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ESTTICA DE PARTCULAS
"Los hombres geniales empiezan grandes obras,
los hombres trabajadores las terminan".
Leonardo da Vinci
Una fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro.
Una fuerza genera el cambio en el estado de esfuerzos, deformacin
y desplazamiento de un cuerpo; pero adems, una fuerza es capazde producir un efecto de rotacin a un cuerpo, cuando ese cuerpopuede rotar alrededor de un cierto punto.
Fuerza, se caracteriza por:
- Punto de aplicacin
- Magnitud o Mdulo
- Direccin
- Sentido
2.1 FUERZAS EN UN PLANO
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Nota:
Las fuerzas, los desplazamientos, las velocidades y las aceleraciones son ejemplos de
magni tudes fsicas que poseen mdulo y di recc in y que suman segn la Ley delParalelogramo.
Estos valores pueden representarse matemticamentepor Vectores, mientras que las
magnitudes fsicas que no tienen direccin (volumen, masa, energa) se representan
mediante nmeros ordinarios o escalares.
Dos fuerzas y que actansobre una partcula o puedenreemplazarse por una solafuerza que tiene el mismo efectosobre la partcula.
A
B
R
2.2 LEY DEL PARALELOGRAMO
Expresiones matemticas que poseen mdulos, direccin y sentido, y quesuman segn la Ley del paralelogramo.
Las Rotaciones finitas de un cuerpo rgido(tienen mdulo y direccin) no se sumanpor la ley del paralelogramo. Pero estasmagnitudes pueden representarse comoflechas (no son vectores).
Nota:
180
Vectores iguales: Mismo mdulo, direccin y sentido.
2.3 VECTORES
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Regla del Polgono, uniendopunta con cola y uniendo losextremos.
Segn la Ley del paralelogramo (observar que por lo general no esigual a la suma de mdulos).
A + B + C
0
A
B
C
P
Q0
P - Q P + Q
2.4 SUMA DE VECTORES
Sobre la partcula o actan las fuerzas coplanarias (contenidas en un mismoplano) y como todas pasan por el punto o se dice que son concurrentes.
B
C
A
B
A
C
o =
o
2.5 RESULTANTE DE VARIAS FUERZAS CONCURRENTES
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Como un conjunto de fuerzas pueden reemplazarse por una Fuerzanica que tiene el mismo efecto sobre la partcula; inversamente, unafuerza nica F puede reemplazarse por dos o ms fuerzas que, juntas,tienen el mismoefecto sobre la partcula.
Estas fuerzas se llaman Componentes de la fuerza primitiva F, y elproceso se llama Descomposicin de la Fuerza F en suscomponentes.
FF
o
=
Lnea deaccin
Lnea deaccin
=
F1
F2
F1 + F2 = F
o o
F1
F2
NOTA: Se conoce la lnea de accin de los com ponentes
Solucin Grfica oTrigonomtrica
2.6 DESCOMPOSICIN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES
PROBLEMA 1:
Dos elementos estructurales B y C estn sujetos con remaches al soporte A,sabiendo que la tensin en el elemento B es 2500 kg y que la tensin en C es2000 kg Determinar el mdulo, direccin y sentido de la fuerza resultante queacta sobre el soporte.
a) Solucin grfica
b) Solucin trigonomtrica
A
B
C40
15
=15
40
B = 2 500 kg = 2,5 tn
C = 2 000 kg = 2 tn
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b) Trigonomtrica:
Se forma un tringulo, dibujando B, C una a continuacin de la otra,determinando los ngulos que son de inters.
a) Grficamente:Se dibuja a escala un paralelogramo, con lados iguales a las fuerzas By C, luego se mide el mdulo y direccin de la resultante:
R = 4 000 kg = 4 tn
= 9,2
R2 = B2 + C2 2BC cos 125
R2 = (2.5)2 + (2)2 2 (2.5) (2) cos 125 = 15,9858
R = 3,998 tn = 4 tn
B = 2.5 tn
2 tn = CR
40
151251540
40
~
c
)(15sen
R
125sen
Se emplea la Ley de Cosenos (se conocen los lados y el ngulo comprendido)
Aplicando la Ley de Senos, se puede determinar el ngulo:
0,409576)( 15sen
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PROBLEMA 2:
Determinar el mdulo, direccin y sentido de la fuerza P, de manera que laresultante de P y la fuerza de 300 kg sea una fuerza vertical de 900 kg dirigidahacia abajo.
