Optimización
Alfonso Cubillos V
Introducción
ConceptosFundamentales
Tipos de Optimización
Ejemplos y Ejercicios
Métodos de SoluciónProgramación Lineal (PL)
Método a partir deDerivadas
4.1
Capitulo 4OptimizaciónAplicación a la Mecánica de Materiales
Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales
Alfonso Cubillos VPrograma de Ing. Mecánica
Universidad de Ibagué
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4.2
Introducción
En la solución de problemas,siempre se deben tomardecisiones sobre el valor deciertas condiciones delproblema. Estas decisionesafectan el resultado final delproblema.
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4.3
Minimizar o Maximizar qué?
• El costo $• El Peso• El volumen• La eficiencia• El tiempo• El trabajo• La distancia• Las ganancias• ... y muchas más
Qué se requiere?
Un modelo que describa el comportamiento del sistema ysobre el cual se puedan realizar pruebas con el fin deencontrar la solución
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4.4
Algunos conceptos
Variables de decisión
Decisiones cuantificables relacionadas con otras. Por ejemplo,la distancia a donde poner el soporte, el tipo de viga aimplementar.
Función Objetivo
La medida de efectividad compuesta expresada como unafunción de las variables de decisión.
Parámetros
Valores constantes que actúan como coeficientes al ladoderecho de las variables tanto en la función objetivo como enlas restricciones y que se basan en datos tecnológicos de losproblemas
Restricciones
Limitaciones impuestas sobre los valores de las variables dedecisión, casi siempre en forma de ecuaciones odesigualdades. Pueden =, ≤, ≥.
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4.5
Optimización
También conocida como programación matemática intenta darrespuesta a un tipo general de problemas de la forma
max(min) f (x)x ∈ Ω ⊆ Rn
• x = (x1, . . . , xn) es un vector y representa las variables dedecisión
• f (x) es la llamada función objetivo y representa o mide lacalidad de las decisiones
• Ω es el conjunto de decisiones factibles o restriccionesque se puede expresar como
Conjunto de restricciones
gi(x1, . . . , xn) ≤ 0 (Restricciones de Desigualdades)hi(x1, . . . , xn) = 0 (Restricciones de Igualdades)
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4.6
Factibilidad
Dado un conjunto de restricciones
gi(x) = 0 hi(x) ≥ 0
Por ejemplo
3x21 + 2x2 = 3x3 − 9 sin(x1) ≤ cos(x2)
Se re-escriben para manejarla mejor...
g1(x) = 3x21 + 2x2 − 3x3 + 9 = 0
h1 = cos(x2)− sin(x1) ≥ 0
• Un punto que satisface todas las restricciones es un puntofactible
• El conjunto de puntos factibles se denomina región factible
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4.7
Mínimos (o máximos) locales y globalesPuntos de inflección
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4.8
Mínimos (o máximos) locales y globalesPuntos de inflección
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4.9
Mínimos (o máximos) locales y globalesPuntos de inflección
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4.10
Según el tipo de problema y método de solución
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4.11
Tipos de Optimización
Según el nivel de generalidades que tome el problema, será lasolución que se plantee.
1 Optimización sin restricciones2 Optimización con restricciones de desigualdad -
optimización no clásica3 Optimización estocástica4 Optimización con información no perfecta
1. Optimización sin restricciones
Si la restricción no existe, o es una restricción de igualdad, conmenor o igual número de variables que la función objetivo.
2. Con restricción de desigualdad
Si la restricción contienen mayor cantidad de variables que lafunción objetivo, o la restricción contiene restricciones dedesigualdad, existen métodos en los que algunos casos sepueden encontrar los valores máximos o mínimos.
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4.12
Tipos de Optimización
2. Con restricciones de desigualdad
Si tanto las restricciones como función objetivo son lineales(Programación Lineal o PL), la existencia de máximo (omínimo), esta asegurada, y el problema se reduce a laaplicación de unos algoritmos de álgebra lineal elemental.
3. Optimización Estocástica
Cuando las variables del problema (función objetivo y/orestricciones) son variables aleatorias
4. Optimización con información no perfecta
La cantidad de variables, o más aún la función objetivo puedeser desconocida o también variable.
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4.13
Taller Mecánico
A una empresa que cuenta con un taller de reparación para lamaquinaria que utiliza se le presenta el problema dedeterminar el número de obreros que constituye la plantillaóptima del taller.Para ello, se estudian las condiciones de trabajo y el coste demantenimiento, obteniéndose los siguientes datos:
1 La reparación de una máquina requiere, por términomedio, 3 obreros/día.
2 La capacidad del taller permite reparar x máquinas pordía.
3 El número medio de máquinas pendientes de reparaciónque un día cualquiera hay en el taller viene determinadopor 10/(x-10).
4 La jornada de trabajo es de 8 horas, con salario de200u.m./h por obrero.
5 El coste de inactividad de una máquina es de 1920u.m.por día.
Determine ese número óptimo de obreros.
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4.14
Fabricación de tablas
• Una firma de plásticos ha recibido un pedido para fabricar8000 tablas especiales de espuma de plástico paraentrenamientos de natación.
