1
Matemtica Para Ingeniera (MA 261)
Clase Integral 12.3
1. Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones justificando claramente sus respuestas:
a. Para cualquier valor x se cumple que xx 1coscos .
Falso. xx 1coscos solo cumple si 1;1x
b. El CVA de la ecuacin xxx tantancos es R.
Falso. xtan debe existir y para que ello ocurra x
k2
. Luego CVA=
Zk,kR
2.
c. La grfica de ecuaciones paramtricas 4sen 2
4cos 1
x t
y t
es una circunferencia con radio 2 y
centro en 2; 1 .
Falso.
De 2-sen4 tx tenemos 4
2sen
xt .
De 14cos ty tenemos 4
1cos
yt .
Por otro lado sabemos que 1cossen 22 tt , entonces:
14
1
4
222
yx o 222 412 yx .
Es una circunferencia, pero de radio 4.
d. Los vectores 3; 5 y 3 5
;2 2
son paralelos.
Verdadero. Dos vectores a y b son paralelos si a=kb, entonces 3; 5 =k3 5
;2 2
si k=-2.
2
2. Calcular el valor de: 3tantan6
coscos3
2sensen 111
Lo pueden evaluar con la calculadora
...4292,1...1416,063
Recordar que al si solo )sen(sen 1 xxx dominio restringido del seno: ;2 2
Recordar que 1cos (cos( )) solo si alx x x dominio restringido del coseno: ;0
Recordar que 1tan (tan( )) solo si alx x x dominio restringido de la tangente: ;2 2
3. Determinar la amplitud, el periodo y el desfase de:
a) )2cos(6)2(sen32)( xxxf
La regla de correspondencia de la funcin f ser expresada de la forma xkxf 2sen )( , donde
k= 34632 22
Para determinar el valor de construimos el siguiente tringulo rectngulo:
62sen 34
32sen 34)(
xxxf
Entonces:
Amplitud = 4 3
Periodo = 2
2
Desfase = izquierda) la (a 6
3
b) )3cos(4)3(sen4)( xxxf
La regla de correspondencia de la funcin f ser expresada de la forma xk)x(f 3sen ,
donde k= 2444 22
Para determinar el valor de construimos el siguiente tringulo rectngulo:
123sen 24
43sen 24)(
xxxf
Entonces:
Amplitud = 4 2
Periodo = 2
3
Desfase = derecha) la (a 12
4. Simplifique la siguiente expresin: xx
xxsen1
1
sen1
1sectan2
0
cos
sen2
cos
sen2
sen1
sen2
cos
1
cos
sen2
sen1
1
sen1
1sectan2
22
2
x
x
x
x
x
x
xx
x
xxxx
5. Demuestre la siguiente identidad: xxx
x
x
xsen cos
cot1
sen
tan1
cos
LDsencos
sencos
sencossencos
sencos
sen
sencos
cos
sen
cossen
sen
cos
sencos
cos
cot1
sen
tan1
cosLI
22
xx
xx
xxxx
xx
x
xx
x
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x
4
6. Determine el CVA y el CS de:
a. tt cos41cos4 2
CVA = R
2
1cos01cos2
01cos4cos4
2
2
tt
tt
De donde
ZkktZkkt ;23
5,2
3
5C.S. 2 ; 2 ;
3 3k k k Z
Tambin pueden responder: C.S. 2 ; 2 ;3 3
k k k Z
b. 0)1)(tan4sen)(4.02(cos xxx
Como )cos(
)sen()tan(
x
xx entonces:
CVA =
ZkkRxxR /2
0)cos(/
, luego factorizando se tiene:
0)1)(tan4sen)(4.02(cos xxx
4.0)2cos( x
De donde
ZkkZkkx
Zkkx
x
;9.36CS
,90101196.36
,280282391.732
)4.0(cos2
1
1
4)(sen x
Como
2CS
4sen existe No
1sen1
x
x
1)(tan x
De donde
Zkk
Zkkx
x
;4
CS
,4
)1(tan
3
1
Zkkk ;4
;9.36CS
5
7. Una torre de 125 pies se localiza en la ladera de una montaa que tiene una inclinacin de 32 respecto de la horizontal. Se fijar un alambre de sujecin a la parte superior de la torre y se
anclar en un punto a 55 pies colina abajo de la base de la torre. Determine la longitud del
alambre.
