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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.2 Síntesis de generación de trayectorias.
Capitulo IVCapitulo IVCapitulo IVCapitulo IV
Síntesis dimensional de mecanismos
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.2 Síntesis de generación de trayectorias.
Capítulo IVCapítulo IVCapítulo IVCapítulo IVSíntesis dimensional de mecanismosSíntesis dimensional de mecanismosSíntesis dimensional de mecanismosSíntesis dimensional de mecanismos
IV.1IV.1IV.1IV.1 Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de Síntesis dimensional de mecanismos. Generación de funciones.funciones.funciones.funciones.
IV.2IV.2IV.2IV.2 Generación de trayectorias.Generación de trayectorias.Generación de trayectorias.Generación de trayectorias.1.1.1.1. Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de
trayectorias.trayectorias.trayectorias.trayectorias.2.2.2.2. Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.3.3.3.3. Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.4.4.4.4. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de
RobertsRobertsRobertsRoberts----ChevishevChevishevChevishevChevishev....IV.3IV.3IV.3IV.3 Guiado de sólido rígido.Guiado de sólido rígido.Guiado de sólido rígido.Guiado de sólido rígido.
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Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias
1.1.1.1. Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de trayectorias.trayectorias.trayectorias.trayectorias.
2.2.2.2. Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.3.3.3.3. Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.4.4.4.4. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de
RobertsRobertsRobertsRoberts----ChevishevChevishevChevishevChevishev....
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Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias
1.1.1.1. Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de Introducción a la síntesis de generación de trayectorias.trayectorias.trayectorias.trayectorias.
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Introducción a la síntesis de Introducción a la síntesis de Introducción a la síntesis de Introducción a la síntesis de generación de trayectoriasgeneración de trayectoriasgeneración de trayectoriasgeneración de trayectorias
Se denomina síntesis dimensional de generación de síntesis dimensional de generación de síntesis dimensional de generación de síntesis dimensional de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias a la parte de la síntesis de mecanismos que estudia la correspondencia de las trayectorias descritas por puntos pertenecientes a las barras de un mecanismo, durante el movimiento de éste, con otras trayectorias especificadas. Existen diferentes tipos de problemas que pueden plantearse en la síntesis de generación de trayectorias como son: generar trayectorias iguales, generar trayectorias simétricas, etc.
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Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias
2.2.2.2. Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.Un método analítico basado en números complejos.
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Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en números complejosnúmeros complejosnúmeros complejosnúmeros complejos
zzzz6
zzzz5
zzzz4zzzz3
zzzz2
zzzz1
φ1nψ1
n
θ1n
δ1n PPPP1
rrrr1rrrrn
PPPPn
45611
3211
zzzzr
zzzr
+++=
++=
n1n1
n1n1
i4
i561n
i3
i21n
ee
ee
θψ
θφ
zzzzr
zzzr
+++=
++=
)1e()1e(
)1e()1e(
n1n1
n1n1
i4
i5n1
i3
i2n1
−+−=
−+−=
θψ
θφ
δ
δ
zz
zz
)1e()1e(
)1e()1e(
1212
1212
i4
i512
i3
i212
−+−=
−+−=
θψ
θφ
δ
δ
zz
zz
)1e()1e(
)1e()1e(
1313
1313
i4
i513
i3
i213
−+−=
−+−=
θψ
θφ
δ
δ
zz
zz
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Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en números complejosnúmeros complejosnúmeros complejosnúmeros complejos
)1e()1e(
)1e()1e(
1313
1212
i3
i213
i3
i212
−+−=
−+−=
θφ
θφ
δ
δ
zz
zz
)1e()1e(
)1e()1e(
1313
1212
i4
i513
i4
i512
−+−=
−+−=
θψ
θψ
δ
δ
zz
zz
)1e()1e(
)1e()1e(
)1e(
)1e(
1313
1212
13
12
ii
ii
i13
i12
2
−−
−−
−
−
=
θφ
θφ
θ
θ
δ
δ
z
)1e()1e(
)1e()1e(
)1e(
)1e(
1313
1212
13
12
ii
ii
13i
12i
3
−−
−−
−
−
=
θφ
θφ
φ
φ
δ
δ
z
)1e()1e(
)1e()1e(
)1e(
)1e(
1313
1212
13
12
ii
ii
i13
i12
4
−−
−−
−
−
=
ψθ
ψθ
ψ
ψ
δ
δ
z
)1e()1e(
)1e()1e(
)1e(
)1e(
1313
1212
13
12
ii
ii
13i
12i
5
−−
−−
−
−
=
ψθ
ψθ
θ
θ
δ
δ
z
45116
3211
zzzrz
zzrz
−−−=
−−=
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Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en Un método analítico basado en números complejosnúmeros complejosnúmeros complejosnúmeros complejos
Síntesis dimensional de generación de trayectoria con tres puntos de precisión: La trayectoria por la que debe pasar el punto P se define como:
Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:Procedimiento:
1.Se obtiene el valor de: δ12 y δ13.
2.Se suponen unos ángulos: ϕ12, ϕ13, ψ12, ψ13, θ12, θ13.
3.Se obtienen las dimensiones: z2,z3, z4, z5.
