1Captulo I. Introduccin: Caractersticas de los sistemas macroscpicos, conceptos de probabilidad y estadstica de sistemas de partculas.
Leccin 1Introduccin a la descripcin estadstica de los sistemas de partculas. Fluctuaciones en el equilibrio. Macroestados y microestados.
Leccin 2Equilibrio trmico. Introduccin del concepto de temperatura. Magnitudes tpicas en un sistema macroscpico.
Leccin 4Descripcin estadstica de los sistemas de partculas. Especificacin del estado de un sistema. Niveles energticos. Degeneracin.
Leccin 3Conceptos bsicos de probabilidad. Valores medios. Dispersin y desviacin estndar. Distribuciones continuas de probabilidad.
Leccin 5Clculos de probabilidad. Nmero de estados accesibles.
2Leccin 1Introduccin a la descripcin estadstica de los sistemas de partculas. Fluctuaciones en el equilibrio. Macroestados y microestados.
3Explicar las propiedades de un sistema macroscpico (de muchas partculas) a partir de las leyes que gobiernan el comportamiento de sus constituyentes microscpicos.
La Fsica Estadstica proporciona una substanciacin rigurosa y microscpica de la Termodinmica,
TERMODINMICA FSICA ESTADSTICA
TEORA CINTICA PROCESOS DE TRANSPORTE
Cmo abordar la complejidad?
4Ejemplo: El gas ideal en equilibrio
Termodinmica
Independiente de los modelosRelacin entre magnitudes macroscpicas (P, V, T, n) , p.ej. P V = n R T
Fsica Estadstica
Basada en modelos microscpicos.N molculas (~1023) se mueven y chocan entre s y contra las paredes
Cmo obtener la ecuacin de estado?
5Fsica Estadstica:
N molculas (~1023)Cmo describimos el estado del gas?Cmo describimos la situacin de equilibrio?
El gas ideal en equilibrio
Mismo nmero de molculas en cada celdilla
Pero,... es exactamente el mismo nmero?
La Fsica Estadstica permite tratar algo nuevo: fluctuaciones
Cmo? Con el clculo de probabilidades (estadstica)
A B A B A B
6Cul es la probabilidad de tener una determinada configuracin?
A B
Sean N partculas, en 2 cajas
2N formas de colocar N partculas en 2 cajas(nmero total de configuraciones)
Probabilidad de tener una determinada configuracin:
(partculas distinguibles, numeradas)
NN
n
nCnP2
)(ionesconfiguracdetotaln
Aenpartculastienensequevecesn==
NNP 21
=
p.ej. n molculas en A:
Si el gas est en Condiciones normales: en 1cm3, ~1019 molculas
Nmero de configuraciones posibles
7f6......1e15......2
20
.........
3 4 61 2 531 5 62 3 432 5 61 3 43
2 4 61 3 53
3 5 61 2 43
d
1
4 5 61 2 33...
g......0
1 4 62 3 53
6 31 2 4 546 41 2 3 54
c15
6 51 2 3 4412 3 4 5 65......5
51 2 3 4 65b6
61 2 3 4 55a1-1 2 3 4 5 66
MacroestadoNmero de microestados
BAn en A
A B
N total de microestados = 26 = 64Probabilidad de un macroestado
3125.06420
2=== N
dd
nP
0 1 2 3 4 5 60
5
10
15
20
N
d
e
m
i
c
r
o
e
s
t
a
d
o
s
Macroestado con n partculas en A
N=6
8Definiciones:
Estado microscpico o microestado:Especifica con detalle toda la informacin sobre las molculas del gas,y permite describir con detalle el gas
Estado macroscpico o macroestado:Se puede describir perfectamente el estado del gas diciendo cuntas molculas hay en cada parte del recipiente (en cada celdilla)
Puede haber varios microestados diferentes correspondientes a un mismo macroestado.
Si el macroestado del sistema tiende a no variar en el tiempo, decimos que el sistema est en equilibrio.
El estado de equilibrio es el ms aleatorio, el que tiene ms microestados
9Si un sistema aislado est en una situacin poco aleatoria, variar en el tiempo, aproximndose finalmente a su situacin de mayor azar o equilibrio.
Se dice que un proceso es irreversible si, invertido en el tiempo, es tal que casi nunca ocurre en la realidad
Slo se ve un sentido preferente del tiempo si se parte de una situacin de falta de azar en un instante determinado.
A B A B
10
Ms ejemplos:
A B
Sistemas equivalentes:
11
Enumeracin de los estados del sistema:
A B
C
D E
12
Propiedades de la situacin de equilibrio:
El macroestado de un sistema en equilibrio es independiente del tiempo, excepto en lo que se refiere a las fluctuaciones, que siempre estn presentes. En equilibrio, todos los parmetros macroscpicos del sistema permanecen constantes, salvo fluctuaciones.
