Cinética de Crecimiento
Microbiano
Diseño de biorreactores
Departamento de procesos y energía
Facultad de minas
1
Proceso con crecimiento celular
• Resultado de la interacción del ambiente (fase abiótica) y la población de células (Biomasa o fase biótica)
3
Condiciones ambientales Población celular
Multicomponente, multifásico Heterogeneidad en cada célula individual
pH y T variable Múltiples reacciones
Cambio en reológia Adaptabilidad
Modelos cinéticos de crecimiento celular
4
Caso real
• Multicomponente
• Población celular
heterogénea
• Células tratadas
individuales
• Multicomponente
• Población celular
promedio
• Un componente
• Población celular
heterogénea
Caso ideal
• Un componente
• Población celular
promedio
Aproximaciones
• Crecimiento balanceado_ sustrato limitante
5
Proceso con crecimiento celular
• Proceso por lotes (batch)
• Proceso Continuo
6
Curva de crecimiento celular
7
Cinética microbiana (No estructurado – No segregado)- caso ideal
• Asume crecimiento balanceado donde todos los componentes intrínsecos están en estados pseudoestacionarios.
• El crecimiento celular se considera como una reacción auto catalítica de primer orden.
8
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝑓 𝑍 · 𝑋
Z es un vector que contiene todas las variables que pueden afectar el crecimiento
𝑟𝑥 = 𝜇 · 𝑋 𝜇 =1
𝑋
𝑑𝑋
𝑑𝑡
μ vs Sustrato
• Blackman (1905):
• Monod (1942):
• Tessier (1936):
• Moser (1958):
9
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥min 1, 𝐾𝐵𝑆
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑠 + 𝑆
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑒−𝐾𝑇𝑆
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝑛
𝐾𝑠 + 𝑆𝑛
Lectura sobre el tema: Yu Liu (2006)
μ vs Sustrato
• Contois (1959):
• Powel (1967):
• Manson y Milles (1976):
• Meyrath (1973):
10
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑠𝑥𝑋 + 𝑆
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑠 + 𝑆+ 𝐾𝑑𝑆
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥 𝑆 − 𝐾1𝑓 𝑆
𝐾𝑠 + 𝑆 − 𝐾1𝑓 𝑆
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥 𝑆0 −
𝑋𝑌𝑥𝑠
𝐾𝑠 + 𝑆0 −𝑋𝑌𝑥𝑠
μ vs Sustrato
• Konak (1974):
• Kargi y Shuler (1967):
• Vavilin (1982):
11
𝑑𝜇
𝑑𝑆= 𝑘 𝜇𝑚𝑎𝑥 − 𝜇
𝑃
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆𝑅
𝐾𝑚𝑅−𝑃 · 𝑆0
𝑅 + 𝑆𝑅
𝑘 =1
𝜇𝑚𝑎𝑥𝐾𝑠
𝑑𝜇𝜇𝑚𝑎𝑥𝑑𝑆
= 𝑘𝜇
𝜇𝑚𝑎𝑥
𝑚
1 −𝜇
𝜇𝑚𝑎𝑥
𝑃
μ vs Biomasa
• Motta (1976):
Ecuación Logística
• Cui y Lawson (1982):
• Frame y Hu (1988):
12
𝜇 = 𝑎 − 𝑏𝑋 𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝑎𝑋 − 𝑏𝑋2
𝜇 =1 −
𝑋𝑋𝑚𝑎𝑥
1 −𝑋𝑋𝑙𝑖𝑚
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑒−𝑘𝑋𝑚𝑎𝑥−𝑋𝑋
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 −𝑋
𝑋𝑚𝑎𝑥
Inhibición por sustrato
• Haldane (1965):
• Webb (1963):
• Tipo Teissier:
• Edwards (1970):
13
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑠 + 𝑆 +𝑆2
𝐾𝐼
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆 1 +
𝑆𝐾𝐼
𝐾𝑠 + 𝑆 +𝑆2
𝐾𝐼
𝑑𝜇
𝑑𝑆= 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 +
𝐾𝑠𝑆+𝑆
𝐾𝐼𝑆
−2
−𝐾𝑆𝑆2+1
𝐾𝐼𝑆
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 𝑒−𝐾𝑖𝑆 − 𝑒−𝐾𝑇𝑆
• Si existe inhibición por sustrato:
14
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑠 + 𝑆 +𝑆2
𝐾𝐼
Haldane (1965):
15
• Lineweaver Burk:
1
𝜇=
𝑆
𝐾𝐼𝜇𝑚𝑎𝑥+𝐾𝑠𝜇𝑚𝑎𝑥
1
𝑆+1
𝜇𝑚𝑎𝑥
16
• Eadie Hofstee:
𝜇
𝑆=𝜇𝑚𝑎𝑥𝐾𝑠−𝜇
𝐾𝑠−𝜇𝑆
𝐾𝐼𝐾𝑠
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• Langmuir:
𝑆
𝜇=𝑆2
𝐾𝐼𝑣𝑚𝑎𝑥+𝑆
𝜇𝑚𝑎𝑥+𝐾𝑠𝜇𝑚𝑎𝑥
Inhibición por producto
