8/10/2019 Captulos I - II
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PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Conjuntos elementos subconjuntos
1.48.
Enumere los elementos de los siguientes conjuntos si el conjunto universal es el alfabeto
{ }. Adems identifique cules de los conjuntos son iguales.
{ }, { }.
{ }, { }.
{ } { } {} { }
Operaciones de Conjunto
1.50.Dado el conjunto universal {}y los conjuntos: {}, {} {}
Encuentre: (a) y , (b) y , (c)y .(a)
{ } { }
(b)
{} {}
(c)
{} {}
1.52. Para los conjuntos en el Problema 1.50, encuentre: (a) , (b) , (c) (.(a)
{}
(b)
{}(c)
{} { }
1.54.Sean A y B dos conjuntos cualquiera. Pruebe que es la unin disyuntiva de , y.Asumimos que:
{ } { } { }
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{}
{} {}
{} {} {}
1.56.LA frmula define la operacin de diferencia en trminos de las operaciones deinterseccin y complemento. Encuentre una frmula que defina la unin en trminos de lasoperaciones de interseccin y complemento.
{ } { } { } { }
{ } {}
Diagramas Venn algebra de conjuntos dualidad
1.58.
Escriba el doble de cada ecuacin:
(a)
(b)
Conjuntos finitos y el principio contable conjuntos contables
1.60.Determine cul de los siguientes conjuntos son finitos:
(a) Lneas paralelas al eje x.
(b) Letra del alfabeto.
(c) Animales que viven sobre la tierra.
(d) Crculos a travs del origen (0,0)
(a) infinito
(b) finito
(c) finito
(d) infinito
1.62. Entre 120 estudiantes de primer semestre en una universidad, 40 toman matemticas, 50 toman
ingls y 15 toman ambas materias, matemticas e ingls. Encuentre el nmero de estudiantes de
primer semestre que:
(a) No toman matemticas
(b) Toman matemticas o ingls
(c) Toman matemticas pero no ingls
(d) Toman ingls pero no toman matemticas
(e) Toman exactamente una de dos materias
(f) No toman matemticas ni ingls
{ } { }
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{ }
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
1.64. Sean A1, A2, A3 j . m q escontable.
Conjunto de producto
1.66. Encuentre x yysi: (a) , (b) .
(a)
(b)
1.68.Sea { }y {}. Encuentre (a) y (b) .(a)
{ }(b) { }
1.70. Suponga que y . Encuentre el nmero de elementos en:(a) , , (b) , , (c) .
(a)
(b)
(c)
Clases de conjuntos y de particiones
1.72.
Sea {}. Determine si cada proposicin es una particin de S:(a) [{} { } { }] no es particin de S(b)
[{ } {} { }] no es particin de S
(c) [{ } {} {} { }] es particin de S
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(d) [{} { } {} { }] es particin de S(e) [{}] es particin de S(f) [{} {} {} {} {} {}] es particin de S
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
2.38. Encuentre: (a) 10!, 11!, 12! (b) 60! (Guia: Utilice la aproximacin de Stirling a n!)
(a)
. . . . . . . . .
(b)
. . .
.
2.40. Simplifique: (a)
, (b)
, (c), (d)
,
2.42. Demuestre que: (a)
,
(b)
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(a)
.
.
.
(b)
.
.
.
2.44. Encuentre las filas (a) novena y (b) decima del tringulo de Pascal, suponiendo que la siguiente
es la fila octava:
1 8 28 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
2.46. Un restaurante tiene en su men de postres 4 clases de panques, 2 clases de galletas 3 clases de
helado. Encuentre el nmero de formas en las que una persona puede seleccionar: (a) uno de lospostres, (b) uno de cada postre.
(a) (b) 2.48.
Suponga que una clave consiste en 4 caracteres donde el primer carcter debe ser una letra del
alfabeto, pero cada uno de los dems caracteres puede ser una letra o un digito. Encuentre el numero
de: (a) palabras claves, (b) palabras claves que empiecen con una de las 5 vocales.