El macroestado de un sistema en equilibrio es, exceptuando las fluctuaciones, el macroestado ms desordenado o aleatorio del sistema. Esto implica:
- El macroestado de equilibrio de un sistema es independiente de su tiempo pasado,- El macroestado de equilibrio de un sistema puede especificarse completamente con muy pocos parmetros macroscpicos
13
Probabilidad de observacin de fluctuaciones:
V
Lo ms probable es observar fluctuaciones que se alejen poco del valor medio,
fluctuaciones con
Vs
NVV
n ss =
sss nnn =Fluctuacin de ns:
ss nn
14
Leccin 2Equilibrio trmico. Introduccin del concepto de temperatura. Magnitudes tpicas en un sistema macroscpico.
15
Equilibrio trmico. Calor y temperatura
Puede haber interaccin sin que se produzca trabajo.
Interaccin trmica: se puede transferir energa de un sistema a otro a escala atmica. Esta energa se llama calor.
A A
Ei Ei
A A
Ef Ef
Sistema total aislado
constante=+= EEEtotal
Estado final, en equilibrio: la situacin ms aleatoria
Tenemos dos sistemas:
Conservacin de la energa
16
A A
Ef Ef
Q Etotal distribuida por igual entre todas las molculas de A+A.
NE
NE
==
Si en el estado inicial ii , habr flujo de calor hasta que ff =
if
if
EEEQEEEQ
== Q : calor absorbido por A,
Q : calor absorbido por A
ii =Si en el estado inicial , el sistema permanece en equilibrio y no habr flujo de calor.
Cada sistema se caracteriza por un parmetro, T, relacionado con la energa media por partcula del sistema.
Q +Q = 0
17
Presin de un gas ideal
vmdtF = vm
dAP = dF/dA
Magnitudes tpicas en un sistema macroscpico:
Presin media
Momento medio adquirido por la
pared tras el choque
Nmero medio de choques por unidad de tiempo y de unidad de
rea de la pared= x
vm2p ( )
dtdAdtvdAn 1
61
x=
( )dtvdAnd61
=
Densidad de flujo molecular:cnvmnp 3
231 2
=
2
21
vmc =
18
Recorrido libre medio Distancia media entre colisiones
Volumen barrido por una molcula hasta que se encuentra con otra:
Recorrido libre medio = velocidad media x tiempo medio entre colisiones
Recorrido libre medio :
vm
nD 12 =pi
nDn pi11
2 =
2Dpi =Seccin eficaz de dispersin:
Magnitudes tpicas en un sistema macroscpico:
19
Estimaciones numricas:
acmn
cma
cmamolecularradio
scmvm
Ev
gNm
ergiosn
pE
cmmolculasVNkTpn
molculasPMmNNlitroenmolculasNNdeg
PMgmcmlVKTcmdinaspmolmolculasN
Amolec
AA
A
>>=
==
=
==
==
=====
==
=
52162
8
492
2
231
14
319
222
33
26
23
103110124
10:
/101.5106.22
1065.4/28
100.623
/105.2/
1047.2:128
28142,15.1101,300,/10
/100225.6
pi
1 litro de nitrgeno a presin y temperatura ambiente
20
Leccin 3Conceptos bsicos de probabilidad. Valores medios. Dispersin y desviacin estndar. Distribuciones continuas de probabilidad.
21
Conceptos bsicos de probabilidad:
Conjunto estadstico: sistema en el que se pueden realizar observaciones o experimentos. Si quiero estimar lo que pasar al lanzar una moneda, preparo N monedas idnticas y las lanzo a la vez.
: n () de sistemas equivalentes al sistema Ar : n de sistemas que presentan el resultado r
rrP =
Dado un sistema A, cul es la probabilidad de observar el resultado r ?
Objetivo de la teora estadstica: predecir la probabilidad de que se presente cada uno de los resultados posibles del experimento
Un conjunto estadstico de sistemas es independiente del tiempo si el n de sistemas que presentan un suceso cualquiera es el mismo en todo momento.
Definicin de equilibrio:Un sistema macroscpico est en equilibrio si un conjunto estadstico de dicho sistema es independiente del tiempo.
Descripcin estadstica de un sistema: descripcin expresada en probabilidades.
