Transformada de Fourier
• Representar cualquier función periódica o no en todo el intervalo (-∞,∞)
• Se construye una señal f(t) con período T• Extender el período de la señal al infinito
Representación para señal aperiódica
• Serie de Fourier: A medida que T aumenta, las líneas espectrales se juntan. La forma del espectro no cambia.
• Se puede generar espectro de señal aperiódicaa partir de serie de Fourier al considerar que
∞→T
Representación para señal aperiódica
T períodocon f(t) a asociada periódicafunción :)( .aperiódica señal una )( Sea
tftf
T
ZZnTTnTtnTtftfT ∈ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈+ += ,
2,
2)(),()(
2T
2T
−
)(tf )(tfT
T
Representación para señal aperiódica
Tdtetf
TFeFtf
T
T
tjnTn
n
tjnnT
πωωω 2,)(1,)( 0
2/
2/00 = = = ∫∑ −
−∞
−∞=
( )n nSea F TFω =
2T
2T
−
)(tf )(tfT
/2
/21 2( ) ( ) , ( ) ( ) ,n n
Tj t j tT n n T nT
nf t F e F f t e dt n
T Tω ω πω ω ω
∞−
−=−∞
= = =∑ ∫
Representación para señal aperiódica
/2
/21 2( ) ( ) , ( ) ( )
2n n
Tj t j tT n n TT
nf t F e F f t e dt
Tω ωπ ω ω
π
∞−
−=−∞
= =∑ ∫
01( ) ( )
2nj t
T nn
f t F e ωω ωπ
∞
=−∞= ∑
ωΔ
2T
2T
−
)(tf )(tfT
0
2T πω
=
2n n
Tπω =
Representación para señal aperiódica
lim ( )TT
f t→∞
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=⇒
∫∫
∞
−∞=
∞
−∞=
−
ω
ω
ω
ωωπ
ω
deFtf
dtetfF
tj
t
tj
)(21)(
)()(
2T
2T
−
)(tf )(tfT
lim ( )nTF ω
→∞=
1 ( )2
j tF e dωω ωπ
∞
−∞∫ ( )f t=
( ) j tf t e dtω∞ −−∞∫ ( )F ω=
• Transformada directa e inversa de Fourier
Representación para señal aperiódica
( ) ∫∞
−∞=
−=ℑ=t
tjn dtetftfF 0)()()( ωω
( ) ∫∞
−∞=
− =ℑ=ω
ω ωωπ
ω deFFtf tj)(21)()( 1
• Permite ver una señal:– En el dominio del tiempo => f(t)– En el dominio de la frecuencia => F(ω)
• Fn son líneas espectrales: contenido espectral repartido en frecuencias discretas
• F(ω) es función de densidad espectral: contenido espectral repartido en un continuo
• dA=F(ω)dω => elemento de amplitud dentro de un elemento de frecuencia en torno a ω
• Existe relación entre la serie de Fourier de la señal periódica, y la transformada de Fourier para 1 sólo periodo de la señal (ver próxima transparencia).
Función de densidad espectral
Función de densidad espectral
A
2T
2T
− τ
∑∞
−∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
n
tjnenSaTAtf 0
2)( 0 ωτωτ
A
τ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ =
2)( ωττω nSaAF
0|)(1
ωωω nn FT
F ==
• Dada f(t), la transformada existe si se satisfacen las condiciones de Dirichlet para todo– f(t) tiene un nº finito de máximos y mínimos en [t1,t2]– f(t) tiene un nº finito de discontinuidades en [t1,t2]– f(t) es absolutamente integrable en
• Las condiciones anteriores siempre se cumplen para señales de energía finita en
Función de densidad espectral
∫∞
−∞=∞<=
tdttftf )()(
RRtt ∈21,
RR
RR
Teorema de Parseval
• La energía total disipada por una señal f(·) es:
• Si se expresa f*(t) en términos de F*(ω):
• Cambiando el orden de integración:
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−== dttftfdttfE )()()( *2
∫ ∫∞
−∞=
∞
−∞=
−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
t
tj dtdeFtfEω
ω ωωπ
)(21)( *
∫ ∫∞
−∞=
∞
−∞=
−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
ω ω
ω ωωπ
ddtetfFE tj)()(21 *
)(ωF
• La energía de una señal se puede calcular tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia
• Se puede calcular la energía contenida en una banda de frecuencias [ω1,ω2]
Teorema de Parseval
∫∫∞
−∞=
∞
−∞===
ωωω
πdFdttfE
t
22 )(21)(
Contribución del tiempo t a la energía
Contribución de la frecuencia ω a la energía
Transformadas que incluyen a δ(t)
• Las transformadas de algunas señales de potencia (es decir, de energía infinita) no se pueden calcular usando la integral, por lo que deben calcularse de modo indirecto.
