CAPITULO I
Elasticidad
I. ANALISIS DE ESFUERZOS: Conceptos y Definiciones
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1.1. INTRODUCCIÓN
Las diversas estructuras y máquinas, de cuyo diseño y construcción se ocupa el ingeniero en su actividad práctica, deben tener ente otras, la propiedad de resistencia mecánica, es decir, deben oponerse a la rotura al ser
sometidas a la acción de fuerzas externas (cargas). Con este propósito, los elementos (piezas) de las estructuras y
máquinas deberán ser fabricadas del material correspondiente y tener las correctas dimensiones.
El primer objetivo de la Resistencia de materiales, es estudiar los métodos de cálculo de la resistencia de las
construcciones.
Además de esto, en muchos casos, es necesario determinar las variaciones de forma y de las dimensiones
(deformaciones), que surgen en los elementos de las construcciones sometidas a cargas.
Los cuerpos rígidos, indeformables, estudiados en la Mecánica, en realidad no existen
Las deformaciones de un sólido sometido a carga en general son pequeñas y se detectan con los extensómetros.
Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes de equilibrio y de movimiento. Sin
embargo, estas deformaciones son de gran utilidad para el diseño de estructuras y piezas. Al mismo tiempo, en
muchos casos, resulta necesario limitar el valor de las deformaciones, a pesar de ser pequeñas en comparación con
las dimensiones del elemento, ya que en caso contrario sería imposible el funcionamiento normal de la
construcción.
La propiedad del elemento de oponerse a las deformaciones de llama Rigidez. De aquí que el segundo objetivo es
la exposición de los métodos de cálculo de la rigidez de los elementos de las construcciones.
El problema siguiente de la Resistencia de Materiales es el estudio de la estabilidad de las formas de equilibrio de
los cuerpos reales. La estabilidad, es la capacidad de un elemento de opo nerse a grandes perturbaciones del
equilibrio inalterado, como resultado de acciones de perturbación pequeñas. También se dice que el equilibrio es
estable, si a una variación pequeña de la carga corresponde una variación pequeña de las deformaciones. Por tanto
el tercer objetivo es la exposición de los métodos de cálculo de la estabilidad de los elementos de las
construcciones.
Al realizar los tipos de cálculo indicados anteriormente, se debe tender a una economía máxima del material, es
decir, las dimensiones de las piezas de las máquinas y estructuras no deben ser superiores a las necesarias. Para
ello es necesario del estudio de las propiedades de los materiales utilizados, así como de las características de las
cargas aplicadas. Ello se consigue realizando experimentos en el laboratorio, así como de la experiencia en el
diseño y el mantenimiento de la construcciones.
1.2. SUPOSICIONES INTRODUCIDAS EN LA RESISTENCIA DE MATERIALES.
Para el mejor entendimiento de la Resistencia de Materiales se introducen ciertas suposiciones (hipótesis)
respecto a las propiedades de los materiales, a las cargas (fuerzas) y al carácter de interacción con los elementos
estructurales, para simplificar el cálculo de los elementos de las construcciones. Estas son:
Primera suposición: El material debe ser considerado macizo y continuo. Es decir, debe despreciarse la estructura
atomística, discontinua de la materia. Esto se explica por el hecho de que las dimensiones de las piezas reales son
muy superiores a la distancia entre átomos.
Segunda suposición: El elemento del cual está hecho el elemento se considera homogéneo, es decir tiene
propiedades idénticas en todos los puntos. En este caso los metales son materiales altamente homogéneos. Menos
homogéneos son la madera, el hormigón, la piedra, los plásticos de relleno. El hormigón por ejemplo, está
compuesto por piedras pequeñas, grava, gravilla, cuyas propiedades son distintas de las del cemento. La madera
tiene nudos, de propiedades diferentes al resto de madera. Sin embargo, los cálculos realizados de los
experimentos muestran que la suposición de homogeneidad es satisfactoria.
Tercera suposición: El material del cual se hace la pieza debe ser isótropo, es decir sus propiedades en
todas las direcciones deben ser iguales. Las investigaciones demuestran que los cristales que forman muchos
materiales tienen propiedades muy diferentes según las diferentes direcciones que se considere. Sin embargo, en el
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caso de materiales compuestos por granos finos, las propiedades en distintas direcciones son iguales. Para
materiales como la madera, el hormigón armado esta suposición es lícita con cierta aproximación.
Cuarta suposición: Se considera que las fuerzas internas, originales, las mismas que preceden a la aplicación de
cargas externas se consideran nulas. Es sabido que las fuerzas de interacción entre partículas del material, cuyas
distancias varían, se oponen a la variación de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas exteriores. Al
hablar de fuerzas interiores, en adelante tendremos en cuenta estas fuerzas despreciando las fuerzas moleculares
que existen en el cuerpo sometido a cargas. Esta suposición no se cumple cabalmente en ninguno de los materiales
utilizados en ingeniería. Así por ejemplo, se sabe que en el acero existen fuerzas internas como producto del
enfriamiento que experimenta el material, en la madera estas fuerzas aparecen como producto del secamiento de la
misma, y en l concreto armado aparecen durante el fraguado.
Quinta suposición: Esta suposición también se llama principio de superposición de cargas. Se expresa como el
efecto debido a la acción de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo es igual a la suma de los efectos de las acciones
de estas fuerzas, aplicadas consecutivamente, en orden arbitrario. Esta hipótesis se cumple cuando se cumplen las
siguientes condiciones:
Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños comparados con las
dimensiones del sólido.
Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas.
Sexta suposición: También llamado principio de SAINT – VENANT. El valor de las fuerzas interiores en los
puntos del sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco de l
modo concreto de aplicación de estas cargas. Este principio permite en muchos casos sustituir un sistema de
fuerzas por otro, estáticamente equivalente, lo que nos permite simplificar los cálculos.
1.3. FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS
Consideremos un sólido de forma arbitraria sobre el que actúan un conjunto de fuerzas exteriores
(concentradas o distribuidas) tal como se muestra en la figura 1.1a
(a) (b) Figura 1.1 (a) Cuerpo sometido a fuerzas externas mostrando un plano de corte imaginario; (b) Porción de cuerpo
separado mostrando las fuerzas internas.
Para obtener las fuerzas internas que actúan sobre una región específica dentro del cuerpo es necesario utilizar el
método de las secciones. Para ello debe hacerse un corte imaginario a través de una región específica dentro del
cuerpo donde van a determinarse las fuerzas internas. Las dos partes son separadas y se procede a trazar el
diagrama de sólido libre de una de las partes. Esta situación se ilustra en la figura 1.1b. En el diagrama puede
observarse que existe realmente una distribución de fuerzas interiores las que actúan sobre el área expuesta de la
sección. Estas fuerzas representan los efectos del material de la parte superior del cuerpo actuando sobre el
material adyacente.
Aunque la distribución de las fuerzas internas es desconocida se acude a las ecuaciones de equilibrio estático para
relacionar las fuerzas exteriores que actúan sobre el cuerpo con la fuerza y momento resultantes de la distribución,
RF
y ORM
en cualquier punto específico O sobre el área seccionada como se muestra en la figura 1.2a. A l hacerlo
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así, observe que RF
actúa a través del punto O, aunque su valor no dependa de la localización del punto. De otro
lado, ORM
si depende de la localización. En general puede escogerse como el centroide del área seccionada.
(a) (b)
Figura 1.2. (a) Fuerza y momento resultante de las fuerzas internas; (b) Componentes rectangulares de la fuerza y
momentos resultantes.
Las componentes de RF
y ORM
según las direcciones x, y y z, mostradas en la figura 1.2b, indican la aplicación de
cuatro diferentes tipos de carga definidas como sigue:
1.3.1. Fuerza normal (Nz). Es aquella fuerza que actúa perpendicularmente al área. Ésta fuerza se desarrolla
siempre que las fuerzas externas tienden a jalar o empujar los dos segmentos.
1.3.2. Fuerza cortante (V). Es aquella fuerza que reside en el plano imaginario de corte y se desarrolla cuando
las fuerza externas tienden a ocasionar el deslizamiento de una parte del cuerpo sobre el otro.
1.3.3. Momento o par torsional (Tz). Aquel momento que aparece cuando las fuerzas externas tienden a torcer
una parte del cuerpo respecto a la otra.
1.3.4. Momento flexionante (M). Aquel momento causado por las fuerzas externas que tienden a flexionar al
cuerpo respecto a un eje que se encuentra dentro del plano.
1.4. ESFUERZO
En esta sección se muestra la forma para determinar la fuerza y el momento internos resultantes en un
punto específico sobre el área seccionada del cuerpo tal como se muestra en la figura 1.3a, la obtención de la
distribución de cargas internas es muy importante en la mecánica de materiales. Para resolver este problema es
necesario desarrollar un medio para describir la distribución de una fuerza interna en cada punto del área seccionada. Para esto, es necesario establecer el concepto de esfuerzo.
Figura 1.3. (a) Fuerza y momento resultantes de las fuerzas internas; (b) Fuerza ΔF actuando sobre un ΔA y (c) Fuerza
normal y cortante
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Consideremos al área seccionada subdividida en pequeñas áreas ΔA , tal como se muestra en la figura 1.3b. La
fuerza finita muy pequeña que actúa sobre ΔA es ∆�⃗� . Esta fuerza como todas las demás tendrá una dirección
única, pero para nuestro estudio la descomponemos en dos ∆�⃗�𝑛 y ∆�⃗�𝑡 las mismas que son normales y tangenciales
al área respectiva como se ve en la figura 1.3c.
Cuando el área ΔA tiende a cero, la fuerza ∆�⃗� o sus componentes también tiende a cero. Sin embargo, el cociente
entre la fuerza y el área tenderán a un límite finito. Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la
fuerza interna sobre un plano específico (área) que pasa por un punto.
1.4.1. Esfuerzo normal (σ). Se define como esfuerzo normal a la intensidad de fuerza, o fuerza por unidad
de área, actuando perpendicularmente a ΔA. Matemáticamente se escribe
A
Fn
A
0lim (1.1)
Si la fuerza o esfuerzo normal “jala” sobre el elemento de área ΔA como se muestra en la figura 1.4a, se
llama esfuerzo de tensión, mientras que si “empuja” sobre ΔA se denomina esfuerzo de compresión.
1.4.2. Esfuerzo cortante (τ). Se define como esfuerzo cortante a la intensidad de fuerza o fuerza por unidad
de área, que actúa tangencialmente a ΔA. Matemáticamente este esfuerzo se escribe.
A
Ft
A
0lim (1.2)
1.4.3. Componentes cartesianas del esfuerzo. Para especificar mejor la dirección del esfuerzo, se
descompone en componentes rectangulares x, y y z, orientados como se muestra en la figura 1.4a. El
elemento de área yxA y las tres componentes cartesianas de la fuerza ∆�⃗� se muestra en la
figura 1.4b. Bajo estas condiciones las componentes del esfuerzo son
A
Fz
Az
0lim (1.3)
A
Fx
Azx
0lim (1.4)
A
Fy
Azy
0lim (1.5)
El subíndice z se usa para indicar la dirección de la línea normal hacia fuera, que especifica la
orientación de ΔA y los subíndices x e y se refieren a los ejes coordenados en cuya dirección actúan los
esfuerzos cortantes.
(a) (b) (c)
Figura 1.4. Determinación de esfuerzos normales y cortantes.
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1.5. ESFUERZO NORMAL MEDIO DE UN ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE.
En la figura 1.5a, se muestra un elemento estructural al cual se le aplica las cargas P, estas fuerzas son
colineales con el eje centroidal de la barra y producen cargas de tensión. Estas fuerzas se llaman fuerzas axiales.
Si cortamos imaginariamente a la barra a través de la sección transversal a-a, se puede dibujar el DCL de la mitad
inferior de la barra como se muestra en la figura 1.5b. El equilibrio nos indica que en la sección hay una
distribución de fuerzas cuya resultante es F, la misma que es normal a la superficie e igual en magnitud a la fuerza
externa P y tiene una línea de acción que es colineal con P. La intensidad media de la fuerza interna por unidad
de área normal es el esfuerzo normal medio expresado como
A
Fm (1.6)
En este libro se usa el símbolo σ para denotar el esfuerzo normal. Se adopta la convención de asignarle un signo
positivo si el esfuerzo es de tensión por el contrario se asigna un signo negativo si el esfuerzo es de compresión.
Para determinar el esfuerzo en un punto se divide al área en elementos ΔA sobre los que actúa una fuerza ∆�⃗� la
misma que representa la resultante de las fuerzas internas transmitidas, como se muestra en la figura 1.5c. En estas
condiciones es esfuerzo se determina mediante la ecuación
A
F
A
0lim (1.7)
(a) (b) (c)
Figura 1.5. Elemento estructural cargado axialmente
En general el valor obtenido para el esfuerzo obtenido para un punto dado en una sección transversal es diferente
al obtenido mediante la ecuación (1.6) y se encuentra que el esfuerzo varía en la sección. La figura 1.6 muestra a
una barra delgada sometida a fuerzas axiales de compresión P y P’, estas variaciones son pequeñas en puntos
alejados del extremo, pero notoria en puntos cercanos al extremo.
Figura 1.6. Variación del esfuerzo normal en un elemento estructural cargado axialmente
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1.6. ESFUERZO CORTANTE MEDIO
En la sección 1.3 se definió al esfuerzo cortante como la componente del esfuerzo que actúa paralelamente
al plano de la sección transversal de corte. Para ver como aparece este esfuerzo consideremos un elemento tal
como se muestra en la figura 1.7 al que se le ha aplicado una fuerza P. Si los soporte B y D se consideran rígidos
y P es suficientemente grande, ésta ocasionará que el material de la barra falle a lo largo de los planos AB y CD.
El diagrama de cuerpo libre del segmento central no apoyado mostrado en la figura 1.7b, indica que una fuerza
cortante V = F/2 debe aplicarse a cada sección para mantener el equilibrio. Bajo estas condiciones el esfuerzo
cortante medio distribuido sobre cada área seccionada se define por
A
Vmed (1.8)
Donde: τmed = Esfuerzo cortante medio en la sección, se asume que es el mismo en toda la sección ; V = fuerza
cortante interna resultante en la sección determinada a partir del equilibrio; y A = Área de la sección
La distribución del esfuerzo cortante medio se muestra actuando sobre la sección derecha de la figura 1.7c. Debe
observarse que τmed tiene la misma dirección que V.
(a) (b) (c)
Figura 1.7. Esfuerzo cortante medio en un elemento estructural
1.6.1. Cortante simple.
Las placas unidas por un perno (1,8a) y (1,8e) así como las placas pegadas mostradas en la figuras
1.8c, respectivamente son ejemplos de elementos con conexiones a cortante simples. Los diagramas de
cuerpo libre mostradas en las figuras 1.8b; 1.8d, 1.8f y las ecuaciones de equilibrio muestran que las
fuerzas internas cortantes V son iguales a la fuerza exterior aplicada P, respectivamente, y el esfuerzo
cortante viene expresado por 𝜏 = 𝑉 𝐴⁄ = 𝐹𝐴⁄
(e) (f)
Figura 1.8. Elementos sometidos a esfuerzo cortante simple
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1.6.2. Cortante doble
Las placas unidas por un perno, figura 1.9a cuya vista transversal se da en la figura 1.9e, y las placas
pegadas mostradas en la 1ig figuras 1.9a y 1.9c, respectivamente son ejemplos de elementos con
conexiones a cortante dobles, en este caso debe observarse que aparecen dos superficies cortantes Los
diagramas de cuerpo libre mostradas en las figuras 1.9b; 1.9d; 1.9e y las ecuaciones de equilibrio muestran
que las fuerzas internas cortantes V = F/2 y el esfuerzo es 𝜏 = 𝑉 𝐴⁄ = 𝐹 2𝐴⁄ .
(e) (f) Figura 1.9. Elementos sometidos a esfuerzo cortante doble
1.7. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO
El esfuerzo de aplastamiento o de apoyo se presenta sobre la superficie de contacto entre dos elementos
interactuantes. Para el caso de la conexión mostrada en la figura 1.10a. El remache ejerce sobre la platina A una
fuerza �⃗⃗� igual y opuesta a la fuerza �⃗� que ejerce la platina sobre el remache véase figura 1.10b. En este gráfico �⃗⃗�
es la resultante de todas las fuerzas distribuidas en la superficie interior de un cilindro de diámetro d y longitud t
igual al espesor de la platina. Debido a que la distribución de esfuerzos, es muy compleja, se usa un valor medio
para el esfuerzo de aplastamiento σb, el mismo que se obtiene dividiendo la fuerza �⃗⃗� y el área proyectada del
remache en la platina (figura 1.10c). Debido a que esta área es igual a td, donde t es el espesor de la platina y d el
diámetro del remache, se tiene.
b
b
P P
A td (1.9)
(a) (b) (c)
Fig. 10. Definición de esfuerzo de aplastamiento.
1.6. ESFUERZO EN UN PLANO OBLICUO
Consideremos un elemento de sección transversal A 0 sometido a dos fuerzas �⃗⃗�y 𝑃′⃗⃗⃗⃗ tal como se muestra en
la figura 1.11a. Si trazamos imaginariamente un plano inclinado que forma un ángulo θ con el plano normal
(figura 1.11b) y dibujamos el DCL de la parte izquierda del elemento (figura 1.11c) se halla a partir de la
ecuaciones de equilibrio, que las fuerzas distribuidas en la sección inclinada deben ser equivalentes a la fuerza �⃗⃗�.