22
Relaciones entre probabilidades:
Si puede haber resultados diferentes, r = 1,2,3,..., : n total de sistemas, : n de sistemas que presentan el resultado
iiP = =
ii
1=i
iP
)( boaPPP ba =+Probabilidades compuestas, sucesos independientes:
)( byaPPP ba = baab =
Ejemplo: Dados
Pi=1/6
Sacar un 2 o un 3 P2 +P3= 1/3Sacar un 2 y un 3 P2 x P3= 1/36
23
Sistema de N momentos magnticos
Cul es la probabilidad de tener nhacia arriba, y el resto hacia abajo?
CqpnP nNn = )(,.:,.: probqprobp
Nmero de configuraciones de N momentos, con n hacia arriba?
nNn qpnNn
NnP
= )!(!!)(
)!(!!)(
nNnN
nCN
=
Distribucin binmica Teorema del binomio:
=
=+N
n
nNnN qpnNn
Nqp0 )!(!
!)(
10 20 30 40 50
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
2 4 6 8 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
200 400 600 800 1000
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
21)( == qpnvsnP
N=10 N=50 N=1000
24
Ejemplos: Aleaciones binarias A1-x Bx (CuZn, latn)
Es muy general:
Siempre que tenga N sucesos independientes con probabilidad p de ocurrir uno de ellos y 1-p de que no se presente
Cul es la probabilidad de que n dados (de N) muestren un 6?
p=1/6 q=5/6 n=3, N=10
155.065
61
!7!3!10)3(
73
=
=P nNn qp
nNnN
nP
= )!(!!)(
25
Valores medios
Sea una variable u, que puede tomar valores u1, u2, ...u con probabilidades P1, P2, ...P
=
=
1iii u
u =
=
1iii uPu
Y para una funcin: =
=
1)()(
iii ufPuf fccfgfgf =+=+ ,
= =
=
1 1)()()()(
ij
jiij vgufPvgufSi hay dos variables u y v,
Si son estadsticamente independientes:
gfvgPufPvgufj
jji
ii =
=
==
11)()()()(
Ejemplo: Nmero medio de espines hacia arriba
P(n)= 1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16 4 espines, 16 conf. posibles
26
Dispersin y desviacin estndar.
Desviacin: uuu 0== uuuuuPero...
Dispersin (o varianza):
siempreuuPuPu ii
iii
i 0)()()( 21
2
1
2 = ==
Desviacin estndar:
[ ] 2/12)( uu
27
Clculo de valores medios en un sistema de espines. Momento magntico total.
NM ++++= ...321 =
=
N
iiM
1
NMMN
ii
N
ii ===
== 11
=
==
+=N
jii
j
N
jij
i
N
iiM
1 11
22 )()()()(
2)( Mdispersin en M?
=
=N
iiMMM
1 ii
))(()()(1 11
22ji
N
jii
N
jij
N
iiM +=
=
==
=0
=
=N
iiM
1
22 )()(
22 )()( iNM =
NMM 1
=
NM =
Dispersin en M:
Desviacin estndar:
28
Clculo de valores medios en un sistema de spines. Momento magntico total.
00 ,: +i ,.:,.: probqprobp
0000 )12()()( ==+= pqpqp
20
2 4)( qp=
02 qpNM =
0)( qpNM = 202 4)( qpNM =
0mM =)12( = pNmqpNm 4)( 2 =
qpNm 2=Ejemplos: P(n) de spines con una simulacin.Ver variacin de la dispersin relativa con N
29
Distribucin de molculas en un gas ideal.
V0 V
N molculas en V0, cuntas hay en V? n ?
Probabilidad de hallar una molcula en V:
0VVp = ?? nn
VVnNnVn = 0en',en
pNqpNmNn
mNn
qpNmpqnnm
=+=+=
+=
=
==
)1(21)(
21
),(21
)(1,'
mmm
mNmNnnn
=+=
=++=
21)(
21
)(21)(
21
22 )(41)( mn =
qpNn = 2)(
qpNn = Nqp
n
n 12/1
=
)12()( == pNqpNm
qpNm 4)( 2 =qpNm 2=
Ejemplos: simulacin de un gas.Variacin de la dispersin relativa con N
30
Distribuciones continuas de probabilidad
Si N es muy grande, y 0uNui
31
Leccin 4Descripcin estadstica de los sistemas de partculas.Especificacin del estado de un sistema. Niveles energticos. Degeneracin.
32
Mecnica estadstica:Teora que combina las consideraciones estadsticas con el conocimiento de las leyes de la mecnica aplicables a las partculas que constituyen el sistema macroscpico.
