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Material de apoyo de FundacionesParte II
Teoría de Elasticidad para la Teoría de Elasticidad para la Estimación de Asentamientos y
Esfuerzos
Prof. Silvio Rojas
Septiembre, 2006
INTRODUCCIÓN. -
Este teme trata de la aplicación de la teoría de elasticidad en ladeterminación de esfuerzos y deformaciones, que producen diferentes tiposde carga en la masa de suelo. Al inicio se mencionan algunos modelos quepueden representar la resistencia del suelo a través de la variación delmódulo con la profundidad. Luego se evalúa los asentamientos y esfuerzos,generados por distintas cargas, usando las respectivas ecuaciones de lateoría de elasticidad, donde se apreciará la deformación el suelo
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teoría de elasticidad, donde se apreciará la deformación el sueloverticalmente y la magnitud de los esfuerzos a distancias y profundidades,medidas a partir del punto de aplicación de las cargas. El trabajo contieneuna serie de gráficos que ayudan a determinar los esfuerzos y asentamientospara un medio representado por el semi-espacio de Boussinesq (módulo deelasticidad constante con la profundidad) y para una capa de suelosobreyaciendo una base rígida (también con módulo en la subcapasconstante). En el trabajo se expone brevemente algunos métodos para laestimación de asentamientos en el semiespacio elástico heterogéneo(módulo variable con la profundidad), tanto para carga circular como paracarga rectangular. También se presenta la definición de asentamientosdiferenciales, distorsión y deflexión, así como sus valores tolerables paradistintos tipos de estructuras. Se comenta los asentamientos medidos enfundaciones reales de tanques, construidos sobre arenas y arcillas. Porultimo se anexan algunos problemas.
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ÍNDICE Pág.
DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO 1
ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERÉS PARA EL INGENIERO 2
ASENTAMIENTOS BASADOS EN LA TEORÍA DE PLASTICIDAD 4
ELASTICIDAD EN LE SENTIDO RESTRINGIDO 6
MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMÁTICAMENTE POR HOLL (1940) 8
ESTIMACIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES APLICANDO LA TEORÍA DE ELASTICIDAD PARADISTINTOS CASOS DE CARGA
9
CARGA PUNTUAL 9
CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITA 15
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJA INFINITA 18
CARGA CON DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJA INFINITA 22
CARGA UNIFORME MAS CARGA TRIANGULAR 24
DOS CARGAS TRIANGULARES ASIMÉTRICAS 29
DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRÁFICOS 30
CARGA TRIANGULAR Y RECTANGULAR DE LONGITUD INFINITA 30
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UN ÁREA CIRCULAR 31
CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UN ÁREA RECTANGULAR 49
ASENTAMIENTO ELÁSTICO DEBIDO DE UN ÁREA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA 56
ASENTAMIENTOS INMEDIATOS DE FUNDACIONES SOBRE ARCILLA SATURADA 59
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MÉTODOS GENERALES PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS 61
CAPA ELÁSTICA HOMOGÉNEA SOBRE BASE RÍGIDA 73
CARGAAISLADA PUNTUAL 73
CARGA LINEAL SOBRE BASE RÍGIDA 74
CARGA EN FAJA SOBRE BASE RÍGIDA INTERFAZ LISA (EGOROV, 1939) 75
INTERFAZ RUGOSA PARA CADA EN FAJA INFINITA SOBRE BASE RÍGIDA 76
CARGA CIRCULAR – CAPA ELÁSTICA HOMOGÉNEA SOBRE BASE RÍGIDA 79
CARGA RECTANGULAR – CAPA COMPRESIBLE SOBRE BASE RÍGIDA 82
SUPERFICIE DE CARGA GENERAL CON BASE RÍGIDA 90
SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO 91
SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA EN FAJA 91
SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA CIRCULAR 93
SEMIESPACIO ELÁSTICO HETEROGÉNEO – CARGA RECTANGULAR 94
TEORÍA DE DOS CAPAS 102
DEFINICIONES DE ASENTAMIENTO Y ASENTAMIENTOS ADMISIBLES 104
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DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN LA MASA DE SUELO.
La fig. 1 muestra la posible distribución de esfuerzos que se producen en lamasa de suelo, debido a la aplicación de una carga en la superficie.
Fig. 1.- Distribución de esfuerzos producidos por diferentes tipos de carga.
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Esa distribución de esfuerzos depende de:
�Tipo de suelo.�Su estructura.�De la homogeneidad o heterogeneidad del suelo.�Su espesor.�De la forma y dimensiones de la carga.�De las propiedades – esfuerzo – deformación.�De las propiedades – esfuerzo – deformación.
Las propiedades esfuerzo – deformación generalmente no siguen una ley, sino quesu comportamiento esfuerzo – deformación es similar al mostrado en la fig.2.,donde se aprecia que el resultado obtenido depende del tipo de suelo y del gradode compactación y consolidación.
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Fig.2.- Comportamiento de un suelo real.
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Por tanto a través de la teoría de elasticidad, se trata de estimar ladistribución de esfuerzos, a partir de un comportamiento idealizado,como el mostrado en la fig.3.
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Fig. 3.- Diferentes comportamientos considerados para un suelo idealizado. (a) Material
elástico; (b)Material rígido plástico; (c) Material elasto-plástico; (d) Material
elasto-plástico con ablandamiento.Prof. Silvio Rojas
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ALGUNOS PROBLEMAS DE INTERES PARA EL INGENIERO
Para un talud se estudia (fig. 4a), se estudia:
•Determine τ actuante
•Determinar la resistencia τf
•Estimar el factor de seguridad ττf
FS =•Estimar el factor de seguridad
En el diseño de una fundación (fig.4b), se estudia:
•Los esfuerzos transmitidos por Q a la masa de suelo no deben alcanzarla falla.
•Estos esfuerzos deben caer en el estado de equilibrio elástico.
•Para lograr esto, ya se aplica
•Q aplicada, transmitirá esfuerzos a la masa de suelo y producirádeformaciones correspondientes al rango elástico.
τ
Area
Qqq
admaplicada==
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Fig. 4.- (a) Esfuerzos cortantes en un talud; (b) Distribución de los esfuerzos que transmite
la fundación a la masa de suelo.
En el caso “b” de la fig.4, para la estimación de estos esfuerzos ydeformaciones, se considera que el suelo es homogéneo, isotrópico ylinealmente elástico.
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La teoría de elasticidad para la solución del problema de carga, estádesarrollada tomando en consideración la teoría del semiespacio deBoussinesq para carga puntual (fig.5).
Semiespacios de Boussinessq limitados porun plano horizontal, de profundidad infinita yde extensión horizontal infinita.
Fig.5.- Semi_especio de Boussinessq
de extensión horizontal infinita.
Problemas no presentados por la teoríade elasticidad, pueden ser resueltospor métodos de superposición, comolos mostrados en la fig. 6.
