Contribuciones al Modelado, Control Contribuciones al Modelado, Control y Análisis de Estabilidady Análisis de Estabilidad
de Sistemas Borrosos. Aplicaciones.de Sistemas Borrosos. Aplicaciones.
Autor: Omar Sánchez Pérez.Autor: Omar Sánchez Pérez.
Director: Aníbal Ollero Baturone.Director: Aníbal Ollero Baturone.
Tesis Doctoral
Esquema de la presentación.Esquema de la presentación.
Introducción
Modelos basados en sistemas borrosos.Modelos basados en sistemas borrosos.
Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.
Análisis de estabilidad basado en índices.Análisis de estabilidad basado en índices.
Aplicaciones experimentales:Aplicaciones experimentales:
Planta para la depuración de aguas residuales.Planta para la depuración de aguas residuales.
Aplicaciones a robótica móvil:Aplicaciones a robótica móvil:
Seguimiento de trayectorias.Seguimiento de trayectorias.
Seguimiento de objetos móviles.Seguimiento de objetos móviles.
Conclusiones y desarrollos futuros.Conclusiones y desarrollos futuros.
Introducción(I)
y(k+1)u(k)
+
-
PlantaModelo InversoBorroso
Modelo
borroso de la planta
Modelo de referencia
r(k)
yd(k+1)
Control borroso por modelo inverso especializado.
)1(^
ky
ncku
kukykdykyncnc
)()(
)1(^
))1()1(^
(1
Adaptación de parámetros del controlador: Modelo directo de la planta
Ley de control: Modelo inverso.
Introducción(II)
Tipos de controladores Expresión analítica
•Modelo inverso especializado
•Modelo inverso
•Linealización por realimentación
•Adaptativo de sistemas no lineales
•Adaptativo directo
•Adaptativo directo usando técnicas del control predictivo
•Redes de Neuronas
•Error a la salida del controlador comoestimador de coeficientes de un PID
•Sistemas borrosos+Redes de Neuronas
•Sistemas borrosos
Introducción(III)
)(
)(
xu
buxfx
Análisis de estabilidad basado en Indices.
)x;()x(.
NTONCES E
es ., . . , 2 es 2 y 1 es 1 y
es y ., . . , y 1 es 1 SI
rif
rix
rmiBmur
iBuriBu
rniAnxr
iAx
Modelo borroso de la planta
ModeloBorroso
xu
Controlador borroso
nxlnjcxl
jclju
lnjCnxl
kjCixljCx
...11)x( ENTONCES
es y ., . . y, es y ., . . , y 1 es 1 SIControlador
Borroso
Los Indices de estabilidad son aplicables sin que el modelo de la planta esté disponible.
Esquema de la presentación.Esquema de la presentación.
Introducción
Modelos basados en sistemas borrosos.Modelos basados en sistemas borrosos.
Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.
Análisis de estabilidad basado en índices.Análisis de estabilidad basado en índices.
Aplicaciones experimentales:Aplicaciones experimentales:
Planta para la depuración de aguas residuales.Planta para la depuración de aguas residuales.
Aplicaciones a robótica móvil:Aplicaciones a robótica móvil:
Seguimiento de trayectorias.Seguimiento de trayectorias.
Seguimiento de objetos móviles.Seguimiento de objetos móviles.
Conclusiones y desarrollos futuros.Conclusiones y desarrollos futuros.
Modelos basados en sistemas borrosos.Modelos basados en sistemas borrosos.
Modelo
Mental Verbal Físico Matemático
Fase imprecisaFase imprecisa
Definición heurísticade un conjunto de reglas
borrosas.
Fase deterministaFase determinista
Función no lineal con parámetros adaptables
Estructura de un modelo borroso (I).Estructura de un modelo borroso (I).
Variables lingüísticas
Operador lingüístico
Base de reglas
Motor de inferencia
borrosa
BorrosificadorDesborro-sificador
Aplicaciónde variablelingüística
Escalar
Flujo de cálculos
Flujo de información
Escalar
Datos
Borrosificador: Consecuente escalar.
