CLAVE-101-1-M-2-00-2018
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO: Matemática Básica 1
CÓDIGO DEL CURSO: 101
TIPO DE EXAMEN: Primer examen Parcial
NOMBRE DEL AUXILIAR Edgar Hurtarte
FECHA: 14 de agosto 2018
SEMESTRE: Segundo semestre
HORARIO DE EXAMEN: 9:00-11:40
CLAVE CLAVE-101-1-M-2-00-2018
CLAVE-101-1-M-2-00-2018
Primer Examen Parcial
Temario C
Tema 1: (30 puntos)
a. Resuelva la siguiente ecuación √2𝑥 + 15 − 2 = √6𝑥 + 1
b. Resuelva la siguiente ecuación 𝑥 − 𝑥2/3 − 4 √𝑥3
+ 4 = 0
c. Resuelva la desigualdad 3𝑥
𝑥2−4− 1 ≥ 0
Tema 2: (20 puntos) Un circulo se inscribe en un rombo cuyas características son: lados
Iguales a 4 centímetros y con un par de ángulos agudos internos opuestos
Igual a 60°. Encuentre el área fuera del círculo, pero dentro del rombo
Tema 3: (20 puntos)
Un tren de alta velocidad hace un viaje de 400 millas sin escala entre dos
ciudades importantes en 10 horas, durante las cuales pasa tanto por el
campo como por ciudades pequeñas. El tren corre a 100 mi /h en el campo,
pero los reglamentos de seguridad exigen que cuando pase por ciudades
intermedias más pequeñas su velocidad sea de 25mi/h
a. ¿Cuantas Horas pasan viajando por las ciudades más pequeñas?
b. ¿Cuánta distancia recorre en el campo?
Tema 4: (15 puntos)
En la figura adjunta, el segmento 𝐵𝐸 es diámetro del
círculo, el ángulo ∅𝐵𝐴𝐶 = 36° el arco 𝐴𝐸 = 94°
Calcule 𝐵𝐶, ∅𝐵𝐹𝐶, 𝐴𝐵 , ∅𝐴𝐷𝐶
Tema 5: (15 puntos)
Una ventana tiene la forma de un rectángulo con un triángulo isósceles
sobrepuesto, cuya es 2/3 de la base. Si el perímetro de la ventana es
de 12 m y el área es de 9 metro cuadrados, encuentre las dimensiones
de la ventana.
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SOLUCIÓN DEL EXAMEN Tema 1: 30 puntos
a.√2𝑥 + 15 − 2 = √6𝑥 + 1
No Explicación Operación
1 Primero se elevan ambos lados de la ecuación al cuadrado para poder eliminar los radicales y se procede a simplificar.
(√2𝑥 + 15 − 2)2 = (√6𝑥 + 1)2
(2𝑥 + 15) − 4√2𝑥 + 15 + 4 = 6𝑥 + 1
−4𝑥 + 18 = 4√2𝑥 + 15
2 Se procede a realizar el mismo procedimiento de elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación para poder eliminar el radical. Y se procede a simplificar hasta obtener una ecuación cuadrática.
(−4𝑥 + 18)2 = (4√2𝑥 + 15)2
16𝑥2 − 144𝑥 + 324 = (16(2𝑥 + 15))
16𝑥2 − 176𝑥 + 244 = 0
3 Se procede a utilizar la fórmula para poder resolver ecuaciones cuadráticas, la cual corresponde a la siguiente
𝑥1 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
4 A continuación se asignan los valores de a, b, c.
𝑎 = 16; 𝑏 = 176; 𝐶 = 244
5 Se proceden a obtener las posibles soluciones 𝑥1𝑦2 =
−176 ±√1762−4(244 𝑥)
2∗16= 9.37 𝑦1.62
b. 𝑥 − 𝑥2/3 − 4 √𝑥3
+ 4 = 0
No Explicación Operación
1 Primero se procede a realizar una sustitución de X en valores de U para obtener una ecuación cubica. Y se sobre escribe.
