Capítulo II.Capítulo II.Vibraciones libres de un sistema de Vibraciones libres de un sistema de
un grado de libertad.un grado de libertad.
Capítulo II.Capítulo II.Vibraciones libres de un sistema de Vibraciones libres de un sistema de
un grado de libertad.un grado de libertad.
† † Péndulo de FocaultPéndulo de Focault
UANL-FIME-DIM-DSM, UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis MecánicoAcademia de Análisis Mecánico, , Vibraciones MecánicasVibraciones Mecánicas
II.1.- INTRODUCCIÓN.II.1.- INTRODUCCIÓN.II.1.- INTRODUCCIÓN.II.1.- INTRODUCCIÓN.
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Según el tipo de Según el tipo de movimiento del movimiento del
sistemasistema
PeriódicoPeriódico
No PeriódicoNo Periódico
SinusoidalSinusoidal
ComplejoComplejo
TransitorioTransitorio
AleatorioAleatorio
En vibración forzadaEn vibración forzada
Choque o ImpactoChoque o Impacto
LibreLibre
ForzadoForzado
Sin AmortiguamientoSin Amortiguamiento
AmortiguadoAmortiguado
Sin AmortiguamientoSin Amortiguamiento
AmortiguadoAmortiguado
Libre Libre (para uso de análisis modales)(para uso de análisis modales)
Forzado Forzado (en Análisis de Vibraciones (en Análisis de Vibraciones para Diagnóstico de Fallas en para Diagnóstico de Fallas en Maquinaria)Maquinaria)
(CAP II)(CAP II)
(CAP III)(CAP III)
(CAP IV)(CAP IV)
Pract V, Lab.Pract V, Lab.
Pract VIII, Lab.Pract VIII, Lab.
Ubicación de las Ubicación de las Vibraciones LibresVibraciones Libres
II.2.- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS.II.2.- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS.II.2.- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS.II.2.- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS.
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Modelaje
Ecuación de la frecuencia natural
Ecuación de amplitud•Desplazamiento•Velocidad•Aceleración
Aplicación de Método de Análisis para obtener la
Ecuación diferencial característicadel sistema vibrante
Elementos equivalentes
Newton
Energías
Fuerzas
Momentos
Traslación
Rotación
Métodos Numéricos
II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES.II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES.II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES.II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES.
Método de elementosMétodo de elementos equivalentes.- equivalentes.-
Consiste en obtener la masa, elasticidad y Consiste en obtener la masa, elasticidad y amortiguamientos equivalentes sustituyendo amortiguamientos equivalentes sustituyendo las cantidades directamente en las fórmulas de las cantidades directamente en las fórmulas de amplitudes totales o términos utilizados en el amplitudes totales o términos utilizados en el amortiguamiento.amortiguamiento.
meq
keq ceq
Figura 2.1. Representación de un Figura 2.1. Representación de un sistema en elementos equivalentes sistema en elementos equivalentes
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Para vibración libre “sin” amortiguamientoPara vibración libre “sin” amortiguamiento..
-Amplitud total del desplazamiento.-Amplitud total del desplazamiento.
-Amplitud total de velocidad.-Amplitud total de velocidad.
-Frecuencia natural.-Frecuencia natural.
-Amplitud total de aceleración.-Amplitud total de aceleración.
tSentCosxtx nx
n n
0
0
2nf
mk
n
tCostSenxtx nnx
nn n
0
0)(
tSentCosxtx nnx
nn n
220
0)(
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Para vibración libre “con” amortiguamientoPara vibración libre “con” amortiguamiento..
-Frecuencia natural.-Frecuencia natural.
2nf
mk
n
-Razón de amortiguamiento.-Razón de amortiguamiento.
-Amortiguamiento crítico.-Amortiguamiento crítico.
mkmC nc 22
mkC
CC
c 2
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
-Amplitud total del desplazamiento.-Amplitud total del desplazamiento.
12
11
22 ttt nnn eCeCetx
-Frecuencia natural amortiguada.-Frecuencia natural amortiguada.
mkC
mk
nd 421
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
II.4.- MÉTODO DE NEWTON.II.4.- MÉTODO DE NEWTON.II.4.- MÉTODO DE NEWTON.II.4.- MÉTODO DE NEWTON.