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Figura 1.11. Esfuerzo normal y cortante en planos inclinados
Descomponiendo P en sus componentes F y V, normal y tangencial a la respectiva sección, se obtiene que
cosPF (1.10)
PsenV (1.11)
La fuerza �⃗⃗⃗� representa la resultante de las fuerzas normales distribuidas en la sección y �⃗⃗� representa la resultante
de las fuerzas distribuidas paralelas al plano inclinado (figura 1.11d). El valor medio de los correspondientes
esfuerzos será
A
F (1.12)
A
V (1.13)
Remplazando las ecuaciones (1.10) y (1.11) en las ecuación (1.12) y (1.13), resulta
A
P cos (1.14)
A
Psen (1.15)
De la gráfica se observa que
cos
0AA (1.16)
Al sustituir este valor del área en las ecuación (1.14) y (1.15), se obtiene:
2
0
cosA
P (1.17)
22 0
senA
P (1.18)
De la ecuación (1.17) se observa que el esfuerzo normal es máximo cuando θ = 0º y que tiende a cero a medida
que θ se aproxima a 90º. El valor máximo del esfuerzo es
0
maxA
P (1.19)
De la ecuación (1.18) se observa que el esfuerzo cortante es máximo cuando el ángulo θ = 45º.
oA
P
2max (1.20)
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II. ANALISIS DE LA DEFORMACIÓN UNITARIA: Conceptos y Definiciones
2.1. INTRODUCCIÓN.
Utilizando los conceptos de la estática en la sección anterior se establecieron las relaciones entre las fuerzas
internas y los esfuerzos, evaluándose los esfuerzos normales y cortantes para distintos elementos sometidos a
cargas externas. Así mismo se evaluaron esfuerzos sobre superficies inclinadas de elementos. En ningún momento
se observó las deformaciones que producen la aplicación de cargas externas a un cuerpo deformable. Es sabido
que en el diseño de elementos estructurales o componentes de máquinas es de importancia considerar en el
mencionado diseño las deformaciones que experimentan los cuerpos. Por ello es importante discutir en esta
sección las deformaciones producidas por las fuerzas externas cuando son aplicadas a un cuerpo deformable real,
estableciéndose algunos métodos para medir tales deformaciones.
2.2. DESPLAZAMIENTO, DEFORMACIÓN Y DEFOMACIÓN UNITARIA
2.2.1 Desplazamiento.
Si sobre un cuerpo deformable se aplica un sistema de cargas externas, cada una de las partículas
que componen el cuerpo puede experimentar desplazamientos entre sí. Para determinar tales desplazamientos se utiliza el desplazamiento que es una magnitud vectorial que mide el movimiento de
una partícula de una posición a otra.
Para evaluar las deformaciones que experimenta un cuerpo deformable consideremos un cuerpo hecho de
un material continuo tal como se muestra en la figura 1.12. Las tres partículas A, B y C antes de la
aplicación de fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en la figura. Después de la aplicación de las
fuerzas externas el cuerpo se deforma cambiando de posición y por tanto las nuevas posiciones de las
partículas son A’, B’ y C’. El desplazamiento de la partícula A viene descrito por el vector u(A).
Figura 1.12. Desplazamiento que experimenta una partícula.
2.2.2 Deformación.
La aplicación de las cargas externas ocasionan que las líneas AB y BC inicialmente rectas, se
convierten en líneas curvas A’B’ y A’C’. Por lo tanto, las longitudes de AB y AC así como el ángulo θ, serán diferentes de las longitudes curvas A’B’ y A’C’ y el ángulo θ’. Es decir la deformación se define
como la diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos líneas en el cuerpo debido a
los desplazamientos de cada partícula debido a la aplicación de las cargas externas al cuerpo.
2.2.3 Deformación unitaria.
La deformación unitaria se utiliza para describir la deformación por cambios en la longitud de
segmentos de línea y los cambios en los ángulos entre ellos. Existen dos tipos de deformación unitaria:
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Deformación unitaria normal. Designada por la letra griega épsilon (ε), expresa el alargamiento o
acortamiento de un segmento de línea por unidad de longitud de un cuerpo durante la deformación.
Para encontrar una expresión matemática para la deformación unitaria normal, considere una línea recta
AB dentro de un cuerpo no deformado como se muestra en la figura 1.13a, esta línea está ubicada a lo
largo del eje n y tiene una longitud inicial Δs. Después de la deformación la línea recta se transforma en
una línea curva con una longitud Δs’ como se muestra en la figura 1.13b.
(a) (b)
Figura 1.13. (a) Cuerpo sin deformación y (b) Cuerpo deformado
El cambio en la longitud es entonces (Δs’ – Δs). La deformación unitaria normal promedio εprom se define
como
s
ssprom
' (1.21)
A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al puno A, la longitud de la línea se vuelve cada
vez más corta, de tal modo que 0s . De igual forma B’ se aproxima a A’ de modo que 0's . Por
lo tanto, la deformación unitaria normal en el punto A es la dirección n está dada por
s
ss
AB
'lim
n de largo lo a (1.22)
En algunos casos se conoce la deformación unitaria normal, por lo que se desea determinar la longitud final
del segmento corto en la dirección n para ello se usa la relación
ss 1' (1.23)
Por tanto cuando ε es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si ε es negativa la línea se acortará.
Debido a que la deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud, entonces ella será
una cantidad adimensional. Por la pequeñez de esta cantidad, la deformación unitaria normal en el SI se
expresa como (μm/m).
Deformación unitaria normal de elementos sometidos a cargas axiales.
Consideremos un barra de peso despreciable BC, de longitud L y área transversal A, suspendida de su
extremo B tal como se muestra en la figura 1.14a. Si ahora se aplica una carga externa P al extremo libre C,
la barra experimentará un alargamiento δ como se ve en la figura 1.14b.
Figura 1.14. (a) Elemento sin carga axial, (b) elemento sometido a carga axial P mostrando la
deformación que le produce y (c) diagrama fuerza-deformación.
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Al elaborar un diagrama fuerza-deformación, se obtiene una gráfica como se ve en la figura 1.14c. Debe
señalarse que aunque este diagrama contiene información útil para el análisis de la barra en estudio, no
puede utilizarse para predecir el comportamiento de otra barra del mismo material pero con dimensiones
diferentes. Así por ejemplo, la barra B’C’ de sección transversal 2A y longitud L, experimentará la misma
deformación δ cuando se aplica una fuerza 2P (ver figura 1.15a) siendo en ambos casos el esfuerzo
normal el mismo. Por otro lado, cuando la barra B’’C’’ de longitud 2L y área transversal A es sometida a
una fuerza P experimenta una deformación 2δ (ver figura 1.15b) obteniéndose además que el cociente entre
el alargamiento y la longitud inicial es el mismo.
(a) (b)
Figura 1.15. (a) Elemento de longitud L sometido a una carga 2P y (b) elemento de área y longitud 2L sometido a
una carga P
Por ello la deformación unitaria normal está dado por
L
(1.24)
Si el desplazamiento es a lo largo de una línea recta. Consideremos dos puntos A y B sobre la recta x como
se muestra en la figura 1.16a,. Después de la aplicación de la carga externa, los puntos A y b se desplazan a
los puntos A1 y B1, respectivamente. Las coordenadas de los puntos xA y xB a xA + uA y xB + uB. Entonces
las longitudes inicial y final son L0 = xB – xA y Lf = (xB + uB) –( xA + uA).
Figura 1.16. Deformación unitaria en una línea recta
La deformación unitaria será
0
0
f B Amed
B A
L L u u
L x x
(1.25)
Donde uA y uB son los desplazamientos de los puntos A y B B Au u es el desplazamiento relatico
Si ahora se construye una gráfica esfuerzo (σ) - deformación unitaria normal (ε), se obtiene una curva
característica para cada uno de los materiales la que no depende de las dimensione de la probeta. Esta
relación se discutirá más adelante. Por otro lado, cuando la sección del elemento sometido a cargas
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externas es de sección variable como se muestra en la figura 1.17a, el esfuerzo normal varía a lo largo del
elemento por ello es necesario definir la deformación en cierto punto Q considerando un pequeño elemento
de longitud no deformado x como se ve en la figura 1.17b.
(a) (b)
Figura 1.17 (a) Elemento de sección variable sin carga axial y (b) elemento de sección variable
sometido a carga axial.
Si es el alargamiento del pequeño elemento bajo la carga exterior dada, la deformación unitaria en
estas condiciones será.
dx
d
xx
0lim (1.26)
Deformación angular o cortante.
La deformación unitaria angular o cortante se define como el cambio en el ángulo que ocurre entre dos
segmentos de línea inicialmente perpendiculares. Este ángulo se denota por γ y su valor se mide en
radianes. Para mostrar esto consideremos dos segmentos de línea AB y AC a lo largo de los ejes
perpendiculares n y t como se muestra en la figura 1.18a. Después de la deformación las líneas rectas AB y
AC se vuelven curvas y el ángulo entre eles es θ’ ver la figura 1.18b. Por lo tanto, la deformación unitaria
angular será
'lim2
tde largo lo aA Cn de largo lo a
AB
nt (1.27)
Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la deformación angular es positiva por el contrario si θ’ es
mayor de 90º la deformación angular es negativa.
(a) (b)
Figura 1.18. (a) Angulo entre dos rectas perpendiculares de un cuerpo sin deformación y (b) ángulo entre dos
líneas de cuerpo deformado
Por otro lado cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Fs tal como se muestra en la figura 1.19,
el cuerpo cambia su forma de rectangular a romboidal. Si uno de los lados se mantiene fijo el lado superior
experimenta un desplazamiento δ s
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Figura 1.19. Deformación angular o cortante en un plano
La deformación angular promedio se obtiene dividiendo la deformación δ s en una dirección normal y la
longitud L
x
yx yxtgL
(1.28)
Para aquellos casos en los cuales la deformación no es uniforme, la deformación angular en un punto viene
dada por
0
( ) lim x xxy
L
dP
L dL
(1.29)
Análisis de deformaciones unitarias pequeñas.
En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo solo experimenta pequeños cambios en sus dimensiones. La
aproximación de pequeñas deformaciones simplifica en alto grado la solución de tales problemas. En la
figura 1.20 se muestra un ejemplo de cómo evaluar la deformación.
Figura 1.20. Deformaciones pequeñas.
La fuerza que actúa sobre la barra provoca que el punto P se mueva en una cantidad D en un ángulo θ
referido a la dirección de la barra. La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite determinar Lf,
esto es
cos21cos20
2
0
00
22
0
L
D
L
DLDLDLL f
(a)
Teniendo en cuenta la ecuación (1.24) se puede determinar la deformación promedio en la barra AP, es
decir.
1cos210
2
00
0
L
D
L
D
L
LL f (b)
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Si se considera de que D << L0, en este caso se desprecia el término cuyo exponente es 2 y si se usa el
binomio de Newton se obtiene
1.............cos10
L
D (c)
Simplificando la ecuación anterior se obtiene
0
cos
L
Dpeq
(1.30)
El cambio dimensional y deformación están linealmente relacionados en la ecuación (1.30), lo cual no
ocurre con la ecuación (a), esto implica que los cálculos de pequeña deformación resultarán en un sistema
lineal, eso simplifica los cálculos
III. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES
3.1. INTRODUCCIÓN.
Si se tiene un alambre de un metal y una cuerda de hule con igual longitud antes de experimentar una
deformación al someterlos a cargas externas iguales experimentarán deformaciones diferentes. No debe de
sorprenderse al observar que el hule se deforma mucho más que el alambre de acero. Esta situación pone de
manifiesto que las propiedades mecánicas cumplen una importante función en el desarrollo de las fórmulas para
relacionar el cambio dimensional con las cargas aplicadas.
La descripción cualitativa de un material mediante adjetivos como elástico, dúctil, frágil tiene un significado muy
específico que es necesario conocer, ya que estos adjetivos nos permiten describir a los materiales. La
descripción cuantitativa se realiza a través de ecuaciones que describen las curvas esfuerzo - deformación de cada
uno de los materiales. Los parámetros en las ecuaciones se determinan experimentalmente.
Por ello el objetivo de esta sección es comprender la descripción cualitativa y cuantitativa de las propiedades
mecánicas de los materiales.
3.2. DIAGRAMAS ESFUERZO DEFORMACIÓN UNITARIA.
Se ha visto en la sección anterior que cuando se traza un diagrama carga-deformación se obtiene un
diagrama tal como el mostrado en la figura 1.14c. Debe señalarse que aunque este diagrama contiene información
útil para el análisis de elemento en es tudio, no puede utilizarse para predecir el comportamiento de otros
elementos del mismo material pero con dimensiones diferentes. Por ello es necesario buscar otro tipo de diagrama
que nos permitan caracterizar a un material en general. Estos diagramas son los diagramas esfuerzo-deformación
unitaria.
Para obtener estos diagramas se realizan ensayos de tensión o de compresión estandarizados uno de ellos es lo
normado por la ASTM.
3.2.1. Ensayo de tensión.
Uno de los ensayos mecánicos esfuerzo-deformación más comunes es el realizado a tracción. Este
ensayo es utilizado para determinar varias propiedades de los materiales que son importantes para el
diseño. Normalmente se deforma una probeta hasta la rotura, con una carga de tracción que aumenta
gradualmente y que se aplica axialmente a lo largo del eje de una probeta. En la figura 1.21a se muestra
algunas probetas cilíndricas normalizadas y en la figura 1.21b se muestran probetas planas normalizadas .
Generalmente la sección de la probeta es circular, pero también se utilizan probetas de sección rectangular.
Durante el ensayo, la deformación está confinada en la región más estrecha del centro, la cual tiene una
sección uniforme a lo largo de su longitud. El caso de probetas cilíndricas el diámetro normalizado es
aproximadamente 12,8 mm (0,5 pulgadas), mientras que la longitud de la sección reducida de ser igual a
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16
por lo menos cuatro veces su diámetro, siendo usual 60 mm. La longitud de p rueba es de 50 mm (2
pulgadas) como se ve en la figura 1.21c.
(a) (b)
(c)
Figura 1.21. Probeta de tracción normalizada con sección circular
La probeta se instala con sus extremos en las mordazas de la máquina de ensayos de tracción como se
muestra en la figura 1.22. Máquina que se diseña para alargar la probeta a una velocidad constante, y para
medir continua y simultáneamente la carga instantánea aplicada (con una celda de carga) y el alargamiento
resultante (utilizando un extensómetro). El ensayo dura varios minutos y es destructivo, o sea la probeta del
ensayo es deformada de forma permanente y a menudo rota,
Figura 1.22. Máquina de ensayos de tracción con un sistema de procesamiento automático de datos.
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17
3.2.2. Diagrama esfuerzo normal - deformación unitaria.
El resultado del ensayo se registra en una banda de papel como carga en función del alargamiento.
Estas características carga-deformación dependen del tamaño de la probeta. Para minimizar los factores
geométricos, la carga y la deformación son normalizadas para obtener los parámetros esfuerzo nominal y
deformación nominal, respectivamente ver la figura 1.23.
Figura 1.23. Muestra normalizada utilizada en ensayo de tracción
El esfuerzo nominal o de ingeniería σ se determina mediante la ecuación.
0A
P
(1.31)
En donde P es la carga instantánea aplicada perpendicularmente a la sección de la muestra y A0 es el área
de la sección transversal original antes de aplicar la carga.
La deformación nominal o de ingeniería se define como
00
0
LL
LLi
(1.32)
Dónde: L0 es la longitud original antes de aplicar la carga, y Li es la longitud instantánea. Algunas veces Li
- L0 se expresa mediante δ y es el alargamiento producido por la deformación, o cambio en la longitud en
un instante determinado.
Si se grafican lo valores correspondientes de σ y ε, la curva se llama diagrama convencional de esfuerzo-
deformación unitaria. Este diagrama es importante ya que nos permite obtener la resistencia a tensión (o
compresión) de un material sin considerar la geometría del material. Sin embargo, debe de precisarse de
que nunca serán exactamente iguales los diagramas esfuerzo-deformación para un material particular, ya
que los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, las imperfecciones
microscópicas, de la forma en que fueron fabricados, de la velocidad de la carga y de la temperatura de
ensayo.
A continuación discutiremos la curva convencional del acero, material muy utilizado en la fabricación de
componentes estructurales y mecánicos. En la figura 1.24 se muestra el diagrama σ – ε de una probeta de
acero. En dicha gráfica se observa cuatro maneras diferentes en que el material se comporta dependiendo
de la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.
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18
Figura 1.24. Diagrama esfuerzo-deformación para un acero estructural
Comportamiento elástico. Decimos que el material es elástico cuando recobra su forma original después de
la suspensión de la carga aplicada a ella. Este comportamiento elástico ocurre hasta cuando el material
alcanza el límite de proporcionalidad el diagrama σ – ε es prácticamente una línea recta. En estas
condiciones el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. El esfuerzo que le corresponde al límite de proporcionalidad se llama esfuerzo elástico (σpl). Si el esfuerzo excede un poco el límite de
proporcionalidad el material todavía puede responder elásticamente. Sin embargo, la curva tiende a
aplanarse causando un incremento mayor en la deformación unitaria. Esto continúa hasta que el esfuerzo
alcanza el límite elástico. Para determinar este esfuerzo es muy complicado debido a la cercanía en que se
encuentran estos puntos.
Fluencia. Un ligero incremento del esfuerzo más allá del límite elástico provoca un colapso del material
ocasionando que el material se deforme permanentemente. Este comportamiento se llama fluencia. El esfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia (σy) y la deformación que ocurre se llama
deformación plástica. En algunos aceros se encuentra dos valores para el límite de fluencia uno superior y
otro inferior pero una vez que se alcanza éste último el material se deforma sin la aplicación de carga.
Endurecimiento por deformación. Una vez que la fluencia termina, la aplicación de carga a la probeta
ocasiona que se eleve nuevamente pero más suavemente hasta alcanzar el esfuerzo último (σu). La
elevación en la curva se denomina endurecimiento por deformación.
(a) (b)
Figura 1.25. (a) Probeta de acero mostrando el inicio de la estricción y (b) probeta fracturada, observe la
formación del cono y la copa
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19
Estricción. Cuando la probeta alcanza el esfuerzo último, comienza a experimentar una disminución en la
sección transversal en una zona localizada, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este efecto se debe al
reacomodo de los planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones
producidas se deben a esfuerzos cortantes. Como resultado aparece una estricción o cuello en la zona a
medida que la probeta se alarga cada vez más como se muestra en la figura 1.25a. Una vez que se alcanza
el esfuerzo cortante máximo la probeta fractura tal como se ve en la figura 1.25b.