𝑥 − 𝑥2/3 − 4 √𝑥3
+ 4 = 0
𝑢3 = 𝑥, 𝑢2 = 𝑥2/3, 𝑢 = 𝑥1/3
𝑢3 − 𝑢2 − 4𝑢 + 4 = 0
2 Luego de sobre escribir la ecuación en términos de U se procede a encontrar las posibles soluciones para la ecuación.
𝑢3 − 𝑢2 − 4𝑢 + 4 = 0
𝑈1 = −2
𝑈2 = 2
𝑈3 = 1
3 Luego de encontrar los valores de U, los mismos se tienen que sustituir para encontrar los valores de X
𝑢3 = 𝑥
23 = 𝑥
𝑥 = 8
𝑥 = −8,1
4 Se procede a verificar cual puede ser una posible solución de la expresión
Al momento de valuar (-8,1, 8) en la ecuación la única posible solución llega a ser 1
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c. 3𝑥
𝑥2−4− 1 ≥ 0
No Explicación Operación
1 Primero hay que expandir toda la ecuación es decir encontrar una expresión para luego tener los límites de la desigualdad como se ve.
3𝑥
𝑥2 − 4− 1 ≫
3𝑥 − 𝑥2 + 4
𝑥2 − 4
≫−(𝑥 + 1)(𝑥 − 4)
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
2 Ya con los limites encontrados procedemos a encontrar donde se encuentra la solución a nuestra expresión, mediante la construcción de una tabla y su evaluación
(…-2) (-2,-1) (-1,2) (2,4) (4,…)
(x+1) - - + + +
(x-4) - - - - +
(x+2) - + + + +
(x-2) - - - + +
3 Luego de evaluar en cada uno de los limites, se procede a escoger los que pueden contener la posible solución
(-∞,.2) U (4, ∞)
4 Se toma en cuenta ese límite debido a que luego de operar los signos de cada columna se toman los que quedan con signo positivo, así como se ve en la el cuadro de al lado, Se toman las columnas positivas
(…-2)
(x+1) -
(x-4) -
(x+2) -
(x-2) -
Al multiplicar
ambos signos
(que están en
azul) da “+”
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4
R
2
β= 60° X
Tema 2: 20 puntos
Tema 2: (20 puntos) Un circulo se inscribe en un rombo cuyas características son: lados
Iguales a 4 centímetros y con un par de ángulos agudos internos opuestos
Igual a 60°. Encuentre el área fuera del círculo, pero dentro del rombo
1. Primero se debe de dividir la figura en dos partes, para poder tener un semicírculo
adentro de un triángulo, como se ve en la figura, luego tomando en cuenta que nos dan
la medida de los lados del triángulo y se procede a dividir la figura de la siguiente manera
2. Luego de haber hecho la división del triángulo se procede a tomar el triángulo azul para
poder encontrar la base del triángulo entonces se utiliza la función seno para poder
encontrar la base del triangulo
𝑠𝑒𝑛(30°) =𝐵𝑎𝑠𝑒
4
Y se procede a encontrar el ángulo β, sabiendo que la sumatoria de los ángulos internos de un
triángulo es 180° y como ya se tiene un ángulo de 90° y uno e 30° se procede a hacer lo
siguiente
𝛽 = 180 − (90 + 30) = 60
Al momento de realizar el despeje se llega a que la base es igual a 2, entonces con ese valor se
trata de encontrar el radio del círculo, utilizando el triángulo que se forma debajo del triángulo
amarillo y con ayuda de la función coseno se procede a calcular el radio del círculo.
𝐶𝑜𝑠(𝑥°) =𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜
2
4 4
α= 60°
α= 30°
β= 60°
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Para encontrar el ángulo x se procede a utilizar el mismo principio que para el ángulo β y nos
da como resultado
𝑥 = 180 − (90 + 60) = 30
Entonces ya se procede a calcular el radio del círculo.
𝐶𝑜𝑠(30°) =𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜
2
El radio da como resultado √3
Luego de encontrar el radio se procede a calcular la altura del triángulo utilizando Pitágoras y
utilizando el triángulo azul del cálculo de la base
42 = ℎ2+22
Entonces la altura es igual a 2√3
Entonces para poder encontrar el área sombreada que es el área adentro del rombo y afuera
del circulo (que es como lo pide el problema) se utiliza la siguiente ecuación. Y se multiplica
por 2 el triángulo para tomar ambas partes
𝐴𝑠 = 𝐴𝑜 − 𝐴∆
𝐴𝑠 = 𝜋𝑟2 −1
2𝑏ℎ
𝐴𝑠 = 𝜋√32
− (1
2(4)(2√3)) ∗ 2
𝐴𝑠 = 4.43
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Tema 3: 20 puntos
Un tren de alta velocidad hace un viaje de 400 millas sin escala entre dos
ciudades importantes en 10 horas, durante las cuales pasa tanto por el
campo como por ciudades pequeñas. El tren corre a 100 mi /h en el campo,
pero los reglamentos de seguridad exigen que cuando pase por ciudades
intermedias más pequeñas su velocidad sea de 25mi/h
a. ¿Cuantas Horas pasan viajando por las ciudades más pequeñas?
b. ¿Cuánta distancia recorre en el campo?