Motor de inferencia: Producto.
Desborrosificador: Centro-promedio.
Ml
n
i FFixFil
Ml
n
i FFixFillyxf
1 1)],,([
1 1)],,([
)(
Estructura de un modelo borroso (II).Estructura de un modelo borroso (II).
Capa deEntrada
Capa Oculta 1Fi 2
Fi MFi
11F
12F 1
3F
1Fn 2
1F
22F
23F
2Fn M
F1
MF 2
MF 3 M
Fn
1x 2x 3x nx
Regla 1
Regla 2
Regla M
1y 2y
My
Capa de Salida
l
lly
Red borrosa
a3
a2
ap
ap-1
ap-2
a1
x(t)
w1
w2
w3
.
.
.wp-2
wp-1
wp
Datos deentrada
Funcionesbase
Vectorde pesos
Red con Memoria Asociativa
¿Porqué modelo basado en sistemas borrosos?
Estructura de un modelo borroso (III).Estructura de un modelo borroso (III).
Semejanzas
Ambos son aproximadores universales.
Principio de funcionamiento semejante:
• Motor de inferencia hacia adelante.
• Utilizan el gradiente para minimizar el error entre la salida real y el modelo.
Ventajas de los sistemas borrosos
Sistemas Borrosos vs. Redes de Neuronas
La adaptación de parámetros “inteligente”.
Se pueden aplicar los Indices de estabilidad.
Admiten estrategias combinadas con técnicas de diseño de controladores lineales.
Aportaciones en esta tesis doctoralAportaciones en esta tesis doctoral
Los parámetros tienen un claro significado físico:
• Más eficiente selección de las condiciones iniciales.• Modelo resultante puede analizarse como conjunto de reglas borrosas.
.
Mayor robustez en la fase de identificación basado en el concepto de “integridad”.
Soporta definiciones flexibles en la estructura del modelo que facilitan el modelado por caja gris.
Aprendizaje supervisado(I).Aprendizaje supervisado(I).
Pasos para la obtención de un modelo basadoen el gradiente descendiente.
Establecer las condiciones iniciales.
Proyectar la red hacia adelante.
Adaptar los parámetros ajustables.
Si el error deseado no se ha alcanzado, repetir
a partir del paso ‚.
Aprendizaje supervisado(II).Aprendizaje supervisado(II).
Indices de Marsh:
Objetivos:
1.- En cada punto del UD debe estar definida una FP.
UD
FP
3.- La suma de los grados de pertenencia de las FP en la zona de solape debe ser menor que uno.
0.6+0.7=1.3
2.- Dos FP no pueden tener el grado de pertenencia en el mismo punto.
4.- El solape de dos FP no debe sobrepasar el máximo grado de pertenencia de alguna FP.
Aprendizaje supervisado(III).Aprendizaje supervisado(III).
)(_)1(_)1(_)(_RS(j)
jminsopjmaxsopjminsopjmaxsop
RfARnSRS
Razón de solape
Rango de solape (RnS) Rns
RfARango de definición de las
funciones adyacentes (RfA).
MaSAzSRbS
))1(_)(_(2
1
1)1()(
RbS(j)
jminsopjmaxsop
M
jxjFjF
Robustez del solape
Aprendizaje supervisado(IV).Aprendizaje supervisado(IV).
MaS
MaS=Máxima área en la zona de solape
AzSAzS=Área de la suma de las FP
en la zona de solape.
Aprendizaje supervisado(V).Aprendizaje supervisado(V).
La razón y robustes del solape para FP triangulares y gaussianas.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
FP triangular 10 30 10 20
FP gaussiana 70 90 70 140
RnS RfA AzS MaS
0%10%20%
30%40%50%60%
70%80%90%
RS RbS
FP triangular FP gaussiana
Aprendizaje supervisado(VI).Aprendizaje supervisado(VI).