300 kg
P
10
a
P R = 900 kg
300 kg
a
10
Por la Ley de Cosenos:
P2 = (300)2 + (900)2 2(300)(900) cos 100
P = 996,88 kg
Por la Ley de Senos:
900 kg = R
90
10
300 kg
P
a
300996,88
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PROBLEMA 3:Un mvil es arrastrado por medio de 2 cables, si la tensin del cable 1 es150 kg.
a) Determinar el mdulo y direccin de la tensin del cable 2, para que laresultante sea una fuerza de 200 kg paralela al eje del mvil.
b) Si el nguloa = 30, determinar la tensin T2 , para que la fuerzaresultante contine siendo paralela al eje del mvil.
c) Encontrar el valor de a, para que la tensin T2 sea la mnima, y el valorcorrespondiente de T2 , si se quiere que la resultante de las dos fuerzasT1 y T2 sea paralela al eje mvil.
15
T2
T1 = 150 kg
a
a) a = ??, T2 = ?? , si R = 200 kg paralela al eje del mvil.
15
T2
T1 = 150 kga
R = 200 kg
Por la Ley de Cosenos:
T22 = (150)2 + (200)2 2(150)(200) cos 15
T2 = 67,41 kg
Por la Ley de Senos:
67,412
150
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b) Si a = 30 T2 = ??, si R es paralela al eje del mvil.
R
135sen
150
30sen
T
15sen
2
c) a = ?? si T2 = mnimo, R es paralela al eje del mvil.
Se requiere formular una funcin:
Y = f (x) o T2 = f ()
T2
T1 = 150 kg
R
T2
T1 = 150 kg
R
135
30 15
15a
Por Ley de Senos:
que haga T2 mnimo
x que haga Y = f (x) mnimo
kg77,6430sen
150T2
kg212,1330sen
150R
Por la Ley de Senos:
Reemplazando:
12 T
sen
T
15sen a
)(fT:sen
1.15senT
sen
15senTT 2112
a
a
900cossen
cos0
d
Td2
2
aaa
a
a
CTE
Kg38,8290sen
TT 12
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Grficamente: Mnimo T2, si se conoce T1 (ngulo y mdulo)
T2 T2
T1
R
15
NOTA: Si buscamos el mnimo T2, para las siguientes condiciones:
Direccin de T1 (ngulo de inclinacin).
Direccin y mdulo de R.
Se determina
con l a mnima
distancia
Lneas de accin de T1
T2
15
R
90
PROBLEMA 4:
La roldana de una gra est sometida a las 3 fuerzas mostradas. Ladireccin de la fuerza F es variable. Determinar, si es posible, ladireccin de la fuerza F, de tal manera que la resultante de las tresfuerzas sea vertical, sabiendo que el mdulo de F es:
a) 240 kg , b) 140 kg
60F1 = 120 kg
a
F2 = 80 kg F
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a)
Resultante vertical, significa que slotiene componente en el eje Y:
Analizamos slo los componentes X de las tres fuerzas:
jRiRR yx
0FR xx
i
ii
i
cos240F
4060cos80F
120F
x
2x
1x
4 8 , 1 9
F1 = 120 kg
F2 = 80 kg
F = 240 kg
a
R
X
Y
b) Rx = -120 40 + 140 cos a = 0 cos a = 1,1428 > 1
Condicin imposible, por lo tanto, No existe para esa magnitud de fuerza.
60
110x6,666cos0cos24040120Rx
R = 100 kg
X
Y
a
F
a
F1 = 70 kg
F2 = 50 kg
2 3
30
FyRy
FxRx
JRyiRxR
FsenFy,cosFFx
PROBLEMA 5:
La resultante de las tres fuerzas representadas debe ser una fuerza de 100kg dirigida hacia la derecha segn la recta a a. Determinar el mdulo,direccin y sentido de la fuerza F.
a
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+ 50,0000(= R sen 30o)
+ 86,6025(= R cos 30o)
+ 3,6635+ 1,7450
+ F sena
+ 69,9041+ 49,9645
- F cosa
7050F
F1F2F
COMPONENTE Y
kg(Fy = F sen)
COMPONENTE X
kg(Fx = F cos)
MDULO
kg
FUERZA
69,9041 + 49,9645 F cos a = 86,6025
F cos a = 33,2661 ........... (a)
3,6635 + 1,7450 + F sen a = 50,0000
F sena
= 44,5916 ........... (b)
(Sentido: hacia la izquierda)
DIRECCIN
MDULO
1,340448tag33,2661cosFa
F1 = 80 kg
F2 = 50 kg
20
60
F3 = 60 kg
F4 = 30 kg
senFFy
FcosFx
Fx
FyTag
22 FyFxF
PROBLEMA 6:
Determinar la resultante de las cuatro fuerzas representadas.
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Ry = - 17,100Rx = - 110,521
69,282
0
-56,382
- 30,000
- 40,000
- 50,000
-20,521
0
70
50
60
30
F1F2F3F4
COMPONENTE Ykg
(Fy = F sen)
COMPONENTE Xkg
(Fx = F cos)
MDULOkg
FUERZAF1
F2
20
60
F3
F4
70
30
Y
X
Rx
RRy
Y
X
La resultante de las cuatro fuerzas:
J17,100)(i110,521)(R
JRyiRxR
kg111,83617,1000)(110,521)(R 22
8,79510x1,54721110,521
Tag 1
Y
JFyyF
J
i
iFxxF
X
Componentes rectangulares:
Si descomponemos una fuerzaen dos vectores perpendicularesentre si.