Primero se extraen los datos importantes del problema.
Dt= distancia total=== 400 millas
Tt= Tiempo total=== 10 horas
Vel campo = 100 mi/h
Vel Ciu peq = 25mi/h
Luego de haber extraído los datos se tiene que utilizar la fórmula de
𝑉 =𝐷
𝑇
Donde se sabe que la velocidad es igual a la división entre la distancia y el tiempo
recorrido y como el problema divide en dos la ruta, ciudad pequeña y campo se procede
a aplicar la formula, pero en función del tiempo total recorrido, entonces se sabe que
Distancia de campo + Distancia de ciudades pequeñas = Distancia total
Entonces
X + (400-x) = 400
al momento de dejar la fórmula de la velocidad en función del tiempo se obtiene que
𝑥
100+
(400 − 𝑥)
25= 10
Se procede a operar de la siguiente manera la ecuación
25𝑥 + 100(400 − 𝑥)
2500= 10
25𝑥 + 40000 − 100𝑥 = 25000
75𝑥 = 15000
𝑥 = 200
B) Entonces se sabe que la distancia que recorren ambos es igual a 200 millas debido a
que al momento de encontrar la otra distancia 400-200 = 200
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36°
36°
36°
54
54
A) Por ultimo cuando se trata de encontrar las horas que pasan viajando por las ciudades
pequeñas solo se sustituyen valores en la ecuación de la distancia que se utilizó
anteriormente.
𝑇 =𝐷
𝑉=
200
25= 8 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
Tema 4: 15 puntos
En la figura adjunta, el segmento 𝐵𝐸 es diámetro del
círculo, el ángulo ∅𝐵𝐴𝐶 = 36° el arco 𝐴𝐸 = 94
Calcule 𝐵𝐶, ∅𝐵𝐹𝐶, 𝐴𝐵 , ∅𝐴𝐷𝐶
Se sabe que AE es la mitad del arco BE entonces AB es equivalente al mismo es
decir 94
Luego para poder encontrar BC se toma el triángulo ABF
Entonces luego se procede a encontrar el ángulo pendiente de que corresponde a ABF
el cual es (180-(36+90)) = 54°entonces ese ángulo se suma con los 36°asi como se ve a
continuación
Entonces 54+36= 90° empleando la formula s= Rαπ se puede encontrar BC
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2B/3
Tema 5: 15 puntos
Una ventana tiene la forma de un rectángulo con un triángulo isósceles
sobrepuesto, cuya es 2/3 de la base. Si el perímetro de la ventana es
de 12 m y el área es de 9 metro cuadrados, encuentre las dimensiones
de la ventana.
Primero se procede a hacer un breve dibujo de la venta, como se ve en la siguiente
representación
Triangulo verde: h= (2/3b)
Rectángulo azul: b y h
Pt = 12m
At= 9m2
Luego se procede a realizar una ecuación donde se represente al perímetro de la
ventana en función de las dos figuras y su área, así como se ve a continuación
12 = 2ℎ𝑖𝑝 + 2ℎ + 𝑏
Entonces como no se conoce la hipotenusa del triángulo, se procede a calcularla
utilizando el siguiente método
Entonces utilizando Pitágoras se encuentra la hipotenusa
𝐶2 = (𝑏/2)2 + (2𝑏/3)2
𝐶 = √25
36𝐵2
𝐶 =5
6𝐵
B/2
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Luego de ello se procede a sustituir en la ecuación mencionada primero.
12 = 2 (5
6𝐵) + 2ℎ + 𝐵
𝐵 =36 − 6ℎ
8
Luego para encontrar los siguientes valores se procede a utilizar una ecuación en función
del área de la ventana.
9 =1
3𝐵2 + 𝐵ℎ
Luego se sustituye la ecuación de B en la ecuación anterior.
9 =1
3(36 − 6ℎ
8)2 + (
36 − 6ℎ
8)(ℎ)
Entonces al momento de despejar la ecuación en función de H se obtiene que el valor
de h =2
Luego se procede a calcular las dimensiones de la ventana
𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 =36 − 6(2)
8= 3𝑚
𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 +2
3(3) = 4𝑚
R// la ventana tiene una altura de 4m y un ancho de 3m
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