• Holzberg (1967):
• Jerusalimsky (1967):
• Aiba(1969):
• Ghose y Thiagui (1979):
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𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑆 + 𝑆
𝐾𝑃𝐾𝑃 + 𝑃
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑆 + 𝑆𝑒−𝐾𝑝𝑃
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 − 𝐾1 𝑃 − 𝐾2
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 −𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥
Inhibición por producto
• Levenspiel (1980):
• Bazua y Wilkie (1977):
• Lee(1983):
19
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 1 −𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥
𝑛𝑆
𝐾𝑆 + 𝑆
𝜇 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑆 + 𝑆
𝐾𝑃𝐾𝑃 + 𝑃
𝐾𝑖𝐾𝑖 + 𝑆
𝜇𝑚𝑎𝑥 = 𝜇𝐶 1 −𝑃𝐶𝑃𝑚𝑎𝑥
12
Temperatura y pH • Escner et al. (1981):
• Andreyeva et al. (1973):
𝜇 = 𝐴𝑒𝑥𝑝 −𝐸𝑎𝑅𝑇 − 𝐵𝑒𝑥𝑝 −
𝐸𝑏𝑅𝑇
𝜇 =𝜇𝑚𝑎𝑥 𝐻
+ 𝑆
𝐾1 + 𝐻+ 𝑆 + 𝐾𝑖 𝐻
+ 2𝑆2
Lectura sobre el tema: Rosso et al. (1995)
Múltiples Sustratos
• Modelo Interactuante:
• Modelo no interactuante:
𝜇 𝑆1, 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑓1 𝑆1 𝑓2 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥𝑆1
𝐾𝑠1 + 𝑆1
𝑆2
𝐾𝑠2 + 𝑆2 +𝑆22
𝐾𝑖2
𝜇 𝑆1, 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥 · min 𝑓1 𝑆1 𝑓2 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥min𝑆1
𝐾𝑠1 + 𝑆1
𝑆2
𝐾𝑠2 + 𝑆2 +𝑆22
𝐾𝑖2
Múltiples Sustratos
• Crecimiento Diauxico: Sustratos alternativos
𝜇 𝑆1, 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥1𝑓1 𝑆1 + 𝜇𝑚𝑎𝑥2𝑓2 𝑆2
𝜇 𝑆1, 𝑆2 = 𝜇𝑚𝑎𝑥1𝑆1
𝐾𝑠1 + 𝑆1+ 𝜇𝑚𝑎𝑥2
𝑆2
𝐾𝑠2 + 𝑆2 +𝑆22
𝐾𝑖2
Curva de crecimiento celular
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Fase de muerte
• Cultivos en fase estacionaria o de muerte o fermentaciones continuas con tiempos de residencia muy prolongados
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝜇𝑋 − 𝑘𝑑𝑋
𝑘𝑑 = 𝑘𝑑𝑚𝑎𝑥𝑃
𝑃𝑚𝑎𝑥
Kd: velocidad especifica de muerte celular
Mantenimiento celular endogeno
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Si el mantenimiento celular se da por muerte
celular (consumo de biomasa):
Modelo de Herbert (1958): 𝜇𝑜𝑏𝑠 = 𝜇 − 𝑘𝑑
Mantenimiento Celular
26
Si se asume que el mantenimiento celular es
provisto por el sustrato:
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝑟𝑆 =
𝜇𝑋
𝑌𝑥𝑠+𝑚𝑆𝑋 Modelo de Pirt (1965):
mS: Coeficiente de mantenimiento celular
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋
Consumo y producción
27
𝑆 + 𝑋 → 𝑋 + 𝑃 𝑆 + 𝑋 → 𝑋
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝑟𝑠 =
𝜇𝑋
𝑌𝑥𝑠+𝑚𝑠𝑋
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝑟𝑆 =
𝜇
𝑌𝑥𝑠+𝑞𝑃𝑌𝑃𝑆+𝑚𝑠 𝑋
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑟𝑃 = 𝑞𝑝𝑋
Yxs : Rendimiento de biomasa con respecto al sustrato consumido. [gr S/gr X]
Yxp : Rendimiento de biomasa con respecto al producto generado. [gr P/gr X]
Producto asociado al metabolismo energético
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Los productos de la
fermentación no
necesariamente
siguen la misma
dinámica del
crecimiento, y como
consecuencia el
sustrato tampoco
está directamente
relacionado
Cinética de formación de producto asociado al metabolismo energético
29
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑟𝑃 = 𝑞𝑝𝑋
Si el producto se obtiene por el consumo de sustrato dentro del
metabolismo energético, en este caso no es necesario tener en cuenta
una expresión para el consumo de sustrato por producción del
metabolito.