F se ha descompuesto en unafuerza Fx, segn el eje X; y unacomponente Fy, segn el eje Y.
F
Por definicin:
i, j: vectores unitarios, vectores de mdulo 1, dirigidossegn los ejes positivos X e Y.
2.7 COMPONENTES RECTANGULARES DE UNA FUERZA VECTORES UNITARIOS
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La fuerza puede definirse por:
Las componentes escalares se pueden expresar:
cos = Fx / F Fx = F cos
sen = Fy / F Fy = F sen
Conociendo las componentes rectangulares Fx, Fy de una fuerza F, sedefine su direccin y sentido mediante el ngulo , y el mdulo F de lafuerza aplicando el teorema de pitgoras:
JFyiFxyFxFF
Componentesvectoriales
Componentesescalares
22 FyFxFFx
FyTag
La suma de fuerzas aplicando la Ley del paralelogramo o empleandosoluciones trigonomtricas, se vuelven no prcticas cuando deseamossumar tres o ms fuerzas, ser ms conveniente descomponer las fuerzasen sus componentes rectangulares y adicionar estas:
Y
X
F2
F3
F1
321 FFFR
JFiFJRyiRx 1y1x
JFiF 2y2x
JFiF 3y3x
2.8 SUMA DE FUERZAS POR ADICIN DE COMPONENTES X e Y
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Las componentes escalares Rx, Ry de la resultante R, se obtienensumando algebraicamente las componentes escalares, correspondientesa las fuerzas dadas.
Nota:Evidentemente, esta conclusin se aplica tambin a la suma de otras magnitudesvectoriales (velocidad, aceleracin, etc.).
y3y2y1yy
x3x2x1xx
FFFFR
FFFFR
Recordemos, que una fuerza genera cambios en el estado de esfuerzos,deformacin y desplazamiento de un cuerpo; pero adems, puedeproducir un efecto de rotacin, cuando el cuerpo es capaz de rotaralrededor de un cierto punto.
Momento de una fuerza, o torque, es una magnitud vectorial quecuantifica la rotacin que una fuerza produce a un cuerpo, cuando esecuerpo puede rotar alrededor de un punto que se considera fijo.
En qu caso ser m sfc il af lo jar la tuerca de lallanta del carro?
2.9 MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO
(MOMENTO ESTTICO)
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FM
X
M
Z
F
Y
rp
d
0
M = ( r x F )ocon respectoal origen
A (ndice)
Magnitud: u = | r x F | = r F sen
= F d Direccin: Es perpendicular al plano que contiene F y r
Sentido: Esta dada por la regla de la mano derecha
Pto. de Aplicacin: Es O (origen) vector ligado
B (Medio)(Pulgar) C C = A x B
Menor ngulocomprendido
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Nota:
Se puede demostrar que P es un punto arbitrario en la lnea de direccin del vector F.
r x F = r1 x F
Se puede demostrar que:
r1 = r + n F
r1 x F = ( r + n F) x F
Si n es un escalar (Longitud / Fuerza)
r1 x F = r x F + n F x F
o
r1 x F = r x Flqqd
o
r
P
r1 P'
F
F
nF
M
EXPRESIN CARTESIANA:
X
i
KrJrirr
KFJFiFF
zyx
zyx
FxrMo
zyx
zyx
FFF
rrrKJi
Y
Z
K
J
. P (X,Y,Z)
oM zy
zy
FF
rr
zx
zx
FF
rr
yx
yx
FF
rr
i
J
K
Respecto al origende las coordenadas
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MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO O' CUALQUIERA:
X
KrJrirr
KFJFiFF
zyx
zyx
Y
Z
r1
a
o' ( X ',Y ', Z )
(0, 0, 0)
r
o
F 1
1111
rra
)KZJYiX(r
)Z',Y',(X'o'
zyx
zyx'o
'o
zyx
FFF
'zr'yr'XrM
KJi
FxaM
K)'Zr(J)'Yr(i)'Xr(a
X
i
Y
Z
K
Jo
r
F1
F2 F3 R
Fn
p
oii
n
o
n
n
n
FxrRxr
FxrFxrFxrRxr
FFFxrRxr
ZYXPFFFR
)()(
...
)...(
),,(...
1
21
21
21
2.10 TEOREMA DE VARIGNON
El momento respecto a un punto dado (o) de la resultante de variasfuerzas concurrentes (R) es igual a la suma de los momentos de lasfuerzas (F1 , F2 , F3 Fn) respecto al mismopunto (o).
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