UNIVERSIDAD DE ORIENTENUCLEO DE BOLIVAR
COORDINACION GENERAL DE ESTUDIOS DE POSTGRADOPOSTGRADO EN CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MENCION FINANZAS.
VII COHORTE
MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACIONCODIGO # 806-3120
SECCION U
PROF. HUGAR CAPELLA
• FUNCION EXPONENCIAL
Sea un número real positivo. La función que a cada número real x le hace
corresponder la potencia se llama función exponencial de base a y
exponente x. PROPIEDADES DE LOS EXPONENCIALES
Sean a y b reales positivos y x,y Є R ,entonces:
.
Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya
representación decimal con sus primeras cifras decimales, es
e = 2.7182818284….,la función exponencial , se llama:
función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota
por Exp( x ) = .
Tabla A.3.3 texto
APLICACIÓN: FUNCION EXPONENCIAL NATURAL
LA POBLACION DE CIERTA NACION DESARROLLADA SE SABE QUE ESTA DADA (En MILLONES DE HABITANTES) POR LA FÓRMULA
En donde t es el numero de años transcurridos a partir de 1980. Determine la población en el año 2000 y la población proyectada para el 2010, suponiendo que la formula tiene validez hasta entonces.
Solución:En el año 2000 han transcurrido 20 años
La proyectada para el año 2010.
FUNCION LOGARITMO
Definición de logaritmo : Se llama logaritmo en base a del número x al exponente b al
que hay que elevar la base para obtener dicho número. que se lee : "el logaritmo en base a del número x es b" , o
también : "el número b se llama logaritmo del número x respecto de la base a " .
Como podemos ver, un logaritmo no es otra cosa que un exponente , hecho que no debemos olvidar cuando trabajemos con logaritmos.
La constante a es un número real positivo distinto de 1, y se denomina base del sistema de logaritmos. La potencia ab
para cualquier valor real de b solo tiene sentido si a > 0.
FUNCION LOGARITMO NATURAL
•Logaritmos Decimales : Se llaman logaritmos decimales o vulgares a los logaritmos que tienen por base el número 10. Al ser muy habituales es frecuente no escribir la base.
•Logaritmos Neperianos :
Se llaman logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos a los logaritmos que tienen por base el número e.
APLICACIÓN DE LOGARITMOS
Ejemplo. Construya la grafica de la función logaritmo de base 2
De acuerdo a la definición: y = log2 x entonces x = 2Y
Y -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
X 0,25 0,350 0,5 0,707 1 1,414 2 2,828 4
APLICACIÓN: INTERÉS COMPUESTO. INVERSIONES
La suma de BsF 200 se invierte a un interés compuesto anual de 5%. Calcule el valor de la inversión después de 10 años.
Sea P una suma invertida a una tasa de interés R por ciento anual. En el primer año
Segundo año el interés es
En n año valor = P(1+i)n valor futuro= 200( 1+0,05)10 = 325,78
Aplicación: inversiones
Si la incógnita es n
¿Cuanto tardará la inversión en incrementar a BsF 250.?
200 (1,05)n= 250 (1,05)n = 250/200
log10(1,05)n= log10(1,25) por propiedades de logaritmo
n(log10(1,05)= log10(1,25) n = log10(1,25)/log10(1,05)
n = 4,57 es decir 5 años en incrementar de BsF 200 a BsF 250 al 5% de interés anual.
SEA Vp EL VALOR PRESENTE Y VF EL VALOR DEL FUTURO INGRESO
R tasa de interés
VF = Vp ( 1+i )n i= R/100
Vp = VF/ ( 1+i )n
Aplicación: Vp y Vf UN HOMBRE DE 45 AÑOS ADQUIERE UNA POLIZA DE RETIRO EN EDAD AVANZADA
A UNA COMPAÑÍA DE SEGUROS QUE LE PAGARA UNA SUMA TOTAL DE BsF 20000 A LA EDAD DE 65 AÑOS. LA COMPAÑÍA DE FIJA LA CANTIDAD DE BsF 5000 POR LA POLIZA. ¿ DE CUANTO ES LA TASA DE INTERES QUE ESTAN USANDO?
CAPITALIZACION CONTINUA
En este caso n tiende a ser muy grande. Si x es la cantidad de años.
Vf = Vp ( 1+i )x capitalización anual
Vf = Vp ( 1+i/2)2x capitalización semestral
Vf = Vp ( 1+i/4)4x capitalización trimestral
Vf = Vp ( 1+i/k)kx k periodos iguales de capitalización
Vf = Vp ( 1+i/365)365.1 continua
APLICACIÓN: INVERSIONES
UNA INVERSION DE BsF 2000 SE INVIERTE A UNA TASA DE INTERES NOMINAL DEL 9% ANUAL CAPITALIZABLE MENSUALMENTE. CALCULE EL VALOR DE LA INVERSION DESPUES DE 3 AÑOS.
Vf = Vp ( 1+i/k)Kx
k= 12 mesesInterés en cada capitalización es = R/k = 9/12 % = 0,75% entonces n en cadaCapitalización se incrementa el valor en un monto de ( 1+ R/100) = 1,0075
Durante 3 años x=3 entonces kx = 3 (12) =36 capitalizaciones el valor será2000(1,0075)36= 2617,29 Bsf
APLICACIÓN: DEPRECIACION
HACE DOS AÑOS UNA EMPRESA COMPRO UNA MAQUINA EN BsF 6000. SU PRECIO ACTUAL DE REVENTA ES DE BsF 4500. SUPONIENDO QUE LA MAQUINA SE DEPRECIA EN FORMA EXPONENCIAL. CUAL ES SU VALOR DENTRO DE 3 AÑOS.
Solución : Tasa de crecimiento ekx k=R/100Tasa de decrecimiento e-kx Valor futuro = Pe-kx P suma del costo inicial de la maquinaHace 2 años 4500=6000e-2k
Ln0,75=-2k
En tres años masValor = 6000 e-0,145(5)=2905,95