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ASUNTO
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TRANSFERENCIA DE CALOR I
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CAPITULO 2
CONDUCCIÓN
2.1 Noción de Conductividad Térmica
La conducción se define como la transmisión de calor sin que exista un movimiento significativo de las moléculas.
Como se indicó en el capítulo 1 algunos materiales, como los metales, conducen mejor el calor que otros; la
propiedad de los materiales que influye en la conducción del calor es la conductividad térmica, mientras mayor sea
su valor más grande será el flujo de calor.
En general, al comparar la conductividad térmica para las diferentes fases de la materia se obtiene que la de los
sólidos es mayor que la de los líquidos, y ésta a su vez es mayor que la de los gases; aunque no siempre es así,
ya que, por ejemplo, entre los sólidos están los aislantes, cuya conductividad es menor que la de los líquidos. En
la figura 2.1 se ilustra mejor las diferentes magnitudes de la conductividad.
Fig. 2.1: Magnitud de la conductividad térmica para diferentes materiales.
Existen en la literatura muchas relaciones empíricas que permiten calcular k = ƒ (T) para los diferentes cuerpos.
0,01 0,1 1 10 100 1000
Metales
puros
Aleaciones
Sólidos no metálicos
Sistemas aislantes
Líquidos
Gases
Plata Cinc
Aluminio Níquel
Óxidos Hielo Plásticos
Aceites Agua
CO2
Mercurio
H2
Fibras Espumas
k (W/m K)
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2.1.1Caso de los sólidos
Para hallar k se puede utilizar la relación de Franz-Lorentz:
LT
k
Donde:
σ: Conductividad eléctrica del sólido
T: Temperatura absoluta del sólido
L: Constante de Lorentz
Esta relación se verifica bastante bien en el caso de los metales, pero no en el caso de las aleaciones ni cuerpos
amorfos, como el vidrio. La tabla que se presenta a continuación muestra la validez aproximada de esta relación
dentro del intervalo -170°C y 100°C.
Tabla 2.1. Valores de Constante de Lorentz (L) en 10-8
V2/grados
2
METAL TEMPERATURA, °C
-170 -100 0 18 100
Cobre 1,85 2,17 2,30 2,32 2,32
Plata 2,04 2,29 2,33 2,33 2,37
Zinc 2,20 2,39 2,45 2,43 2,33
Cadmio 2,39 2,43 2,40 2,39 2,44
Estaño 2,48 2,51 2,49 2,47 2,49
Plomo 2,55 2,54 2,53 2,51 2,51
De manera general k depende linealmente de la temperatura siendo de la forma:
Takk .10
Donde:
T: Temperatura, °C
k0: Conductividad térmica del sólido a 0°C
a: Constante
a >0 para malos conductores
a < 0 Para todos los metales y aleaciones excepto el aluminio y el latón
En la gran mayoría de los problemas, cuando la diferencia de temperatura no es muy grande (< 100°C) se utiliza
un valor de k promedio:
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).(
21
2210
21 TTa
kkmkk
km TT
2.1.2 Caso de los líquidos
En este caso se puede utilizar la relación de Weber:
5,0
310.59,3
MCp
k
Donde:
k: Conductividad en cal/s. cm.°C
ρ: Masa volúmica g/cm3
Cp: Calor específico cal/g.°C
M: peso molecular g/mol
Para muchos líquidos k disminuye al aumentar la temperatura (excepto para el agua) y varia poco con la presión.
Para una mezcla de líquidos, el valor de kMezcla puede obtenerse utilizando la siguiente relación:
2211 ln.ln.ln kxkxkMezcla
Donde
x1 y x2: fracciones másicas.
2.1.3 Caso de los gases:
Se puede utilizar las siguientes relaciones:
aCv
k
.
Donde:
µ: viscosidad del gas
Cv: calor específico a volumen constante
a: Constante
Gases Constante, a
monoatómico 2,5
diatómico 1,9
triatómico 1,72
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La relación de Sutherland que representa la variación de k con la temperatura:
5,1
0273
273.
T
TC
Ckk
Donde:
k0 : Conductividad térmica del gas a 0°C
C: Constante de Sutherland
T: temperatura absoluta del gas
A continuación se muestran valores de conductividades térmicas (k) tanto para los sólidos, los líquidos y los
gases a diferentes temperaturas.
Tabla 2.2. Conductividades térmicas para algunos materiales a temperatura ambiente.
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.