Qu necesitamos?1. Especificar el estado del sistema2. Tener un conjunto estadstico3. Unos postulados4. Usar el clculo de probabilidades
33
1. Especificacin del estado de un sistemaEl estado microscpico de un sistema puede describirse especificando el estado cuntico particular en que se encuentra el sistema
Ej: sistema de spines: { 1 , 2 , 3 , 4 , ....}
Cada estado cuntico, Es, est asociado a un valor de su energa, el nivel energtico
Si varios estados tienen la misma energa, se llaman estados degenerados
El estado de mnima energa, se llama estado fundamentalLos dems estados, se llaman estados excitados del sistema
34
Lo que importa es el nmero de estados accesibles, no el nmero de niveles de energa
Espn aislado,
N Espines,
Partculas en una caja (1D y 3D)
Sistema de 4 spines
......
20+++-2-
2B0
20-+++1EMS4S3S2S1r
35
2. Conjunto estadstico
Conjunto compuesto por un gran nmero de sistemas equivalentes al que queremos estudiar
Necesitamos: Parmetros externos del sistema. Conocerlos sirve para determinar las energas reales de sus estados cunticos
Estados accesibles: Aquellos estados cunticos en los que puede estar el sistema sin violar ninguna condicin impuesta por la informacin que tenemos sobre l.
Sistema de spines: Estados compatibles con una energa dada, p.ej. -2B.
Objetivo: Cul es la probabilidad de que el sistema est en uno de los estados accesibles?
36
Definicin:Un sistema aislado est en equilibrio si la probabilidad de hallarlo en cada uno de sus estados accesibles es independiente del tiempo.
Y viceversa...Si un sistema aislado se halla con la misma probabilidad en cada uno de sus estados accesibles, estar en equilibrioSi no es as, variar en el tiempo hasta llegar al equilibrio.
3. Postulado: SUPOSICIN FUNDAMENTALPostulado de igualdad de probabilidades a priori:
Si un sistema est en equilibrio, tiene la misma probabilidad de estar en cualquiera de sus g estados cunticos accesibles.
P=1/gLa probabilidad de hallarlo en un ciertomacroestado depende del nmero de estados
37
Leccin 5Clculos de probabilidad. Nmero de estados accesibles. Densidad de estados
38
4. Clculo de probabilidades.
A partir del postulado de igualdad de probabilidades a priori:
= n total de estados accesibles
= n de estados en los que el parmetro y vale yi
Probabilidad de obtener yi :
=i
iP
Valor medio de y : ==
==
n
iii
n
iii yyPy
11
1
Sistema de N espines Cul es la probabilidad de queel primer espn est hacia abajo?
P1=3/4
M= (-3/4) +1/4 = -/2
Cul es el valor medio delmomento magnetico del primerespn?
Qu necesitamos? 1. Especificar el estado del sistema2. Tener un conjunto estadstico3. Unos postulados4. Usar el clculo de probabilidades
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Cmo se trabaja con un nmero grande de partculas?
Nmero de estados accesibles a un sistema macroscpicoSea un sistema macroscpico con energa E.
Consideramos E, un intervalo de energa que contiene muchos estados cunticos del sistema
Definimos: (E) = n de estados con energa entre E y EEEgEEE )()()( = g (E) = Densidad de estados
40
Ejemplo: Partculas en una caja 3D Una partcula en una caja de lado L, V=L3
Energa:
Usaremos lo visto en Cuntica: Caja de paredes impenetrables, =0 en las paredes.La fc. de onda que satisface la ec. de Schrdinger es:
Para obtener (E) hay que contar estos estados
E+EE
Rnx
ny
nz
positivosenterosnnnnLm
E zyxzyx :),(2 ,,222
2
22
++=pi
La energa se obtiene haciendo que en un lado quepa un nmero entero de veces la mitad de la longitud de onda de de Broglie:
41
2/1
22222
)2(
)2(
mELR
mELnnnR zyx
pi
pi
=
=++=
2/33
3 )2(63
481)( mELRE
=
=
pi
pipi
dEEmVE 2/12/332 )2(4)( pi=
dEdEdEEEE =+= )()()(
Densidad de estados: g (E)
(E) = n de estados hasta E+E menos n de estados hasta E(E) = n de estados con energa menor que E
positivosenterosnnnnLm
E zyxzyx :),(2 ,,222
2
22
++=piEnerga:
E+EE
Rnx
ny
nz
Para obtener (E) hay que contar estos estados
42
El sistema se puede describir en funcin de f nmeros cunticos.
Estos f grados de libertad sern del orden del nmero de elementos del sistema
(E) crece muy rpidamente con E para cualquier sistema macroscpico
dEEmVE 2/12/332 )2(4)( pi=Para una partcula en una caja 3D:
fEEE )()( 0
Ln (E) es independiente de E, Ln (E) f
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