Analizando los datos tenemos la siguiente figura:
Aplicando la ley de cosenos, tenemos:
047,161
122cos12555212555 222
x
x
Respuesta: La longitud del alambre es de aproximadamente 161,05 pies.
8. Desde la azotea de un edificio que da al mar un observador ve un bote navegando directamente hacia el edificio. Si el ojo del observador se encuentra a 40 metros sobre el nivel del mar y el
ngulo de depresin del bote cambia de 25 a 40 (durante el periodo de observacin),
determine la distancia aproximada que recorre el bote.
Segn los datos, construimos la figura siguiente:
De donde:
40tan
404040tan y
y (A)
yxyx
25tan
404025tan (B)
Reemplazando (A) en (B)
...110,3840tan
40
25tan
40
x
Respuesta: La distancia que recorre el bote es de aproximadamente 38,11 metros.
32
pies125
pies55
x125
x
55
32
122
y x
2540
m40
2540
6
9. Determine la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por los puntos 1;3 y
4;1 utilizando vectores y luego elimine el parmetro de la ecuacin paramtrica resultante.
Tenemos que ABP , y adems
ABtOAP .
Luego 31;143;1; tyx
2;53;1 t
Entonces la ecuacin paramtrica de la
recta es:
t
ty
tx ,
23
51R
Ahora eliminamos el parmetro t, para ello tenemos:
ty
tx
10155
1022
Luego sumando 1352 yx .
10. Determine las ecuaciones paramtricas del segmento cuyos extremos son los puntos 2; 4A y
8;6B .
Tenemos que ABP , y adems ABtOAP , 1;0t
Luego 46;284;2; tyx
10;64;2 t
Entonces la ecuacin paramtrica de la recta es:
1;0 ,104
62
t
ty
tx
7
11. Determine la ecuacin paramtrica de la circunferencia que tiene por ecuacin rectangular: 2 22 4 1 0x x y y donde las variables x e y se expresen como funciones sinusoidales.
Acomodamos la ecuacin rectangular y completamos cuadrados
4114412 22 yyxx
222 221 yx
Reconocemos luego el centro 2;1 y el radio igual a 2.
Ahora determinamos la ecuacin paramtrica considerando
1 2senx t ty cos22
Luego
2sen 1
, 0;22cos 2
x tt
y t
12. Grafique la curva cuyas ecuaciones paramtricas son: 2
2 3
2
x t
y t t
y luego elimine el parmetro
y exprselo como una ecuacin rectangular.
Tabulamos y graficamos
t -3 -2 -1 0 1 2 3
x -9 -7 -5 -3 -1 1 3
y 3 0 -1 0 3 8 12
Ahora eliminamos el parmetro
Tenemos que de 32 tx , 2
3
xt ,
luego lo reemplazamos en tty 22
obteniendo
124964
34
96y
2
32
2
3
2
2
2
xxxy
xxx
xxy
Acomodando y completando cuadrados
145 o 514
251025214
10214
22
2
2
yxxy
xxy
xxy
8
13. Grafique e indique el sentido de la curva de ecuacin 2sen
, 0;2cos
x tt
y t
Tenemos que 222 2 yx , ecuacin que representa una circunferencia
de radio 2 y centro (0; 0) .