• Función impulso:
– La transformada de un impulso tiene amplitud constante para todo ω y fase lineal. Espectro “blanco”.
∫∫
∞
−∞=
−−
∞
−∞=
−
=−=−ℑ
===ℑ
t
tjtj
t
jtj
edtetttt
edtett
0)()}({
1)()}({
00
0
ωω
ω
δδ
δδ
• Exponencial complejo: Su transformada se calcula de modo indirecto.
• Esto permite calcular las transformadas de las sinusoides.
Transformadas que incluyen a δ(t)
{ })(2}{
)(}{21)}({
21)(
21)}({
0
001
001
0
0
0
ωωπδ
ωωδπ
ωωδ
πωωωδ
πωωδ
ω
ω
ω
ω
ω
−=ℑ⇒
−=ℑ=−ℑℑ
=−=−ℑ
−
∞
−∞=
−− ∫
tj
tj
tjtj
e
e
ede
• Sinusoides:
• El espectro de una sinusoide son 2 impulsos localizados en ω0 y –ω0.
Transformadas que incluyen a δ(t)
)()(2
)}{cos( 000
00
ωωπδωωπδωωω
++−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
ℑ=ℑ⇒− tjtj eet
jjeetsen
tjtj )()(2
)}({ 000
00 ωωπδωωπδωωω +−−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
ℑ=ℑ⇒−
)(2}{ 00 ωωπδω −=ℑ tje
Transformadas que incluyen a δ(t)
F(ω)RE
F(ω)IM
ω
F(ω)RE
F(ω)IM
ω
)()()}{cos( 000 ωωπδωωπδω ++−=ℑ t )()()}({ 000 ωωπδωωπδω ++−−=ℑ jjtsen
• Función signo:– No es absolutamente integrable– Se calcula de modo indirecto
Transformadas que incluyen a δ(t)
sgn( ) xxx
=
0{sgn( )} lim ( ) ( )at at j t
ax e u t e u t e dtω∞ − −
−∞→⎡ ⎤ℑ = − −⎣ ⎦∫
0.2 200 0
2{sgn( )} lim limat j t at j ta a
jx e e dt e e dta
ω ω ωω
∞ − −−∞→ →
−⎡ ⎤ℑ = − =⎢ ⎥⎣ ⎦ +∫ ∫
ωjx 2)}{sgn( =ℑ
0lim ( ) ( )at ata
e u t e u t−
→⎡ ⎤= − −⎣ ⎦
• Escalón:
Transformadas que incluyen a δ(t)
ωωπδ
jtuxtu 1)()}({)sgn(
21
21)( +=ℑ⇒+=
F(ω)RE
F(ω)IM
ω
)(tu
sgn( ) 2 ( ) 1t u t= −
• Funciones periódicas– Se pueden expresar como serie de Fourier– Cada término de la serie contribuye con un impulso
• Se pueden representar como serie de Fourier o como transformada que incluye impulsos
Transformadas que incluyen a δ(t)
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ℑn
nn
tjnn nFeF )(2 0
0 ωωδπω
A
2T
2T
− τSerieFourier
TransformadaFourier
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
nn
tjn nnSaTAFenSa
TAtf )(
22)(,
2)( 0
00 0 ωωδτωτπωτωτ ω
FnF(ω)
Transformadas que incluyen a δ(t)
• Tren de impulsos, “peineta”
∑∑
∫
∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
−
−
∞
−∞=
∞
−∞=
=−=⇒
==
=−=
n
tjn
nT
T
T
tjnn
n
tjnn
nT
eT
nTtt
Tet
TF
eFnTtt
0
0
0
1)()(
1)(1
)()(
2/
2/
ω
ω
ω
δδ
δ
δδ
Transformadas que incluyen a δ(t)
Tabla de transformadas
)(tue at− )/(1 ωja +
)(tute at− 2)/(1 ωja +
tae− )/(2 22 ω+aa)2/( 22 σte− 2/22
2 we σπσ −
)sgn(t )/(2 ωj)/( tj π )sgn(ω
Tabla de transformadas
)(tu )/(1)( ωωπδ j+
)(tδ 1
tje 0ω± )(2 0ωωπδ ∓
)(2 ωπδ1
)cos( 0tω )]()([ 00 ωωδωωδπ ++−
)( 0tsen ω )]()([ 00 ωωδωωδπ +−−− j
Tabla de transformadas
)/( τtrect )2/(ωττ Sa ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
22τ
πWSaW )/( Wrect ω
)/( τtΛ )2/(2 ωττ Sa
)/()/cos( ττπ trectt 2)/(1)2/cos(2
πωτωτ
πτ
−
)2/(2
2 WtSaWπ
)/( WωΛ
22 )/2(1)cos(2ππ Wt
WtW− )/( WωΛ
)(tTδ )(00 ωδω ω
Propiedades de la transformada de Fourier