Método de Newton.-Método de Newton.-
El análisis de los sistemas vibratorios de El análisis de los sistemas vibratorios de un grado de libertad puede realizarse un grado de libertad puede realizarse como cualquier sistema dinámico en el como cualquier sistema dinámico en el que uno de los métodos de análisis que uno de los métodos de análisis utilizado es el Método de Fuerzas de utilizado es el Método de Fuerzas de Newton (a través del Principio de DNewton (a través del Principio de D´Alembert) y el Análisis de Momentos de ´Alembert) y el Análisis de Momentos de sólidos rígidos.sólidos rígidos.
El objetivo es obtener las ecuaciones diferenciales (modelos El objetivo es obtener las ecuaciones diferenciales (modelos matemáticos) y las ecuaciones de las frecuencias naturales de matemáticos) y las ecuaciones de las frecuencias naturales de los sistemas vibratorios.los sistemas vibratorios.
Figura 2.2. Sir Isaac Newton
Born: 4 Jan 1643 in Woolsthorpe, Lincolnshire, England
Died: 31 March 1727 in London, England †
† The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html School of Mathematics and Statistics University of St AndrewsScotland,
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Ejemplo 3.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la Ejemplo 3.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural de un sistema equivalente masa resorte de un grado frecuencia natural de un sistema equivalente masa resorte de un grado de libertad sin amortiguamiento. de libertad sin amortiguamiento.
II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS.II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS.II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS.II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS.
k
m
m
x
KWFR
kk
kk
Sistema en EquilibrioSistema en Equilibrio
Deformación Estática Deformación Estática Debida al pesoDebida al peso
Resorte sin deformarResorte sin deformar
Amplitud de la OscilaciónAmplitud de la Oscilación
Figura 2.3. Condiciones de equilibrio y movimiento del sistema masa resorte.Figura 2.3. Condiciones de equilibrio y movimiento del sistema masa resorte.
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
0
kxxm
xmkx
kWcomo
xmkkxW
xmxkW
xmFW
FF
R
IEXT
Ecuación diferencial Ecuación diferencial característica de un característica de un
sistema masa-sistema masa-resorte de un grado resorte de un grado
de libertad sin de libertad sin amortiguamieto.amortiguamieto.
ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE.ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE.ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE.ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE.
Principio de D´AlembertPrincipio de D´AlembertAnálisis de Fuerzas.
Principio de D´AlembertPrincipio de D´Alembert
02
2
kxdt
xdm
m m
W
FR
xm
=
Figura 2.4. Representación Gráfica delPrincipio de D´Alembert por medio del
Diagrama de Cuerpo Libre.
+
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Solución de la ecuación diferencial.
02
2
kxdt
xdm
trtr ececx 2121
tsenctcx 21 cos
Solución mas general de la ec. dif.
Otra representación usando parámetros de Euler.
Si consideramos que el movimiento es puramente senoidal, tenemos lo siguiente:
tsencxdtxd
dtxd
tcxdtdx
tsencx
22
2
2
2
2
cos
Continuación…Continuación…
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Sustituyendo la función x y sus derivadas en la Ec. Dif. Original, tenemos:
mk
n
mk
f
mk
km
tsencktsencm
kxxm
n
n
n
260
21
0
0
0
2
222
Ecuación de la frecuencia natural de un sistema masa resorte de un grado de libertad sin amortiguamiento
Hertz
RPM
Continuación…Continuación…
rad/seg
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Ejemplo 4.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la Ejemplo 4.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural de un péndulo simple.frecuencia natural de un péndulo simple.
lx
sen
NOTA: Para ángulos menores de 15°,
sen= Entonces, hacemos
la siguiente consideración:
lg
lx
gx
gsenx
xgsen
xmmgsen
xmWsen
xmW
FF
n
T
IEXT
0
0
Ecuación de la frecuencia
natural para un péndulo simple.
Θ
x
l
WWnnWWtt
WW
W
Wn
Wt
T
=
xm
Figura 2.5. El Péndulo Simple y su Diagrama de Cuerpo Libre.
+
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Ejemplo 5. Caso 1 del Efecto de Posición.Ejemplo 5. Caso 1 del Efecto de Posición.
Fr
=
WWt
Wn x
II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS.II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS.II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS.II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS.
