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LA CICLOIDE

Trabajo en equipo de Investigación matemática

Buscando a ... la cicloide Mollina 2004

Problema inicial

Vamos a hacer un poco de ciencia-ficción. Imagínate una rueda cuadrada y fíjate en uno de los vértices. ¿Qué trayectoria sigue al dar la rueda una vuelta?

Si suponemos que el lado del cuadrado mide 1 metro, ¿qué longitud recorre un vértice en una vuelta completa?

Puestos a imaginar, podemos pensar lo que pasaría si las ruedas son triángulos equiláteros. Y lo mismo con cualquier otro polígono regular.

Esta investigación tiene su origen en un problema que nuestro profesor de Matemáticas nos propuso a un grupo de clase. Decía así:

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Durante el proceso de resolución:

Llegamos a estudiar las trayectorias determinadas por diversos polígonos regulares, como los siguientes:

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¿Y si la rueda fuese redonda?

La CICLOIDE: la trayectoria que recorre un punto cualquiera de la circunferencia cuando ésta da un giro completo

Fue al final de aquel problema como llegamos a conocer a la protagonista de esta investigación

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Algunas propiedades que hacen famosa a la Cicloide

Es la curva braquistócrona (la de descenso más rápido entre dos puntos)

Diferentes caminos de A a B Camino más rápido de A a B (sobre la cicloide)

La tautocronía (si un punto se desplaza a lo largo de la curva invertida, en caída libre, llegará al punto mínimo de la curva en un tiempo que no depende de la altura de donde partió )

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Medidas de la cicloide

Longitud = 8.R Area = 3..R²

Y aquí comenzaría nuestra investigación: éstas son la medidas de la cicloide. En Internet comprobamos que no entendíamos cómo se habían calculado (siempre aparecían integrales y otras fórmulas complicadas). ¿Seríamos capaces de demostrarlas solo con nuestros conocimientos … y los ordenadores?

La longitud de la cicloide es 8 veces el radio y el área que deja debajo es el triple de la del círculo que la determina

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Nuestra idea para calcular esas medidas:

Aproximarnos desde los polígonos regulares:

La circunferencia viene a ser como un polígono regular de 5000 lados:

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Proceso … para determinar la LONGITUD de la trayectoria descrita por el vértice de un polígono regular de 5000 lados girando

Nuestro plan pasaba por tres fases:

1ª Fase: Estudio con polígonos regulares de 3, 4, 6 y hasta 12 lados

Extracto del trabajo en un momento en el que interesaba calcular una diagonal del dodecaedro regular

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Proceso … (LONGITUDES)

2ª Fase: Generalización del problema

(polígono de n lados):• La trayectoria se compone de n-1 arcos de circunferencia• Todos los arcos tienen la misma amplitud (360/n grados)• Los radios de los arcos son las sucesivas diagonales del

polígono (además del lado) .

n

ksenradiok

180.2

1

1

1802

2 n

k n

ksen

ntotalLongitud

Los resultados finales se resumían en las siguientes fórmulas:

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Proceso … (LONGITUDES)

3ª Fase: Cálculos con Excel

La Hoja de cálculo (junto con las fórmulas a las que llegamos anteriormente) nos permitió calcular rápidamente la longitud de la trayectoria correspondiente a un polígono regular de tantos lados como quisiéramos

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Proceso para determinar el AREA de la trayectoria descrita por el vértice de un polígono regular de 5000 lados girando

Para el cálculo del área repetimos las mismas tres fases para un problema distinto:

1ª Fase: Estudio con polígonos regulares de 3, 4, 6 y hasta 12 lados

Extracto del trabajo en un momento en el que interesaba calcular el área barrida por el

giro de un hexágono regular

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Proceso … (AREAS)

2ª Fase: Generalización del problema (polígono de n lados):

• El área determinada se descompone en n-1 sectores y n-2 triángulos

.

El área determinada por el rodamiento de de un polígono regular de 12 lados descompuesta en 11 sectores y 10 triángulos

2

1

1

1

n

kk

n

kkTOTAL TSA

n

rS kk

2

211

kk rrrs

)()()( 11 kkk rsrsrssT (aplicando la Fórmula de Herón)

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Proceso … (AREAS)

3ª Fase: Cálculos con Excel

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Metodología de trabajo durante la Investigación

Trabajo en equipo:– Reparto de tareas– Reuniones semanales– Revisiones de lo redactado

Con el ordenador:– Textos con Word– Fórmulas con su Editor de ecuaciones– Gráficos con Cabri– Excel– Página web con Cabriweb

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Autores

Iranzu Ardaiz Marta Martínez Beatriz Navarro Nuria Ortega Pablo Roldán

Coordinador: Manuel Sada

I.E.S. de Zizur Mayor (Navarra)