4.Se obtienen las dimensiones: z1, z6.
y3
x3
y2
x2
y1
x1
y
x
213
21313
212
21212
)yy()xx(
)yy()xx(
−+−=
−+−=
δ
δ
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3.3.3.3. Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.Métodos gráficos de generación de trayectorias.
Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias
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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias
A0 B0
A1
B1
A2B2
P2
P1
B0
A1
B0’
A0’
B1
A0
P1
El movimiento de un mecanismo cuadrilátero articulado para pasar de una posición 1 a otra 2 será distinto en función de donde este situado el observador. Si éste esta situado en el bastidor las articulaciones flotantes recorrerán una trayectoria circular alrededor de las fijas. Si está situado en el acoplador serán las articulaciones fijas las que describan una trayectoria circular alrededor de las móviles.
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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias
A0 B0
A1
B1
A2B2
P2
P1
A0 B0
A1
B1
A2B2
P2
P1
B0’A0’
Las posiciones A0’ y B0’ pueden obtenerse fácilmente mediante triangulación.
Basándose en este principio se puede plantear un procedimiento de síntesis gráfica de generación de trayectorias.
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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias
P1
P2
P3
A1
A0
B0
a
e
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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias
P1
P2
P3
eeA1
A3
A2
A0
B0
e
a
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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias
P1
P2
P3
A1 A3A2
A0
B0
e
ee
a
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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias
P1
P2
P3
A1 A3 A2
A0
B0
B0’’
B0’
B1
ee
e
a
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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias
P1
P2
P3
A1 A3 A2
A0
B0
B0’’
B0’
B1
ee
e
a
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Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de Métodos gráficos de generación de trayectoriastrayectoriastrayectoriastrayectorias
a
P1
P2
P3
A1 A3 A2
A0
B0
B1
10
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Cinemática y Dinámica de Máquinas. IV.2 Síntesis de generación de trayectorias.
Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Capítulo IV: Tema 2Síntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectoriasSíntesis de generación de trayectorias
4.4.4.4. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChevishevChevishevChevishevChevishev....
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
Se conocen como mecanismo cognados o emparentados a los mecanismos que realizan la misma función. Por ejemplo:
• Recorrer la misma trayectoria.
• Generar la misma función entrada-salida.
• Etc.
El interés de estudiar estos mecanismos radica en que en muchas ocasiones, durante el proceso de diseño, interesa tener varias alternativas de mecanismos que realicen la misma función. De esta forma, se pueden escoger entre las alternativas el mecanismo menos voluminoso, pesado, etc.
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
En este apartado estudiaremos los mecanismos cognados del cuadrilátero articulado que recorren la misma trayectoria. Este estudio fue realizado independientemente por los investigadores Robert (1875) y Chebyshev(1876).
Enunciado: “Existen tres mecanismos cuadrilátero articulado que trazan la misma curva de acoplador”.Existen al menos 12 demostraciones de este teorema pero aquí estudiaremos solamente una.
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
A0 B0
BA θ
α β
γ
φ
P
Teorema de Roberts-Chebshev: construcción gráfica.
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
A0 B0
D
P
BA
E
ψ
θ
α β
γ
Ψ + π
ψ
ψ
φ
θ+ α
φ
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
A0 B0
D
P
BA
E
F
G
ψ
θ
βα
α
α
β
β
γ
γ
γ
Ψ + π
ψ
ψ
φ
θ+ α
φ
ψ
π
ψ + π + α
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
A0 B0
D
P
BA
C0
E
F
G
ψ
θ
βα
α
α
β
β
γ
γ
γ
Ψ + π
ψ
ψ
φ
θ+ α
φ
ψ
π
ψ + π + α
N = 10
PI = 13
PII = 0
G = 3(10-1)-2 13 = 1
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
A0 B0
D
P
BA
C0
E
F
G
ψ
θ
βα
α
α
β
β
γ
γ
γ
Ψ + π
ψ
ψ
φ
θ+ α
φ
ψ
π
ψ + π + α
zzzz
00 FCDFDA ++=z
)(i0
)(i)(i0 eFCDFeDeA απψαϕαθ ++++ ++=z
DAAP 0=
AB
DP
AP
DF=
AB
AAAP
AB
DPAPDF 0==
AB
EP
AP
PG=
AB
BBAP
AB
EPAPPGFC 0
0 ===
[ ] cteeBAAB
APeBBAeAABee
AB
AP
eAB
BBAPe
AB
AAAPAPe
i00
)(i0
i0
ii
)(i0)(i0)(i
==++
=++=
+
++++
απψϕθα
απψαϕαθz
α
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
A0 B0
D
P
BA
C0
E
F
G
ψ
θ
βα
α
α
β
β
γ
γ
γ
Ψ + π
ψ
ψ
φ
θ+ α
φ
ψ
π
ψ + π + α
γ
0000 BAAB
APCA =
AB
AP
BA
CA
00
00 =
α
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Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Síntesis de mecanismos cognados. Teorema de Teorema de Teorema de Teorema de RobertsRobertsRobertsRoberts----ChebyshevChebyshevChebyshevChebyshev
A0 B0
C0
γ
Obtención directa de C0
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