Fig.6.- Esfuerzos de la carga trapezoidal estimada por dos cargas triangulares.Prof. Silvio Rojas
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Condiciones sonnecesarias paraaplicar la teoríade elasticidad:
Los esfuerzos transmitidos al suelo debenpermanecer en el rango elástico, de maneraque no produzca deformaciones plásticas enla masa de suelo.
Se debe establecer un módulo elástico, representativo de la masa de suelo, por consiguiente la característica del suelo y su
Disposiciones delos estratos quese puedenencontrar parauna formaciónsedimentaria.
consiguiente la característica del suelo y su disposición lo deben permitir.
aplicación de la teoría de elasticidad puede hacerse con cierta confiabilidad
Aplicación teoría daráresultados que se alejan unpoco de los reales.
Estratificación con buzamiento Prof. Silvio Rojas
Aplicación dela teoría deelasticidad:
En arcillas homogéneas saturadas, se utiliza concierta seguridad comprobada en campo ylaboratorio, para la estimación de esfuerzos ydesplazamientos.
Se aplica con ciertas reservas para la estimación de esfuerzos en arenas
En suelos arcillosos se utiliza para predecirasentamientos inmediatos.
En suelos granulares no es aplicable para predecir asentamientos.
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•Desarrollada teóricamente
•Poco sistematizada en
Entonces se estudiará :Más desarrollada basada en la teoría de elasticidadLa teoría de elasticidad isotrópica
Teoría de elasticidadanisotrópica (anisotropía •Poco sistematizada en
ábacos para aplicaciónpráctica.
ASENTAMIENTOS BASADOS EN LA TEORIA DE ELASTICIDAD
Las cargas aplicadas sobre el terreno producen deformaciones. La teoríade elasticidad, proporciona las siguientes relaciones, para determinar ladeformación vertical y el asentamiento vertical a través de la integral delas deformaciones.
anisotrópica (anisotropíatransversal).
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[ ]yxzz E
σνσνσε ∆⋅−∆−∆= 1 (1)
donde:
εz: Deformación vertical.
∆σz: Incremento de esfuerzo en la dirección “z” producido por la cargacolocada al suelo.
∆σx: Incremento de esfuerzo en la dirección “x”producido por la cargacolocada al suelo.
∆σy: Incremento de esfuerzo en la dirección “y” producido por la cargacolocada al suelo.
ν: Coeficiente de Poisson.
E: Módulo de elasticidad del suelo.
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( )[ ]∫ ⋅∆+∆−∆= z
yxzdz
ES
0
1 σσνσ (2)
donde:
S: Asentamiento vertical.
dz: Diferencial de la profundidad “z”.
En la práctica son de interés las deformaciones verticales, es decir losasentamientos que se producen en la superficie del suelo, cuando la cargase aplica sobre el área de la cimentación. Sin embargo, la fig. 8, indica doscasos donde es de interés para el ingeniero deformaciones diferentes alas que ocurren en dirección vertical. Por ejemplo los corrimientosparalelos a la superficie del terreno son también peligrosas para lasestructuras soportadas, o incluso llegan a ser determinantes. Esto ocurre,por ejemplo, cuando los movimientos del terreno se deben a excavacioneslaterales o profundas. También es determinante conocer lasdeformaciones tangenciales y radiales alrededor del túnel.
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Fig. 8.- (a) Edificaciones afectadas por la deformación que producen las grietas de tensión.
(b) Deformación radiales y tangenciales que sufre la roca por la abertura del túnel.
Sin embargo, aquí se tratarán los asentamientos en el sentido vertical,producidos por fundaciones tales como las indicadas en la figura 9.
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Fig. 9.- (a) Losa de fundación rígida de concreto donde se apoyan varias columnas
(b) Zapata aislada rígida de concreto; (c) Relleno de material donde se apoya un tanque.
Una fundación flexible puede considerarse, cuando:
• Almacenamiento de carburantes
• Pilas de minerales
• Almacenamientos a granel Prof. Silvio Rojas
Respecto a los parámetros de elasticidad “E” y “ν”, no son constantes enla masa de suelo, especialmente en depósitos de arena (ver fig. 10), poresta razón las expresiones obtenidas a partir de la teoría de elasticidadno se deben aplicar para determinar los asentamientos en arenas, paraello se existen una serie de métodos empíricos, que se estudiaran másadelante.
Fig. 10.- (a) Fundaciónapoyada en un estrato dearena; (b) Diagramaesfuerzo deformaciónpara una arena.
En un estratode arcilla estosparámetrostienen pocavariación.
por tanto la teoría de elasticidad puede ser aplicada.para predecir los asentamientos inmediatosllamados también asentamientos elásticos
Asentamiento inmediatos que se producen en losdepósitos de arcilla saturada en condiciones nodrenadas.
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100% distorsión
0% cambio de volumen
Fig. 11.- Asentamiento instantáneo debajo de la fundación.
Si la arcilla está saturada, se habla de un módulo no drenado Eu y elcoeficiente en esta caso tendrá un valor de 0.5 (ν = 0.5) y por tanto elasentamiento instantáneo ocurrirá sin cambio de volumen y con un cienpor ciento de distorsión. El módulo cortante en este caso lo expresa lateoría de elasticidad, como:
( )ν+⋅=
12
EuGu (3)
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εεεε ++=COPIAR LAMINA
donde:
Gu: Módulo cortante no drenado.
Eu: Módulo de elasticidad no drenado.
ν: Coeficente de Poisson para el caso no drenado.
zyxavolumétricεεεε ++=
[ ] [ ] [ ]yxzzxyzyxavolumétric EEE
σνσνσσνσνσσνσνσε ⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−⋅= 111
Si νννν =0.5, resulta:
[ ] 01 =−−−++⋅=
zyxxyzavolumétric Eσσσσσσε
( ) ( ) '12
''
12 νν +⋅=
+⋅= E
GEu
Gu
( ) ( ) ( ) ( )2
3'1 tienese
'1
'
2
3
'12
'
12<+
+⋅=⇒
+⋅=
+⋅ν
νννE
EuEEu
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ELASTICIDAD EN EL SENTIDO RESTRINGIDO
Se entiende así:
•Cumple la ley de Hooke, es decir la relación esfuerzo deformación seexpresa por:
εσ=E E⋅= εσε E⋅= εσ
donde:
E: Módulo de elasticidad
ε: Deformación que sufre el suelo
σ: Esfuerzo que produce la deformación
•EL módulo de elasticidad (E) es el mismo en tracción que en compresión
•La materia que constituye el semiespacio de Boussinesq tiene la resistenciasuficiente para seguir respondiendo elásticamente bajo las tensiones que seproduzcan en todos y cada uno de los puntos del semiespacio.
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La fig. 12, muestra el semiespacio y la ley de Hooke.
Fig. 12.- (a) Semi_espacio deBoussinesq; (b) Ley deHooke.
En el siguiente caso, el semiespacio de Boussinesq debe reemplazarsepor un modelo isotrópico no homogéneo, tal como se indica acontinuación.