• Linealidad (debido a que es una integral)
• Conjugadas complejas
– Si f es real, F*(-ω)=F(ω)– Se prueba directamente calculando
)()()}()({ 22112211 ωω FaFatfatfa +=+ℑ
)()}({ ** ω−=ℑ Ftf
*** )()()}({ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛==ℑ ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
− dtetfdtetftf tjtj ωω
• Simetría
Propiedades de la transformada de Fourier
)(2)}({)()}({ si
ωπω
−=ℑ⇒=ℑ
ftFFtf
t''''jt
ttj
|)}'(f{'de)'(f
dte)t(f)}t(f{
=−∞
−∞=−
∞−∞=
−
−ℑ ==
==ℑ
∫
∫
ωωω
ω
ωπωωπ
π 12212
Para probarlo basta hacer un cambio de variables entre t y w en la transformada
• Ejemplo– Si se sabe que ,
calcular
Propiedades de la transformada de Fourier
)2/()}({ ωSatrect =ℑ)}2/({ tSaℑ
)(2)(2)}2/({ ωπωπ rectrecttSa =− =ℑ
1
5.0
π2
5.0−
5.05.0−
π2π2−
π2π2−
1
1
t
t ω
ω
• Propiedad Escalar
• Prueba: 2 casos: α positivo y α negativo
Propiedades de la transformada de Fourier
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=ℑ
αω
αα Ftf 1)}({
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−===ℑ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛===ℑ
∫∫
∫∫∞−
∞
−∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
−
αω
αααα
αω
αααα
ωω
ωω
Fdxexfdtetftf
Fdxexfdtetftf
axjtj
axjtj
1/)()()}({
1/)()()}({
/
/
• Si f(t) se vuelve ancho, F(ω) se vuelve angosto y viceversa:
Propiedades de la transformada de Fourier
1
2τ
2τ
−
2πτ
2πτ
−
τ
1
ττ− πτ
πτ
−
2τ
• Desplazamiento en el tiempo (retardo)
• Al retardar la señal, la amplitud del espectro no varía, pero su fase si => información temporal en la fase.
Propiedades de la transformada de Fourier
0)()}({ 0tjeFttf ωω −=−ℑ
0( )0 0{ ( )} ( ) ( ) j x tj tf t t f t t e dt f x e dxωω∞ ∞ − +−
−∞ −∞ℑ − = − =∫ ∫
• Ej: Determinar la transformada de:
Propiedades de la transformada de Fourier
f(t)
)2/()/4(}){2/(]}2/[]2/[{
]}/)2/[(]/)2/[({)}({
22/2/ ωτωωττ
τττττττ
ωτωτ senjeeSatrecttrect
trecttrecttf
jj =− =
−−+ℑ =−−+ℑ=ℑ
−
ττ−
1
• Desplazamiento de frecuencia (modulación)– Es la propiedad dual a la del retardo
– También ocurre con cos(·)
Propiedades de la transformada de Fourier
)(})({ 00 ωωω −=ℑ Fetf tj
∫∫∞
∞−
−−∞
∞−
− ==ℑ dtetfdteetfetf tjtjtjtj )( 000 )()(})({ ωωωωω
)(21)(
21)(
21)(
21)}cos()({ 000
00 ωωωωω ωω ++−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +ℑ=ℑ − FFetfetfttf tjtj
• Ej: hallar el espectro de:
Propiedades de la transformada de Fourier
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
ℑ+ ℑ=
= ℑ
−
2222
})/({2
})/({2
)}cos()/({
00
0
00
ωωττωωττ
ττ
ωτ
ωω
SaASaA
etrectAetrectAttrectA
tjtj
• Derivación
– Porque:
Propiedades de la transformada de Fourier
)()( ωωFjtfdtd
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ℑ
{ }
ωω
ωωωωωπ
ωωπ
ω
ω
jFtfdtd
jFdejFtfdtd
deFtf
tj
tj
)()(
)()(21)(
)(21)(
1
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ℑ
ℑ==
=
−∞
∞−
∞
∞−
∫
∫
• Integración:
– donde:
es la componente continua de la señal.