3.2.3. Materiales Dúctiles y frágiles.
Materiales Dúctiles. Todo aquel material que puede experimentar deformaciones grandes antes de la
fractura se llama material dúctil. Esta propiedad mecánica hace que el ingeniero escoja a estos materiales
para el diseño de estructuras o elemento de máquinas por su capacidad de estos materiales para absorber
energía sin sufrir sobrecarga exhibiendo una deformación grande antes de fallar.
Una forma como expresar el grado de ductilidad de un material es el porcentaje de elongación o el
porcentaje de reducción de área en el momento de fractura. Esto es:
)%100(L
elongación de Porcentaje0
0f
L
L (1.33)
)%100(A
área dereducción de Porcentaje0
0f
A
A (1.34)
Donde Af es el área de la sección transversal después de la fractura y A0 es el área de la sección trasversal
inicial.
Además del acero existen muchos otros materiales que tienen este comportamiento tales como el latón, el
molibdeno y el zinc experimentando curvas esfuerzo deformación análogas es decir presentan una zona
elástica, una zona de fluencia, una zona de deformación por deformación sufriendo una estricción para
llegar a fracturar. Sin embargo, muchos otros materiales no presentan fluencia más allá de la zona elástica.
El aluminio por ejemplo no presenta un punto de fluencia bien definido, y por consiguiente se ut iliza el
método de la desviación para determinar el esfuerzo de fluencia. Esto se consigue escogiendo una
deformación unitaria del 0,2% y desde este punto situado sobre el eje ε en el diagrama esfuerzo -
deformación se traza una recta paralela a la porción recta inicial de la curva. El punto de intersección de
esta línea con la curva define el esfuerzo de fluencia. Este criterio se muestra en la figura 1.26
Figura 1.26. Esquema donde se indica cómo se obtiene el esfuerzo de fluencia para el aluminio.
Materiales frágiles. Aquellos materiales que presentan poca o ninguna fluencia antes de la fractura se
denominan frágiles. Destacan entre otros la fundición gris, el concreto armado, el vidrio, etc. Estos
materiales en general son ensayados en máquinas de compresión tal como se muestra en la figura 1.27a. La
forma como se produce la fractura frágil está mostrada en la figura 1.26a. En el caso del concreto el
diagrama esfuerzo-deformación dependen fuertemente de la composición (agua, arena, grava y cemento);
del tiempo y de la temperatura de curado. En la figura 1.27c se muestra el diagrama esfuerzo-deformación
para el concreto. En él se observa que el esfuerzo de compresión máximo es de casi 12,5 veces mayor que
su esfuerzo de fractura a tensión. Por ello es que el concreto siempre se refuerza con acero en estructuras.
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20
(a) (c)
Figura 1.27. (a) Máquina de compresión (b) Probeta fracturada de un material frágil y (b) rotura frágil de una
probeta de acero (c) Diagrama esfuerzo-deformación para una muestra de concreto.
3.2.4. Ley de Hooke.
En un ensayo de tracción, la relación esfuerzo normal y deformación unitaria normal en la región
lineal establece que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación normal, esto se traduce en la
expresión.
E (1.35)
La ecuación (1.34) se conoce como ley de Hooke, siendo E la pendiente de la recta y se denomina módulo
de Young o módulo de elasticidad. Las unidades de E son las mismas que las del esfuerzo por ser la
deformación unitaria una cantidad adimensional.
3.2.5. Razón de Poisson.
Cuando un cuerpo deformable está sometido a una fuerza de tracción axial, no sólo se alarga sino
también experimenta una contracción lateral. Sucede el efecto inverso cuando las cargas son de
compresión. Estos casos se muestran en las figuras 1. 28a y 1.28b.
Al aplicar la carga P a la barra, su longitud se incrementa en una cantidad δ y su radio experimenta una
contracción δ’. Las deformaciones axial y lateral se expresan
L
long
y
rlat
' (1.36)
S. D. Poisson descubrió que dentro del rango elástico, la razón entre estas deformaciones unitarias es constante. A esta relación se le llama módulo de Poisson (ν) y tiene un valor único para cada uno de los
materiales considerado homogéneo e isótropo, expresado por
long
lat
(1.37)
El módulo de Poisson es adimensional y para la mayoría de materiales toma un valor dado por
5,00
(b)
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21
Figura 1.28. (a) Elemento sometido a carga de tensión y (b) elemento sometido a una carga de compresión
3.2.6. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria por cortante.
La figura 1.29a, muestra una sección de un material homogéneo e isótropo, sometido a esfuerzos
cortantes, el efecto de tale esfuerzos ocasiona que el material se distorsione quedando como lo muestra la
figura 1.29b. La deformación angular unitaria a cortante será γxy.
Los materiales sometidos a esfuerzos cortantes también pueden ser estudiados en el laboratorio utilizando
muestras en forma de tubos y sometidos a pares torsores. Los datos obtenidos nos permiten determinar el
esfuerzo cortante y la deformación angular, con estos datos se traza un diagrama esfuerzo cortante -
deformación angular unitaria cortante. Este diagrama para un material dúct il se observa en la figura 1.29c.
Al igual que en el ensayo de tracción, este material exhibe un comportamiento elástico – lineal cuando se
somete a corte y tendrá un esfuerzo de proporcionalidad definido. También presenta un endurecimiento por
deformación hasta llegar al esfuerzo cortante último. Finalmente el material comenzará a perder su
resistencia al cortante hasta que se produce la fractura.
(a) (b) (c)
Figura 1.29. (a) Forma del elemento inicial (b) elemento después de ser sometido a esfuerzos cortantes y (c) Diagrama esfuerzo cortante-deformación unitaria cortante
Múltiples materiales de ingeniería presentan el comportamiento elástico lineal, de modo que el esfuerzo
cortante es proporcional a la deformación angular por cortante, cumpliéndose en estos casos también la ley
de Hooke
G (1.38)
Donde G es el módulo de rigidez, su valor se determina calculando la pendiente de la línea recta en el
diagrama. Al igual que el módulo de Young el módulo de rigidez tiene las mismas unidades (N/m2).
Una relación muy importante que relaciona las tres constantes del material E, G y ν se da a continuación
2 1
EG
(1.39)
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22
IV. ELEMENTOS AXIALES.
4.1. INTRODUCCIÓN.
En esta sección se analiza el método para determinar el esfuerzo normal en elementos estructurales o
mecánicos cargados axialmente, de otro lado se determina la deformación de estos elementos. Así mismo se
mostrará un método para determinar las reacciones en los soportes en los que se encuentran empotrados
elementos deformables.
4.2. DEFORMACIÓN DE MIEMBROS SOMETIDOS A CARGAS AXIALES
4.2.1. Miembro uniforme sometido a dos cargas axiales
Cuando una barra recta de sección uniforme es sometida a una carga axial en sus extremos,
experimentará una deformación constante y un esfuerzo constante como se mues tra en la figura 1.30.
Figura 1.30. Elemento de sección constante sometido a fuerzas axiales
Si no se sobrepasa el límite de proporcionalidad se puede aplicar la ley de Hooke para encontrar una
relación entre la deformación y la fuerza aplicada, es decir
E
LE
A
P
EA
PL (1.40)
4.2.2. Miembro uniforme sometido a varias cargas axiales.
Si una barra está sometida a varias cargas axiales en diferentes puntos a lo largo de la barra, o si la
barra está compuesta por partes que tienen diferentes secciones de diferentes materiales tal como se
muestra en la figura 1.31, entonces el cambio de longitud de cada una de las parte se determina utilizando
la ecuación (1.40). Finalmente el cambio total de longitud de la barra compuesta se determina sumando
algebraica las deformaciones individuales de cada porción. Esto es
ii
ii
iAE
LP (1.41)
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23
Donde Ai y Ei son ambos constantes para el segmento i-ésimo y la fuerza Pi es la fuerza interna en el
segmento i-ésimo de la barra, fuerza que es calculada a partir de las ecuaciones de equilibrio.
Figura 1.31. Elemento sometido a varias fuerzas
4.2.3. Elemento de sección no uniforme sometido a carga axial variable.
Para aquellos casos en los cuales la fuerza axial es variable o el área transversal varía continuamente
como se muestra en la figura 1.32a, la ecuación (1.40) no es aplicable. Para determinar la deformación se
divide al elemento estructural en elementos diferenciales en forma de obleas de longitud dx y área A(x). El
DCL de la oblea muestra que la fuerza interna sobre ella es P(x). Esta carga deformará a la oblea en una
cantidad dδ tal como se ve en la figura 1.32b.
Figura 32. (a) Elemento de sección variable sometida a carga axial variable y (b) Oblea de material
utilizada para determinar la deformación en el elemento
El esfuerzo y la deformación unitaria en el elemento son
)(
)(
xA
xP (1.42)
dx
d (1.43)
Si se cumple con la ley e Hooke, se tiene
E
dx
dE
xA
xP
)(
)(
dxxEA
xPd
)(
)( (1.44)
Para determinar la deformación total de la barra se procede a integrar la ecuación (1.44) sobre toda la
longitud del elemento estructural. Esto es
L
xEA
dxxP
0 )(
)( (1.45)*
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
24
4.3. ELEMENTO CARGADO AXIALMENTE ESTÁTICAMENTE INDETERMINADO.
Cuando una barra tal como se muestra en la figura 1.33, está sometida a una fuerza axial, la aplicación de
las ecuaciones de equilibrio a lo largo del eje nos permite determinar la reacción en el soporte fijo. Este tipo de
problema se llama estáticamente determinado. Por el contrario si la barra esta empotrada en ambos extremos
como se muestra en la figura 1.33a, el DCL de dicha barra (figura 1.33b) muestra que existen dos reacciones
desconocidas.
La ecuación de equilibrio de fuerzas se expresa
0 0y B AF F F P (1.46)
(a) (b)
Figura 1.33. (a) Elemento estáticamente indeterminado y (b) DCL del elemento
Debido a que la ecuación estática por sí sola no permite determinar las reacciones, este problema es estáticamente
indeterminado.
Para resolver el problema se utiliza la geometría de las deformaciones. Especificándose una ecuación que determina las condiciones de desplazamiento llamado condición de compatibilidad . En este caso es el
desplazamiento relativo de un extremo de la barra respecto al otro el mismo que es igual a cero ya que los muros
no ceden. Por tanto
0/ BA (1.47)
Esta ecuación puede expresarse en términos de las cargas aplicadas obteniéndose
0EA
LF
EA
LF BCBACA (1.48)
La solución de las Ecuaciones (1.45) y (1.47) permite obtener las reacciones en los soportes.
L
LPF CB
A
L
LPF AC
B (1.49)
V. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN.
Consideremos una barra BC de longitud L y sección transversal A, empotrada en B y sometida a una carga axial P
que se incrementa lentamente como se muestra en la figura 1,33a. Si se traza una gráfica P en función de δ se
obtiene una curva como se muestra en la figura 1.33b la cual es característica de la barra BC.
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25
El trabajo 𝑑𝑈 realizado por P cuando la barra se alarga una pequeña cantidad 𝑑𝛿 es igual al producto de la
magnitud de P y el desplazamiento 𝑑𝛿, esto es
dU Pd (1.50)
El trabajo total cuando l barra experimenta una deflexión 𝛿 será
U Pd (1.51)
Y es igual al área bajo la curva P Vs δ.
El trabajo realizado por �⃗⃗� , cuando se aplica lentamente a la barra, debe producir el incremento de alguna energía
asociada con la deformación de la barra- Esta energía se llama energía de deformación y se expresa como
1
0deformaciònE U Pd
(1.52)
En el caso de deformaciones lineales y elásticas la relación P – δ, es una línea recta cuya ecuación es 𝑃 = 𝑘𝛿 ,
entonces la energía se escribe
2
0
1 1( )
2 2
1
2
E k d k k
E P
Si las deformaciones están en el rango elástico se cumple que = 𝑃𝐿𝐸𝐴⁄ , entonces la energía es
22
1 1
2 2
1 1
2 2 2
PLE P P
EA
P L EAE
EA L
(1.53)
Para barras de secciones variables sometidas a cargas externas variables, la energía se determina usando la
ecuación
1
2
0 2
xx
x
P dxE
EA (1.54)
Densidad de Energía. Se define como la energía por unidad de volumen, esto es
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26
1
0
0
E
E x
E Pd
V AL
d
(1.54)
Donde 휀1 es la deformación correspondiente a la elongación 𝛿1. Para el caso en que 휀1 = 휀𝑅 = deformación de
ruptura, se conoce como tenacidad del material. Por tanto la tenacidad de un material es igual al área bajo la
gráfica esfuerzo-deformación.
Por otro lado si el esfuerzo aplicado permanece dentro del límite elástico (proporcionalidad) se cumple la ley de
Hooke (𝜎 = 𝐸휀𝑥) entonces la densidad de energía es
1 1
0 0
22 11
1
2 2
E x x x
E
d E d
EE
(1.55)
Si el esfuerzo correspondiente es el de fluencia, a la densidad de energía se le llama módulo de resilencia
2
2
f
resilenciaE
(1.56)
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27
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 01
Dos barras sólidas cilíndricas están soldadas en B como
se muestra en la figura. Halle el esfuerzo normal en el
punto medio de cada barra.
Solución
Para determinar el esfuerzo en cada una de las secciones
de las barras, se determina las fuerzas internas en cada
una de ellas. Para esto se traza el DCL de cada porción
de la barra y se aplica las ecuaciones de equilibrio.
En la figura (a) se muestra el DCL para la barra AB y
en (b) el DCL para ABC
Ecuaciones de equilibrio para la barra AB
)1........(..............................30
0
kNF
PF
F
AB
AB
y
Ecuaciones de equilibrio para la barra ABC
kNF
kNkNF
F
BC
BC
x
70
4030
0
Los esfuerzos en cada una de las barras serán
Barra AB
..........................4,42
10.30
120
4/
30
2232
RtaMPa
m
kN
d
kN
A
F
AB
AB
AB
AB
Barra BC.
RtamMN
m
kN
d
kN
A
F
BC
BC
BC
BC
........................./65,35
10.50
280
4/
70
2
2232
Problema 02
Una barra homogénea AB de 150 kg de masa soporta
una fuerza de 2 kN, como puede verse en la figura. La
barra está sostenida por un perno en B y un cable CD de
10 mm de diámetro. Determine el esfuerzo ejercido en
el cable.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la barra homogénea
AB, cuyo peso es W = 1470 N
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0
2000 6 3 3
412000 4410 3
5
6837,5 ..................................(1)
B
CD
CD
CD
M
N m W m F sen m
F
F N
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28
Conocida la fuerza FCD (tensión), el esfuerzo estará
dado por
.........................................1,87
10.10
4,68394
4/
4,6839
2232
RtaMPa
m
N
d
N
A
F
CD
CD
CD
CD
Problema 03.
Sabiendo que la porción central del eslabón BD tiene
una sección uniforme de 800 mm2. Determine la
magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo normal
en la barra BD sea de 50 MPa. φ
Solución
Datos e incógnitas
??;..800;..50 2 PmmAMPa BDBD
En la figura se muestra el DCL de ABC
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
2 2 2 2
0
1,4 cos 1,4 1,4 30º
0,56 1,92 3
20,56 1,92 0,56 1,92
BM
Qsen Q P sen
Q P
2 2
2 0,56 1,92
3 0,56 1,92
QP
2 2,48
3 2
33066,7 .......................... .
BD BDP A
P N Rta
Problema 04
Se quiere punzonar una placa, tal como se indica en la
figura, que tiene un esfuerzo cortante último de 300
MPa. (a) si el esfuerzo de compresión admisible en el
punzón es de 400 MPa, determine el máximo espesor de
la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de
diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm,
calcular el máximo diámetro que puede punzonarse.
Solución
Datos e incógnitas
τ u = 300 MPa, σ ad =400 MPa, e = ??; d =
100 mm;
e1 =10 mm; d1 =??.
En primer lugar se determina la relación entre la carga
de rotura de la placa y el esfuerzo cortante
)1.(.................................
22
RR
RRRR
deP
ed
AP
Como se conoce el esfuerzo máximo de compresión, se
determina la carga máxima necesaria que se debe
aplicar para poder punzonar la placa, esto es
)2..(....................
4
. 2
maxmax
maxmax
dP
AP
El corte de la placa se producirá cuando la carga de
rotura es igual a la carga axial admisible
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
29
)3.........(..............................maxPPR
Remplazando las ecuaciones (1) y (2) en (3), se tiene
...................................3,33
3004
400100
4
4
....
max
2
max
Rtamme
MPa
MPammde
dde
R
R
El valor de dmax si e1 =10 mm, será
............................................30
400
3001044
max
Rtammd
MPa
MPammdd R
Problema 05
Si la palanca representada en la figura está en
equilibrio. (a) Determinar el diámetro de la barra AB si
el esfuerzo normal está limitado a 100 MPa. (b)
Determinar el esfuerzo cortante en el pasador situado en
D, de 20 mm de diámetro.
Solución
Datos e incógnitas
mmddMPa PPABAB 20??;..??;..;..100
En la figura se muestra el DCL de la palanca
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)3.(..............................31177
24,0º30300002,0
0
)2.......(....................315000
º6030000
0
)1.....(....................15000
º60cos30000
0
NP
msenmP
M
ND
NsenD
F
NPD
NPD
F
D
y
y
y
x
x
x
Remplazando la ecuación (3) en (1), resulta
)4(..............................46177
1500031177
ND
NND
x
x
La fuerza de reacción en la articulación D, sera
)5.........(..............................52984
2598146177 2222
ND
DDD yx
Parte (a). Cálculo del diámetro de la barra AB. De la
definición de esfuerzo normal, se tiene
...........................9,19
10.100.
311774
.
4
.