(a)
(b)
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2.50. Hay 6 caminos entre A y B y 4 caminos entre B y C. Encuentre el nmero nde formas en las
cuales una persona puede conducir: (a) desde A hasta C a travs de B, (b) viaje de ida y regreso desde
A hasta C a travs de B, (c) viaje de ida y regreso desde A hasta C a travs de B sin utilizar el mismo
camino ms de una vez.
(a) Desde A hasta C a travs de B
(b) Viaje de ida y regreso desde A hasta C a travs de B
(c) Viaje de ida y regreso desde A hasta C a travs de B sin utilizar el mismo camino ms de una vez.
Permutaciones y muestras ordenadas
2.52. Encuentre el nmero nde formas en que 6 personas pueden subirse a un tobogn donde: (a)
cualquiera puede manejar; (b) uno de 3 debe manejar.
(a) (b) 2.54. Encuentre el nmero nde permutaciones que se pueden formar de todas las letras de cada
combinacin: (a) QUEUE, (b) COMMITTEE, (c) PROPOSITION, (d) BASEBALL.
(a) QUEUE
(b) COMMITTEE
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(c) PROPOSITION
(d) BASEBALL
2.56.Encuentre el nmero nde formas en que 5 libros grandes, 4 libros medianos y 3 libros pequeos
se pueden colocar en una repisa de manera que todos los libros del mismo tamao estn juntos.
2.58. A una clase asisten 10 estudiantes. Encuentre el nmeronde muestras ordenadas de tamao 4:
(a) con reposicin, (b) sin reposicin.
(a)
(b)
Combinaciones
2.60.Una tienda tiene 8 libros de misterio diferentes. Encuentre el nmero de formas en las que un
cliente puede comprar 3 de los libros.
2.62.Una clase est conformada por 9 nios y 3 nias. Encuentre en nmero de formas en que un
profesor puede seleccionar un comit de 4.
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2.64.Una mujer tiene 11 buenos amigos. Encuentre el nmero de formas en las que ella puede invitar a
5 de ellos a comer.
2.66.Repita el problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos estn disgustados y no se estn hablando y
no asistirn juntos.
2.68.
Un estudiante debe responder 10 de 13 preguntas. (a) Cuntas selecciones hay?, (b)cuntas
habr si el estudiante debe responder las 2 primeras preguntas? (c) cuntas si el estudiante debe
responder la primera o la segunda pregunta pero no ambas?
(a)
(b)
.
.
.
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(c)
Particiones
2.70.Encuentre el nmero de formas en las que 6 estudiantes pueden ser distribuidos en 3 equipos,
conformados por 2 estudiantes cada uno.
2.72.Encuentre el nmero de formas como se puede distribuir 9 juguetes entre 4 nios, si el ms
pequeo debe recibir 3 juguetes y cada uno de los otros 2 juguetes.
2.74.Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el nmero de formas en las que se puede distribuir los
estudiantes en 3 equipos conformados por 3 estudiantes cada uno.
Diagramas de rbol
2.76. S q , F en la figura 2-7 representa islas y las lneas que las conectan, los puentes,una persona empieza en A y camina de una isla a otra. La persona para a almorzar cuando el o ella
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contina caminando sin cruzar el mismo puente 2 veces. (a) Construya el diagrama de rbol
apropiado y encuentre el nmero de formas en que la persona puede caminar antes de almorzar. (b)
En qu islas puede l o ella almorzar?
b) En que islas puede el o ella almorzar.
Puede almorzar en las islas B,D,E
A
D
E
C
C
C
E
D
F
D
D
B
E
B
E
C
C
E
B
F
F
B
F
D
B
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PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Notacin factorial y coeficientes binomiales
2.39.Calcule: (a), (b)
, (c)
, (d)
.
(a)(b)(c)
(d)
2.41. Calcule: (a) (), (b) (), (c)( ), (d) (), (e) (), (f) ().
(a)
(b)
(c)(d)
(e)(f)
2.43. Evalu los siguientes coeficientes multinomiales (definidos en el problema 2.36).
(a) , (b) , (c)
(a)(b)
(c)
Principios de conteo reglas de adicin y de multiplicacin
2.45. Una tienda vende ropa para hombre. All tienen 3 clases diferentes de chaquetas, 7 clases
diferentes de camisas y 5 clases diferentes de pantalones. Encuentre el nmero de formas en que una
persona puede comprar:
(a) un artculo para un regalo, (b) uno de cada uno de los artculos para un regalo.