Fig. 2.2. Conductividad térmica de metales y aleaciones
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Fig. 2.3. Conductividad térmica de vapores gases y líquidos
Nota: para valores adicionales, véase anexos 2, 3 y 4.
2.2 Conducción a través de una pared simple
Una pared simple está formada por un solo material, mientras que las paredes compuestas, que se verán en la
siguiente sección, están formadas por materiales diferentes.
La ley de Fourier es una ecuación diferencial, que no se puede utilizar directamente; el objetivo de esta sección es
deducir una ecuación integrada para el cálculo del flujo de calor y otra para el perfil de temperatura.
Se estudiarán dos tipos de paredes: plana y cilíndrica, dejando que el estudiante deduzca las ecuaciones para la
pared esférica.
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A continuación se presentarán un ejemplo de aplicaciones industriales para cada uno de los casos citados
anteriormente:
Pared plana: Es el caso de un horno que pierde calor hacia el medio ambiente.
Pared cilíndrica: Una tubería por donde circula un fluido caliente.
Pared esférica: Un tanque esférico donde se almacena un gas caliente a alta presión.
2.2.1 Pared plana
El esquema de la pared plana, con las principales variables involucradas, se muestran en la figura 2.4. La
superficie izquierda de la pared tiene una temperatura T1 mayor que la de la superficie derecha, T2, esto provoca
que sea atravesada por un flujo de calor Q, de izquierda a derecha, ésta es la dirección x. El área A de la pared es
perpendicular al flujo de calor, mientras que el espesor, e, es la dimensión de la pared en el mismo sentido del
flujo de calor. La conductividad térmica es k. T es la temperatura de una sección interna de la pared (identificada
en el esquema con línea formada por puntos), ubicada a una distancia x de la superficie izquierda.
Fig. 2.4. Esquema de una pared plana atravesada por un flujo de calor.
El flujo de calor por conducción, en la dirección x, viene dado por la ley de Fourier:
dx
dTAkQ
x 0 e
Q
T1 Tx T2
e
x
A
k
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Donde Q: es el flujo de calor transmitido por conducción,
k: es la conductividad térmica,
A: es el área de transferencia de calor (perpendicular al flujo),
:dx
dT es el gradiente de temperatura en la dirección del flujo de calor (x).
Esta ecuación diferencial se resuelve por separación de variables, del lado izquierdo de la ecuación se colocarán
las variables que generalmente dependen de x, mientras que del lado derecho se dejarán las variables que
dependen de T:
dTkdxA
Q
Para poder integrar esta ecuación, es necesario plantear algunas condiciones:
Flujo de calor unidimensional
Régimen permanente Q = Cte.
Variación lineal de k k= k0 (1 + a T)
Área de Pared plana A = Cte.
Para obtener el flujo de calor se integrará esta ecuación entre 0 y e, mientras que para el perfil de temperatura
será entre 0 y x.
a) Flujo de calor:
2
10
T
T
e
dTkdxA
Q
2
1
100
T
T
e
dTTakdxA
Q
2
1
2
1000
T
T
T
TdTTakdTke
A
Q
2
1
2
201202
TTa
kTTkeA
Q
121201202
TTTTa
kTTkeA
Q
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12
12
02
1 TTTT
akeA
Q
Se definirá Tm como el promedio aritmético de la temperatura de la pared:
2
12 TTTm
120 1 TTTakeA
Qm
Se puede definir ahora la conductividad promedio de la pared como:
mm Takk 10
12 TTkeA
Qm
Siendo T2 menor que T1 se puede introducir el signo negativo dentro del paréntesis para que el resultado sea
positivo:
21 TTkeA
Qm
Finalmente se despeja el flujo de calor:
21
TTe
AkQ m
b) Perfil de temperatura:
T
T
x
dTkdxA
Q
10
El desarrollo es análogo al anterior, obteniéndose:
TTkxA
Qm 1
Despejándose ahora la temperatura deseada:
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xAk
QTT
m
1
En caso de no conocer el flujo de calor, se le debe sustituir por la ecuación obtenida anteriormente:
xAk
e
TTAk
TTm
m
21
1
Al simplificar, se obtiene:
e
xTTTT 211
Esta es la ecuación de una recta. En la figura 2.5 se ilustra el perfil de temperatura.
Fig. 2.5. Perfil de temperatura en una pared plana.