4
6
2
Rtammd
Pd
d
P
A
P
AB
AB
AB
AB
AB
Parte (b). Para determinar el esfuerzo cortante en el
pasador D de 20 mm de diámetro, primero se
determina la fuerza cortante, esto es
La ecuación de equilibrio proporciona
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
30
)6......(....................26492
529842
0
NP
NDP
F
t
t
y
El esfuerzo cortante será
..................33,84
10.20
264924432
RtaMPa
m
N
d
Pt
Problema 06
Dos barras cilíndricas sólidas unidas en B están
cargadas como se muestra en la figura. La barra AB es
de acero (E = 200 GPa) y la barra BC es de latón (E =
105 GPa). Determinar: (a) La deformación total de la
barra compuesta; (b) La deflexión del punto B.
Solución
Datos e incógnitas
.????;..;..105;..200 BTACAB GPaEGPaE
En primer lugar se determina las fuerzas internas en
cada una de las barras. Para ello se traza el DCL de las
diferentes pociones tal como se ve en la figura
Barra AB
)1.......(....................30
0
kNF
F
AB
y
Barra BC
)2.........(....................70
4030
0
kNF
kNkNQPF
F
BC
BC
y
La deformación total de la barra será
...............................155,0
102,0053,0
05,04
10.105
3,070000
03,04
10.200
25,030000
2929
Rtamm
mmmm
AE
LF
AE
LF
AE
LF
BCBC
BCBC
ABAB
ABAB
ii
ii
La deflexión del punto B, viene expresado por el
acortamiento de la varilla BC.
............................102,0
05,04
10.105
3,070000
29
Rtamm
AE
LF
B
BCBC
BCBC
B
Problema 07.
Un bloque prismático de concreto de masa m ha de ser
suspendido de dos varillas cuyos extremos están al
mismo nivel, tal como se muestra en la figura.
Determinar la relación de las secciones de las varillas,
de tal manera que el bloque no se desnivele.
Solución
Datos e incógnitas
“m”; Eac = 200 GPa; Lac= 3 m; EAl = 70 Gpa
LAl = 6 m; AAl/Aac = ??
En la figura se muestra el DCL del bloque
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
31
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0
...................................(1)
0 5 3
3.................................(2)
5
y
ac al
A al
al
F
F F mg
M F m mg m
F mg
Remplazando la ec.(2) en (1), se tiene
)3.......(....................5
2
5
3
mgF
mgmgF
ac
ac
Como el bloque no debe desnivelarse, entonces las
deformaciones de las varillas de acero y de aluminio
deben ser iguales, es decir
200 6 3 / 5
70 3 2 / 5
8,57........................ .
ac ac al alac al
ac ac al al
al ac al al
ac al ac ac
al
ac
F L F L
E A E A
A E L F
A E L F
GPa m mg
GPa m mg
ARta
A
Problema 07
Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente
rígidas, están articuladas en A y en D y separadas en C
mediante un rodillo, como se muestra en la figura. En B
una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN.
Determinar el desplazamiento vertical del rodillo
situado en C, así como el desplazamiento del punto B.
Solución
Datos e incógnitas
????;..;..3
;300;..200;..50 2
BCac
acac
mL
mmAGPaEkNP
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida CD
Aplicando la segunda condición de equilibrio, se tiene
)1.........(....................25000
4250000
0
NN
mNmN
M
C
C
D
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida ABC
Al aplicar la segunda condición de equilibrio, se tiene
)2.......(....................37500
250005,43
35,4
0
NF
NF
mFmN
M
ac
ac
acC
A
Para determinar las deflexiones, se grafica la barra ABC
después de aplicada la carga P = 50kN.
Del gráfico por triángulos semejantes, se tiene
)3....(....................5,1
5,43
acC
Cac
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
32
La deflexión del punto B, será
.................................87,1
10.30010.200
)3(3750069
Rtamm
AE
LF
B
B
acac
acac
acB
...........................8,1 RtaB
La deflexión del punto C será
............................80,2
87,15,1
Rtamm
mm
C
C
Problema 08
El conjunto consta de tres barras de titanio y una barra
rígida AC. El área de la sección transversal de cada
barra se da en la figura. Si se aplica una fuerza vertical
de P = 20 kN al anillo F, determine el desplazamiento
vertical del punto F. Considere que ETi = 350 GPa.
Solución
Datos e incógnitas
??;..350;..20 FTi GPaEkNP
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AEC
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0
20 ...................(1)
0
1,25 20 0,5
8 .......................(2)
Y
AB CD
A
CD
CD
F
F F kN
M
F m kN m
F kN
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3.(....................12
208
kNF
kNkNF
AB
AB
En la figura se muestra la relación entre las
deformaciones
Por semejanza de triángulos, se tiene
33
9 6 9 6
3 4
1,67 0,670,75 1, 25
1,67 0,67
0,67 8.10 212.10 2
350.10 60.10 350.10 45.10
1,67 1,14.10 6,8.10
1,08 .......................(4)
E CD AB CDE AB CD
E
AB CD
E
E
FL FL
EA EA
m m
mm
La deformación de la barra EF, está dado por
)5........(....................14,1
10.7510.350
5,110.2069
3
mm
EA
FL
EF
EF
EF
El desplazamiento del punto F, será
.................22,2
14,108,1
Rtamm
mmmm
F
EFEF
Problema 09
La viga rígida horizontal ABCD está soportada por
barras verticales BE y CF y está cargada por fuerzas
verticales P1 = 90 kip y P2 = 80 kip que actúan en los
puntos A y D, respectivamente, como se muestra en la
figura. Las barras BE y CF son de acero (E = 29.106
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
33
psi) y tienen un áreas transversales de ABE =19,5 pul2 y
ACF =16.8 pul2. Determinar los desplazamientos
verticales de los puntos A y B.
Solución
Datos e incógnitas.
????;..lg;3,18
lg1,22;..5,29;90,..100
ADCF
BE
puA
puAksiEkipQkipP
En la figura se muestra el DCL de la viga ABCD.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)2..(....................110
89061006
0
)1(....................190
0
kipF
pkippkippF
M
kipFF
F
CF
CF
B
CFBE
y
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2), resulta
)3..(....................80
190110
kipF
kipkipF
BE
BE
En la figura se muestra el diagrama de los
desplazamientos de cada una de las barra cuando se
aplican las cargas externas
Por semejanza de triángulos, se tiene
3 3
6 6
3 3
3
6 12
2 ´ 2
2 80.10 12 110.10 9
29.10 22,1 29,5.10 18,3
2,895.10 1,83.10
1,12.10 .........................(4)
CF ABE A
A BE CF
BE CF
A
A
A
FL FL
EA EA
pie pie
pies
Calculemos ahora el desplazamiento del punto
......................10.29,2
)10.73,310.9,410.12,1(
10.12,110.47,13
10
10.12,110.47,13
10
206
3
333
33
33
Rtapie
pie
pie
pie
D
D
AD
AD
ADABE
Problema 10
Cada uno de los conectores AB y CD es de acero
(29.106 psi) y tienen una sección transversal uniforme
de 0,25 pulg x 1 pulg. Halle la mayor carga que puede
suspenderse de E si la deflexión del punto E no debe
pasar de 0,01 pulg.
Solución
Datos e incógnitas
??lg;..25,0,..29 max PpuAksiE
En la figura se muestra el DCl de la barra rígida BCE.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
34
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene.
0
0
0
(10 lg) (25 lg) 0
2,5 ............(2)
Y
CD AB
CD AB
B
CD
CD
F
F F P
F F P
M
F pu P pu
F P
Remplazando la ec (2) en la ec.(1), resulta
)3..(....................5,1
5,2
PF
PFP
AB
AB
Asumiendo que las fuerzas en las barras AB y CD son
de tensión, las deflexiones de los puntos B y C son:
6 2
6
8 lg
129.10 / lg 1 lg
4
1,1.10 ..............(4)
AB
B
AB
B AB
F puFL
EAlb pu x pu
F
6 2
6
8 lg
129.10 / lg 1 lg
4
1,1.10 ...................(5)
CD
C
CD
C CD
F puFL
EAlb pu x pu
F
En la figura se muestra el diagrama de las
deformaciones
Por semejanza de triángulos, se tiene
)7(..........15
15
)6.........(10
10
CB
CCE
CB
CCB
xxx
xxx
De las ecuaciones (6) y (7), resulta
)8.......(..........1015 CECB
Teniendo en cuenta que δE =0,01 pulg, la ecuación (8),
se escribe
)9..(..........lg1,02515 puCB
Remplazando las ec. (4) y (5) en (9), resulta
....Rta...........lbf....... 1066P
Problema 11.
La plataforma rígida de la figura tiene una
masa despreciable y descansa sobre dos barras de
aluminio, cada una de 250 mm de longitud. La barra
central es de acero y tiene una longitud de 249,9 mm.
Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la
carga central P de 400 kN se haya aplicado. Cada barra
de aluminio tiene un área de 120 mm2 y un módulo de
elasticidad de 70 GPa. La barra de acero tiene un área
de 2400 mm2 y un módulo elástico de 200 GPa.
Solución
Datos e incógnitas
.??;..200
2400;..70;..120
;400;..2499,0;..25,0
22
acac
acalal
acal
GPaE
mmAGPaEmmA
kNPmLmL
En al figura se muestra el DCL de la placa rígida.
Además se supone que P también deforma al acero.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
35
3
3
0
2
2 400.10
2 400.10 ..............(1)
y
al ac
al ac
al al ac ac
F
F F P
F F N
A A N
Independientemente a la ecuación de equilibrio estático
se determina la relación entre los esfuerzos a través de
la relación entre las deformaciones, esto es
)2(..........10.2834986,0
10.1,010.200
2499,0
10.70
25,0
..
6
3
99
acal
acal
acal
acal
m
E
L
E
L
Sustituyendo la ec. (2) en (1), resulta
6 4 4 32 0,35 28.10 (1,2.10 ) 2,4.10 400.10ac ac
Simplificando, resulta
..............7,163 RtaMPaac
Problema 12.
Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada
en un extremo y suspendida de una varilla de acero y
una de bronce, según se muestra en la figura. ¿Cuánto
vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder
un esfuerzo en el acero de 120 MPa ni uno en el bronce
de 70 MPa?.
Solución
Datos e incógnitas
.70;..120??;..max MPaMPaP brac
En la figura se muestra el DCL de la barra AB
Aplicando las ecuaciones de equilibrio a la barra, se
tiene
)1.....(..........652
652
652
0
PAA
PFF
mPmFmF
M
brbracac
brac
brac
A
En la figura se muestra la geometría de las
deformaciones
Por semejanza de triángulos, se tiene
)2..(....................56,1
5,2
5,2
52
acbr
ac
acac
br
brbr
acbr
brca
E
L
E
L
La ec. (2), determina una relación que debe existir
necesariamente entre esfuerzos, es evidente que si se
llega a σac = 120 MPa, se sobrecarga el bronce por
alcanzar según la ec. (2) un esfuerzo de 186,7 MPa. Por
lo tanto es el esfuerzo en el bronce el que limita la carga
y entonces el esfuerzo en el acero será
)3..(....................87,44
56,170
MPa
MPa
ac
ac
Remplazando el valor máximo del esfuerzo en el bronce
y el valor del esfuerzo obtenido para el acero, en la
ec.(1), se obtiene
...............96,30
610.30010.70510.90010.87,442 6666
RtakNP
P
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
36
Problema 13.
Las dos barras de aluminio AB y AC tienen diámetros
de 10 mm y 8 mm, respectivamente. Determinar la
fuerza P máxima vertical que puede ser soportada. El
esfuerzo admisible de tensión para el aluminio es σad
=150 MPa.
Solución
En la figura se muestra el DCl del nudo A
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0
45º
2......................(1)
y
AB
AB
F
F sen P
F P
0
cos 45º
12
2
.........................(2)
x
AC AB
AC
AC
F
F F
F P
F P
Utilizando el esfuerzo admisible, se tiene
23
6
2
10.10
2410.150
4
2
P
d
P
A
F
ABAB
AB
adAB
Despejando el valor de P se tiene
)3....(..........4.8330 NP
Utilizando el esfuerzo admisible para la barra AC, se
tiene
....................82,7539
10..8
410.150
4
2
23
6
2
RtaNP
P
d
P
A
F
ACAC
AC
adAC
Problema 14.
Una barra de cobre AB sometida a una carga
de tensión P = 500 kN, cuelga de un perno sostenido
por dos pilares de acero. La barra de cobre tiene una
longitud de 10 m, área transversal de 8100 mm2 y un
módulo de elasticidad EC =103 GPa. Cada pilar de
acero tiene una altura de 1 m, un área A= 7500 mm2 y
E = 200 GPa. Determinar el desplazamiento δ del punto
A.
Solución
Datos e incógnitas
.200
7500;..1;..103
;8100;..10;..500
2
2
GPaE
mmAmLGpaE
mmAmLkNP
ac
acaccu
cuCu
En la figura se muestra el DCL de una porción de la
barra AB
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se obtiene
)1.....(....................500
0
kNPF
F
AB
y
La deformación será
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
37
)2.........(....................99,5
10.810010.103
10)10.500(
/
69
3
/
mm
AE
LF
BA
ABAB
ABAB
BA
En seguida se determina la deformación de cada una de
las barra de acero. Para ello se traza el DCL del perno,
en donde actúan las fuerzas: F1 ; F2 y la fuerza exterior
P
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)3(....................2502
0
11
21
kNFPF
PFF
Fy
Del diagrama de una porción de la barra de acero se
obtiene la fuerza interna en el acero
Las ecuaciones de equilibrio nos da
)4.(..............................250
0
1 kFF
F
ac
y
La deformación de las barras de acero con respecto al
punto fijo D es
)5.(..............................167,0
10.750010.200
110.250
/
69
3
/
mm
EA
FL
DE
ac
DE
El desplazamiento del punto A será
..................16,6
167,099,5//
Rtamm
mmmm
A
DEBAA
Problema 15.
Una barra vertical de acero ABC tiene una longitud L1
= 0,5 m y un área de sección transversal A1 = 160 mm2
desde A hasta B; una longitud L2 = 0,8 m y un área A2 =
100 mm2 desde B hasta C como se ve en la figura. En el
punto C actúa una carga P1 = 10 kN. Un brazo
horizontal BD está articulado en B con la barra vertical
y soporta una carga P2 = 26 kN en el extremo D.
Calcular la deflexión vertical δ en el punto C. Considere
que a = b y E = 200 GPa para el acero, además
desprecie el peso de la barra.
Solución
Datos e incógnitas
??;..200;..26;..10
100;.8,0;.160;.5,0
21
2
22
2
11
CGPaEkNPkNP
mmAmLmmAmL
En la figura se muestra el DCL de la barra horizontal
BDE.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)1.........(..........26PP
tiense b,a
0
2
2
kNP
como
bPaP
M O
En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta
ABC
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
38
Trazando el DCL de una porción de barra BC se
procede a determinar la fuerza interna en BC.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)2......(..........10
0
1 kNFPF
F
ACAC
y
En la figura se muestra una porción de la barra ABC
para determinar la fuerza interna en AB
)3..(162610
0
1
kNFkNkNF
PPF
F
ABAB
AB
y
Calculo de la deflexión total del punto C
..............................10.5,1
10.410.25
10.10010.200
8,010.10
10.16010.200
5,010.16
4
44
69
3
69
3
Rtam
mm
m
EA
FL
EA
FL
C
BCAB
BCABC
Problema 16
Una varilla está formada de tres partes distintas, como
se muestra en la figura, y soporta las fuerzas axiales P1
= 120kN y P2 = 50kN. Determinar los esfuerzos en cada
uno de los materiales si cada uno de los extremos está
firmemente empotrado en muros rígidos e
indeformables. Considere para el acero: L = 300mm; A
= 600mm2; E = 200GPa, para el aluminio L = 400 mm;
A = 1200 mm2, E = 70 GPa y para el bronce: L = 600
mm; A = 2400 mm2; E = 83 GPa.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la barra compuesta
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)1....(....................170
50120
0
21
kNRR
kNkNRR
PPRR
F
BA
BA
BA
x
Para determinar la fuerza interna en la barra de acero, se
traza el DCL de una porción de ella como se muestra en
la figura y se aplica las ecuaciones de equilibrio
)2.........(.......................
0
tensiónRF
F
Bac
x
Para determinar la fuerza interna en el bronce se traza el
DCL tal como se muestra en la figura y se aplica las
ecuaciones de equilibrio
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
39
)3.(.........................
0
nCompresiónRF
F
Abr
x
Para determinar la fuerza interna en el aluminio se traza
el DCL tal como se muestra en la figura y se aplica las
ecuaciones de equilibrio
10
............ ........(4)
x A al
al A
F R F P
F P R tensión
Por condición del ejercicio, como los muros no ceden la
deformación total es nula, entonces
0
0,6 120 ,4 0,30....(5)
83 2400 70 1200 200 600
br al ac
A A B
FL FL FL
EA EA EA
R R o R
Resolviendo simultáneamente las ec. (1), (2), (3), (4) y
(5), resulta
tensiónkNF
tensiónkNRF
compresiónkNRF
al
Bac
Abr
...........01,23
...01,73
....99,96
Finalmente los esfuerzos serán
MPaA
F
MPaA
F
MPaA
F
br
br
br
br
al
al
ac
ac
ac
4,4010.2400
10.99,96
17,1910.1200
10.01,23
7,12110.600
10.01,73
6
3
6
3
6
3
Problema 17.
La junta está sometida a la fuerza axial de miembro de 6
kip. Determine el esfuerzo normal medio que actúa
sobre las secciones AB y BC. Suponga que el miembro
es liso y que tiene 1,5 pulg de espesor.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la cuña.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio
(1) 3000º70cos
º60cos6000º70cos
0
BCAB
BCAB
x
FF
FF
F
(2) 5529
º606000º70
0
lbF
sensenF
F
BC
BC
y
Remplazando la ec (2) en (1), se tiene
(3) 4891
º70cos55293000
lbF
F
AB
AB
El esfuerzo normal medio está dado por
Rta. lg/819
lg)5,1lg(5,4
5529
Rta. lg/1630
lg)5,1lg(2
4891
2
2
pulb
pupu
lb
A
F
pulb
pupu
lb
A
F
AB
BC
BC
BC
AB
AB
AB
AB
Problema 18.