MODELO DE CAPA ELASTICA SOBRE BASE RIGIDA
Este modelo considera:
•Capa elástica es homogénea en todos sus puntos
•Base rígida es homogénea en todos sus puntos Prof. Silvio Rojas
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Fig. 13.- Capa elástica con móduloconstante sobre base rígida.
Sin embargo el suelo no homogéneo en todos sus puntos, ya que por logeneral el terreno es más compacto y menos deformable a medida queincrementa la profundidad.
Algunas variaciones más representativas del módulo, se ind icanen la fig. 14.
Función monótoma
Fig. 14.- Modelos derepresentación de lavariación del módulo. (a)Función monótomacreciente; (b) Función linealcon módulo inicial Eo; (c)Función lineal sin móduloinicial.
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Para semiespacio heterogéneo, la ley más sencilla que se puedeproponer para el módulo (fig. 14b), es:
E = E0 + m.z (5)
donde:
E: Módulo de elasticidad
m: Pendiente de la variación del módulo
z: Profundidad
La pendiente puede ser expresada, usando los parámetros indicados enla fig. 14b, como:
β0
Em=
m
E0=β (6)
Sustituyendo la ec.6 en la ec.5, se tiene:
zE
EmEE ⋅⋅+=
0
0
0 (7)
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⋅+= z
E
mEE
0
01 (8)
+=βz
EE 10
(9)
•Si m = 0 E = E0, entonces se obtiene el semiespacio de Boussinesq
•Si m ≠ 0 y E0 = 0, el módulo de Young vale cero en superficie, locual corresponde a la fig.14c.
•E0 = 0 (Constituye una limitación teórica muy seria, ya que esfísicamente inconcebible un material con esa propiedad), sin embargo,existen suelos muy especiales como arenas sueltas en superficie cuyadensidad aumenta con la profundidad y donde este modelo pudieraservir.
También existe el semiespacio de Winkler, representado a través de:Prof. Silvio Rojas
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k
σδ = (10)
donde:
δ: asentamientos de los puntos
σ: presión que causa el asentamiento
k: coeficiente de balasto o de reacción vertical
semiespacio de Winkler,
k: coeficiente de balasto o de reacción vertical
La ec. 10, indica que el asentamiento es proporcional a la presión (σ) quelo causa a través del coeficiente de balasto. Las unidades de estecoeficiente, son las correspondientes a un peso especifico, es decir(kg/m3 ó grs/cm3 ó ton/m3). Se puede decir que la zapata está flotandoen un fluido de densidad k ó que la zapata se hundió en el semiespacio deWinkler.
Si “δ” se expresa como:Prof. Silvio Rojas
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z⋅= εδ (11)
La ec. 10, se escribe:
zk
⋅=
εσ (12)
Sustituyendo la ec. 4, en la ec. 12, se tiene ahora que el módulo debalasto es función del módulo de young.
z
Ek =
Se aprecia que esta expresión de “k”, es la pendiente “m”de la recta de lafig. 14c, para un medio heterogéneo sin módulo inicial. Por tanto sedemuestra que el semiespacio de Winkler coincide con el modelo deheterogeneidad lineal con E0 = 0 en superficie.
El modelo físico de Winkler, está representado en la fig.15.
Equivalente al modelo lineal sin módulo en superficie
E = E0 + m.z
Eo=0
m = E / z
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Fig. 15.- Modelo de Winkler.
MODELOS DE FROHLICH (1934) DEFINIDOS MATEMATICAMENTEPOR HOLL (1940)POR HOLL (1940)
Frohlich, representa el modelo indica en la fig. 14a, de acuerdo a:
λzEEoz⋅=
)(
para λ < 1 (14)
donde:
E(z): Variación del módulo con la profundidad.
Eo: Módulo de elasticidad en superficie.
λ: Parámetro que define la variación del módulo
λ= 0 Boussinesq
λ= 1 Winkler
λ < 1 el módulo no incrementa indefinidamente
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Consideraciones:
•Como λ < 1 el gradiente del módulo de elasticidad disminuye enprofundidad, lo que se asemeja más a la realidad en comparación con lavariación lineal (función monótoma).
•Si λ = 0, coincide con el semiespacio de Boussinesq.
•Si λ = 1, coincide con el módelo de Winkler.•Si λ = 1, coincide con el módelo de Winkler.
De lo anterior, se aprecia que las heterogeneidades posibles del terreno sonde gran dificultad para evaluarlas en el laboratorio o campo, e influyen en laestimación de las tensiones y asentamientos que sufre la masa de suelo.
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ESTIMACIÓN DE TENSIONES Y DEFORMACIONES APLICANDO LA TEORÍ A DE ELASTICIDAD PARADISTINTOS CASOS DE CARGA
CARGA PUNTUALLa fig. 16, muestra este caso, ilustrando un punto donde se desea conocer los esfuerzos.
Fig. 16.-(a) Carga puntual aplicada en superficie y ubicación del punto de interés en la masa de suelo(b) Punto en la masa de suelo representado a través de un elemento tridimensional, donde seindican los esfuerzos que actúan en el mismo.
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Las siguientes ecuaciones permiten calcular los esfuerzos vertical, radial, tangencialy cortante en el elemento de suelo considerado.
5
3
23
_πρ
σ QzV =∆
33_
zQV
+⋅
⋅⋅=∆π
σ
(15)
(16)2/522 )(2
_zr
V+
⋅⋅
=∆π
σ
+++−−
+=∆
2/122222/522
2
)(
21
)(
3
2_
zrzzr
v
zr
zrQr
πσ
+++−
+−−=∆
2/122222/322 )(
1
)()21(
2:_
zrzzrzr
zv
Q
πθσ
+=∆
2/522
2
)(23
:_zr
rzQrz
πτ
(17)
(18)
(19)
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Donde:∆σ_v: Esfuerzo vertical sobre las caras horizontales del elemento. Tambiénseusará la simbología "σz".Q: Carga puntual aplicada en la superficie del sueloρ: Radio para ubicar el elemento desde el punto de aplicación de la carga.r: Distanda horizontal desde de la línea vertical al punto donde se ubica elelementoelementoz: Profundidad a la cual se encuentra el elementoυ: Coefieciente de Poisson∆σ_r: Esfuerzo horizontal en la dirección de "r" sobre caras verticales delelemento. También se usará la simbología "σr"∆σ_θ: Esfuerzo horizontal en la dirección de "θ " sobre caras verticales delelemento. También se usará la simbología "σθ "
∆τrz: Esfuerzo tangencial sobre caras verticales y horizontales del elemento.También se usará la simbología "τrz“
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2
122 )__(_ rzVh τσσ ∆+∆=
( ) ( )[ ]2
1
22223
522
2
)(
1
2
3_
+⋅
+⋅
= zrzzr
Qh
πσ
(20)
(21)
Esfuerzo resultante en un plano horizontal (σ_h):
)(2 + zrπ
( ) ( ) ( )[ ] 2
1
2226
22222
11
2
3_
+⋅+
⋅+
⋅= zrzzrzr
Qh
πσ
( ) ( ) ( )2
1
22
22
4
222
1
2
3:_
+⋅+
⋅+
⋅= rzzr
z
zr
Qh
πσ
(22)
(23)
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Definición del ángulo “ψ”:
2
2cos
cos
=
=
ψ
ρψ
z
z
(25)
( )222
2
2
3_
zr
zQh
+⋅⋅=
πσ (24)
2cos
=ρ
ψ z
(26)
Por tanto se puede escribir:
2
2 1cos
2
3:_
ρψ
πσ ⋅⋅= Q
h
( )222
2
2
3:_
zr
zQh
+⋅=
πσ
(27)
(28)
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Variando el ángulo que define el pto. de aplicación
Veamos los esfuerzos en los planos horizontales:σh=4ton/m2 (se buscara la isobara de este valor de esfuerzo) cuandoQ=1ton.De la ec. 27 se puede escribir:
ψπ
ρ 22 cos83
: ⋅= Q(29)
180180,
18010,
1800
πππψ =
Los resultados se indican en la fig. 17 y 18.
