (w(0) + )= Aw cos ()= 0
De la última Ec = /2 {la v (-) para t 0} A=0,05
x(t) = 0,05 sen (10t + /2)
v(t) = 0,5 cos (10t + /2)
Observen la consistencia de tomar (=)= /2: satisface las ci y lo que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v. ¿Que ocurre si tomamos (=)= 3/2?
b) Recordando la relación v-x
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c) Recordando la relación a-x
d) FR= FRES -kx= -k A sen (wt + )= -(200)(0,05) sen (10t + /2)=?
F (+)! veamos
FR (t=/15) = -10 sen (10{/15} + /2) (-10) (-0, 5) = +5
S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva).
SOLUCIÓN:
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Nos proporcionan directamente la , las condiciones iniciales son,
Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),
a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular para t=0,
Reemplazando datos,
b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),
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g k
v(0) m
t =0 X
x(0)=0 v(0)
v(0)
200
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Para t=0 y vecindades,
Para satisfacer x(0)=0, , el valor correcto es , con lo cual las ecuaciones quedan,
S6P4) En el sistema mostrado en la figuraObtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t.Si: X = A cos (w0 t + )g: aceleración de la gravedad
SOLUCION:
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g k
+ X = 0 m
-
201
Cuaderno de Actividades: Física I
En
Desde 0:
Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia
. Ahora, debido a que la fuerza resultante es , cuando se
escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,
como la , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada una energía potencial elástica, por lo tanto,
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PE 0 d PE’ 0’ x
x’
X, X’
202
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S6P32)
Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una frecuencia = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es s = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa?
SOLUCI Ó N :
DCL (M):
De las ecuaciones anteriores,
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s B k P
a
m Fres
M
0
a fS,M s mg
FRES
FR FRES -s mg
203
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Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleración máxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m. Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de M respecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)
S6P6)
En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante, para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda sin deslizar, considere, M masa del disco,R radio del disco y k constante del resorte.
SOLUCIÓN:
x pequeño MAS , w0 = ?x = s = R
P’ // CM : = I
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
k R
M
t M k 0 FR
P
0 o’
204
Cuaderno de Actividades: Física I
S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un ángulo y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema.
SOLUCION:
Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo
k
r
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) De la dinamica rotacional,
Por la “rodadura”:
De la dinámica traslacional,
Usando nuevamente la rodadura,
De 1 y 2,
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P x P 0 O
T kx
x O’ X w P’ P
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1)
De la rodadura: 2)
2) 1): 3)
Sea
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