La razón de solape debe ser superior para las FP Gaussianas
Aprendizaje supervisado(VII).Aprendizaje supervisado(VII).
Condiciones iniciales para las FP de la parte precedente de reglas.
MminUmaxUl
i 2)__(
Definición de ancho de las FP:
Wang, 1994:
Deficiencias:
•No garantiza la integridad.
•El grado de activación máxima de la zona de solape depende del número de reglas.
Propuesta en esta tesis:
44.
RSRS
i
1 ; _ ; _1 li
limaxUM
iminUi
1)__(
MminUmaxU
solape. de RazónRScentros. entre Intervalo
Aprendizaje supervisado(VIII).Aprendizaje supervisado(VIII).
Aprendizaje supervisado(IX).Aprendizaje supervisado(IX).
nxlnaxlaxlalaeslyEntonceslnFesnxyylFesxSIlR . . . 22110 , ... 1 1 :)(
Condiciones iniciales para la parte consecuente de las reglas.
Reglas del tipo TSK.
nxnaxaxaa
nxlnaM
llwxla
M
llwxla
M
llwla
M
llw
M
llw
y
...22110
1...22111101
1
1
Salida a partir de coeficientes variables:
nxMnaxMaxMaMaMy
nxnaxaxaay
nxnaxaxaay
... 22110
.
.
2 ... 2221
21
20
2
1 ... 2121
11
10
1
Obtener los coeficientes comouna solución a un sistema de
ecuaciones lineales:
Aprendizaje supervisado(X).Aprendizaje supervisado(X).
Funciones de Pertenencia FPTG-I y FPTG-II.1.- Aumentan el soporte de las FP triangulares.2.- Mantener una expresión analítica para la zona de pertenencia cero.
o 2
; 2
2)(
exp
y 2
2
2
1
)(
limlFi
lil
iixlil
iixli
liixaF
limlFi
lil
iixlil
ili
liix
ixlFi
2 ;
2
2)(
exp
2
2
21
)(lil
iixlil
iixli
liixaF
lil
iixlil
ili
liix
ixlFi
Aprendizaje supervisado(XI).Aprendizaje supervisado(XI).
Ajuste en la adaptación basado en los Indices de Marsh.Razón de solape. Robustez del solape.
1221
1221)RS(
ji
ji
ji
ji
ji
ji
ji
jij,i
j=1..M-1 (número de reglas) i=1..n (variables de la parte precedente).
)1221(2
1
1))1()((
)RbS(
j
ij
ij
ij
i
M
jxjFijFi
j,i
nj
i
RSrRSRSnj
inj
i
)()(1
RSr = Razón de solape deseado.
nj
i
RbSrRbSRbSnj
inj
i
)()(1
RbSr = Robustez de solape deseado.
Ajuste del centro de una FP:
2))1(22)1((
14
)1(
j
ij
ij
ij
i
ji
ji
ji
RS
Ajuste del ancho de una FP:
2
1
1
1
1)1()(2
)1(3
21212
1)(
MaS
M
j
M
jjFjFMaS
ji
jiix
jiFx
ji
RbS
Algoritmo propuesto para la obtención de un modelo basadoen el gradiente descendiente.
Establecer las condiciones iniciales.
Proyectar la red hacia adelante.
Adaptar los parámetros ajustables.
Si el error deseado no se ha alcanzado, repetir
a partir del paso ‚.
Ajuste de los parámetros basado en los índices de Marsh.
Aprendizaje supervisado(XII).Aprendizaje supervisado(XII).
Aprendizaje supervisado(XIII).Aprendizaje supervisado(XIII).
Efecto de utilizar FP triangular o FPTG-2.
tNtutututyty 551.044.0352.0155.0
tatNtNtN 263.0153.1
Modelo de Box y Jenkins:
sistema. del RuidotN
.2CO de iónConcentracty
blanco. Ruidota
Metano.de Flujotu
Modelo borroso:
] ;4 ,1[ tytuty
1.- Consecuente TSK con término independiente.2.- Número de reglas M=15.