(30)
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Fig. 17- Representación de la isobara de esfuerzo de 4 ton/m2, función de la ubicación del punto.
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Fig. 18.- Isobara producida con esfuerzo horizontal de 4 ton/m2, resultante en planos horizontales, poruna carga puntual de 1 ton.
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Distribución de esfuerzosproducidos en unplano vertical(ver fig. 19):Datos:Q =1 ton. ν = ½ r = 2 m. (distancia que define la ubicación del plano vertical)z = 0, 0.1, ... 5 (variación de la profundidad)Aplicando la ec. 3, resulta:
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Fig.19.-Distribuciónde los esfuerzos en unplano vertical ubicadoa 2m del punto deaplicación de Q = 1ton.
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Buscando la profundidad donde ocurre el máximo esfuerzo.
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Esfuerzos verticalen unplano horizontalubicado a 2 m (ver fig. 20).Datos:Q = 1 ton.z = 2 mr = -5, -4 .... 4 (variación del radio)
Q está aplicadaen superficie
Fig. 20.- Distribucióndel esfuerzo vertical enun plano horizontalubicadoa 2 m deprofundidad.
z= 2 m
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Isobaras de esfuerzos vertical(ver fig. 21):σz = 4 ton/m2 y σz = 8 ton/m2. Q =1 tonA partir de la ec.1, se escribe:
Variando el ánguloψ en el siguiente rango:
180360,
18010,
1800:
πππψ =
Resulta:
Fig. 21.- Isóbaras de esfuerzo vertical 4 y 8 ton/m2.
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La expresión para calcular el asentamiento producido por una carga puntual, vienedada por:
En un plano horizontal
Donde:S(r):Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una línea horizontalE: Módulo de elasticidad del sueloν: Coeficiente de PoissonDatos, para el asentamiento superficial (ver fig. 22):Q = 1 tonν = 0.5 E = 1000 ton/m2 z = 0 (superficie) ψ = 90º (representa unalínea horizontal)r = 0.1, 0.2, ..... 10 (variación de r)
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Fig. 22.- Asentamiento superficial a diferentes distancias del pto de aplicaciónde Q.
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Datos, para elasentamiento a distintas profundidades(fig. 23):
z = 0.1, 0.2,....10 m
E = 1000 ton/m2 ν = 0.5 ψ = 0º (representa línea vertical)
r =0 (línea vertical coincide con línea de acción de Q)
En un plano vertical
Donde:
S(r): Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una línea vertical.
E: Módulo de elasticidad del suelo.
ν: Coeficiente de Poisson.
En un plano vertical
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Fig. 23.- Asentamiento en la línea de acciónde Q a diferentes profundidades.
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CARGA LINEAL VERTICAL DE LONGITUD INFINITALa fig. 24, muestra una carga lineal de longitud, infinita, la cual producedeterminados esfuerzos en un elemento de suelo, representado por un cubo. Ademásse indica la dirección del esfuerzo principal actuando en el cubo.Las siguientes ecuaciones, permiten calcular los esfuerzos:
222
3
)(.
.2:
zx
zQz
+=
πσ (33)222 )(
.:zx
z+
=π
σ
.)(
..2:
222
2
+=
zx
zxQx
πσ
2.
..2:
ρπνσ zQ
y =
.)(
..2:
222
2
+=
zx
zxQxz
πτ
2._ρπ
τ zQmàx=
(34)
(33)
(35)
(36)
(37)
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Fig. 24.- Esfuerzos en unelemento de suelo producidospor una carga lineal.
Nota: La simbología se corresponde con las utilizadas para una carga puntual.Se considera que los esfuerzos principales coinciden con las siguientes direcciones:
rσσ =1 σψσ =2 yσσ =3
2...2
:1ρπ
σ zQ=
0:2 =σ
(38)
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Veamos las isóbaras para los esfuerzos:σz = 4 ton/m2 σ1= 4 ton/m2 cuando Q = 1 ton/mA partir de las ecuaciones 33 y 38, se escribe:
)(cos...2
: 3 ψπσ
ρz
Q=
)cos(..1
.2:1 ψ
πσρ Q=
(40)
(41)222
3
)(.
.2:
zx
zQz
+=
πσ 2.
..2:1
ρπσ zQ=
.1πσDonde:ρ: Radio para el ploteo de la isobara deσz = 4 ton/m2ρ l: Radio para el ploteo de la isobara deσ1 = 4 ton/m2Con la ayuda de la fig. 24, se puede expresar que las coordenadas (x,z) para elploteo, vienen dadas por:
)sin().(:)( ψψρψ =x )cos().(:)( ψψρψ =z
)sin().(1:)(1 ψψρψ =x )cos().(1:)(1 ψψρψ =z
(42)
(43)
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donde:x,z: Coordenadas para la isobaraσz = 4 ton/m2xl,zl: Coordenadas para la isóbaraσ1= 4 ton/m2Haciendo variar el ánguloψ, en el siguiente rango se obtiene la fig. 25.
18090,
180.89,
180.90:
πππψ −−=
Fig.25.- Isóbaras de los esfuerzos σz = 4 ton/m2 σ1= 4 ton/m2 producidos por una caraga Q = 1 ton/m
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El asentamiento de la superficie, respecto a un punto inmóvil situado a unaprofundidad "d" bajo la carga linealtal como se muestra en la fig. 26, se determinaa través de:El desplazamiento horizontal, viene dado por la siguiente expresión:
QSx
).21).(1.(:
νν −+=(44)
E
QSx
.2).21).(1.(
:νν −+=
El asentamiento vertical, se estima a través de:
−=x
d
E
QSz ln.
1.
.2:
2νπ
(44)
(45)Asentamiento en superficie
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Fig. 26.- Ubicación de un pto en la masa de suelo donde se deseadeterminar el asentamiento producido por una carga lineal infinita.