La estructura de dos miembros está sometida a la carga
mostrada. Determine el esfuerzo normal medio y el
esfuerzo cortante medio que actúa en las secciones a-a
y b-b. El elemento estructural CB tiene una sección
transversal cuadrada de 2 pulg por lado.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
40
Solución
En la figura se muestra el DCL de la viga AB.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
(1) 68,135
.300)8(80)8(º60
0
lbF
pielbmlbmsenF
M
BC
BC
A
El esfuerzo normal medio en la sección a-a
Rta. lg/92,33
lg)2lg(2
68,135
2pulb
pupu
lb
A
F
AB
BC
BC
BC
Se determina el normal y cortante medios en la sección
b-b, para esto se determina las fuerzas internas
Del diagrama se tiene
lbF
sensenFF
lbF
FF
n
BCn
t
BCt
84,67
º3068,135º30
50,117
º60cos68,135º30cos
Se procede a determinar el área de acción de Ft y Fn
lg)3lg)(4(lg)2)(( pupupuxAA tn
Los esfuerzos normal y cortante medios serán
Rta. lg/68,14
lg)2lg(4
50,117
Rta. lg/48,8
lg8
84,67
2
2
2
pulb
pupu
lb
A
F
pulb
pu
lb
A
F
bb
t
t
bb
bb
n
n
bb
Problema 19.
La barra BC está hecha de acero cuyo esfuerzo
admisible de tensión es σadm =155 MPa. Determine su
diámetro más pequeño para que pueda soportar la carga
mostrada. Suponga que la viga está conectada por un
pasador en A.
Solución.
En primer lugar se procede a determinar la resultante de
las fuerzas distribuidas que actúan sobre la viga.
NmNmF
NmNmF
11250/150005,12
1
22500/1500032
1
2
1
Se traza el DCL de la viga rígida AB
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se determina la
fuerza en A.
NF
FmmNmN
mFmFmF
M A
15000
)5,4()5,2(22500)1(11250
5,45,2)1(
0
12
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
41
Se procede a determinar el diámetro “d”.
Rta. mm 10.11
/10.155(
)15000(44
4/
26
2
d
mN
NFd
d
F
A
F
Problema 20.
La viga rígida AC está soportada por las barras AB y
CD cuyos diámetros son de 10 mm y 15 mm,
respectivamente. Determine la intensidad w de la carga
distribuida de manera que el esfuerzo normal medio en
cada barra no exceda de 150 MPa.
Solución.
En la figura se muestra el DCL de la viga AC rígida de
masa despreciable.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
(2) 3
2
4)6(
0M
(1)
0
A
R
CD
RCD
RCDAB
y
FF
mFmF
FFF
F
Remplazando la ecuación (2) en (1), se tiene
(3) 3
3
2
R
AB
RRAB
FF
FFF
La fuerza resultante de las fuerzas distribuidas es igual
al área
(4) 3
62
1
2
1
wF
wmalturabaseF
R
R
Remplazando la ec. (4) en (2) (3), resulta
(6) 33
1F
(5) 233
2
AB wFw
wFwF
AB
CDCD
Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado
del problema, el varilla CD, resulta
(7) /6,13253
210.154
/150
24
/10.150
232
226
mNw
wmmMN
wdmN
FA CDCDCD
Sustituyendo el valor del esfuerzo dado en el enunciado
del problema, el varilla AB, resulta
(7) /9,11780
10.104
/150
4/10.150
232
226
mNw
wmmMN
wdmN
FA ABABAB
De las ecuaciones (7) y (8) se concluye que la
intensidad w menor que se puede aplicar sin sobrepasar el valor del esfuerzo admisible es w = 11780,9 lb.
Problema 21.
Una estructura simple se usa para sostener una carga de
65 kN, tal como se muestra en la figura. Determine: (a)
el diámetro mínimo del tirante AB si el esfuerzo normal
en la varilla se limita a 100 MPa. (b) Los diámetros
mínimos para los pasadores A y B si el esfuerzo
cortante en los seguros se limita a 70 MPa. (c) El
diámetro mínimo para el seguro C si el esfuerzo
cortante en el seguro se limita a 85 MPa.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
42
Solución
En la figura se muestra el DCL de la estructura BCD
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
(1) 13
565
5
3
cos65
0
ABx
ABx
x
FC
senFC
F
(2) 13
1265
5
4
65cos
0
ABx
ABx
y
FC
senFC
F
(3) 25.181
3607545
3
613
12653
13
5654
0
kNF
kNkNF
mmmsenF
M
AB
AB
AB
C
Remplazando las ec. (3) en (1) y (2)
(4) 75.83
2525,1815
3
kNC
kNkNC
x
x
(5) 205
6025,1815
4
kNC
kNkNC
x
y
La reacción en la articulación C será
(6) 45.221
20575.83 22
22
kNR
CCR
C
yxC
Se procede a determinar el diámetro del tirante AB.
Como éste está sometido a esfuerzo normal se tiene.
2
4
d
F
A
F AB
AB
AB
610.100
18125044
ABF
d
mmd 48 (Rta)
El diámetro mínimo del segura en A y B se determina
utilizando la definición de esfuerzo cortante y
observando que ambos pasadores actúan a cortante
simple.
2
4
d
F
A
F t
t
t
610.79
)181250(44
tF
d
mmd 57 (Rta)
El diámetro mínimo del seguro C se determina
utilizando la definición de esfuerzo cortante y
observando que el pasador también está sometido a
cortante simple.
2
4
d
R
A
R C
t
C
610.85
)221450(44
CR
d
mmd 58 (Rta)
Problema 22.
Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas,
como se muestra en la Fig. No hay deformación unitaria
en las barras verticales antes de aplicar la carga P.
Después de aplicar la carga P, la deformación unitaria
axial en la varilla BF es de 400 μm/m. Determine: (a) la
deformación unitaria axial en la varilla CE; (b) la
deformación unitaria axial en la varilla CE si hay un
espacio libre de 0,25 mm en la conexión del seguro C
antes de aplicar la carga.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
43
Solución
Datos e incógnitas.
εBF = 400.10-6m/m; εCE
En primer lugar se determina el desplazamiento del
punto B.
)1(/10.400 6 mmmLL
BFB
BF
B
mB
610.400 (1)
En la figura se muestra el diagrama de desplazamientos
de la estructura
Utilizando triángulos semejantes se tiene
m
m
mmmm
C
BC
BC
6
6
10.1200
10.40033
80240
La deformación unitaria en la varilla CE será
(Rta) /10.2
10.600
10.1200
3
3
6
mm
m
m
L
CE
CE
CCE
Determinación de la deformación unitaria cuando existe
un espacio libre de 0,25 mm en C. Para esto se traza el
diagrama de desplazamientos como se muestra en la
figura.
Utilizando triángulos semejantes se tiene
m
mm
mmmm
C
BC
BC
3
363
3
10.95,0
10.25,010.400310.25,03
80240
10.25,0
La deformación unitaria en la varilla CE será
(Rta) /10.58,1
10.600
10.950
3
3
6
mm
m
m
L
CE
CE
CCE
Problema 23.
Una barra rígida ABC está sostenida por dos eslabones
como se muestra en la figura. El eslabón BD está hecho
de una aleación de aluminio (E = 73 GPa) y tiene un
área transversal de 1250 mm2. El eslabón CE está hecho
de acero estructural (E =200 GPa) y tiene una sección
transversal de 750 mm2: determine el esfuerzo normal
en cada uno de los eslabones y la deflexión del punto A
cuando se aplica la carga P de 50 kN:
Solución
Datos e incógnitas
Eal = 73 GPa; Aal =1250 mm2; Eac= 200GPa; Aac =750
mm2; P = 50kN, σac = ¿????; σal = ¿????;
En la figura se muestra el DCL de la barra ABC
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
(1) 50
0
kNFF
F
acal
y
(2) 150
9,0503,0
0
kNF
KNF
M
al
al
C
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
44
kNFkN ac 50150
)(100
100
compresiónkNF
kNF
ac
ac
(3)
La deformación de la varilla de acero (CE) será
)10.200(10.750
)4,0(10.10096
3
acac
acac
acEA
LF
mac
410.667,2
La deformación de la varilla de aluminio (BD) será
)10.73(10.1250
)6,0(10.15096
3
alal
alal
alEA
LF
mac
410.86.9
Los esfuerzos en ambos elementos serán:
2
3
1250
10.150
mm
N
A
F
al
al
al
MPaal 120 Rta
2
3
750
10.100
mm
N
A
F
ac
ac
ac
MPaal 133 Rta
Para determinar la deflexión del punto A, se traza la
geometría de las deformaciones la misma que se
representa en la Fig.
De la semejanza de triángulos se tiene
44 10.667.2
3,0
10.86,9
3,0
xx
xx
acal
mx 236,0
Por otro lado se tiene
236,0
10.86.9
236,06,0
6,04
A
alA
xx
mmA 49,3 Rta
Problema 24.
Una barra rígida CD está sometida a carga y sostenida
como se muestra en la figura. Las barras A y B están
libres de esfuerzos antes de aplicar la carga P. La barra
A es de acero inoxidable (E = 190 GPa) y tiene un área
transversal de 750 mm2. La barra B está hecha de una
aleación de aluminio (E = 73GPa) y tiene un área
transversal de 1250 mm2. Después de aplicar la carga P,
se encuentra que la deformación unitaria en la barra B
es de 1200 μm/m. Determine: (a) Los esfuerzos en las
barras A y B; (b) El desplazamiento vertical (deflexión)
del seguro D y (c) la carga P.
Solución
En primer lugar se procede a determinar la deflexión de
B
)5,0(10.1200 6 mLL
BBB
B
B
mB
610.600 (1)
En la figura se muestra el diagrama de las
deformaciones a partir del cual se procede a determinar
la deflexión de A.
Mediante triángulos semejantes
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
45
)10.600(2
5
2,05,0
6 mmm
EBE
mE
610.1500 (2)
De la geometría de la deformación de la barra A, se
tiene
cosEA
E
ACos
5
410.1500 6 mA
mA
610.1200 (3)
Parte (a). Cálculo de los esfuerzos
m
mNm
L
E
B
BBB
5,0
/10.7310.600 296
PaB 6,87 (Tensión) Rta.
m
mNm
L
E
A
AAA
1
/10.19010.1200 296
MPaA 228 (Tensión) Rta.
Parte (b). Cálculo del desplazamiento del seguro en D
los esfuerzos. Del diagrama de deformaciones se
obtiene
)10.600(32,06,0
6 mmm
DBD
mD
610.1800 Rta.
Parte (c). Cálculo de la fuerza P
En la figura se muestra el DCL de la Barra CED
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0 CM
mPmsenFmF AB 6,05,02,0
P
PAA
PFF
AABB
AB
6)10.750)(10.228(4)10.1250)(10.6,87(2
642
65
452
6666
kNP 5,150 Rta.
Problema 25.
Una pila de concreto de sección cuadrada tiene 6 m de
altura como se muestra en la figura. Los lados
convergen desde un ancho de 1.0 m en la base hasta 0,5
m en la parte superior. Determine el acortamiento del
pilar bajo una carga de compresión P = 1400 kN
(desprecie el peso propio de la pila). Suponga que el
módulo de elasticidad del concreto es 24 GPa.
Solución
Para resolver el problema se divide a la estructura en
elementos diferenciales a una distancia z y de espesor
dz, tal como se muestra en la figura.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
46
La deformación unitaria del elemento diferencial será
dz
d
La deformación de la pila será
(1)
25,0
6
0 2
6
0
6
0
x
dz
E
P
dzEA
Pdz
E Z
Mediante triángulos semejantes se tiene
zxx
z04167,0
25,0
6 (2)
Remplazando la ec. (2) en (1) se tiene
08,05,0/10.24
10.1400
04167,025,0/10.24
10.1400
6
0 229
3
6
0 229
3
z
dz
mN
N
z
dz
mN
N
Integrando la ecuación anterior, se obtiene
mm714,0 Rta.
Problema 26
El miembro a tensión de la figura consta de un tubo A
de acero estructural (Eac = 29.106 lb/pulg2), que tiene un
diámetro exterior de 6 pulg y un diámetro interior de
4,5 pulg; y de una barra sólida B de aleación de
aluminio (Eal = 10,6.106 lb/pulg2) que tiene un diámetro
de 4 pulg. Determine: (a) El cambio de longitud del
tubo de acero, (b) La deflexión total del miembro, (c)
Los esfuerzos normal y cortante máximos en el tubo de
acero
Solución
Fuerza interna en la barra sólida B
3
3
0 120.10 0
120.10
y B
B
F F lb
F lb
Fuerza interna en el tubo de acero
3 3
3
0 85.10 120.10 0
205.10
y A
A
F F lb lb
F lb
Parte (a) Cambio de longitud del tubo A
0, 0,
2 2( )4
A A A A
A
A AA e i
F L F L
E AE d d
3
6 2 2 2
2
4(205.10 )(50) .
29.10 (6 4,5 ) lglg
A
lb pul
lbpu
pu
328,57.10 lgA pu
Cambio en la longitud de B
0, 0,
2
4
B B B B
B
B BB B
F L F L
E AE d
3
6 2
2
4(120.10 )(40) .
(10,6.10 )(4 )lg
B
lb pul
lbpul
pu
336,04.10 lgB pu
Parte (b) Deflexión total
3 3
3
8,57.10 lg 36,04.10 lg
64,1.10
T
T
pu pu
pul
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
47
Parte (c). Esfuerzos cortante máximo: En la figura se
muestra la fuerza en la sección inclinada y el área
correspondiente. Para que los esfuerzo cortante sea
máximo el ángulo θ = 45°
3 2cos 45 205.10 ( ) 144,96
2t AF F lb klb
2 2 20 0
2
45 ( 2)(6 4,5 ) lg )45 4
17,49 lg
A Asen A pu
A sen
A pu
Esfuerzo cortante máximo
max 2 2
144,968286
17,49 lg lg
tF klb lb
A pu pu
El esfuerzo normal es máximo cuando el ángulo es 0°.
Entonces su valor será
max 22 2 20
20516570
lg(6 4,5 ) lg
4
AF klb lb
A pupu
Problema 27
La barra C mostrada en la figura es una varilla de
aleación de aluminio (Eal = 73 GPa) tiene un área de
sección transversal de 625 mm2. El miembro D es un
poste de madera (Em = 12 GPa) y tiene una sección
transversal de 2500 mm2. Si los esfuerzos normales
admisibles son 100 MPa para el aluminio y 30 MPa
para la madera. Determine el valor máximo admisible
de la carga P.
Solución
En la figura se muestra el DCL de la barra rígida AB en
una posición inclinada
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0
6 6
6
0
(0,3cos ) (0,05cos ) (0,1cos ) 0
0,3 0,05 0,1
0,3 0,05 0,1
0,3 0,05(2500.10 ) 0,1(625.10 )
0,3(10 ) 125 62,5 (1)
D C
D C
D D C C
D C
D C
M
P F F
P F F
P A A
P
P
Principio de compatibilidad
3
3
0, 0, 3
3
9 9
6
0.09.102( 0.09.10 )
50 100
2( ) 0,18.10
0,3 0,152( ) 0,18.10
73.10 12.10
6,08 43,8.10 (2)
CDC D
C C D D
C D
C D
C D
mm mm
L L
E E
Si el esfuerzo en la madera es 30D MPa ,
entonces se tiene 6 66,08(30.10 ) 43,8.10
226
C
C MPa
La ecuación anterior indica que se sobrecarga el
aluminio, entonces es el esfuerzo en el aluminio el que
debe usarse. Entonces tenemos
6
6 6
6,08 43,8.10
100.10 6,08 43,8.10
9,24
C D
D
D MPa
Remplazando este valor en la ecuación (1) resulta
6 6 6
max
max
0,3(10 ) 125(9,24.10 ) 62,5(100.10 )
= 24683 N Rta.
P
P
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
48
PROBLEMAS SOBRE ESFUERZO.
1. Dos barras Cilíndricas AB y BC Están soldadas por
una placa rígida en B y sometida a las cargas
indicadas. Sabiendo que la fuerza P = 28,2 kip.
Determine los esfuerzos normales promedios en:
(a) AB y (b) en BC
2. La lámpara de 6 kg que aparece en la figura cuelga
de un techo por medio de alambres de 0,75 mm de
diámetro. Determine el esfuerzo de tensión en los
alambres AB y BC
3. El dispositivo mostrado en la figura sirve para
determinar la resistencia de la madera al esfuerzo
cortante. Las dimensiones del bloque de madera son
6 pulg x 8pulg x1.5pulg. Si la fuerza requerida para
partirla es de 12 kip, determine la resistencia
promedio de la madera al esfuerzo cortante.
4. Dos tubos de hierro de fundición se unen con
adhesivo en una longitud de 200 mm como se
muestra en la figura. Los diámetro externos de cada
uno de los tubos son de 50 mm y 70 mm,
respectivamente y el espesor de su pared es de
10 mm. Si se separan al transmitir una fuerza de
100 KN. ¿Cuál fue el esfuerzo cortante promedio
en el adhesivo justo antes de la separación
5. La sección transversal del punzón y la matriz de la
figura es un círculo de una pulgada de diámetro.
Una fuerza P = 6 kips se aplica al punzón. Si el
espesor de la placa es t = 1/8 pulg. Determine el
esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de
la trayectoria del punzón.
6. En la figura se muestra el croquis de un punzón y
matriz para hacer arandelas. Determine la fuerza P
necesaria para troquelarlas en términos del espesor
t de la placa, la resistencia promedio de ésta al
esfuerzo cortante τ y los diámetros internos y
externo de las arandelas d1 y d2.
7. La estructura mostrada en la figura soporta una
carga P = kN. Determine: (a) el esfuerzo normal en
el elemento BD si este tiene una sección transversal
de área ABD = 8.103 mm2. (b) El esfuerzo cortante
en el perno en A si este tiene un diámetro de 25
mm y actúa a cortante doble.