3.- Factor de aprendizaje (con momento)=0.001.
4.- Número de épocas= 13.
FP triangular: FPTG-2:
Aprendizaje supervisado(XIV).Aprendizaje supervisado(XIV).
Mejora de la adaptación basada en los Indices de Marsh.
4tu 1ty
324 2
12 xxy )2cos(2 )1sen(4 xxy
Aprendizaje supervisado(XV).Aprendizaje supervisado(XV).
FPTG-2
Efectos del aprendizaje sobre diferentes FP
.5-
)24exp(2 )13exp(3
xxy
2
)2cos(.
1
)1sen(x
xx
xy
Aprendizaje supervisado(XVI).Aprendizaje supervisado(XVI).
Efectos del aprendizaje sobre diferentes FP
-10-5
05
10 -10
-5
0
5
10-0.5
0
0.5
1
1.5
-10-5
05
10 -10
-5
0
5
10
-0.5
0
0.5
1
1.5FP Triangular FP Gaussiana
Aprendizaje supervisado(XVII).Aprendizaje supervisado(XVII).
Análisis en tres dimensiones de la función:2
)2cos(.
1
)1sen(x
xx
xy
-10-5
05
10 -10
-5
0
5
10
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
FPTG-2 -10-5
05
-10
-5
0
5-0.5
0
0.5
1
FPTG-2
)(1.0 )(101
)(2.0.tx
txtxx
Aprendizaje supervisado(XVIII).Aprendizaje supervisado(XVIII).
Serie temporal caótica de Mackey-Glass.
Aplicación de diferentes métodos de aprendizaje.
Aprendizaje no supervisado(I).Aprendizaje no supervisado(I).
Grupos próximos a un entorno.
Algoritmo de grupos próximosAlgoritmo de grupos próximos1.- Incorporar el primer conjunto de datos1.- Incorporar el primer conjunto de datoscomo un grupo.como un grupo.
2.- Determinar, de los grupos existentes,2.- Determinar, de los grupos existentes,el más próximo al nuevo grupo.el más próximo al nuevo grupo. Grupo próximo
Nuevo grupo
r’r
Grupos de datos identificados por reglas
3.- Si el nuevo grupo está fuera del 3.- Si el nuevo grupo está fuera del radio de proximidad, incorporarlo. radio de proximidad, incorporarlo.
r’
Grupo próximo
r
Nuevo grupo
Grupos de datos identificados por reglas
r ’
3’.- Si el nuevo grupo está dentro del 3’.- Si el nuevo grupo está dentro del rango, no incorporarlo.rango, no incorporarlo.
4.- Realizar inferencia borrosa.4.- Realizar inferencia borrosa.5.- Repetir paso 2 y consecuentes.5.- Repetir paso 2 y consecuentes.
Nota:Nota: La señal de salida no es utilizada como indicador de error (aprendizaje no supervisado).
Aprendizaje no supervisado(II).Aprendizaje no supervisado(II).
Expresión analítica delconjunto de reglas.
M
l
lxxlkB
M
l
lxxlkA
xkf
1)
2
2
0exp(
1)
2
2
0exp()(
2)1(2)2(1)()1)2()(1()2()1()()1(
kykykukykukykykyky
500>kpara )5/2(2.0)250/2(8.0)(500kpara )250/2()(
ksinksinkuksinku
0 200 400 600-1
-0.5
0
0.5
k
Sa
lid
a d
e la
pla
nta
y M
od
elo
Bo
rro
so
-- Salida de la planta.. Valor estimado
Crecimiento incontroladodel número de reglas.
Aprendizaje no supervisado(III).Aprendizaje no supervisado(III).
Expresión analítica delconjunto de reglas.
M
l
lxxlkB
M
l
lxxlkA
xkf
1)
2
2
0exp(
1)
2
2
0exp()(
1)1( tlkBl
kB
Existe un indicador de número de grupos quese identifican por unaregla:
Algoritmo de grupos próximos modificadoAlgoritmo de grupos próximos modificado1.- Incorporar el primer conjunto de datos1.- Incorporar el primer conjunto de datoscomo un grupo.como un grupo.
