Computación Científica
Resolución de una ecuación no lineal
Parte 1
Profesora: Dra. Nélida Beatriz Brignole
Resolución de ecuaciones
0)(
limxsucesión
0f(x) solucionar
*
*k
xf
xxkk
Algoritmo general
• Inicialización
• k=0
• Test de convergencia
• Obtención de nuevo valor de solución (método de resolución de ENL)
• k=k+1
Test de convergencia
it
xxxo
xx
xf
kkk
kk
k
max)3
)2
)()1
1
1
Situaciones con dificultades numéricas
Método de Sustitución Sucesiva (de punto fijo – de orden p)
)()(1
),...,(
*1*11
111
xxxxp
xxx
kk
pkkpk
Representación gráfica: búsqueda del punto fijo
1)( kk xxg
Interpretación geométrica del Método de sustitución sucesiva
baxx ,1)(
Sucesión convergente
Interpretación geométrica del Método de sustitución sucesiva
baenx ,1)(
Sucesión divergente
Armado de métodos de sustitución sucesiva
2)(
)(
)(
0
1
3
ln1
2
1
1
1
x
x
x
x
exxx
xx
exx
ex
2
1
3
22
2
1
1
12
1)(
ln
1)(
)(
x
ex
xxx
x
ex
x
x
2163.0)(
7642.1)(
5673.0)(
763.1
3
2
1
Teorema del valor medio para derivadas
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] que tiene derivada en cada punto del intervalo abierto (a,b) , entonces existe al menos un punto interior c , interior a (a,b), tq’
))(()()(
))(()()(
*1*1 xxxx
Entonces
abcfafbf
kk
Interpretación geométrica del TVM
Teorema del valor intermedio
*: enderivada admite )( Si xxxx
xxx )( de solución es Si * xmx 1)( , algunpara Si
en )( de soluciónúnica la es )
lim)
)
:)(:sucesiónla '
*
*
10
xxxc
xxb
kxa
queverificaxxxxsiqpq
kk
k
kkk
Demostración
• a) por inducción
pp
ppp
pp
pkk
xxx
xxxxxx
xx
xx
xpkxxx
x
),(1)( donde
)()()(
)(
)(
qpq' :que supongamos
:hipótesis
*1
*1*1*
**
1
*
0
kxk
Demostración
b) El límite tiende a la solución
**0
**
*22
*2*1*
*1*1*1*
01
)()(
)()()(
xxxxmmk
xxmxx
xxmxxmxxmxx
xxmxxxxxx
kk
kkk
k
kkkk
kkkk
Demostraciónc) El punto fijo es la única solución en ese entorno.
Por el absurdo
Absurdo 1)(
)(-
)()(-)(
1)( :suponiendo y medio valor del teorema con
)( tq` que Asumo
)( tq` que Asumo
Teorema del Valor Intermedio (otro)
),( intervalo el en una vez menos lopor
)( y )( entre oscomprendid
valoreslos s toma todo funciónla , )()( que tales
, dera cualesquie puntos dos son Si
, de puntocada encontinua Sea
21
21
21
21
xx
xfxf
fxfxf
baxx
baf
Teorema del Valor Intermedio (para funciones continuas)
)( que tal
, punto unhay entonces
,)( y )( entreencuentra se gy
, encontinua es Si
xfg
ba
bfaf
baf
Orden de Convergencia de un método iterativo
xxCCn
xxCCn
xx
xxCC
xx
kx
xx
kkk
kkk
k
knkk
k
k
kk
para 0 decir, es 2 si CUADRÁTICA
para 0 decir, es 1 si LINEAL
:denomina se a deia convergencla ,particular En
para 0
:si n orden dedenomina se a deia convergencLa
,...2,1,0para deerror el
Sea
21
1
1
GALERÍA DE MÉTODOS
MÉTODO Nro de puntos anteriores
Convergencia Cte asintótica de error
BISECCION 2 Lineal 1/2
NEWTON (raíces simples)
1 Cuadrática
NEWTON (raíces múltiples)
1 Lineal
SECANTE 2 Superlineal (n=1.62)
REGULA FALSI 2 Lineal C<<<1/2
RF MODIFICADO 2 Superlineal (n=1.442)
)(
)(
2
1
f
f
q
q 1
62.0
)(
)(
2
1
f
f
Bracketing
Método de Bisección
Algoritmo de bisección
pb
papfaf
ii
TOLab
pf
abap
NMAXi
i
fijar contrario caso
entonces 0)()(
1
FINp:SALIDA
2
)( ó 0)(Si
2
)(
Mientras
1
Criterios de parada
)(
01
1
N
NN
NN
NN
pf
pp
pp
pp
Errores
2
1C
absolutoerror )(2 00
abab NNN
Observaciones
• Está basado en el teorema del valor intermedio para funciones continuas (tabulación sistemática)
• La parte más dura es encontrar un bracket• Cada iteración reduce el intervalo a la mitad• Baja velocidad de convergencia• Bueno para inicializar• No tiene en cuenta la forma de la función, sólo el signo
Lectura obligatoria
• Rao Pags 48-79
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