J
xm
Figura 2.6. (a) Sistema barra-resorte en equilibrio y (b) fuera de equilibrio.
k
a
l
mp
a)
b)Figura 2.7. Diagrama de Cuerpo Libre del Sistema Barra
Resorte y sus Fuerzas
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
pn
p
p
T
T
pT
pT
R
pRT
pRT
IEXT
Jka
kaJ
Jkxa
tolopor
akl
W
akl
W
equilibriodeposicionlaen
momentosdeestaticoanalisisdel
Jakkxal
W
Jaxkl
W
xkFcomo
JaFl
W
JaFl
W
MM
2
2 0
:tan
2
02
:
2
2
;
2
2
2
22
2
31
4121
mlJ
lmmlJ
mdJJ
P
p
CGp
Ecuación de la frecuencia natural del sistema.
En la ecuación anterior, podemos sustituir el valor de Jp para una barra rectangular.
Con lo cual, la frecuencia natural es igual a:
2
23mlka
n
Continuación…Continuación…
+
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Ejemplo 6. Caso 2 del Efecto de posición.Ejemplo 6. Caso 2 del Efecto de posición.
=
x
W
Fr
Wt
Wn
pJ
Figura 2.8. (a) Sistema barra-resorte en equilibrio y (b) fuera de equilibrio.
Figura 2.9. Diagrama de Cuerpo Libre del Sistema Barra Resorte y sus Fuerzas
al
k
p
p
(a) (b)
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
pn
p
p
p
p
pRT
IEXT
J
lmgka
lmgkaJ
lmgkaJ
Jkal
mg
axax
ysencomo
Jkxal
mgsen
JaFl
W
MM
2
02
02
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
31
4121
mlJ
lmmlJ
mdJJ
P
p
CGp
Ecuación de la frecuencia natural del sistema.
Si sustituimos el valor de Jp, tenemos lo siguiente:
2
2
31
2
ml
lmgka
n
Con lo cual, la frecuencia natural es igual a:
Continuación…Continuación…
+
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Ejemplo 6. Caso 3 del Efecto de posición.Ejemplo 6. Caso 3 del Efecto de posición.
a l
k
p
pp
=
x
WFr
Wt
Wn
pJ
Figura 2.10. (a) Sistema barra-resorte en equilibrio y (b) fuera de equilibrio.
Figura 2.11. Diagrama de Cuerpo Libre del Sistema Barra Resorte y sus Fuerzas
(a) (b)
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
pn
p
p
p
p
pRT
IEXT
J
lmgka
lmgkaJ
lmgkaJ
Jkal
mg
axax
ysencomo
Jkxal
mgsen
JaFl
W
MM
2
02
02
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
31
4121
mlJ
lmmlJ
mdJJ
P
p
CGp
Ecuación de la frecuencia natural del sistema.
Si sustituimos el valor de Jp, tenemos lo siguiente:
2
2
31
2
ml
lmgka
n
Con lo cual, la frecuencia natural es igual a:
Continuación…Continuación…
+
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Ejemplo 8. Obtención del modelo matemático y la ecuación de la Ejemplo 8. Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural por el método de momentos.frecuencia natural por el método de momentos.
Figura 2.13 Diagrama de Cuerpo Libre del Péndulo Compuesto
pn
p
p
p
pT
IEXT
Jmgd
dmgJ
Jdmg
sen
Jdmgsen
JdW
MM
0
Ecuación de la frecuencia natural del sistema.
Figura 2.12. Péndulo Compuesto
C.G.d
WWnWt
=
Jp
+
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
lg
gl
lxlxlx
Como
xg
xmW
lxmlW
MM
n
T
IEXT
0
,,
;
Ecuación de la frecuencia natural para
un péndulo simple.
Ejemplo 9. Obtención del modelo matemático y la ecuación de la Ejemplo 9. Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural por el método de momentos de un péndulo frecuencia natural por el método de momentos de un péndulo simple.simple.
Θ
x
l
WWnnWWtt
WW
W
Wn
Wt
T
=
xm
Figura 2.14. El Péndulo Simple y su Diagrama de Cuerpo Libre.
+
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS.