8. La fuerza axial P = 12.103 lb actúa sobre un
miembro rectangular, como se muestra en la figura.
Determine los esfuerzos normal y cortante
promedio sobre el plano inclinado AA.
9. La pieza de madera está sometida a una fuerza de
tensión de 85 lb. Determine los esfuerzos normales
y cortantes medios desarrollados en las fibras de la
madera orientadas a lo largo de la sección a-a a 15°
con el eje de la pieza. Rta: σ = 1,90 psi; τ = 7,08 psi.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
49
10. En la figura se muestra un modelo simplificado del
brazo de un joven al levantar un peso. El área de la
sección transversal del bíceps se estima en 2 pulg2.
Determine el esfuerzo normal promedio en el
músculo y la fuerza cortante promedio en la
articulación del codo A.
11. Calcule el esfuerzo de compresión en la biela
mostrada en la figura cuando se aplica una fuerza P
= 10 lb al pedestal de freno. Suponga que la línea
de acción de la fuerza P es paralela a la biela, cuyo
diámetro es d = 0,22 pulgadas y las otras
dimensiones ilustradas se miden
perpendicularmente a la línea de acción de P.
Rta: σ = 1446,9 lb/pulg2.
12. Todos los pernos mostrados en la figura trabajan en
cortante simple y tienen un diámetro de 40 mm. La
sección transversal de todos los miembros es
cuadrada. Determine el esfuerzo cortante máximo
en el perno A y los esfuerzos axiales en el miembro
BD.
13. Un conjunto de puntal y cable ABC sostiene una
carga vertical P = 15 kN. El cable tiene una sección
transversal efectiva de 120 mm2 y el puntal un área
de 250 mm2: determine los esfuerzos normales en
el cable y en el puntal e indicar si son de tensión o
de compresión.
14. Cada uno de los cuatro eslabones verticales tienen
una sección transversal rectangular de 8 por 36 mm
y cada uno de los cuatro pines tienen 16 mm de
diámetro. Determine los valores máximos de los
esfuerzos normales medios en cada eslabón
conector en: (a) en los puntos B y D y (b) y en los
puntos C y E. Rta: σBD = 101,6 MPa; σCE = -21,7 MPa
15. Sabiendo que la porción central del eslabón BD
tiene una sección uniforme de 800mm2. determine
la magnitud de la carga P para la cual el esfuerzo
normal en esa porción BD sea de 50 MPa. Rta: P = 62,745 N
16. En la figura se ve un punzón para perforar placas
de acero, Si se usa un punzón con diámetro de 0,75
pulg para perforar un agujero en una placa de ¼
pulg, Si se requiere una fuerza de P = 28000 lb.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
50
¿Cuál es el esfuerzo cortante medio en la placa y el
esfuerzo normal medio en el Punzón.
17. El elemento de madera inclinado AB de una
armadura está ensamblada en una cuerda inferior de
4 x 6 pulg, como se muestra en la figura. Determine
la fuerza de compresión axial en el miembro AB
cuando el esfuerzo cortante promedio paralelo al
grano en el extremo de la cuerda inferior es de 225
lb/pulg2.
Rta: P = 4,88 klb
18. Las dos barras de aluminio soportan la fuerza
vertical de P = 20 kN. Determine sus diámetros
requeridos si el esfuerzo permisible de tensión para
el aluminio es de σ = 150 MPa.
Rta: dAB = 15,5 mm y dAC = 13 mm
19. Una viga horizontal AB con sección transversal
rectangular y longitud de 2,4 m está sostenida
mediante un puntal inclinado CD como se muestra
en la figura. El puntal, que se compone de dos
barras planas está unido a la viga en el punto C por
un perno de diámetro d = 16 mm. Si el esfuerzo
tangencial admisible es el perno es de 90 MPa.
¿Cuál es el valor admisible de la carga P que actúa
sobre la unión B
20. La pieza mostrada en la figura está hecha de acero
con un peso específico de 7500 kg/m3. Determine el
esfuerzo de compresión medio que actúa en los
puntos A y B.
21. Un empalme en madera se fabrica con adhesivo
como se muestra en la figura. La longitud de la
región pegada es L = 4 pulg y el espesor de la
madera es de 3/8 pulg. Determine el esfuerzo de
corte promedio en el adhesivo.
22. Un empalme en madera se fabrica con adhesivo
como se muestra en la figura. La unión transmite
una fuerza P = 20 kips y tiene las siguientes
dimensiones L = 3 pulg, a = 8 pulg y h = 2 pulg.
Determine el máximo esfuerzo normal promedio y
el esfuerzo cortante en el adhesivo.
23. Dos tiras de un material plástico están unidas,
como se muestra en la figura. El esfuerzo cortante
medio en el adhesivo debe limitarse a 950 kPa.
Halle la longitud L de la placa de empalme
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
51
necesaria si la carga axial soportada por la junta es
de 50 kN
24. Los elementos de madera están unidos por placas
de madera contrachapada pegadas a las superficies
en contacto. Si la separación entre extremos es de
6 mm y el cortante último de la junta pegada es de
2,5 MPa. Determine la longitud L para la cual el
factor de seguridad es 2,75 con la carga mostrada.
25. La flecha compuesta consiste en un tubo AB y en
una barra sólida BC. El tubo tiene un diámetro
interno de 20 mm y un diámetro externo de 28 mm.
La barra tiene un diámetro de 12 mm. Determine el
esfuerzo normal medio en los puntos D y E
26. Se utiliza un acople para conectar una varilla de
plástico de 2 pulgadas de diámetro con una varilla
de 1,5 pulgadas, como se muestra en la figura. Si el
esfuerzo cortante promedio en el adhesivo debe
limitarse a 500 lb/pulg2. Determine la longitud
mínima L1 y L2 requeridas para la junta si la carga
aplicada es P = 8000 lb.
27. Un cilindro está sostenido por una barra y un cable,
tal como se muestra en la figura. El cilindro tiene
una masa de 75 kg y un radio de 100 mm. Determine: (a) El esfuerzo axial medio en el cable
de acero CD de 3 mm de diámetro; (b) El diámetro
mínimo requerido para el seguro A si el esfuerzo
cortante en el seguro debe limitarse a 10 MPa. El
seguro A está a cortante doble.
Rta: (a) σCD = 54,24 MPa, (b) d = 6,37 mm
28. La viga está soportada por un pasador A y un
eslabón BC. Determine el esfuerzo cortante
promedio en el pasador B que tiene un diámetro de
20 mm y está sometido a cortante doble.
29. La barra que se muestra en la figura tiene una
sección transversal rectangular de 200 x 100 mm.
Determine: (a) los esfuerzos normal y cortante en el
plano a-a; (b) los esfuerzos normal y cortante
máximos en la barra.
Rta: (a) σ = 18,75 MPa; τ = 10,83 MPa
.
30. El marco soporta la carga mostrada. El perno en A
tiene un diámetro de 0,25 pulg y está sometido a
cortante doble. Determine el esfuerzo cortante
promedio en el perno.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
52
31. Determine la intensidad w máxima de la carga
distribuida que puede ser soportada por la viga
atirantada de manera que no se exceda un esfuerzo
cortante admisible de 100 MPa en los pernos de 12
mm de diámetro en A y B, ni se exceda tampoco un
esfuerzo normal admisible de 150 Mpa en el
tirante AB de 15 mm de diámetro.
32. La estructura se encuentra sometido a la fuerza de
7 kN. Determine los diámetros requeridos para los
pernos en A y B si los esfuerzos de corte
admisibles en el material es de adm = 40 MPa. El
perno en A se encuentra sometido a cortante doble
mientras que el perno en B se encuentra sometido a
cortante simple.
33. Determine el esfuerzo normal medio en la sección
a-a y el el esfuerzo cortante medio en la sección b-b
del elemento AB de peso despreciable. La sección
transversal del elemento es cuadrada de 0,5 pulg
por lado.
34. El soporte cilíndrico de aluminio de 200 mm de
diámetro soporta una carga compresiva de 300 kN.
Determine los esfuerzos normales y cortantes
medios actuando sobre la sección a-a.
35. Las tres barras de acero son utilizadas para soportar
la carga P. Si los alambre soportan un esfuerzo
admisible σadm = 165 MPa. Si el alambres AB; BC
y BD tienen diámetros de 6 mm, 5 mm y 7 mm,
respectivamente. Determine la fuerza más grande
posible P que se debe aplicar para que ninguno de
los alambres fallen.
36. El miembro ABC, el cual es soportado por un
pasador en C y un cable BD, ha sido diseñado para
soportar una carga P = 16 kN, como se muestra en
la figura. Sabiendo que la carga última que puede
soportar el cable es de 100 kN . Determine el factor
de seguridad con respecto a la falla del cable.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
53
37. Un pasador de 6 mm de diámetro se usa en la
conexión en C del pedal mostrado. Sabiendo que
P = 500 N. Determine: (a) el esfuerzo cortante
medio en el pasador, (b) el esfuerzo de
aplastamiento nominal del pedal en C y (c) el
esfuerzo de aplastamiento nominal en cada uno de
los soportes en C.
38. El elemento B es sometido a una carga compresiva
de 600 lb como se muestra en la figura. Si cada uno
de los elementos A y B son hechos de madera y
tienen 𝒆 = 𝟏, 𝟓 𝒑𝒖𝒍𝒈 de espesor. Determine la
dimensión más pequeña a de tal manera que el
esfuerzo de corte a lo largo de la línea azul no
excede a 𝝉 = 𝟓𝟎 𝒑𝒔𝒊
39. El cable BD tiene una resistencia a la rotura de
25 kips y el factor de seguridad con respecto a la
falla requerido en el cable es 3,2. Determine la
fuerza más grande P que se puede aplicar con
seguridad al elemento ABC.
40. La barra homogénea ABCD es soportada por el
cable AB que pasa por la polea, por un cable
vertical en C y por un plano inclinado liso. Si las
áreas transversales de AB y C son 250 mm2 y 300
mm2. Determine la masa de la barra si el esfuerzo
normal en cada uno de éstos cable se encuentra
limitado a 100 MPa.
41. Determine la carga P más pequeña que puede ser
aplicada a la estructura sin exceder un esfuerzo
normal medio σ = 150 MPa ni un esfuerzo
cortante τ = 60 MPa en la sección a-a,
respectivamente. El elemento BC tiene una sección
cuadrada de 25 mm por cada lado.
PROBLEMAS SOBRE DEFORMACIONES.
42. la viga rígida es soportada por un pasador en A y
dos alambres BD y CE. Si la carga aplicada sobre
la viga produce un desplazamiento de 10 mm del
extremo C hacia abajo. Determine la deformación
unitaria normal en cada uno de los alambres. Rta: εBD = 0,00107mm/mm; εCE = 0,00250mm/mm
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
54
43. Como resultado de la aplicación de la fuerza P, en
el punto B de la figura se observó un movimiento
de 0,06 pulg hacia arriba. Si la longitud de la barra
A es de 24 pulg. Determine la deformación normal
media en ella
44. Como resultado de la aplicación de la fuerza P, en
el punto B de la figura se observó un movimiento
de 0,06 pulg hacia arriba. Si las longitudes de las
barras A y F es de 24 pulg. Determine la
deformación normal media en cada una de las
barras
45. La barra rígida CD de la figura es horizontal
cuando no está sometida a carga, mientras que las
barras A y B no están sujetas a deformación.
Cuando se aplica la carga P, se encuentra que la
deformación unitaria axial en la barra B es de
0,0015 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación
unitaria axial en la barra A y (b) La deformación
unitaria axial en la barra A si hay un espacio libre
de 0,005 pulg en la conexión entre las barras A y la
barra rígida CD. Rta: (a) 938 μpulg/pulg; (b) 313 μpulg/pulg
46. La viga rígida es soportada por un pasador en A y
los alambres BD y CE. (a) Si la aplicación de la
carga P produce un desplazamiento de 10 mm hacia
abajo, determine la deformación normal en los
alambres CD y DE. (b) si la máxima deformación
normal en cada alambre es 0,02. Determine el
máximo desplazamiento vertical de la carga P.
Rta: 11,2 mm
47. la viga rígida es soportada por un pasador en a y
dos alambres BD y CE. Si la carga distribuida
sobre la viga ocasiona un desplazamiento vertical
de 10 mm del extremo C. Determine la
deformación unitaria normal en cada uno de los
alambres. Rta: εBD = 0,00276mm/mm; εCE = 0,0050mm/mm
48. Como resultado de la aplicación de la fuerza P, en
el punto B de la figura se observó un movimiento
de 0,06 pulg hacia arriba. Si la longitud de la barra
A es de 24 pulg. Determine la deformación normal
media en ella.
49. Repita el problema anterior para las barras
mostradas en la figura.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
55
50. Debido a la aplicación de la fuerza P en la posición
B de la figura se observó u movimiento hacia la
izquierda de 0,75 mm. Si la longitud de la barra A
es 1,2 m. Determine la deformación normal media
en ella.
51. Debido a la aplicación de la fuerza P, en el punto B
de la figura se observó un movimiento a la
izquierda de 0,75 mm. Si las longitud de la barra
A es de 1,2 m. Determine la deformación unitaria
normal media en dichas barras.
52. Debido a la aplicación de la fuerza P, en el punto B
de la figura se observó un movimiento a la
izquierda de 0,75 mm. Si las longitudes de las
barras A y F es de 1,2 m. Determine la deformación
unitaria normal media en dichas barras.
53. El rodillo en P puede deslizarse en la ranura sólo en
la cantidad indicada. Determine la deformación en
la barra AP, mediante: (a) mediante el cálculo de la
longitud deformada de AP sin aproximaciones de
pequeña deformación, (b) usando aproximaciones
de pequeñas deformaciones.
54. Repita el problema anterior para la barra mostrada
en la figura
55. El rodillo en P se desliza en la ranura como se
indica en cada caso. Determine el cambio
dimensional en las barras AP y BP por
aproximaciones de pequeña deformación.
56. El rodillo en P se desliza en la ranura como se
indica en la figura. Determine el cambio
dimensional en la barras AP y BP por
aproximaciones de pequeña deformación.
57. Parte de la varilla de mando de un avión consta de
un miembro rígido CBD y de un cable flexible AB.
Si se aplica una fuerza al extremo D del miembro y
ocasiona una deformación unitaria normal en el
cable de 0,0035 mm/mm, determine el
desplazamiento del punto D. En la posición original
el cable no está estirado.
Rta: 4,38 mm
58. Cuando se aplica la fuerza P al extremo del brazo
de palanca rígido ABC como se muestra en la
figura, el brazo rota en sentido antihorario
alrededor del pasador en A un ángulo de 0,05°.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
56
Determine la deformación unitaria normal
desarrollada en el alambre BD.
59. La fuerza aplicada al extremo C del brazo de
palanca rígido ocasiona que el brazo gire alrededor
de A un ángulo de 3° en sentido horario. Determine
la deformación unitaria promedio en el alambre.
Originalmente el alambre se encuentra sin
deformar.
60. Los dos alambres están conectados en A. Si la
fuerza P ocasiona que el punto A se desplace
horizontalmente 2 mm, determine la deformación
unitaria normal desarrollada en cada alambre.
Rta: 0,00578 mm/mm
61. Si una carga aplicada a la barra AC ocasiona que el
punto A se desplace hacia la izquierda una cantidad
L, determine la deformación unitaria normal en el
alambre AB. Inicialmente, = 45°.
Rta: 0,5ΔL/L
62. La pieza de plástico es originalmente rectangular.
Determine el esfuerzo normal medio a lo largo de
las diagonales AC y DB.
63. Antes de aplicar la carga P en el sistema de la
figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B
es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la
deformación axial en la barra B es de -2500 m/m.
Determine la deformación axial en la barra A
64. La carga P produce una deformación unitaria axial
en el poste de latón B de la figura de 0,0014
pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria
axial en la varilla A de aleación de aluminio. (b) La
deformación unitaria axial en la varilla A de
aleación de aluminio si hay un espacio libre de
0,005 pulg en la conexión entre A y C, además del
espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.
Rta: (a) 1000 μpulg/pulg; (b) 900 μpulg/pulg
65. El cuadrado se deforma hasta adoptar de forma
descrita por las líneas punteadas. Determine (a) el
esfuerzo normal medio a lo largo de las diagonales
AC y DB y (b) las deformaciones angulares en A,
B, C y D. El lado D’B’ permanece horizontal. Rta: εBD = 0,00161mm/mm; εCE = 0,126mm/mm
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
57
66. La placa rectangular está sometida a las
deformaciones mostradas por las líneas punteadas.
Determine: (a) las deformaciones unitarias medias
a lo largo de la diagonal AC y del lado AB, y (b) la
deformación unitaria cortante media γxy.
67. La carga P produce una deformación unitaria axial
en el poste de acero D de la figura de 0,0075 m/m.
Determine: (a) La deformación unitaria axial en la
varilla de aluminio C. (b) La deformación unitaria
axial en la varilla C de aleación de aluminio si
existe un espacio libre de 0,10 mm en la conexión
en E, además del espacio libre de 0,09 mm en la
conexión en E, además del espacio libre de 0,09
mm entre B y D antes de aplicar la carga P.
Rta: (a) 8100 μm/m; (b) 900 μm/m
68. Una unidad de aislamiento vibratorio consta de dos
bloques de caucho endurecido adheridos a una
placa AB y a soportes rígidos, como se muestra en
la figura. Sabiendo que una fuerza P = 25 kN causa
una deflexión δ = 1,5 mm de la placa AB.
Determine el módulo de rigidez del caucho usado.
69. Un cojinete de elastómero (G = 0,9 MPa) es
utilizado para soportar una viga de un puente como
se muestra y proporcionar flexibilidad durante los
terremotos. La viga no puede desplazarse más de
10 mm cuando se aplica la carga lateral P = 22 kN.
Sabiendo que el esfuerzo cortante admisible
máximo es de 420 kPa. Determine: (a) la
dimensión b más pequeña requerida y (b) el espesor
a requerido.