{ } )()()(1)( ωδπωω
τττ 0+=ℑ ∫ −∞= FF
jdf
t
∫∞
−∞==
tdttfF )()0(
Propiedades de la transformada de Fourier
• Ejemplo: Determinar la transformada de f(t):
)(tf
)(tdtdf
)(2
2
tdt
fd
A
τ τ2
τA
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
τA
)()()( 22
2
ωω Fjtdt
fd=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ℑ
( )ωτωτωτωτ
τωω 222 )()( jjjj eeeeAFj −− +−−=
( )τω
ωωτωτωτωτ
2
22
)(jjjj eeeeAF
−− +−−−=
Propiedades de la transformada de Fourier
• Convolución en el tiempo– Se denomina convolución entre dos funciones
a la siguiente operación:
– Se cumple la propiedad:∫
∞
−∞=−=∗
ττττ dthfthtf )()()()(
)()()}()({ ωω HFthtf =∗ℑ
Propiedades de la transformada de Fourier
• Cambiando el orden de integración:∫ ∫
∞
−∞=
−∞
−∞=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=∗ℑ
t
tj dtedthfthtf ω
ττττ )()()}()({
∫ ∫∞
−∞=
∞
−∞=
− ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=∗ℑ
τ
ω τττ ddtethfthtft
tj)()()}()({
• Propiedad de desplazamiento en el tiempo:
∫∞
−∞=
−=∗ℑτ
ωτ τωτ deHfthtf j)()()}()({
)()()}()({ ωω FHthtf =∗ℑ
∫∞
−∞=−ℑ=∗ℑ
ττττ dthfthtf )}({)()}()({
Propiedades de la transformada de Fourier
• Si el sistema es lineal y h(t) es la respuesta al impulso, se cumple:
h(t))(tf )(ty
)}({)(con )()()(
)()()()()(
thHHFY
dthfthtfty
ℑ= =
−=∗= ∫∞
−∞=
ωωωω
ττττ
Propiedades de la transformada de Fourier
• Convolución en la frecuencia: Si
• Se prueba de forma semejante a la convolución en el tiempo
[ ])()(21)}()({
)()}({),()}({
2121
2211
ωωπ
ωω
FFtftf
FtfFtf
∗=ℑ⇒
=ℑ =ℑ
Propiedades de la transformada de Fourier
Traslación en frecuencia
Retardo
Escala
Conjugada compleja
Linealidad (superposición) )()( 2211 tfatfa + )()( 2211 ωω FaFa +
)(* tf )(* ω−F
)( tf α ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
αω
αF1
)( 0ttf − )(0 ωω Fe tj−
)(0 tfe tjω )( 0ωω −F
Propiedades de la transformada de Fourier
Simetría par -impar
Dualidad tiempo - frecuencia
Convolución en la frecuencia
Convolución en el tiempo
Modulación de amplitud )cos()( 0ttf ω )(
21)(
21
00 ωωωω −++ FF
∫∞
−∞=−
ττττ dthf )()( )()( ωω HF
)()( 21 tftf ∫∞
−∞=−
uduuFuF )()(
21
21 ωπ
)(tF )(2 ωπ −f
)()(tf
tf
IMPAR
PAR realtFPAR )(imaginariotFIMPAR )(
Propiedades de la transformada de Fourier
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