Método de Energías.-Método de Energías.-
Es otro método de análisis de sistemas Es otro método de análisis de sistemas vibratorios, en el que se consideran vibratorios, en el que se consideran únicamente los sistemas que son únicamente los sistemas que son conservativos. El método de análisis se conservativos. El método de análisis se basa en la Ley de la Conservación de la basa en la Ley de la Conservación de la Energía.Energía.
El objetivo del análisis es la obtención de las ecuaciones diferenciales El objetivo del análisis es la obtención de las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de las frecuencias naturales para sistemas de un y las ecuaciones de las frecuencias naturales para sistemas de un solo grado de libertad sin amortiguamiento.solo grado de libertad sin amortiguamiento.
Figura 2.15Figura 2.15John William Strutt Lord RayleighJohn William Strutt Lord Rayleigh
Born: 12 Nov 1842inLangford Grove (near Maldon), Essex, England
Died: 30 June 1919 in Terling Place, Witham, Essex, England ††
† The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html School of Mathematics and Statistics University of St AndrewsScotland,
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Pasos para realizar el Análisis de Energías.Pasos para realizar el Análisis de Energías.
1. Identificar Energías del Sistema. 2. Aplicar las Energías a la Ecuación.
Sumatoria de todas las energías = Cte.Sumatoria de todas las energías = Cte. 3. Simplificar la ecuación resultante. 4. Derivar la ecuación simplificada con
respecto al tiempo. 5. Ordenar la diferencial resultante. 6. Aplicar los términos ecuación de la
ecuación diferencial a la ecuación de la frecuencia natural.
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Ejemplo 10.- Deducción de la ecuación de la frecuencia natural delEjemplo 10.- Deducción de la ecuación de la frecuencia natural del sistema masa resorte. sistema masa resorte.
2
2
21
21
xkE
mgxE
xmE
pr
pm
cm
Energías presentes en el sistema masa
resorte
mk
xkxm
xkxmx
xxkxxm
xxkxxm
dtd
ctekxxm
dtd
ctekkxkxmgxxm
dtd
ctexxkmgxxm
dtd
ctexkmgxxm
cteEEE
cteE
n
prpmcm
0
0
0
0221
221
21
21
21
21
21
221
21
21
21
22
222
222
22
II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS.
k
m
m
x
k
Sistema en EquilibrioSistema en Equilibrio
Deformación Deformación estática estática
debida al pesodebida al peso
Resorte sin Resorte sin deformardeformar
Amplitud de Amplitud de la Oscilaciónla Oscilación
k
Figura 2.16. Condiciones de equilibrio y movimiento del sistema masa resorte.
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Ejemplo 11.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de laEjemplo 11.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural del conjunto disco en rotación, resorte y frecuencia natural del conjunto disco en rotación, resorte y masa en traslación. masa en traslación.
2
2
2
2121
21
bpr
CGcM
acm
kxE
JE
xmE
ax
axa
xsen
a
a
a
Figura 2.17. Conjunto de disco en rotación, resorte y masa en traslación fuera de equilibrio.
m
b
a
xb
xaM
R
k
Cambio de variables:Cambio de variables:Expresar las variables
de la rotación en función de las
variables de traslación.
Energías presentes Energías presentes en el sistema.en el sistema.
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Ecuación de la frecuencia natural.
22
2
222
222
222
22
222
22
2
22
22
222
21
021
0221
221
21
21
21
21
21
41
21
21
21
21
21
21
21
21
MRma
kb
kbMRma
kbMRma
dtd
ctebkMRma
ctebkMRma
ctebkMRam
ctekxJxm
cteE
n
bCGa
Si a = b = R, al ecuación quedaría así:
Mm
kn
21
Continuación…Continuación…
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Las deflexiones Y1 y Y2 pueden ser calculadas mediante mecánica de materiales.
222
211
222
211
222
211
222
211
22
22
21
21
222
211
2
22212
11212
22212
1121
2222
12112
12222
12112
1
maxmax
YmYm
YmYmgω
YmYmYmYmg
YmYmgYmgYm
mgW
YmYmYY
YVk
VmVmYkYk
EcEp
n
n
nn
nnYW
YW
nYW
xF
Como:
Como:
y
Continuación…Continuación…
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Amortiguamiento.-Amortiguamiento.- Capacidad de disipar energía de un sistema.Capacidad de disipar energía de un sistema.