• La firma posee 10 máquinas• El coste de adaptación de las máquinas para producir
tablas especiales es de 20 US por máquina• Cada máquina adaptada puede producir 30 tablas de
entrenamiento por hora• Una vez estas máquinas han sido adaptadas, la operación
es completamente automática y puede ser supervisadapor un solo capataz, cuyo salario es de 4,80 US por hora.
¿Cuántas de las máquinas deben adaptarse para reducir almínimo el coste de producción de dichas tablas?
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4.15
Taller de Joe
El taller de Joe se especializa en cambios de aceite del motory regulación del sistema eléctrico.
• El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 porregulación.
• Joe tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30cambios de aceite por semana.
• Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajoy $8 de insumos.
• Una regulacion toma una hora de trabajo y gasta $15 eninsumos.
• Joe paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo yemplea actualmente a dos de ellos, cada uno de loscuales labora 40 horas por semana.
• Las compras de insumos no pueden pasar el valor de$1.750 semanales.
Cuántos cambios de aceite y regulaciones debe realizarsemanalmente Joe para maximizar el beneficio total.
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4.16
Planta de Refinería
Una refinería produce tres tipos de crudo: C1, C2 y C3. Elcrudo tipo C1 cuesta $0.4/galón, y se pueden producir máximo10.000 galones por día. El crudo tipo C2 cuesta $0.2/galón, yse pueden producir máximo 12.000 galones por día. El crudode tipo C3 cuesta $0.1/galón, y se pueden producir máximo15.000 galones por día. La refinería puede convertir cada tipode crudo en gasolina, y puede producir tres tipos de gasolina:regular, plus y premium. La máxima demanda del mercadopara la gasolina regular, plus y premium, es de 9000, 8000 y7000 galones por día respectivamente. La refinería puedevender su gasolina a un distribuidor por $0.7/galón de gasolinaregular, $0.8/galón de plus, y $0.9/galón de premium. Asumaque 1 galón de crudo tipo C1 genera 0.2 galones de gasolinaregular, 0.3 galones de regular y 0.5 de premium. Un galón decrudo tipo C2 genera 0.5 galones de regular, 0.3 de plus y 0.2de premium. Para el crudo tipo C3, se asume que un galón,genera 0.7 galones de regular, 0.3 de plus, y nada de premium.Se desea determinar el número de galones de cada crudo porprocesar de C1, C2 y C3 para maximizar las ganancias.
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4.17
Equilibrio de dos resortesConsidere un sistema de dos resortes como lo muestra lafigura. Las líneas punteadas muestran los resortes sindeformar y sin carga. Después de aplicar las fuerzas en elpunto A, el sistema se deforma hasta su equilibrio en el puntoB, donde los resortes se muestran en líneas continuas. Seesta interesado en encontrar el estado de equilibrio en el puntoB en la posición (x1, x2)El estado de equilibrio del sistema se obtiene minimizando laenergía potencial del mismo, con respecto a las variables dediseño x1 y x2
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4.18
Costo de tubería de una planta
El costo de la tubería, incluidas tantos las pérdidas como elbombeo,son de importante consideración en el diseño de unaplanta química. Considere el diseño de una tubería que tieneun longitud L-ft de longitud y transporta un fluido a Q gpm. Elobjetivo es determinar el diámetro del tubo D-in que minimizaanualmente el costo de bombeo. Para una bomba normal, elcosto anual de bombeo puede ser estimado por:
f (D) = 0,45L+0,245 ·L ·D1,5 +325(hp)0,5 +61,6(hp)0,925 +102
donde
hp = 4,4× 10−8 LQ3
D5 + 1,92× 10−9 LQ2,68
D4,68
Se desea obtener el diámetro de la tubería D para un mínimocosto, de longitud de 1000 ft. y flujo de 20 gpm.
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4.19
Minimizar Volumen
The weight of the suspended object is 10 kN. The twomembers have different cross-sectional areas x1 and x2, andeach will safely support an axial stress of σ = 105 kPa.Determine the value of h, x1 y x2 that minimizes the totalvolume of material in the two members.
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4.20
Cuándo un problema se puede solucionar como PL?
Cuando se formula un problema de toma de decisiones comoun programa lineal, se deben verificar las siguientescondiciones:
1 La función objetivo debe ser lineal. Vale decir que se debeverificar que todas las variables estén elevadas a laprimera potencia y que sean sumadas o restadas (nodivididas ni multiplicadas);
2 El objetivo debe ser ya sea la maximización ominimización de una función lineal. El objetivo deberepresentar la meta del decisor; y
3 Las restricciones también deben ser lineales. . Asimismo,la restricción debe adoptar alguna de las siguientesformas ( ≤, ≥, o =, es decir que las restricciones de PLsiempre están cerradas).
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4.21
Método de Derivadas
Es el método más utilizado para resolver problemas deoptimización no lineal.
Se dividen en:
1 Optimización donde la función objetivo es no lineal, y sinrestricciones
2 Optimización donde la función objetivo y las restriccionesson no lineales