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Consideremos los siguientes datos para la estimación del asentamiento vertical (verfig. 27):Q = 1 ton/m v = 0.5 E =1000 ton/m2 d= 2 m.
El resultado se muestra en la fig. 27
Fig. 27.- Asentamiento producido por una carga lineal.Prof. Silvio Rojas
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CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA SOBRE UNA FRANJAINFINITA
La fig. 28 muestra la geometría y los parámetros necesarios para calcular losesfuerzos en un punto de la masa de suelo,producidos por una carga en franja.
Expresiones derivadas para la fig. a:
)).2cos(.sin.(:_ βαααπ
σ ++=∆ qv
)).2cos(.sin.(:_ βαααπ
σ +−=∆ qx
).2sin()sin(.:_ βααπ
τ +⋅=∆ qxz
(46)
(47)
(48)
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Fig. 28.- (a) y (b) Ubicación del punto en análisis a través de ángulosy longitudes,para la estimación de los esfuerzos.
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)).2cos()..2sin(.2.(: ψεεπ
σ += qz
)).2cos()..2sin(.2.(: ψεεπ
σ −= qh
(49)
(50)
Expresiones derivadas para la fig. b
)).2cos()..2.(sin(: ψεπ
τ qzh =
)).2sin(.2.(:1 εεπ
σ += q
)).2sin(.2.(:3 εεπ
σ −= q
(51)
(52)
(53)
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Donde:
∆σ_v ó σz : Esfuerzo vertical sobre las caras horizontales del elemento.
∆σ_x ó σh : Esfuerzo horizontal sobre las caras horizontales del elemento.
∆τ_rz ó τzh : Esfuerzo tangencial sobre caras verticales y horizontales delelemento.
q: Esfuerzo que transmite la franja al suelo.
σ1, σ3: Esfuerzos principales que se producen en el elemento analizado.
α, β, ε, α1, α2, ψ: Angulos que definen la ubicación del punto.
L1, L2: Longitudes necesarias para determinar los ángulos.
z: Profundidad del pto.
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1: σσ =z q=:1σ
Algunas consideraciones:Para 2.ε = 180º, resulta:
0:=zhτ q=:3σ
De la fig.28b, resultan las siguientes relaciones:
ρψ z=:cos
2:)1cos(
L
xa +=α
2:)1sin(
L
z=α
)21(180:.2 ααε +−=
(54)
(55)
(56)
(57)
Expresando los ángulos en función de la distancia (x, z)
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ax
z
−=:)3tan(α
[ ]2
122)(:1 zaxL +−=
)1sin(:
).2sin( αε =
(58)
(59)
(60)
Expresando los ángulos en función de la distancia (x,z)
1)1sin(
:.2
).2sin(La
αε =
=2
.1.2
:)2sin(L
z
L
aε
(60)
(61)
[ ]2
122)(:2 zaxL ++=
(62)
[ ][ ]
+++−
=2
122
122
)(.
)(
.2:).2sin(
axz
z
zax
aε (63)
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.)(
:cos2
122 zx
z
+=ψ
[ ][ ] [ ]
+++−=
2
1222
122 )(
.)(
.2sin:.2
axz
z
zax
aaε .
)(cos:
2
122 zx
zar
+=ψ
Sustituyendo las expresionesde los ángulos en las ecuaciones 49, 50, 51, 52 y
(64)
(65)
Expresando los ángulos en función de la distancia (x,z)
Sustituyendo las expresionesde los ángulos en las ecuaciones 49, 50, 51, 52 y 53, resulta:
( )[ ] [ ]
( )[ ] [ ]
+⋅
++
+−
+
++
+−=
21
2221
222
122
2
1222
122
)(cos2cos.
)(.
2
....)(
.2
sin
:)(
zx
zar
axz
z
zax
a
axz
z
zax
aar
qxz
πσ
(66)
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Fundaciones
( )[ ] [ ] ( )[ ] [ ]
++
+−
+
++
+−=
2
122
2
1222
1222
122 )(
.2
)(.
2sin:)(1
axz
z
zax
a
axz
z
zax
aar
qx
πσ (67)
( )[ ] [ ]
( )[ ] [ ]
+⋅
++
+−
−+
++
+−=
21
2221
222
122
2
1222
122
)(cos2cos.
)(.
2)1(
....)(
.2
sin
:)(
zx
zar
axz
z
zax
a
axz
z
zax
aar
qxx
πσ
(68)
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( )[ ] [ ]
( )[ ] [ ]
++
+−
−+
++
+−=
2
122
2
122
2
1222
122
)(.
2)1(
....)(
.2
sin
:)(3
axz
z
zax
a
axz
z
zax
aa
qx
πσ (69)
( )[ ] [ ]
+
++
+−=
2
1222
1222
122
)(cos2sin.
)(.
2:)(
zx
xa
axz
z
zax
aqxzh
πτ
(70)
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Consideremos los siguientes datos:
q = 10 ton/m2 a = 2 m (semi- ancho de la franja)
z = 5 m (Esfuerzos en elementos de suelos ubicados a una profundidad de 5 m)
x = -10, -9....10 (longitud del plano horizontal)
Los resultados se muestran en la fig. 29.
Fig. 29.- Esfuerzos
Z = 5 m
Fig. 29.- Esfuerzosproducidos por unafranja cargada conq = 5 ton/m2 a unaprofundidad de 5 m.
Tarea:
Determine los esf. σ1, σ3 σ1, σ3 σ1, σ3 σ1, σ3 principales a partir de σσσσz, σσσσx, ττττxz. Compare con los gráficos
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Determinación de la abscisa para la cual ocurre el cortante máximo
TOL=10-5
x:=2
( )[ ] [ ]
+⋅
++
+−=
2
1222
1222
122
)(cos2sin.
)(.
2:)(
zx
xa
axz
z
zax
aqxzh
πτ
( )[ ] [ ] + ++ +− )()( zxaxzzax
)(:)( xzhdx
dxf τ=
x:=root(f(x),x)x=3.109
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Determinación de la abscisa para la cual ocurre el esfuerzo sigma "x" máximo
TOL=10-5
x:=3
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( )[ ] [ ]
( )[ ] [ ]
+⋅
++
+−
−+
++
+−=
2
1222
122
2
122
2
1222
122
)(cos2cos.
)(.
2)1(
....)(
.2
sin
:)(
zx
za
axz
z
zax
a
axz
z
zax
aa
qxx
πσ
)(:)( xzhdx
dxf σ=
x:=root(f(x),x)x=5.008
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CARGA CON DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR SOBRE UNA FRANJAINFINITA
La fig. 30.- muestra la ubicación de un punto en la masa de suelo donde sedesea determinar los esfuerzos producidos por una carga triangular.
Fig. 30.- Elementos de ubicación de unpunto sometidoa carga triangular.