Tipos de Tipos de amortiguamientoamortiguamiento
Fricción seca (Coulomb)
Fluido
Histéresis
Viscoso
Turbulento
II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.
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cvFc
Dónde:Fc = Fuerza de reacción del amortiguador.v = velocidad de aplicación de la carga.c = constante de amortiguamiento real.
Si la velocidad de aplicación de la carga es alta, el amortiguador reacciona con fuerza alta, y si es baja, reacciona con fuerza baja.
Figura 2.18. Amortiguadores de uso automotriz.
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hvyyu
Densidad (Densidad ())Viscosidad SAE (Viscosidad SAE ())
yy
Fluido viscosoFluido viscoso
Cuerpo de Cuerpo de área A A
El esfuerzo de corte desarrollado en el cuerpo deslizante esta determinado por la Ley de la Viscosidad de Newton:
La Fuerza viscosa que está actuando en el cuerpo es:
Usando: tendremos que:
vhA
AF
cvF
hv
dydu
hA
c
dtdx
v
F, Fuerza de amortiguamiento
Figura 2.19. Placas paralelas con fluido viscoso entre ellas.†
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
Figura 2.20. Amortiguamientos equivalentes viscosos.†
Movimiento entre superficies paralelas.
hA
ceq
Dd
dlD
ceq
21
43
3
3
h
Dd
hDceq 322
1 22
Movimiento axial de un pistón y un cilindro.
Amortiguador torsional.
Amortiguamiento por fricción seca. x
Fc N
eq 4
μ = viscosidad SAE.A = área de la placa.
ω = Frecuencia.Fn = Fuerza de fricción.X = Amplitud.
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas
m
k c
0
kxxcxm
xmkxxc
xmWckxckx
xmxcxkW
xmFFW
FF
cR
IEXT
II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.
Figura 2.22. Representación Gráfica delPrincipio de D´Alembert por medio del
Diagrama de Cuerpo Libre.
m m
W
FR
xm
Fc
Figura 2.21. Sistema Masa-Resorte-Amortiguador
Análisis de Fuerzas por el Método de Newton.
Ecuación diferencial característica de un sistema
masa-resorte de un grado de libertad con
amortiguamieto.
+
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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
nc
n
n
tSts
mc
mc
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
k
m
c
m
cs
m
kmccs
BeAex
kcDmD
kxdt
dxc
dt
xdm
2
4
4
04
04
42
2
4
:Donde
:esecuación la de general massolución la
0
0
22
22
2
2
2
2
2
2
2
12
2
12
2
2
2
21
Coeficiente de amortiguamiento crítico.
La relación entre el amortiguamiento real y La relación entre el amortiguamiento real y el coeficiente de amortiguamiento crítico, se el coeficiente de amortiguamiento crítico, se conoce como relación de amortiguamiento y conoce como relación de amortiguamiento y se representa como sigue:se representa como sigue:
ccc
Dependiendo de los valores que tomen c y Dependiendo de los valores que tomen c y cccc, podemos encontrar los siguientes , podemos encontrar los siguientes
casos:casos:
•Si Si c<cSi Si c<ccc, , ζζ<1, el sistema es <1, el sistema es Sub-amortiguado.Sub-amortiguado.
•Si Si c=cSi Si c=ccc, , ζζ=1, el sistema es =1, el sistema es Crítico- amortiguado.Crítico- amortiguado.
•Si Si c>cSi Si c>ccc, , ζζ>1, el sistema es >1, el sistema es Sobre- amortiguado.Sobre- amortiguado.
Continuación…Continuación…
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n
n
n
nn
nnn
n
nc
c
s
s
s
s
s
mk
mc
mc
s
mc
mc
cc
mc
cc
1
1
1
1
22
ecuación la de raíces las
en valor este ssustituimo ,2
Si
22
22
21
212
212
2212
2
12
tSts BeAex 21
Si sustituimos en ella los valores de las raíces, tenemos lo siguiente:
tt nn BeAex 11 22
Recordando la solución mas general de los sistemas amortiguados:
Raíces de la ecuación.
Ecuación más general de la amplitud del desplazamiento de vibración libre
amortiguada.
Continuación…Continuación…
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Tipos de Tipos de sistemas sistemas mecánicos mecánicos según el valor según el valor de c con de c con respecto a crespecto a ccc..
