7/28/2019 Clase 12 Matematica Cpech - Inecuaciones Lineales (OliverClases)
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lgebra2010
Clase N 12Inecuaciones linealesPropiedad Intelectual Cpech
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APRENDIZAJES ESPERADOS
Aplicar las propiedades de las desigualdades en lasresolucin de ejercicios.
Representar soluciones de una inecuacin a travsde intervalos, conjuntos y representacin grfica.
Resolver sistemas de inecuaciones lineales con unaincgnita.
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Contenidos1. Desigualdades
1.1 Definicin
1.2 Propiedades
2. Intervalos
2.1Intervalo abierto
2.2Intervalo cerrado
2.3Intervalo semi-abierto o semi-cerrado
2.4Intervalos indeterminados
3. Inecuaciones lineales
4. Sistemas de Inecuaciones
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1. Desigualdades
Una desigualdad es una comparacin entre "a" y "b"tal que:
1.1. Definicin:
a > b Se lee "a" mayor que "b", cuando la diferenciaa - b es positiva
a < b Se lee "a" menor que "b", cuando la diferenciaa - b es negativa.
La simbologa utilizada es: < Menor que
> Mayor que
Menor o igual que
Mayor o igual que
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1.2. Propiedades
Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se
resta un mismo nmero a cada miembro de la desigualdad.
Ejemplos:
Si sumamos m a ambos miembros de la desigualdad,
a b
resulta: a + m b + m
(Sumando 2 a cada lado de la desigualdad)5 < 8
5 + 2 < 8 + 2
b)
7 < 10
(Restando 3 a cada lado de la desigualdad)12 > 8c)
12 - 3 >8 - 3
9 >5
a)
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Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplicansus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividenpor un mismo divisor, tambin positivo.
Ejemplos:
a) < (Multiplicando por 2 cada lado de la desigualdad)
24 (Dividiendo por 8 cada lado de la desigualdad)
24
8
160
8>
20 >3
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Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplicansus dos miembros por un mismo factor negativo, o sedividen por un mismo divisor, tambin negativo.
Ejemplos:
a) < (Multiplicando por -2 cada lado de la desigualdad)
> -2 -2
6
5
6
5
3
7
-6
7
-12
5>
3
7
b) 160 > 24 (Dividiendo por -8 cada lado de la desigualdad)
24
-8
160
-8 -6 -8 < -4
Ejemplos:
(-3)3 > (-6)3
-27 > -216
(-8)2 > (-4)2
64 > 16
a) b)/( )3 /( )2
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-1
Si ambos miembros de una desigualdad son positivos onegativos, y se invierten, es decir, se elevan a -1, la
desigualdad cambia de sentido.
Ejemplos:
-5 < -2
(-5)-1 > (-2)-1
-1
5
-1
2>
< 6
5
3
7
> 56
73
>3
7
6
5
-1
/( )-1 /( )-1
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2. IntervalosLos intervalos son subconjuntos de los nmeros reales que se
pueden representar grficamente en la recta numrica.
2.1. Intervalo abierto
Incluye a todos los reales comprendidos entre a yb,sin incluir aa, nib.
] a,b [= {x IR / a < x < b }
a b- +
Grficamente:
Observacin: ] a,b [ = (a,b)
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2.2. Intervalo cerrado
Incluye a todos los reales comprendidos entre a yb,incluyendo aayb.
[ a,b ]= {x IR/ a x b }
a b- +
Grficamente:
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2.3. Intervalo semi-abierto o semi-cerrado
Incluye a todos los reales comprendidos entre a yb,incluyendo a apero no ab.
Grficamente:
I. [ a,b [= {x IR/ a x < b }
ba
- +
Incluye a todos los reales comprendidos entre a yb,no incluyendo a a, pero s ab.
Grficamente:
II. ] a,b ]= {x IR/ a < x b }
ba- +
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2.4. Intervalos indeterminados
Incluye a todos los reales mayores o iguales que a
I. [ a,+ [= {x IR/ x a }
a- +
Incluye a todos los reales mayores que a
II. ] a,+ [= {x IR / x > a }
a- +
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Incluye a todos los reales menores o iguales que b
III. ]-, b ]= {x IR/ x b }
b- +
IV. ]-, b [= {x IR / x < b }
Incluye a todos los reales menores que b
b- +
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V. ]-, + [= IR
+-
IR
El infinito nunca se incluye dentro deun intervalo y adems nunca seescribe en la desigualdad.
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3. Inecuacin linealCorresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se
busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en lavariable, cumpla con la desigualdad.
Ejemplos:
a) 7
5-x
La expresin representa un nmero real si:
5 - x > 0
5 > x
x es un nmero real menor que 5,
5- +
o bien, x ] -, 5 [
Grficamente:
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x
2
6x -2
5 1- (Multiplicando por 10)
b)
6x -2
5 x
2-10 1010
2(6x 2) 5x - 10
12x 4 5x - 10
(Simplificando)
(Desarrollando)
12x 5x 4 - 10
7
x -6
7x -6
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,+o bien, x
7
-6
- +
7
-6
Grficamente:
Se cumple para todo x mayor o igual que
7
-6 ,
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c) 7x 8 4x 16 + 3x + 4
7x 8 7x - 12
8 - 12
En este caso, la incgnita se ha eliminado. Sin embargo,la desigualdad resultante es verdadera. Esto significaque la inecuacin se cumple para cualquier x en los
reales.
+-
IR
Grficamente:
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d) 6x + 11
2< 3x / 2
6x + 11 < 6x
11 < 0
En este caso, la incgnita tambin se ha eliminado; perola desigualdad resultante es FALSA.
Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NOexiste un x real que satisfaga la inecuacin.
El conjunto solucin de la inecuacin es el conjunto vaco:
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4. Sistemas de Inecuaciones
Cada inecuacin del sistema se resuelve por separado,obtenindose como solucin un subconjunto de la recta real.
La solucin del sistema es la interseccin de estossubconjuntos.
Ejemplo:
a) 2x + 3 5-x - 2 -4
Resolviendo cada inecuacin enforma independiente:
2x + 3 5
2x 5 - 3x 1
-x - 2 -4
x + 2 4x 2
o bien, x ] -, 1 ] o bien, x ] -, 2]
/ (-1 )
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La solucin del sistema ser la interseccin de los subconjuntos:
S1 = ] -, 1 ] y S2 = ] -, 2]
-
2+
1
S = S1S2
S = ] -, 1 ] o bien, x 1
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Equipo Editorial: Patricia Valds
Olga Orchard
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