2.2.2 Pared cilíndrica
La pared cilíndrica es un cilindro hueco, con forma de tubo, la cual es representada en la figura 2.6 con varias
vistas. La superficie interna de la pared tiene una temperatura T1 mayor que la de la superficie externa, T2, esto
provoca que sea atravesada por un flujo de calor Q, de adentro hacia afuera, en la dirección radial, r. El área A de
la pared es perpendicular al flujo de calor, es la superficie lateral de la pared, la cual es variable (se puede
observar que la superficie interna es menor que la externa). La longitud de la pared es L. La conductividad térmica
es k. T es la temperatura de una sección interna de la pared ubicada a una distancia r del eje.
x 0 e
T1
T
T2
x
T
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Fig. 2.6. Esquema de una pared cilíndrica atravesada por un flujo de calor.
El flujo de calor por conducción, en la dirección r, viene dado por la ley de Fourier:
dr
dTAkQ
Esta ecuación diferencial se resuelve por separación de variables:
dTkdrA
Q
Para poder integrar esta ecuación, es necesario plantear algunas condiciones:
Flujo de calor unidimensional
Régimen permanente Q = Cte.
Variación lineal de k k = k0 (1 + a T)
Área de Pared cilíndrica A = 2 r L
Para obtener el flujo de calor se integrará esta ecuación entre r1 y r2, mientras que para el perfil de temperatura
será entre r1 y r.
Q
r1
r2 r
T1
T2
T
Q
r1
r2
r
T1 T2
L
Q
r1
r2
r
T1
T2
T
T
L
a) Vista en perspectiva b) Corte longitudinal c) Corte transversal
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a) Flujo de calor:
2
1
2
1
T
T
r
r
dTkdrA
Q
2
1
2
1
T
T0
r
r
dTTa1kdrLr2
Q
2
1
2
1
2
1
T
T0
T
T0
r
r
dTTakdTkr
dr
L2
Q
21
220120
1
2 TT2
akTTk
r
rLn
L2
Q
121201201
2 TTTT2
akTTk
r
rLn
L2
Q
1212
01
2 TT2
TTa1k
r
rLn
L2
Q
Se definirá Tm como el promedio aritmético de la temperatura de la pared:
2
12 TTTm
12m01
2 TTTa1kr
rLn
L2
Q
Se puede definir ahora la conductividad promedio de la pared como:
mm Takk 10
12m1
2 TTkr
rLn
L2
Q
Siendo T2 menor que T1 se puede introducir el signo negativo dentro del paréntesis para que el resultado sea
positivo:
21m1
2 TTkr
rLn
L2
Q
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Finalmente se despeja el flujo de calor:
1
2
212
r
rLn
TTkLQ m
b) Perfil de temperatura:
T
T
r
rdTkdr
A
Q
11
El desarrollo es análogo al anterior, obteniéndose:
TTkr
rLn
L
Qm
1
12
Despejándose ahora la temperatura deseada:
1
12 r
rLn
kL
QTT
m
En caso de no conocer el flujo de calor, se le debe sustituir por la ecuación obtenida anteriormente:
1
1
2
21
12
2
r
rLn
kL
r
rLn
TTkL
TTm
m
Al simplificar, se obtiene:
1
2
1
211
r
rLn
r
rLn
TTTT
Esta es la ecuación de una curva. En la figura 2.7 se ilustra el perfil de temperatura.
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Fig. 2.7. Perfil de temperatura en una pared cilíndrica.
2.2.3 Pared esférica
El estudiante deberá dibujar el esquema de esta pared, escribir las condiciones de integración, para finalmente
deducir las ecuaciones del flujo de calor y del perfil de temperatura.
2.3 Conducción a través de una pared compuesta
Una pared compuesta está formada por varios materiales diferentes. Se asumirá que estos materiales están
perfectamente unidos, por lo que la temperatura en la superficie de contacto (interfase) entre dos materiales es la
misma para ambos materiales.
El objetivo específico de esta sección será deducir una ecuación para el cálculo del flujo de calor que atraviesa la
pared, en función de las temperaturas extremas; se asumirá que las temperaturas en las interfases son
desconocidas. En un primer momento, se hará la deducción para tres materiales, y luego se generalizará la
ecuación obtenida para un número n de materiales.
Un ejemplo de una aplicación industrial sería el de una pared metálica (de un tanque o una tubería, etc.) recubierta
por varias capas de aislantes.
2.3.1 Pared plana
En la figura 2.8 se muestra un esquema de una pared plana compuesta por tres materiales diferentes, de
conductividad térmica kj, de espesor ej y área A, siendo esta última la misma para todos los materiales. Esta pared
es atravesada, desde la izquierda hacia la derecha, por un flujo de calor Q, constante en régimen permanente, por
lo cual, las temperaturas en los extremos de cada material son en orden decreciente T1 > T2 > T3 > T4.
r r1 r2
T1
T
T2
r
T
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Fig. 2.8. Esquema de una pared plana compuesta.