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝑟𝑆 =
𝜇
𝑌𝑥𝑠+𝑚𝑠 𝑋
𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋
Cinética de formación de producto asociado al metabolismo energético
• Metabolito Primario
• Metabolito Secundario
• Metabolito Mixto
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Ecuación de Luedeking - Piret
𝑟𝑝 = 𝛼𝜇𝑋
𝑟𝑝 = 𝛽𝑋
𝑟𝑝 = 𝛼𝜇𝑋 + 𝛽𝑋
Cinética de formación de producto no asociado al metabolismo energético
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Ecuación empíricas de
producción y consumo
𝑑𝑃
𝑑𝑡= 𝑟𝑃 = 𝑞𝑝𝑋
𝑑𝑆
𝑑𝑡= −𝑟𝑆 =
𝜇
𝑌𝑥𝑠+𝑞𝑃𝑌𝑃𝑆+𝑚𝑠 𝑋
𝑞𝑝 = 𝑞𝑝𝑚𝑎𝑥𝑆
𝐾𝑠𝑝 + 𝑆 𝑑𝑋
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 = 𝜇𝑋
Rendimiento
• El factor de rendimiento relaciona una cantidad de producto formado por la cantidad de reactivo consumido. En el caso de sistemas biológicos permite realizar una contabilidad de los recursos utilizados.
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𝑌𝐹𝐺 = −∆𝐹
∆𝐺 𝑌𝐹𝐺 = −
𝑟𝐹𝑟𝐺
Rendimiento Global Rendimiento Instantáneo
Rendimiento
• Rendimiento Teórico: relación entre biomasa obtenida sobre sustrato consumido para biomasa.
• Rendimiento Observado: relación entre biomasa obtenida sobre sustrato consumido total.
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𝑌𝑋𝑆 = −∆𝑋
∆𝑆𝐺
𝑌𝑋𝑆 = −∆𝑋
∆𝑆𝑇
Rendimiento
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Rendimiento Definición
YXS Masa de biomasa producida por unidad de masa de sustrato consumido
YPS Masa de producto generado por unidad de masa de sustrato consumido
YPX Masa de producto formado por unidad de masa de biomasa formada
YXO Masa de biomasa formada por unidad de masa de oxigeno consumido
YCS Masa de dióxido de carbono formado por unidad de masa de sustrato consumido
RQ Moles de dióxido de carbono formado por unidad de masa de oxigeno consumido. (Coeficiente respiratorio)
YATP Masa de biomasa formada por mol de ATP formado
Y∆ Masa de biomasa producida por unidad de energía neta producida en el crecimiento
Calculo de rendimiento
• El sustrato puede verse involucrado en diferentes usos:
– Construcción de biomasa
– Producto
– Mantenimiento celular
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−𝑟𝑆 =𝜇
𝑌𝑋𝑆+𝑞𝑝𝑌𝑃𝑆+𝑚𝑠 𝑋
Proyectos de clase • Producción de ácidos orgánicos:
– Láctico
– Cítrico
– Acético
• Producción de enzimas.
• Proteína unicelular.
• Bioenergía a partir de lodos.
• Cultivos de microalgas.
• Producción de biopolímeros.
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