Luego para graficar y ver el sentido tabulamos
14. Sean los vectores: a 3; 4 y b PQ donde 2;3P y 4;2Q , determine: a. 2a 3b. b. La magnitud del vector 2a 3b. c. La medida del ngulo que hay entre los vectores.
d. Un vector c 5;n que sea ortogonal al vector a.
e. El vector unitario de c.
f.La proyeccin del vector a sobre el vector QP .
a. Tenemos que b= 1;632;24 , luego
2a 3b 5;121;634;32
b. 1351232 22 ba
c. Sabemos que 375
22
1643
1;64;3cos
2222
ba
ba
Luego
...6677.43
375
22cos 1
d. Como el vector c es ortogonal al vector a, entonces 0ac . De este modo
4
15041504;3;5 nnn
luego 4
15;5c .
e. El vector unitario de c es 5
3;
5
4
4
25
4
15;5
16
625
4
15;5
16
22525
4
15;5
4
155
4
15;5
2
2
c
c.
f. Se tiene: 1;6QP
1;6
1;6
4;31;6aPr
2QPoy =
37
22;
37
1321;6
37
22
t 0 2/ x 0 2 0
y 2 0 -2
9
15. Sean las matrices:
2 1
3 2
0 1
A
y ijB b donde
1 ;
2 ;
1;
ij
i i j
b i j i j
j i j
, determine, sabiendo que
es posible hacerlo, el determinante de AB .
Inicialmente debemos determinar i y j; para ello, si AB tiene determinante entonces debe ser
una matriz cuadrada. De este modo
33ji23 ABBA , luego 2i y 3j .
Ahora hallamos
221
211B y luego
221
1015
241
221
211
10
23
12
AB
Finalmente usando menores el
0
18018
1125-210125-410221--
21
1512
21
10514
22
1011det
312111
B
16. Determine la solucin de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la eliminacin gaussiana e indicando el tipo de sistema que es basado en el conjunto solucin:
a.
2 1
2 3
2 1
y z
x y z
y z x
b.
3 2 4
4
4 4
x y z
x y z
x y
c.
3 2 3
1
4 4
x y z
x y z
x y
En cada caso obtenemos su matriz aumentada y mediante operaciones elementales por fila la
transformaremos a su forma escalonada por filas respectivamente.
a.
7310
1120
3211
1112
1120
3211
1112
3211
1120
312
21
FF
FF
15500
7310
3211
1120
7310
3211
322
32
FF
FF
Luego
155
73
32
z
zy
zyx
, de donde obtenemos 1x , 2y y 3z .
Entonces el sistema es compatible determinado y su 3;2;1CS .
10
b.
20450
16450
4111
4014
4123
4111
4014
4111
4123
314
21321
FF
FFFF
4000
16450
4111
32 FF
Luego
40
1645
4
zy
zyx
, de donde CS , es decir el sistema es incompatible.
c.
0450
0450
1111
4014
3123
1111
4014
1111
3123
314
21321
FF
FFFF
0000
0450
1111
32 FF
Luego
045
1
zy
zyx, entonces haciendo tz obtenemos ty
5
4 y
5
5 tx
Por lo tanto el sistema es compatible indeterminado y su
Rttt
tCS ;;
5
4;
5
5
17. Resuelva la ecuacin matricial 1 0 2 4
2 1 3 2d AI
, indicando los valores de las
constantes , ,a b c y d , siendo I una matriz identidad y 0
a bA
c
.
Tenemos inicialmente que AI=A, entonces:
10
01
023
42
12
01
c
bad
Operando tenemos
0232
42
c
ba
dd
d
Luego (4)02-(3)32d(2)4- )1(2 dcbad
De (4) -2d , en (3) 1c , de (2) -4b y en (1) -4a .
11
18. Dada la matriz
1 4 2
0 2 3
1 3 5
B
, determine B e indique si la matriz es singular.
Hallamos B considerando las entradas de la fila 2.
3
1332
4131321512
31
4113
51
21120
3222
B
De este modo 0B por lo tanto B no es una matriz singular.