70. La unidad de aislamiento vibratorio consta de dos
bloques de caucho endurecido adheridos a una
placa AB y a soportes rígidos como se muestra en
la figura. Sabiendo que para el caucho utilizado τadm
= 220 psi y G = 1800 psi. Y que la fuerza P = 3,2
kips puede causar una deflexión vertical de 0,1 pulg
a la placa AB. Determine las dimensiones a y b
más pequeñas requeridas.
71. Una viga rígida reposa en posición horizontal sobre
dos cilindros de aluminio 2014-T6 que tienen
longitudes sin carga que se muestran en la figura.
Si cada cilindro tiene un diámetro de 30 mm.
Determine la colocación de la carga x de modo que
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
58
la viga permanezca horizontal. ¿Cuál es el nuevo
diámetro del cilindro A después de haberse
aplicado la carga?. Considere que νal = 0,35
Rta: x = 1,53 m; d = 30,008 mm
72. El soporte consta de tres placas rígidas conectadas
entre sí por medio de dos cojinetes de hule situados
simétricamente. Si se aplica una fuerza vertical de
5 N a la placa A. Determine el desplazamiento
vertical aproximado de esta placa debido a las
deformaciones unitarias cortantes en el hule. Cada
cojinete tiene dimensiones transversales de 30 mm
y 20 mm. G = 0,20 MPa. Rta: δ = 0,833 mm
73. El bloque plástico mostrado está pegado al soporte
rígido y a una placa vertical, a la cual se aplica una
fuerza P de 240 kN. Sabiendo que para el plástico
utilizado G = 1050 MPa, halle la deflexión de la
placa. Todas las dimensiones se dan en mm
Rta: δ = 1,19 mm
74. El tubo rígido AC es soportado por un pasador en
A y por un alambre DB de acero (E = 29 ksi). Si el
alambre tiene un diámetro de 0,25 pulg. Determine
la carga P si el extremo C se desplaza 0,075 pulg
hacia abajo.
Rta: P = 570 lb
75. La barra AD es rígida y se encuentra inicialmente
en posición horizontal. Si el peso W ocasiona que
el punto B se desplace 0,025 pulg hacia abajo.
Determine la deformación unitaria en los alambres
DE y BC. Además, si los alambres están hechos de
acero (E = 200 GPa) y tienen una sección
transversal de 0,002 pul2, determine el peso W. Rta: εDE = 0,00116pulg/pulg; εDE = 0,00116 pulg/pulg;
W = 112 lb
76. El tubo es soportado por un pasador en C y un
alambre AB que tiene un diámetro de 0,2 pulg.
Determine la deformación del alambre AB cuando
sobre el tubo actúa la carga distribuida mostrada.
Rta: 0,0821 pulg
77. Dos barras son utilizadas para soportar la carga P
mostrada en la figura. Si las longitudes de AB y
AC antes de la aplicación de la carga son de 5 pulg
y 8 pulg, respectivamente y las coordenadas de
posición del anillo es (0; 0). Después de aplicarse la
carga P al anillo las deformaciones unitarias normal
en las barras son εAB = 0,02 pulg/pulg y son εAB =
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
59
0,035 pulg/pulg. Determine las coordenadas de
posición del anillo después de la aplicación de la
carga.
Rta: x = -0,192 pulg; y = -0,218 pulg
78. El alambre AB de acero (E = 200 GPa) tiene un
área transversal de 10 mm2 y no está estirado
cuando θ = 45°. Determine la carga P necesaria
para que θ = 44,9°.
Rta: P = 2,46 kN
PROBLEMAS SOBRE ELEMENTOS CARGADOS
AXIALMENTE.
79. Un tubo hueco A de acero estructural (E = 200
GPa) con un diámetro exterior de 60 mm y un
diámetro interior de 50 mm está unida a una barra
sólida B de aluminio (E = 73 GPa) que tiene un
diámetro de 50 mm sobre una mitad de longitud y
un diámetro de 25 mm sobre la otra mitad. La barra
está sometida a cargas y sostenida como se muestra
en la figura. Determine: (a) El cambio de longitud
del tubo de acero, (b) El alargamiento total del
miembro, (c) Los esfuerzos máximos normal y
cortante en la barra de aluminio y en el tubo de
acero.
Rta: (a) 0,313 mm; (b) 1,865 mm
80. El ensamble consiste de una barra CB de acero
(E = 200 GPa) y una barra BA de aluminio
(E = 70 GPa) teniendo cada una un diámetro de
12 mm. Si el sistema es sometido a las cargas
axiales mostradas. Determine: (a) el
desplazamiento de los puntos B y A y (b) la
elongación de la barra AC.
Rta: δB = 1,59 mm y δA = 6,14 mm
81. La barra compuesta de acero inoxidable (E = 20
GPa) mostrada en la figura consta de dos
segmentos, AB y BD, cuyas áreas transversales son
de 600 mm2 y 1200 mm2, respectivamente.
Determine el desplazamiento vertical del extremo
A y el desplazamiento de B respecto a C.
82. La barra rígida BDE es soportada por los
conectores AB y CD. El conector AB es de
aluminio (E = 70GPa) y tiene un sección
transversal de 500 mm2, el conector CD es de acero
(E = 200GPa) y tiene un área transversa de 600
mm2. Halle las deflexiones de: (a) B, (b) D y (c) E
83. La estructura mostrada consiste en dos barras
rígidas originalmente horizontales. Están
soportadas por pasadores y barras de acero (E =
210 GPa) de 6 mm de diámetro- Si se aplica la
carga vertical de 20 kN a la barra inferior AB.
Determine el desplazamiento en C, B y E.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
60
84. El miembro a tensión de la figura consta de un tubo
A de acero estructural (29.106 lb/pulg2), que tiene
un diámetro exterior de 6 pulg y un diámetro
interior de 4,5 pulg; y de una barra sólida B de
aleación de aluminio (10,6.106 lb/pulg2) que tiene
un diámetro de 4 pulg. Determine: (a) El cambio de
longitud del tubo de acero, (b) La deflexión total
del miembro, (c) Los esfuerzos máximos normal y
cortante en la barra de aluminio.
85. El conjunto mostrado en la figura consiste en un
tubo AB de una aleación de aluminio (E =73 GPa)
con área transversal de 500 mm2. Una barra de
acero inoxidable (E = 190 GPa) con diámetro de 12
mm está unida a un collarín rígido y pasa a través
del tubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN
a la barra, determine el desplazamiento del extremo
C de la barra.
86. Un tubo A de aleación de aluminio (E = 73 GPa),
con un diámetro exterior de 75 mm, se utiliza para
sostener una varilla B de acero (E = 200 GPa) de
25 mm de diámetro, como se muestra en la figura.
Determine el diámetro interior del tubo A requerido
si la deflexión máxima del extremo de la varilla
sujeto a carga debe limitarse a 0,40 mm. Rta: d = 57,5 mm
87. Un elemento estructural está hecho de un material
que tiene una densidad ρ y un módulo de
elasticidad E. Determine el desplazamiento de su
extremo inferior bajo el efecto de su propio peso y
la fuerza exterior P.
88. La barra rígida esta soportada por la barra CB
conectada ésta en sus extremos por pasadores; la
barra CB tiene un área transversal de 14 mm2 y
está hecha de aluminio 6061-T6. Determine la
deflexión vertical de la barra en D cuando se
aplica la carga distribuida. Rta: δD = 17,3 mm
89. La barra de acero tiene un área en su sección
transversal de 3 pulg2 y un módulo de elasticidad
E = 35.103 ksi. Determine el desplazamiento de su
extremo A cuando está sometido a la carga
distribuida mostrada. Rta: δA = 0,0128 pulg
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
61
90. Una barra de acero A-36 está sometida a las cargas
que se muestran en la figura. Si el área de la
sección transversal de la barra es de 60 mm2,
determine el desplazamiento de B y de A.
Desprecie el tamaño de los acoples B, C y D. Rta: δA = 2,64 mm
91. El sistema de eslabones está formado por tres
miembros de acero A-36 (E = 200GPa)
conectados por pasadores; cada miembro tiene un
área transversal de 450 mm2. Si se aplica una
fuerza horizontal P = 30 kN al extremo B del
miembro AB. Determine el desplazamiento
horizontal del punto B
92. Un tubo de acero A-36 tiene un radio exterior de
20 mm y un radio interior de 15 mm. Si entre
justamente entre las paredes fijas antes de ser
cargado, determine la reacción en las paredes
cuando se somete a la carga mostrada.
Rta: FC = 4,80 kN; (b) FA = 11,2 kN
93. Una barra plana de sección transversal rectangular
de lado L y espesor constante t, se somete a una
fuerza de tracción P como se muestra en la figura.
El ancho de la barra cambia en forma lineal, desde
b1 en el extremo menor hasta b2 en el mayor.
Determine el alargamiento de la barra.
94. Una barra tiene una longitud L y el área de su
sección trasversal es A. Determine su alargamiento
debido tanto a la fuerza P como a su propio peso.
El material tiene una densidad ρ y un módulo de
elasticidad E.
95. La barra tiene un ligero ahusamiento y longitud L.
Está suspendida del techo y soporta una carga P en
su extremo. Determine el desplazamiento se su
extremo libre debido a esta carga si se desprecia el
eso propio. El módulo de elasticidad es E
96. Determine el desplazamiento relativo a un extremo
de la placa tronco prismático con respecto al otro
extremo cuando está sometida a una carga axial P
97. La barra rígida AB es soportada por un pasador en
A y por una barra de acero (E = 200 GPa) BC de
500 mm2 de sección transversal. Determine el
desplazamiento vertical del extremo B de la barra
rígida cuando se le aplica la carga distribuida
mostrada en la figura.
Rta: δB = 4,17 mm
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
62
98. Una barra de sección rectangular de aluminio (E =
10000 ksi, ν = 0,25) de ¾ pulg de espesor consta de
una sección transversal uniforme y una piramidal,
como se observa en la figura. La altura de la
sección piramidal varía conforme a h(x) = 2 -0,02x.
Determine: (a) El alargamiento de la barra bajo las
cargas aplicadas, (b) El cambio de dimensión en la
dirección y en la sección BC.
99. Dos barras cilíndricas, una de acero (E = 200 GPa)
y la otra de latón (E = 105 GPa) están unidas en C
y y restringidas a moverse por los soportes rígidos
A y E. Si se aplica un sistema de cargas axiales
como se muestra en la figura. Determine: (a) las
reacciones en A y en E y (b) la deflexión de C. Las
dimensiones se dan en milímetros
100. El radio de un cono truncado de sección circular
varía con x de la manera siguiente
R(x) = (r/L)(5L - 4x) ver figura. Determine el
alargamiento del cono truncado debido a su propio
peso en términos de E; L, r y γ, donde E y γ son el
módulo de elasticidad y el peso específico del
material, respectivamente.
101. La barra compuesta consiste en un segmento AB de
acero A-36 de 20 mm de diámetro y de segmentos
extremos DA y CB de latón C83400 de 50 mm de
diámetro. Determine el desplazamiento del punto A
con respecto a B debido a la carga aplicada.
Rta: δA/B = 0,335 mm
102. El conjunto consta de tres barras de titanio y una
barra rígida AC. El área de la sección transversal de
cada barra se da en la figura. Si se aplica una fuerza
horizontal de P = 30 kN al anillo F, determine el
ángulo de inclinación de la barra AC. Considere
que ETi = 350 GPa.
Rta: θ = 0,063.10-3 rad
103. Un tubo de acero está lleno de concreto y sometido
a una fuerza de compresión de 80 kN. Determine el
esfuerzo en el concreto y en el acero debido a esta
carga. El tubo tiene un diámetro exterior de 80 mm
y un diámetro interior de 70 mm. Eac= 200 GPa y
Ec = 24 GPa
104. La columna mostrada en la figura es construida de
concreto de alta resistencia ( E = 4,2.103 ksi) y 6
varillas de acero reforzado (E = 29.103 ksi). Si al
sistema se le somete a una carga axial de 30 kip.
Determine el diámetro requerida de cada varilla de
tal manera que la cuarta parte de la carga sea
soportada por el concreto y las tres cuartas partes
de la carga sea soportada por el acero.
Rta d = 1,80 pulg
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
63
105. Una barra rígida AB descansa sobre los dos postes
cortos mostrados en la figura. AC está hecho de
acero (E = 200 GPa) y tiene un diámetro de 25
mm; BD está hecho de aluminio (E = 73 GPa)
tiene un diámetro de 50 mm. Determine el
desplazamiento del punto F s ituado en AB cuando
se aplica una carga vertical de 90 kN sobre este
punto.
106. El poste central B del conjunto tiene una longitud
original de 124,7 mm, mientras que los postes A y
C tienen una longitud de 125 mm. Si las tapas
arriba y abajo se consideran rígidas, determine el
esfuerzo normal promedio en cada poste. Los
postes están hechos ed aluminio y tienen cada uno
un área transversal de 400 mm2. E = 70 GPa.
Rta: σA = σC = 189 MPa; σB = 21,4 MPa.
107. Las tres barras colgantes están hechas del mismo
material y tienen las mismas áreas A en sus
secciones transversales. Determine el esfuerzo
normal medio en cada una de las barras si la barra
rígida ACE está sometida a la fuerza P.
108. La longitud del alambre de acero de 2 mm de
diámetro, ha de ser ajustada de manera que, sin
carga aplicada, exista una luz de 1,5 mm entre el
extremo B de la viga rígida ACB y un punto de
contacto E. Sabiendo que E = 200 GPa, halle la
posición a la cual se debe colocar un bloque de 20
kg sobre la viga de tal manera que el extremo B de
la viga entre en contacto con el apoyo E.
Rta: x = 92 mm
109. El soporte consisten un poste sólido de latón
C83400 (E = 101 GPa) que está rodeado por un
tubo de acero inoxidable 304 (E = 193 GPa). Antes
de aplicar la carga el hueco entre estas dos partes es
de 1 mm. Dadas las dimensiones mostradas,
determine la carga axial máxima que puede
aplicarse a la tapa rígida A sin generar fluencia en
ninguno de los materiales. Rta: P = 198 kN
110. La columna de concreto (E = 25 GPa) es reforzada
por seis varillas de acero (E = 200 GPa) cada una
de diámetro d = 20 mm. Si esta es sometida a una
carga axial de 900 kN, Determine el esfuerzo
normal en el concreto y en el acero
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
64
111. Una barra rígida BCD está engoznada en el punto
C. Si el módulo de elasticidad del poste A es
E = 30000 ksi, su área transversal es A = 1,25 pulg2
y su longitud es de 24 pulg. Determine la fuerza
aplicada F si el punto B se mueve 0,002 pulg hacia
arriba.
112. El poste A de acero inoxidable 304 tiene un
diámetro de d = 50 mm se encuentra rodeado por
un tubo B hecho de bronce C83400. Ambos se
encuentra en reposo sobre la superficie horizontal
como se muestra en la figura. Si la fuerza de 25 kN
es aplicada a la lámina rígida superior. Determine el diámetro d que debe tener el poste para que la
carga sea repartida igualmente en el poste y el tubo.
113. ¿Cuál es el desplazamiento relativo del punto A
con respecto al punto D?. Considere que lAB = 300
mm, lCD = 400 mm y lCD = 500 mm
114. La barra rígida BCD está engoznada en el punto C.
Si el módulo de elasticidad de la varilla A de peso
despreciable es E = 30000 ksi, su área transversal
es A = 1,25 pulg2 y su longitud es de 24 pulg.
Determine la fuerza aplicada F si el punto B se
mueve 0,002 pulg hacia arriba
115. Se supone que la viga horizontal es rígida mientras
soporta la carga distribuida mostrada. Determine el
ángulo de inclinación de la viga después de haberse
aplicado la carga distribuida como se muestra.
Cada poste es de madera con 120 mm de diámetro y
una longitud original (descargada) de 1,4 m.
considere que Emad = 12 GPa. Rta: θ = 1,14.10-3 grados
116. La barra rígida AB es soportada por dos cables de
aluminio (E = 10000 ksi) con un diámetro de 172
pulg la barra se encuentra en posición horizontal
antes de la aplicación de la carga. Determine el
ángulo de rotación de la barra con respecto a la
horizontal cuando se aplica una carga P = 5 kips.
117. Una barra rígida está engoznada en el punto C con
un perno de acero de 2 mm de diámetro y que actúa
cortante doble. Si el módulo de elasticidad de la
barra A es E = 100 GPa, su área transversal es
A = 15 mm2 y su longitud es de 1,2 m. Determine
(a) la fuerza aplicada F si el punto B se mueve 0,75
mm hacia la izquierda, (b) el esfuerzo cortante en el
perno C. Rta: (a) F = 3750 N, (b) τ = 667 MPa
118. El cable BC de 2 mm de radio está hecho de acero
(E = 200 GPa). Sabiendo que el máximo esfuerzo
normal en el cable no debe exceder 190 MPa y que
la elongación en el mismo no puede exceder los 6
mm, encuentre la máxima carga P que podría
aplicarse a la estructura mostrada.
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
65
119. Cada uno de los eslabones AB y CD está hechos de
aluminio y tienen una sección transversal de
125 mm2. Sabiendo que ellos soportan el miembro
rígido BC, determine la deflexión del punto E
120. La barra rígida ABC es soportada por dos cables de
aluminio (E = 10000ksi) con un diámetro de
½ pulg, como se muestra en la figura. Determine
los alargamientos de los cables CE y BD cuando se
le aplica una carga de P = 5 kips.
121. La barra rígida BCD está engoznada en el punto C.
Si el módulo de elasticidad del poste A es E = 100
GPa, su área transversal es A = 15 mm2 y su
longitud es de 1,2 m. Determine la fuerza aplicada
F si el punto B se mueve 0,75 mm hacia la
izquierda.
122. La barra rígida AD es soportada por dos alambres
de acero (29.103 ksi) de diámetro d = 1/16 pulg y
por un pasador en D . sabiendo que los alambres
inicialmente estaban tensos. Determine: (a)
Determine la tensión adicional en cada alambre
cuando una fuerza P = 120 lb es aplicada en B, (b)
la correspondiente deflexión del punto B.