Si se estudian los materiales por separado, a cada uno de ellos se le puede aplicar la ecuación de una pared
simple; obteniéndose:
1
211
e
TTAkQ
2
322
e
TTAkQ
3
433
e
TTAkQ
Siendo las temperaturas intermedias (T2 y T3) desconocidas, se despejarán las diferencias de temperaturas con el
fin de eliminarlas posteriormente:
Ak
eQTT
1
121
Ak
eQTT
2
232
Ak
eQTT
3
343
Al sumar estas tres ecuaciones se cancelarán las temperaturas intermedias, quedando únicamente en función de
las temperaturas extremas que sí son conocidas. Además, como el flujo de calor es el mismo, se pondrá como
factor común (no se hará lo mismo con el área a pesar de que también es constante):
T1
T 2
T 3
T 4 e1 e2 e3
Q = Cte.
Mat. 1 Mat. 2 Mat. 3
k1 k2 k3
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Ak
e
Ak
e
Ak
eQTT
3
3
2
2
1
141
De esta ecuación se despejará el flujo de calor:
Ak
e
Ak
e
Ak
e
TTQ
3
3
2
2
1
1
41
Se definirá la resistencia térmica de un material j con forma de una pared plana como:
Ak
eR
j
j
j
De donde:
321
41
RRR
TTQ
Ahora se harán los siguientes cambios de variables:
41 TTT
321T RRRR
Siendo RT la resistencia térmica total para la pared compuesta. Finalmente:
TR
TQ
Esta ecuación, demostrada para tres materiales, también es válida para n materiales haciendo las siguientes
modificaciones:
1n1 TTT
n
1j
jT RR
2.3.2 Pared cilíndrica
En la figura 2.9 se muestra un esquema de una pared cilíndrica compuesta por tres materiales diferentes, de
conductividad térmica kj, de radio rj y área A, siendo esta última diferente para cada material. Esta pared es
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atravesada, desde la izquierda hacia la derecha, por un flujo de calor Q, constante en régimen permanente, por lo
cual, las temperaturas en los extremos de cada material son en orden decreciente T1 > T2 > T3 > T4.
.
Fig. 2.9. Esquema de una pared cilíndrica compuesta (corte transversal).
Si se estudian los materiales por separado, a cada uno de ellos se le puede aplicar la ecuación de una pared
simple; obteniéndose:
1
2
211
r
rLn
TTkL2Q
2
3
322
r
rLn
TTkL2Q
3
4
433
r
rLn
TTkL2Q
Siendo las temperaturas intermedias (T2 y T3) desconocidas, se despejarán las diferencias de temperaturas con el
fin de eliminarlas posteriormente:
T1
T2
T3
T4
r1
r2
r3
k1
k2
k3
Q = Cte.
Mat. 3
Mat. 2
Mat. 1
r4
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1
1
2
21kL2
r
rLnQ
TT
2
2
3
32kL2
r
rLnQ
TT
3
3
4
43kL2
r
rLnQ
TT
Al sumar estas tres ecuaciones se cancelarán las temperaturas intermedias, quedando únicamente en función de
las temperaturas extremas que sí son conocidas. Además, como el flujo de calor es el mismo, se pondrá como
factor común (no se hará lo mismo con el producto 2 L, a pesar de que también es constante):
3
3
4
2
2
3
1
1
2
41kL2
r
rLn
kL2
r
rLn
kL2
r
rLn
QTT
De esta ecuación se despejará el flujo de calor:
3
3
4
2
2
3
1
1
2
41
kL2
r
rLn
kL2
r
rLn
kL2
r
rLn
TTQ
Se definirá la resistencia térmica de un material j con forma de una pared cilíndrica como:
j
j
1j
jkL2
r
rLn
R
De donde:
321
41
RRR
TTQ
Ahora se harán los siguientes cambios de variables:
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41 TTT
321T RRRR
Siendo RT la resistencia térmica total para la pared compuesta. Finalmente:
TR
TQ
Esta ecuación, demostrada para tres materiales, también es válida para un número n de materiales haciendo las
siguientes modificaciones:
1n1 TTT
n
1j
jT RR
2.3.3 Pared esférica
El estudiante deberá deducir la ecuación del flujo de calor para tres materiales y luego generalizarla para n
materiales.