(a)15
(b)
105
2.47. Una clase est conformada por 8 estudiantes hombres y 6 estudiantes mujeres. Encuentre el
nmero de formas en que la clase puede elegir: (a) un representante para la clase; (b) 2
representantes para la clase; (c) un presidente y un vicepresidente;
(a)14
(b)48
(c)
182
2.49.
Suponga que un cdigo consiste en 2 letras seguidas por 3 dgitos. Encuentre el nmero de (a)
cdigos; (b) cdigos con letras diferentes, (c) cdigos con las misma letra.
(a)
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(b) (c)
Permutaciones y muestras ordenadas
2.51. Encuentre el nmero de formasn
en que un juez puede otorgar el primero, segundo y tercerlugar en un concurso con 18 participantes.
2.53.Un grupo que debate est conformado por 3 muchachos y 3 nias. Encuentre el numero de n
formas en las que pueden sentarse en un fila donde: (a) no hay restricciones, (b) los muchachos y las
nias se sientan juntos, (c) solamente las nias se sientan juntas.
(a) (b) (c)
2.55.Encuentre el nmero nde seales diferentes, si cada una consiste en 8 banderas colgadas en una
lnea vertical, que se pueden formar de 4 banderas rojas idnticas, 2 banderas azules idnticas y 2
banderas verdes idnticas.
2.57.Una caja contiene 12 bombillos. Encuentre el nmero nde muestras ordenadas de tamao 3: (a)
con reposicin; (b) sin reposicin.
(a)
(b)
1 320
Combinaciones
2.59.Un restaurante tiene 3 postres diferentes. Encuentre el nmero de formas en las que un cliente
puede escoger 2 de los postres.
2.61.Una caja contiene 6 medias azules y 4 medias blancas. Encuentre el nmero de formas en que
puede sacarse de la caja 2 medias cuando: (a) no hay restricciones, (b) hay colores diferentes, (c) lasmedias son del mismo color.
(a)
(b)
(c)
2.63.
Repita el problema 2.62, pero cuando: (a) debe haber 2 nios y 2 nias, (b) hay 1 nia
exactamente, (c) hay por lo menos 1 nia.
(a)
(b) (c)
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2.65. Repita el problema 2.64, pero cuando 2 de los amigos estn casados y no asistirn
separadamente.
2.67.Una persona recibe una mano de pker (5 cartas) de un naipe corriente con 52 cartas. Encuentre
el nmero de formas de manos que la persona puede recibir: (a) cuatro de la misma clase, (b) una
escalera flor.
(a) (b)
Particiones
2.69. Encuentre el nmero de formas en las que puedan repartirse 6 juguetes en forma equitativa
entre 3 nios.
2.71.
Encuentre el nmero de formas como se pueden distribuir 6 estudiantes en 2 equipos, donde
cada equipo est conformado por 2 o ms estudiantes.
2.73. Hay 9 estudiantes en una clase. Encuentre el nmero de formas en las cuales los estudiantes
quedan presentar 3 exmenes, si 3 estudiantes deben presentar cada uno cada examen.
Diagramas de rbol
2.75.Los equipos A y B juegan en una serie mundial de bisbol, donde el equipo que primero gane 4
juegos gana la serie. Suponga que A gana el primer juego y que el equipo que gana el segundo juego
tambin gana el cuarto juego. (a) Encuentre el nmero n de formas como puede ocurrir la serie y
enumere las nformas como puede ocurrir la serie. (b) En cuntas formas ganar B la serie? (c) De
cuntas formas podr durar la serie 7 juegos?
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(a) AAAA
AABAA
AABABA
AABABBA
AABABBB
ABABAA
ABABABA
ABABABB
ABABBAA
ABABBAB
ABABBB
ABBBAAA
ABBBAAB
ABBBAB
ABBBB
(b)7 formas
(c)
8 formas
A
A
A A
B A
A
B
A
B
A
B
B
A B
A
A
B
A
B
B
A
A
B
B
B B
A
A
A
B
B
B
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