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Los esfuerzos en el pnnto se estiman a través de:
−=∆ )2sin(21
..: βαπ
σB
xqv
(71)
+
−=∆ )2sin(2
1
2
1...:
2
2
βαπ
σR
R
B
z
B
xqx
−+=∆ αβπ
τ ..2
)2cos(1..2
:B
zqxz
De la fig. se determina:
(72)
(73)
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(74)
(75)
Angulos y radios en función de (x,z)
(76)
(77)
Sustituyendo las ecuaciones 74, 75 y 76 en las ecuaciones 71, 72 y73, resulta:
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(78)
(79)
Considerando los siguientes datos:
b= 2 m q = 10 ton/m2 z = 5 m B = 2.b
x = 0,1.... 10
El resultado lo muestra la fig. 31.
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La carga está aplicada es en superficie
Compresión
Fig. 31.- Esfuerzos producidos en un elemento de suelo por una carga triangular.
Tensión
Compresión
Tensión
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El asentamiento superficial que produce la carga triangular se estima através de la siguiente expresión:
Esta ec. se escribe como:
(80)
(81)
donde:
δ: Asentamiento superficial variando con la distancia “x”.
E: Módulo del suelo.
ν: Coeficiente de Poisson.
Consideremos los siguientes datos:
q = 10 ton/m2 b= 2m
x = 0,1.. 10 ν = 0.5 E = 1000 ton/m2 z = 0
El resultado se muestra en la fig. 32.
(81)
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Fig. 32.- Asentamiento producido por una carga trian gular.
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CARGA UNIFORME MÁS CARGA TRIANGULAR
La fig. 33, muestra el caso de carga uniforme más carga triangular, asícomo todos los elementos necesarios para la ubicación de un punto de lamasa de suelo, donde se quiere estimar los esfuerzos que produce estesistema de carga.
Los esfuerzos vertical, horizontal y cortante, en un punto de la masa desuelo, se estimarán a través de las siguientes expresiones:
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(82)suelo, se estimarán a través de las siguientes expresiones:(82)
(82)
(83)
(84)
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Fig. 33.- Geometría requerida para la ubicación de un elemen to
de suelo bajo el sistema de carga uniforme y triangular.
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Donde:
q: Esfuerzos que transmite la carga en superficie en la masa de suelo
ro, r1, r2: Radios de las líneas para ubicar el elemento de la masa desuelo.
a, b: Ancho de distribución de las cargas.
z: Profundidad a la cual se ubica el elemento.
x: Abscisa que ubica al punto en la masa de suelo.
α1, α2, α3, α4, α y β: Angulos que definen la geometría
De la fig. se escriben las siguientes relaciones:
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(85)
(86)
(87)Angulos y distancias
Si x < a:
(87)
(88)
(89)
Angulos y distanciasescritas en función de (x,z)
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(90)
(91)
(92)
(93)
(94)
(95)
(96)
Angulos y distanciasescritas en función de (x,z)
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(97)
Las ecuaciones 82, 83 y 84, se escribirán ahora de la siguiente manera:
Para x ≤ a:Para x ≤ a:
(98)
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(99)
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(100)
Para x ≥≥≥≥ a: (carga uniforme)
(101)
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(102)
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(103)
Consideremos los siguientes datos para la estimación de los esfuerzos:
Los resultados se muestran en la fig. 34.
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Fig. 34.- Variación de los esfuerzos a una profundidad de 5 m producidos por una cargauniforme y triangular
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DOS CARGAS TRIANGULARES AXIMETRICAS
La fig. 35, muestra la geometría de una carga triangular asimétrica.
Fig. 35.- Carga triangular asimétrica.
⋅⋅+
⋅⋅−⋅−++⋅⋅=1
2ln
2
2
3ln
2
r
r
a
z
r
r
b
z
b
xba
a
xqx
βαπ
σ
⋅−++⋅⋅= βαπ
σb
xba
a
xqz
⋅−⋅⋅= βαπ
τb
z
a
zqxz
(104)
(105)
(106)
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DOS CARGAS TRIANGULARES SIMETRICAS
La fig. 36 muestra la geometría de una carga triangular asimétrica.
Fig. 36.- Carga triangularsimétrica.simétrica.
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Los esfuerzos en punto de la masa de suelo, que produce la carga triangular puedeestimarse por:
( ) ( )
−⋅++⋅=∆ 2121 ααααπ
σb
xPv
( ) ( )
⋅⋅⋅−−⋅++⋅=∆2
21ln
22121
Ro
RR
b
z
b
xPh
ααααπ
σ
(107)
(108)
Robbπ
( )[ ]21 ααπ
τ −⋅⋅⋅=∆b
zPxz
(109)
De la fig. 36, se determina:
( ) ( ) R2 R1 222222 zbxzbxzxRo +−=++=+= (110)
( ) ( )RoR
bRoR
RoR
bRoR
⋅⋅−+=
⋅⋅−+=
22
22cos
12
11cos
222222
αα (111)
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DETERMINACIÓN DE ESFUERZOS A PARTIR DE GRÁFICOS
Carga triangular y rectangular de longitud infinita
La fig. 37 y 38, presenta estos casos.
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Tarea:
Compare los resultados de la fig. 37, con los obten idos con la ayuda de las ec. 107, 108, 109, 110, 111.
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Fig. 37.- Esfuerzosprincipales bajo unacarga triangular delongitud infinita.
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Fig. 38.-Esfuerzosprincipales bajouna cargarectangular delongitudinfinita.longitudinfinita.
Tarea:
Compare losresultados con losobtenidos por las ec.49, 50, 51, 52 y 53.
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Carga uniformemente distribuida sobre unárea circular
Esta situación se puede presentar teóricamente cuando la carga sobre el terrenoes producida, no por un elemento estructural sino por una capa pura como unacopio de mineral, etc.
Para una carga puntual el esfuerzo está dado por:
3 3zQ ⋅⋅=σ (112)
( )
2
3
2
522 zr
zQz
+⋅
⋅⋅=π
σ
dQ dAq ⋅=
( )2
522
3
z 23
d zr
zdQ
+⋅
⋅⋅=
πσ
La fig.39 muestra una carga circular uniformemente distribuida, a partir dela cual sededucen algunas expresiones:
En este caso:
(112)
(113)
(114)
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Fig. 39.- (a) Area circular bajo unacarga uniformementedistribuida.(b) Sección indicandoun punto en eje central delárea
dAqdQ ⋅=
drdrdA ⋅⋅= θ
drdrqdQ ⋅⋅⋅= θ
(115)
(116)
(117)
( )drdrq
zr
zd
Z⋅⋅⋅⋅
+⋅
⋅= θ
πσ
2
522
3
23 (118)
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( )drd
zr
rzqd
Z⋅⋅
+
⋅⋅⋅⋅= θπ
σ2
522
3
23 (119)
( )
23 2
0 0 2
522
3
∫ ∫ ⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅=
π
θπ
σb
Zdrd
zr
rz
qd (120)
( ) 1 3
22
3
Z
+−⋅=
zb
zqσ (121)
( )2
322
Z
+ zb
(121)
eje elen solamente Z
Izq ⋅=σ (122)
Otra expresión equivalente a la anterior es la siguiente. Con la ayuda de la fig.39b,se escribe:
Iz: Factor de influencia
( )
1
11 1
2
322
322
3
+
−⋅=
+−⋅=
zb
qzb
zq
Zσ (123)En el EJE
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( ) Izqq ⋅=−⋅=Z
3
Z cos1 σασ EJE Vea la fig. 39 (124)
( )1121
++ νν
(125)( ) cos1
2
cos
2
21 3
⋅+−++⋅== ανανσσ θ qr
EJe
Eje
( )
1
1
12
1
2
21
2
122
32
+
+−
+⋅
++⋅==
zb
zb
qr
ννσσ θ (126)
0=θτr (127)
Egorov (1958)
σz para cualquier punto del semiespacio, se expresa:
( ) ( ) ( ) ( )
Π⋅+−+⋅
−++−⋅
++⋅−⋅= pk
t
tE
tn
tn
tn
nAq
okz,
11
11
122
22
22πσ
(128)
EJe
Eje
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donde:
E(k), Πo(k,p): Integrales elípticas completas de segunda y tercera especia, demódulos k y parámetros p.