2.4 Analogía con electricidad
Entre los diferentes fenómenos físicos, quizás uno de los más conocidos es el de la electricidad, por esta razón
generalmente se toma como referencia. En la figura 2.10 se muestra el esquema del circuito eléctrico más
sencillo, una resistencia (por ejemplo un bombillo) es conectado a una fuente (por ejemplo una pila), haciendo
circular una corriente a través del circuito.
Fig. 2.10. Esquema de un circuito eléctrico básico.
Al aplicar la ley de Ohm a este circuito básico, se obtiene:
V
R
i
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R
Vi
Donde i es la intensidad de corriente o flujo de corriente,
V es la diferencia de voltaje o potencial eléctrico,
R es la resistencia eléctrica,
Esta ley indica que el flujo aumenta con el potencial y disminuye con la resistencia. Dicha ecuación también se
aplica a otros fenómenos físicos, tales como:
Transferencia de materia: El flujo de materia, N, es proporcional a la diferencia de concentración, C, e inversamente proporcional a la resistencia a la transferencia de materia, RTM, (inversos de los coeficientes de transferencia de materia).
TMR
CN
Mecánica de los fluidos: El flujo volumétrico, Q, es proporcional a la diferencia de presión, P, e inversamente proporcional a la resistencia hidráulica, RH.
HR
PQ
Transferencia de calor: El flujo de calor, Q, es proporcional a la diferencia de temperatura, T, e inversamente proporcional a la resistencia térmica, RT.
TR
TQ
En transferencia de calor, la analogía también es perfecta cuando se compara paredes compuestas con respecto
a varias resistencias eléctricas, ya sean éstas en serie o en paralelo.
a) Materiales en serie:
Es el caso visto anteriormente donde el flujo de calor atravesaba sucesivamente todos los materiales, como se
ilustra en la figura 2.11
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Fig. 2.11. Esquema de una pared plana compuesta por varios materiales en serie.
En la figura se puede observar que:
Q = Cte
T = T1 + T2 + T3
Como:
j
j
R
TQ
De donde:
3
3
2
2
1
1
R
T
R
T
R
TQ
Mat. 1 Mat. 2
T1
T 2
T 3
T 4
e1 e2 e3
Q = Cte.
Mat. 3
k1 k2 k3
T
T3 T2 T1
T
R1 R2 R3
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Por lo tanto:
321
321
RRR
TTTQ
Ahora bien:
TR
TQ
Finalmente:
n
1j
jT RR
Es la misma ecuación que se obtiene en electricidad para resistencias en serie.
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b) Materiales en paralelo:
En este caso el flujo de calor se divide en varios flujos, atravesando cada uno de ellos un material diferente, los
cuales entran por la cara frontal y salen por la cara trasera, como se ilustra en la figura 2.12. Se asumirá que todos
los materiales tienen en el frente la misma temperatura, TF, y la temperatura de la cara trasera es TT.
Fig. 2.12. Esquema de una pared plana compuesta por varios materiales en paralelo.
En la figura se puede observar que:
Q = Q 1 + Q 2 + Q 3
T = T1 = T2 = T3 = TF - TT = Cte.
Mat. 3
R3
Mat. 2
R2
Mat. 1
R1
TF
TT
TF Q1
Q2 Q3
Q
TF
TT
TT
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Como:
j
jj
R
TQ
De donde:
3
3
2
2
1
1
R
T
R
T
R
TQ
Por lo tanto:
321 R
1
R
1
R
1TQ
Ahora bien:
TR
TQ
Finalmente:
n
1j jT R
1
R
1
Es la misma ecuación que se obtiene en electricidad para resistencias en paralelo.
1. BIBLIOGRAFÍA.
BIRD R. B., Stewart W. E. y Lightfoot E. N., Fenómenos de Transporte. Editorial Reverté S.A., Buenos Aires, 1967. CROSBY E.J., Experimentos sobre Fenómenos de Transporte en las Operaciones Unitarias de la Industria Química. Editorial Hispanoamericana, Buenos Aires, 1968. KREITH, F., Principios de Transferencia de Calor. Herrero Hermanos Sucesiones S.A., México, 1968.
TRANSFERENCIA DE CALOR Cód. FRP-PQ-GT
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ASUNTO TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN
Tabla 2.3. Propiedades térmicas de algunos elementos metálicos
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ASUNTO TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN
Tabla 2.4. Propiedades térmicas de algunas aleaciones
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ASUNTO TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCIÓN
Tabla 2.5. Propiedades térmicas de algunos materiales de construcción y aislantes
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