Sub-amortiguado†.
Crítico amortiguado†.
Sobre-amortiguado†.
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
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SISTEMAS SOBRE-AMORTIGUADOS.
•Si c>cc, Si c>cc, ζζ>1, el sistema es >1, el sistema es Sobre- amortiguado.Sobre- amortiguado.
tt nn BeAex 11 22
Características de un sistema Características de un sistema sobre-amortiguado.sobre-amortiguado.
•La amplitud disminuye suave La amplitud disminuye suave y lentamente.y lentamente.
•No hay oscilaciones.No hay oscilaciones.
•Si existe frecuencia natural.Si existe frecuencia natural.
•No existe frecuencia natural No existe frecuencia natural amortiguada amortiguada (ωd).
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
Figura 2.23. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sobre-amortiguado.
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Si c<cSi c<ccc, , ζζ<1, el sistema es <1, el sistema es Sub-amortiguado.Sub-amortiguado.
SISTEMAS SUB-AMORTIGUADOS.SISTEMAS SUB-AMORTIGUADOS.
titi nn BeAex 22 11 Características de un sistema Características de un sistema
sub-amortiguado.sub-amortiguado.
•Cada ciclo disminuye la oscilación Cada ciclo disminuye la oscilación en forma logarítmica.en forma logarítmica.
•Tiene oscilaciones.Tiene oscilaciones.
•Si existe frecuencia natural y Si existe frecuencia natural y
frecuencia natural amortiguada frecuencia natural amortiguada ωωd.d.
•ωωdd y T y Td d dependen de c y dependen de c y ζζ..
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
Figura 2.24. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sub-amortiguado.
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n
tnAex 21cos
A = Constante calculada por lasA = Constante calculada por las condiciones iniciales.condiciones iniciales.= Relación de amortiguamiento.= Relación de amortiguamiento.ΦΦ = Ángulo de desfase. = Ángulo de desfase.X = Amplitud de vibración amortiguadaX = Amplitud de vibración amortiguada (respuesta del sistema).(respuesta del sistema).
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
Figura 2.25. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sub-amortiguado por medio ecuación en forma trigonométrica.
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SISTEMAS CRÍTICO-AMORTIGUADOS.
•Si c=cSi c=ccc, , ζζ=1, el sistema es =1, el sistema es Crítico- amortiguado.Crítico- amortiguado.
t
tt
n
nn
eBtAx
BeAex
Características de un sistema Características de un sistema Crítico-amortiguado.Crítico-amortiguado.
•La amplitud disminuye La amplitud disminuye rápidamente.rápidamente.
•No Tiene oscilaciones.No Tiene oscilaciones.
•Si existe frecuencia natural.Si existe frecuencia natural.
•No existe No existe ωωd.d.
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
Figura 2.26. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema crítico amortiguado.
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Figura 2.27. Comparación entre los distintos tipos de sistemas amortiguados.Figura 2.27. Comparación entre los distintos tipos de sistemas amortiguados.
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
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MÉTODO DEL DECREMENTO LOGARÍTMICO PARA EL CÁLCULO DEL AMORTIGUAMIENTO.
Donde:n = Número del ciclo seleccionado.x1 y x2 = Amplitudes de ciclos consecutivos.
xd = Amplitud del primer ciclo.
xn = Amplitud del ciclo seleccionado.
n
D
xx
nxx ln1
; ln2
1
dd
dd
d
dd
TT
Tf
2 ;
2
21
El decremento logarítmico se obtiene con las amplitudes de la señal amortiguada.
El periodo y la frecuencia de trabajo se obtiene también con la ayuda de la señal amortiguada.
† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.
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22
2222
2222
2222
222
2
4
4
4
41
21
1
2
dd
nd
T
2
1 2
Utilizando el decremento logarítmico Utilizando el decremento logarítmico , se , se obtiene la razón de amortiguamiento obtiene la razón de amortiguamiento ..
Conociendo la frecuencia natural Conociendo la frecuencia natural nn y y
ya habiendo obtenido la razón de ya habiendo obtenido la razón de amortiguamiento amortiguamiento , se puede calcular , se puede calcular la frecuencia natural amortiguada la frecuencia natural amortiguada dd..
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