t, n, k y p, se expresan a través de:
a
rt = (129)
a
zn =
( )22
2
1
4k
tn
t
++⋅=
( )21
t4-p
t+⋅=
(130)
(131)
(132)
Además:
A =1, si t <1
A=1/2 si t =1
A =0 si t> 1 Prof. Silvio Rojas
donde:
a: Radio de carga circular
q: Esfuerzo aplicado por carga circular
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Las figuras 40, 41, 42 y 43, presentan este caso que permite obtener el esfuerzovertical y los esfuerzos principales, en cualquier punto.
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Fig. 40.- EsfuerzosFig. 40.- Esfuerzosverticales producidospor una cargauniformemente sobreuna superficiecircular.
Chequeo:
∆∆∆∆qs = 10 ton/m2
∆σ∆σ∆σ∆σv=? Para z/a =1 y x/R=0
Línea que representa centro del círculo
Línea que representa el borde del círculo
Zona fuera del círculo
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Para obtener el esfuerzo principal menorBorde
Chequeo:
∆∆∆∆qs = 10 ton/m2
∆σ∆σ∆σ∆σ1=? ∆σ∆σ∆σ∆σ3=?
Para z/a =1 y x/R=0
Compare con ∆σ∆σ∆σ∆σv.
Dibuje círculo de Morh
Para obtener el esfuerzo principal mayor
Eje
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Fig. 41.- Esfuerzos principales bajo una cargauniformemente repartida sobre una superficiecircular.
Lambey Whitman:Lambey Whitman:
En la superficie situada bajo elárea cargada, la variación delesfuerzo horizontal esaproximadamente igual a lavariación del esfuerzo vertical,como en una prueba decompresión isótropica. En estecaso la deformación horizontal esde compresión y los puntossituados en la superficie debenmoverse hacia el eje de carga.´
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Fig. 42.- Valores de 100∆σ1/P y100 ∆σ3/P para superficie circularflexible.
Esfuerzos en el eje
z
x
εεν = y
εε
ν =z
zε
Tarea:
Para determinada carga ∆∆∆∆qs y determinada relación z/a, determine:
∆σ∆σ∆σ∆σ1=? ∆σ∆σ∆σ∆σ3=? ∆σ∆σ∆σ∆σz=? ∆σ∆σ∆σ∆σx =?, ∆τ∆τ∆τ∆τxz =?
Use fig. 40 y 41
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Fig. 43.- Factor de influencia para el incremento de esfuerzo vertical total bajo un área circular.
z/REje
Borde
Fuera del área cargada
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Asentamiento elástico debajo de unárea circular uniformemente distribuida. Para laestimación del mismo se partirá de la fig. 44 para la ubicación de un punto fuera delárea cargada.
P
Fig. 44.- Elementos definir el radio de un punto.
PP
Cuando a = 0Prof. Silvio Rojas
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( )2
12222222 cos2 cos2 θρθρ ⋅⋅⋅−++=⋅⋅⋅−++= razarrazar (133)
La fig. 45, define la ubicación de un punto bajo una carga puntual.
Fig. 45.- Elementos de ayuda en el caso de cargapuntual.
( ) ( )[ ] cos122
1 2ψνρπ
ν +−⋅⋅⋅⋅
+⋅=E
QS (134)( )[ ] cos12
2ψν
ρπ+−⋅
⋅⋅⋅=
ES
( ) ( )
+−⋅⋅⋅⋅
+⋅=2
2
122
1S
ρν
ρπν z
E
Q
(134)
(135)
Para la carga circular se plantea:θddrrqdQ ⋅⋅⋅= (136)
(137)( ) ( ) θνρρπ
ν π
ddrrz
E
qzrS
b
⋅⋅⋅
−⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅= ∫ ∫
⋅
0
2
02
2
121
21
),(
En cualquier ptoProf. Silvio Rojas
Solución de la integral anterior, resulta en función de integrales elípticas de primera ysegunda clase Egorov (1958), Harr (1966)
Solución más simple es la propuesta por Ahlvin Y Ulery (1962):
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( ) ( ) ( )
⋅−+⋅⋅⋅+⋅= HAb
zb
E
qzrS νν
11
, (138)
A,H: Funciones tabuladas
El asentamiento de bajo del centro (a=0), se presenta como:
( )( )
( )( )
θνπ
ν π
ddrrzrzr
z
E
qzS
b
⋅⋅⋅
+
−⋅++
⋅⋅⋅+⋅= ∫ ∫
⋅
0
2
0 2
1222
322
2 12
2
1),0( Carga circular en Eje (139)
Harr (1966), obtuvo la expresión de asentamiento en la línea vertical delcentro:
( ) ( ) ( )
+⋅−⋅+⋅−+⋅−⋅⋅⋅=
2
2
2
11211
12),0(
nn
nnn
E
qbzS
ν Eje (140)
donde n=z/b a=0 en el centro
Si n=0 (z=0) asentamiento en superficie
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( ) ( )E
qbS
2120,0
ν−⋅⋅⋅= (141)
Terzaghi (1943) determinó:
S(b,0): Asentamiento en el borde
( ) ( )0,02
0, SbS ⋅=π
(142)
Sm: AsentamientopromedioSm: Asentamientopromedio
( )0,085.0 SSm ⋅= (143)
La fig. 46, muestra la ubicación de un punto“P”, en el cual se desea determinar losesfuerzos y asentamiento, de acuerdo a Ahlvin y Ulery (1962).
Fig. 46.- (a) Elementos de ubicación de unpunto “P”; (b) Definición de los puntos enlas capas de un suelo estratificado.