123. El rodillo en P se mueve en la ranura debido a la
fuerza F = 100 kN. El elemento AP tiene una
sección transversal A = 100 mm2 y un módulo
elástico de 200 Gpa. Determine el desplazamiento
del rodillo.
124. Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre
dentro de una ranura. Las dos barras tienen una
sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo
de elasticidad E = 200 GPa. La barra AP y BP
tienen longitudes de 200 mm y 250 mm,
respectivamente. Determine el desplazamiento del
rodillo y el esfuerzo axial en la barra A
125. Una barra ABC de longitud L consiste en dos
partes de igual longitud pero diferentes diámetros.
Los segmentos AB y BC tiene diámetros 𝑑1 =
100 𝑚𝑚 y 𝑑2 = 60 𝑚𝑚 , respectivamente. Ambos
segmentos tienen longitud 𝐿
2= 0,6 𝑚 . Se perfora un
agujero longitudinal de diámetro 𝑑 a través del
segmento AB a lo largo de la mitad de su longitud
(distancia 𝐿
4= 0,30 𝑚. La barra es de plástico con
módulo de elasticidad 𝐸 = 4 𝐺𝑃𝑎. La cargas de
compresión 𝑃 = 110 𝑘𝑁 actúan en los extremos
de la barra. Si el acortamiento de la barra está
limitado a 8 mm. ¿Cuál es diámetro 𝑑𝑎𝑑𝑚
admisible máximo para el agujero
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
66
126. Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre
dentro de una ranura. Las dos barras tienen una
sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo
de elasticidad E = 200 GPa. La barra AP y BP
tienen longitudes de 200 mm y 250 mm,
respectivamente. Determine el desplazamiento del
rodillo y el esfuerzo axial en la barra A.
127. Una fuerza F = 20 kN se aplica al rodillo que corre
dentro de una ranura. Las dos barras tienen una
sección transversal de A = 100 mm2 y un módulo
de elasticidad E = 200 GPa. La barra AP y BP
tienen longitudes de 200 mm y 250 mm,
respectivamente. Determine el desplazamiento del
rodillo y el esfuerzo axial en la barra A
128. Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe
una brecha de 0,004 pulg antes de que se aplique la
fuerza F. La placa está engoznada en el punto C.
Las longitudes de las barras A y B es de 1 m y 1,5
m, y sus diámetros de 5 mm y 30 mm,
respectivamente. La barras son de acero (E = 200
GPa) y tienen un módulo de Poisson = 0,28 Si la
fuerza F = 75 kN. Determine: (a) el cambio
dimensional en la longitud de la dos barras y (b) su
cambio en el diámetros.
129. Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe
una brecha de 0,004 pulg antes de que se aplique la
fuerza F. La placa está engoznada en el punto C.
Las longitudes de las barras A y B es de 1 m y 1,5
m, y sus diámetros de 5 mm y 30 mm,
respectivamente. La barras son de acero (E = 200
GPa) y tienen un módulo de Poisson = 0,28. Si
los esfuerzos admisibles en las barras A y B son de
110 MPa y 125 MPa, respectivamente. Determine
la fuerza máxima F que puede aplicarse.
130. Una estructura conectada con seguros está sujeta a
cargas y sostenida como se muestra en la figura. El
miembro CD es rígido y horizontal antes de aplicar
la carga P de 75 kN. La barra A está hecha de acero
estructural (E = 200 GPa) y la barra B está hecha
de aluminio (E = 73 GPa). Si los esfuerzos
admisibles son 125 MPa para el acero y 70 MPa para el aluminio, determine: (a) El área transversal
mínima aceptable para la barra B si la barra A tiene
un área transversal de 625 mm2 y (b) El
desplazamiento vertical del extremo D de la barra
rígida.
Rta: (a) 2570 mm2; (b) 6,51 mm
131. Dos barras delgadas se fijan firmemente a una
placa rígida, como se muestra en la figura. El área
de la sección transversal de cada barra es de
20mm2. La fuerza F debe colocarse de tal manera
que la placa rígida sólo se muestra horizontalmente
0,05 mm sin girar. Determine la fuerza F y su
ubicación h en los dos casos siguientes. (a) Ambas
barras son de acero, con módulo de elasticidad E =
200 GPa. (b) La barra (1 es de acero (E = 200
GPa) y la barra 2 de aluminio (E = 70 GPa).
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
67
132. La barra rígida CDE, mostrada en la figura, es
horizontal antes de aplicar la carga P. El tirante A
es una barra de acero (E= 210 GPa) rolado en
caliente con una longitud de 450 mm y un área
transversal de 300mm2. el poste B es un madero de
roble (E = 12 GPa) con una longitud de 375 mm y
un área transversal de 4500 mm2. Después de que
se aplica la carga P de 225 kN, determine: (a) Los
esfuerzos normales en la barra A y el poste B. (b)El
esfuerzo cortante en el seguro de 20 mm de
diámetro en C, que se encuentra a cortante doble.
(c) El desplazamiento vertical del punto D.
133. Dos cables idénticos AB y BC soportan una carga
P = 225 N. La distancia entre los soportes A y C es
b = 1 m y los cables forman un ángulo θ = 55° con
la horizontal; está, hechos de acero de alta
resistencia y su rigidez EA = 165 kN.m2. Determine
el desplazamiento hacia abajo, δ, del punto B,
debido a la carga P.
134. Una barra de sección rectangular de aluminio (E =
10000 ksi), una barra de acero (E = 30000 ksi) y
una barra de latón (E = 15 000 ksi) forman la
estructura mostrada, todas tienen el mismo espesor
de de 0,5 pulg. Si existe una brecha de 0, 02 pulg
antes de que se aplique las fuerzas P = 15 kips a la
placa rígida y suponiendo que ésta no gira,
determine: a) El esfuerzo axial en el acero y b) el
desplazamiento de la placa rígida respecto a la
pared derecha.
135. Los conectores BC y DE son de acero (E = 29.103
ksi) y tienen ½ pul de ancho por ¼ pulg de espesor.
Determine: (a) la fuerza en cada conector cuando se
aplica una fuerza P = 600 lb al miembro rígido AF
y (b) la deflexión del punto A.
136. La estructura conectada con seguros mostrada en
la figura ocupa la posición mostrada cuando no está
sujeta a cargas. Cuando se aplican a la estructura
las cargas D = 16 klb y E = 8 klb, la barra rígida C
debe colocarse horizontal. La barra A está hecha de
aluminio (E = 10600 klb/pulg2) y la barra B está
hecha de bronce (E = 15000 klb/pulg2). Si los
esfuerzos normales en las barras deben limitarse a
20 klb/pulg2 en el aluminio y 15 klb/pulg2 en el
bronce. Determine: (a) Las áreas mínimas que
serían adecuadas para las barras; (b) los cambios de
longitud de las varillas A y B.
Rta: AA = 0,419 pulg2; AB = 1,067 pulg2.
137. La barra rígida esta soportada por dos postes cortos
de madera y un resorte. Si cada uno de los postes
tiene una altura de 500 mm y un área transversal de
800mm2 y el resorte tiene una rigidez k = 1.8
MN/m y una longitud no estirada de 520 mm,
determine la fuerza en cada poste después de
aplicada la carga a la barra. Emad = 11GPa.
Rta: F = 40 kN
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
68
138. Las barras A y B tienen un área de sección
transversal de 400 mm2 y un módulo de elasticidad
E = 200 GPa. Entre la barra A y la placa rígida hay
una brecha antes de que se aplique la fuerza F,
como se observa en la figura. Si F = 10 kN.
Determine: (a) el esfuerzo axial en la barra B y (b)
el cambio dimensional de la barra A.
Rta: σB = 68,7 MPa, δA = 0,146 mm
139. Barras sólidas de sección circular de latón (E = 100
GPa, ν = 0,34) y aluminio (E = 70 GPa, ν = 0,33)
del mismo diámetro extremo, como se muestra en
la figura. Con base en la carga indicada determine:
(a) El movimiento de la Placa C con respecto de la
palca A y (b) el cambio de diámetro del cilindro de
latón. (c) El diámetro interno máximo del tubo de
acero si el factor de seguridad respecto de falla a
fluencia debe ser al menos 1,2. El esfuerzo de
fluencia del acero es de 250 MPa
140. Tres barras de acero (E = 200 GPa) A; B y C
tienen longitudes LA = 4 m; LB = 3 m y LC = 2 m,
como se muestra en la figura. Todas tienen la
misma área de sección transversal de 500 mm2.
Determine: (a) El alargamiento de la barra B, (b) El
esfuerzo normal en la barra C.
141. El conector horizontal BC tiene ¼ pulg y está
hecho de acero de 60 ksi de resistencia última a
tensión. Cuál debe ser el ancho w del conector si la
estructura se diseñó para soportar P = 8 kip con un
factor de seguridad igual a 3?.
142. La barra C mostrada en la figura es una varilla de
aleación de aluminio (E = 73 GPa) tiene un área de
sección transversal de 625 mm2. El miembro D es
un poste de madera (E = 12 GPa) y tiene una
sección transversal de 2500 mm2. Si los esfuerzos
normales admisibles son 100 MPa para el aluminio
y 30 MPa para la madera. Determine el valor
máximo admisible de la carga P.
Rta: Pmax = 24683 N
143. Una estructura conectada con seguros está sujeta a
cargas y sostenida como se muestra en la figura. El
miembro CD es rígido y está horizontal antes de
aplicar la fuerza P. La barra A es de aluminio
(E = 10,6.106 lb/pulg2) tiene un área trasversal de
2,25 pulg2. La barra B es de acero inoxidable
(E = 28.106 lb/pulg2) y tiene un área transversal de
1,75 pulg. Después de que se aplica la carga P a la
Estructura, determine: (a) Los esfuerzos normales
en las barras A y B; (b) el esfuerzo cortante en el
seguro en C de 0,5 pulg de diámetro que está a
cortante doble y (c) el desplazamiento vertical del
punto D. Rta: (a) σA = 2,21 klb/pul2, σB = 2,91 klb/pul2
144. La barra rígida en forma de L es soportado por un
pasador en A y dos varillas de acero ( E = 200
GPa) que tienen una longitud sin deformar de 12
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
69
pulg y un área de sección transversal de 0,0125
pul2. Determine la fuerza desarrollada en cada uno
de los alambres cuando a uno de los extremos de
la barra rígida se le aplica una carga vertical de
350 lb.
Rta: FB = 86,6 lb; FC = 195 lb
145. La barra rígida ABD es soportada por un pasador
en A, un alambre de acero BC (E = 200 GPa) con
una longitud sin deformar de 200 mm y un área de
sección transversal de 22,5 mm2 y de un poste
corte de aluminio (E = 70 GPa) cuya longitud sin
carga es de 50 mm y una sección transversal de 40
mm2. Si a uno de los extremos de la barra rígida se
le aplica una carga vertical de 450 N. Determine el
esfuerzo normal medio en la barra vertical y en el
poste corto.
Rta: σD = 13,4 MPa, σBC = 9,55 MPa
146. Una barra rígida ABC está sostenida por dos
eslabones como se muestra en la figura. El eslabón
BD está hecho de una aleación de aluminio
(E = 73 GPa) y tiene un área transversal de 1250
mm2. El eslabón CE está hecho de acero estructural
(E = 200 GPa) y tiene una sección transversal de
750 mm2. Determine el esfuerzo normal en cada
uno de los eslabones y la deflexión del punto A
cuando se aplica la carga P de 50 kN.
147. El ensamble consta de dos varillas AB Y CD de
una aleación de cobre (E = 101 MPa) de 30 mm de
diámetro; de una varilla de acero inoxidable EF
(E = 193 GPa) de 40 mm de diámetro y de una
placa rígida G. Suponiendo que los soportes A, C
y F son rígidos. Determine el esfuerzo normal
medio en cada una de las barras.
Rta: σAB = σCD = 26,5 MPa, σEF = 33,8 MPa
148. La barra vertical rígida AB esta empernada en A y
soportada por dos barras de aluminio de 1 pulg de
diámetro y cuyo módulo de elasticidad es
E = 10.103 ksi. Determine el desplazamiento del
extremo B de la barra cuando sobre ella se aplica
la carga horizontal de 2 kip.
Rta: 0,00257 pulg
149. Si el espacio entre el extremo del ensamble de
acero (E = 200 GPa) y el muro rígido en D es de
0,15 mm. Determine las reacciones en A y en D
cuando en la unión B se le aplica una carga
P = 200 kN.
Rta: RA = 180 kN: RD = 20,4 kN
150. Una fuerza P se aplica a una barra engoznada en el
punto O mediante un perno hecho de acero de
0,25 pulg de diámetro, como se muestra en la
figura. Las barras A y B so de acero (E = 30000
ksi). El área de la sección transversal de las barras
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
70
A y B son de AA = 1 pulg2 y AB = 2 pulg2. Si la
deflexión admisible en el punto C es de 0,01 pulg
y el esfuerzo admisible en las barras es de 25 ksi.
(a) Determine la magnitud de la fuerza P que
puede aplicarse. (b) Si el perno actúa a cortante
doble ¿cuál será el esfuerzo cortante en dicho
perno?.
151. La barra A de la figura es una varilla de acero
(E = 30.106 lb/pul2) que tiene un área transversal
de 1,24 pulg2. El miembro B es un poste de latón
(E = 15.106 lb/pulg2) que tiene un área transversal
de 4 pulg2. Determine el valor máximo admisible
de la carga P si los esfuerzos normales admisibles
son 30 klb/pulg2 para el acero y 20 klb/pulg2 para
el latón.
Rta: Pmax = 167,9 klb
152. Las tres barras colgantes están hechas de acero
(E = 200 GPa) y tienen la misma sección
transversal A = 450 mm2. Determine el esfuerzo
normal medio en cada una de las barras cuando a la
viga rígida se le aplica las cargas mostradas en la
figura.
Rta: σAD = 79,6 MPa; σBE = 96,3 MPa¸ σCF = 113 MPa
153. La barra rígida se mantiene en posición horizontal
mediante un perno en A y dos varillas de acero
(E = 29.103ksi) BC y DC y cuyas secciones
transversales son de 0,04 pulg2. Determine el
esfuerzo normal medio en cada una de las barras.
Rta: σCD = 15,4 ksi; σBC = 11,4 ksi
154. La barra rígida AB de peso despreciable se
mantiene en posición horizontal gracias a dos
barras de acero (E = 200GPa) y de 12 mm de
diámetro, antes de aplicar la carga P = 20kN.
Determine el ángulo de inclinación de la viga
después de la aplicación de P.
155. La viga rígida ABC de peso despreciable se
mantiene en posición horizontal mediante un
pasador de 8 mm de diámetro en A y un cable de
acero BD de 481 mm2 de sección transversal.
Sabiendo que H = 1,6 m, L1 = 3 m y L2 = 1,5 m.
Determine después de la aplicación de la carga
P = 32 kN: (a) El esfuerzo normal en el cable, (b)
la deflexión del punto C y (c) el esfuerzo cortante
en el pasador en A si éste actúa a cortante doble
156. La barra rígida AD es soportada por un pasador en
A y por los alambres BC y DE. Si la deformación
unitaria normal admisible máxima en cada alambre
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
71
es εadm = 0,003. Determine el desplazamiento
vertical máximo de la carga P.
157. El conector BD está hecho de Bronce (E = 105
GPa) y tiene un área de sección transversal de
240 mm2. El conector CE está hecho de aluminio
(E = 72 GPa) y tiene un área de sección transversal
de 300 mm2. Si ellos soportan el elemento rígido
ABC. Determine la máxima fuerza P que puede ser
aplicada verticalmente en el punto A si la deflexión
de A no debe exceder a 0,35 mm.
158. La barra ABC rígida ABC de masa despreciable
mostrada en la figura se encuentra articulada en B y
conectada a la barra vertical de aluminio en A y a la
barra de acero en C. Si inicialmente las barras se
encuentran libres de esfuerzo cuando ABC se
encuentra horizontal. Determine el esfuerzo normal
medio en la barra de aluminio y en la de acero
después que al extremo D se aplica la carga P = 20
kips.
159. El brazo de palanca mostrado en la figura es
soportado por dos alambres de acero (E = 200
GPa) que tienen el mismo diámetro de 4 mm y un
pasador en E. Si se aplica una fuerza P = 2 kN al
extremo de la palanca. Determine los esfuerzos y
las deformaciones de cada uno de los alambres.
160. Entre la placa rígida y la barra A de la figura existe
una brecha de 0,004 pulg antes de que se aplique la
fuerza F. la placa está engoznada en el punto C.
Las longitudes de las barras A y B es de 30 y 50
pulg, respectivamente. Ambas barras tienen un área
transversal de A = 1 pul2 y un módulo de
elasticidad E = 30000ksi. Si P = 100 kips.
Determine el esfuerzo axial en las barras A y B.
161. Una barra rígida, de masa despreciable, está
articulada en O y unida a una varilla de acero y una
de bronce, según se muestra en la figura.
Asumiendo que inicialmente las barras se
encuentran libre de esfuerzos ¿Cuánto vale la carga
máxima P que puede aplicarse sin exceder un
esfuerzo en el acero de 150 MPa ni uno en el
bronce de 70 MPa? Rta: Pmax = 107,4 kN
162. La viga rígida horizontal ABCD es soportada por
barras verticales BE y CF y está cargada por
fuerzas verticales 𝑃1 = 400𝑘𝑁 y 𝑃2 = 360𝑘𝑁que
Física General II Elasticidad Optaciano L. Vásquez García 2011
72
actúan en los puntos A y D, respectivamente, como
se muestra en la figura. Las barras BE y CF son de
acero (𝐸 = 200𝐺𝑃𝑎 ) y tienen un áreas
transversales de 𝐴𝐵𝐸 = 11100𝑚𝑚2y 𝐴𝐶𝐹 =9280𝑚𝑚2. Determinar los desplazamientos
verticales de los puntos A y B
163.
164.
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