19. Dos especies de insectos se cran juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los das se les proporcionan dos tipos diferentes de alimento. Cada individuo de la especie 1 consume 5
unidades del alimento A y 3 unidades del alimento B y cada individuo de la especie 2 consume
2 unidades del alimento A y 4 unidades del alimento B. Todos los das los tcnicos del
laboratorio suministran a los insectos 900 unidades del alimento A y 960 unidades del alimento
B. Cuntos insectos hay de cada especie?
Ordenamos la informacin en la siguiente tabla:
Alimento A Alimento B
Especie 1 5 3
Especie 2 2 4
Total 900 960
Sea x el nmero de insectos especie 1
Sea y el nmero de insectos especie 2
Planteando las ecuaciones
96043
90025
yx
yx
3203
41
1805
21
3
1;
5
1
96043
9002521 ff 21 ff
15010
1805
21
14
15
14015
140
1805
21
2f de donde: 120x e 150y
Luego existen 120 insectos de la especie 1 y 150 insectos de la especie 2
12
20. Un empresario tiene tres mquinas que son empleadas en la fabricacin de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las mquinas, estas estarn en operacin 8 horas diarias. El
nmero de horas que cada mquina es usada en la produccin de una unidad de cada uno de los
cuatro productos est dada por:
Encuentre el nmero de unidades que se deben producir de cada uno de los cuatro productos
en un da de 8 horas, bajo el supuesto de que cada mquina se usa las ocho horas completas y
que al menos se requiere producir una unidad de cada producto.
Sea x el nmero de unidades que se deben producir del producto 1
y el nmero de unidades que se deben producir del producto 2
z el nmero de unidades que se deben producir del producto 3
w el nmero de unidades que se deben producir del producto 4
Como cada mquina trabaja 8 horas diarias tenemos:
Nwzyxwzyx
zyx
wzx
wzyx
,,,;0,0,0,0
8 32
8 2
822
Aplicando eliminacin gaussiana tenemos:
80321
81102
82121
31
212
ff
ff
02200
83140
82121
luego
022 wz ; 834 wzy ; 822 wzyx ; haciendo tztw , tx 4 ; ty 2 por
las condiciones antes mencionadas 20 t 2;1;0t y como se debe de producir al menos una unidad de cada producto entonces 1t Luego, se deben producir 3 unidades del producto 1 y una unidad de los productos 2, 3 y 4.
13
21. Se va a construir un gran edificio de departamentos usando tcnicas de construccin modular. La distribucin de los departamentos en cualquier piso se escoge entre uno de tres diseos de
piso bsicos. El diseo A tiene siempre 18 departamentos en un piso e incluye 3 departamentos
con tres dormitorios, 7 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio. Cada piso del diseo B tiene
siempre 4 departamentos con tres dormitorios, 4 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio.
Cada piso del diseo C tiene siempre 5 departamentos con tres dormitorios, 3 con dos
dormitorios y 9 con un dormitorio.
a) Formule un modelo matemtico que permita disear el edificio con exactamente un total de 66 departamentos con tres dormitorios, 74 departamentos con dos dormitorios y 136
departamentos con un dormitorio.
b) Resuelva el modelo obtenido en (a) e indique si es posible disear tal edificio. Si se pudiera, hay ms de una manera? Explique su respuesta.
Sea x el nmero de pisos del diseo A
y el nmero de pisos del diseo B
z el nmero de pisos del diseo C
Ordenamos la informacin en la siguiente tabla:
3 dormitorios 2 dormitorios 1 dormitorios
Diseo A 3 7 8
Diseo B 4 4 8
Diseo C 5 3 9
total 66 74 136
Planteamiento: Nzyxzyx ,,;0,0,0
136988
74347
66543
zyx
zyx
zyx
136988
74347
66543
31
21
3
2
ff
ff
62641
58741
66543
21 ff
62641
66543
58741
21
213
ff
ff
1201380
24026160
58741
322
1ff
0000
1201380
58741
tz
zy
zyx
120138
5874
tz
ty
tx
8
1315
22
t puede ser 0 u 8; luego, para que se cumpla lo solicitado existen dos posibilidades:
I.- Cuando t = 0
2 pisos del diseo A
15 pisos del diseo B
0 pisos del diseo C
II.- Cuando t = 8
6 pisos del diseo A
2 pisos del diseo B
8 pisos del diseo C
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