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Los autores definen la deformación vertical y el esfuerzo vertical, através de :
( ) ( )[ ]BAE
qz
+⋅⋅−⋅+⋅= ννε 211
( )BAqz
+⋅=σ
(144.a)
(144.b)
εz: Deformación vertical bajo unárea circular uniformemente cargada a cualquierprofundidad y distancia“r”.
σz: Esfuerzoverticala la profundidad“z” y distancia“r”.σz: Esfuerzoverticala la profundidad“z” y distancia“r”.
A, B: Funciones tabuladas (Tabla 1,2 y 3).
Además para el caso de suelo estratificado, sugieren que el asentamiento puede serestimado como:
∑=
⋅∆=n
izii
zSe1
ε (145)
εzi: Deformación vertical en el centro de cada capa
∆Zi: Espesor de la capa“i”
Asentamiento a cualquier profundidad (z) y a cualquier distancia“r”: Prof. Silvio Rojas
( ) ( ) ( )
−+⋅⋅⋅+⋅= HAb
Z
E
bqzrS νν
11
,
(146)
S(r,z): Asentamiento
A,H: Funciones tabuladas (Tabla 1, 2 y 3)Tabla 1.- FunciónA (Según R.G.Ahlvin y H. R.Ulery, 1962)Eje
Borde
( )BAqz
+⋅=σ
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Cont. Tabla 1.
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Tabla 2.- Función B (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)
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Cont. Tabla2.
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Tabla 3.- Función H (Según R.G. Ahlvin y H. R. Ulery, 1962)
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Cont. Tabla 3.
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En la fig. 47, se presenta la distribución de presiones verticales calculadas por Fostery Ahlvin (1954).
Se observa que en los puntos a un mismo nivel bajo el circulo cargado, la tensión esprácticamente constante, excepto en la circunferencia límite de la carga y conprofundidades z/a < 2. El borde del círculo cargado es una línea singular en la cual lapresión es teóricamente la mitad de la carga sobre el círculo.
En la fig. 48, de foster y Ahlvin (1954) se presentan los asentamientos en todo elsemiespacio para el caso en queν = 0.5. La relación entre el asentamiento en elcentro y en el borde esπ/2.
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Fig. 47.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical extensible.Distribucióntensiones verticales según Foster y Ahlvin (1954). Prof. Silvio Rojas
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Valores para determinar asentamiento
Eje
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Fig. 48.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical extensible.Distribución de asentamientos para ν= 0.5, según Foster y Ahlvin (1954).
Borde
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( ) ( )[ ])()(
2
)1(112
)0,(kkz
EtktE
qarS ++−⋅−⋅⋅= ν
Schleicher (1926), en la superficie del terreno, presento:
(147)
k(k), E(k), integrales elípticas de primera y segunda especie
2
2
1
4
t
tK
+= (148)
r
a
rt = (149)
Bajo el centro del círculo el asiento
( )E
qaS
z
212 ν−⋅⋅= (150)
Ejemplo:
x = 0 z = 0 ( ) ( )212
0,0 ν−=E
bqS para υυυυ = 0,5 75,0
2)0,0( ⋅=
E
bqS 50,1
.
. =qb
ES
El mismo valor de la gráfica.
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En la fig. 49 de Barber (1963), se presenta la distribución de presiones en labase del circulo para un coeficiente de Poisson ν = 0.5. Se aprecia que σz=0 en el centro, y a medida que se retira del centro este esfuerzo incrementahasta cierta distancia (borde).
Suelo cargado horizontalmenteFig. 49.- Carga circularrepartida uniformemente.Carga horizontal extensible.Distribución de tensionessegún Barber(1963).según Barber(1963).
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En la fig. 50, se presenta la distribución en la vertical delcentrodeσz y σr, para unmedio conν = 0.5 y ν= 0, producidos por una carga vertical circular uniforme. Seobserva que el coeficiente deν no influye en la tensión vertical, cuando la carga esextensible. La influencia deν es notable para la tensión radial.
La condición Inextensible:
Es una condición tal que, en la superficie del círculo no puedenproducirseEs una condición tal que, en la superficie del círculo no puedenproducirsemovimientos horizontales.
Paracarga inextensible o rugosa. Carga circular uniforme.
Distribución de tensiones en la vertical del centro del círculo, viene dada por lasfórmulas. Schiffman (1968)
( ) ( )
⋅⋅−
+−= azK
a
z
zap
z/,0
/1
11 2
0
2/3
2 ησ (151)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−⋅+−
++
+⋅+−+== azK
a
zazK
za
z
za
zP
r/,0
2/,0'1
12
2
21 2
002/322
3
2/1220νηννσσ (152)
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( )
+−
= −2
1
0 /1/
tan/2)/,0('az
az
z
aazK π
(153) ( )( )[ ]22
2
0
/1
/8/,0
azazK
+= π
(154)
Fig. 50.- Cargacircular repartida
ν no influye en la tensión vertical para carga extensibleinfluencia de ν es notable para la tensión radial
circular repartidauniformemente.Carga vertical.Distribución detensiones segúnSchiffman (1968).(a) Tensionesverticales. (b)Tensiones radiales.
Z/a
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La fig. 51, presenta lavariación de la tensión tangencial sobre la superficie delcírculo, para el caso decarga inextensible. Se aprecia la gran influencia delcoeficiente de Poisson. En el borde del círculo (r/a = 1) la tensión tangencial esinfinita. También la fig. muestra los asentamientos que se presentan en superficie,producidos por una carga circular repartida, paraν = 0.5 y ν = 0; en este caso sepuede apreciar la gran influencia del coeficiente de Poisson.
Enz = 0Enz = 0
( )( ) 221
21
ra
rPrz −−
⋅⋅−=πνντ Si (r/a < 1) (155)
ττττrz = 0 Si (r/a) > 1 (156)
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Dsitribución de tensiones tangenciales
No hay corte en superficie
Fig. 51.- Carga circular repartida uniformemente. Carga vertical inextensible. Distribuci ón detensiones tangenciales y asentamientos sobre la superficie del círculo, para νννν = 0.5 yνννν = 0, segúnSchiffman (1968).
tangenciales en la superficie .
Cortante en borde tiende a infinito
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En lo anterior se aprecia, que existen dos casos de carga:
Lisaó extensible:
Corresponde al caso en que lasuperficie del suelo, puede extenderse librementesin que la carga o el elemento transmisor de la carga al terreno presente ningunacoacción al movimiento deéste. El esfuerzo tangencialsobre la superficie delterrenosería siemprenulo, y esto sería por lo tanto, la condición de contornoterrenosería siemprenulo, y esto sería por lo tanto, la condición de contornoimpuesta para resolver el problema.
Rugosa o inextensible:
Se presenta cuando las condiciones de carga son tales queel suelo no puedeextenderse. Sería el caso por ejemplo deuna cimentación rugosaque coaccionasetotalmente el movimiento de la superficie del terreno en contacto con lacimentación. Para resolver el problema elástico se impondría entonces, comocondición de contorno, que bajo la carga losdesplazamientos horizontales fuerannulos.
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