2.- Determinar, de los grupos existentes,2.- Determinar, de los grupos existentes,el más próximo al nuevo grupo.el más próximo al nuevo grupo.
4.- Realizar inferencia borrosa.4.- Realizar inferencia borrosa.
5.- Repetir paso 2 y consecuentes.5.- Repetir paso 2 y consecuentes.
3.- Si el nuevo grupo está fuera del 3.- Si el nuevo grupo está fuera del radio de proximidad, incorporarlo.radio de proximidad, incorporarlo.
3’.- Si el nuevo grupo está dentro del 3’.- Si el nuevo grupo está dentro del radio de proximidad, no incorporarlo.radio de proximidad, no incorporarlo.
3’’.- Controlar el crecimiento de las reglas.3’’.- Controlar el crecimiento de las reglas.
Aprendizaje no supervisado(IV).Aprendizaje no supervisado(IV).
Ejemplo del control de crecimiento del número de reglas.
)()1(),()1( kukykygky ))1(2)(21(
)5.2)()(1()()1(),(
kykykykykykykyg )250/2( ksinu
Modelo de la planta: Función desconocida: Estímulo:
Aprendizaje no supervisado(V).Aprendizaje no supervisado(V).
Empobrecimiento de la identificación: Validación del modelo (21 reglas):
Sistemas borrosos jerárquicosSistemas borrosos jerárquicos
yJ
y1J-1
yn’J-1
yn’2
y121
yn’1
y21
y11
SB 11x3
x4
x1
SB 21x6
x5 SB 12
x7
x8
SB n’2
xi
SB n1xn+N
xn
.
.
SB 1J
Nivel 1 Nivel 2 Nivel J
x2
SBMIMO I
SBMIMOII
SBMIMO S
x1
x2
xn
.
.
1.x
2.x
sx.
Sistemas borrosos MIMOSistemas borrosos MIMO
Esquema de la presentación.Esquema de la presentación.
Introducción
Modelos basados en sistemas borrosos.Modelos basados en sistemas borrosos.
Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.
Análisis de estabilidad basado en índices.Análisis de estabilidad basado en índices.
Aplicaciones experimentales:Aplicaciones experimentales:
Planta para la depuración de aguas residuales.Planta para la depuración de aguas residuales.
Aplicaciones a robótica móvil:Aplicaciones a robótica móvil:
Seguimiento de trayectorias.Seguimiento de trayectorias.
Seguimiento de objetos móviles.Seguimiento de objetos móviles.
Conclusiones y desarrollos futuros.Conclusiones y desarrollos futuros.
Estructuras de Control (I).Estructuras de Control (I).
• Control por modelo inverso.
• Control por modelo inverso especializado.
• Control basado en la linealización por realimentación.
(Moscinski,Ogonowski; 1994)
• Control basado en el error a la salida del controlador.(Andersen, Lotfi, Tsoi; 1997)
• Control adaptativo de sistemas no lineales. (Sheen, Kumara; 1993)
• Control adaptativo directo.
• Control adaptativo directo basado en técnicas del
control predictivo.
(Noriega, Wang; 1998)
Estructuras de Control (II).Estructuras de Control (II).
Control basado en la linealización por realimentación.
u kG X
F X y km( )( )
( ) ( )^
^
11 y k F X G X u k( ) ( ) ( ) ( ) 1
z-1
z-1
+ -
F X G X^ ^
( ), ( )
u(k)ym(k+1)
Equivalenciacierta.
ControladorPlanta
y k F X G X u k^ ^ ^
( ) ( ) ( ) ( ) 1
Red Adaptativa
e(k+1)
u(k)+
-
Plantay(k+1)
G(X)
F(X)
u(k)
e(k+1)+
-
Plantay(k+1)
G(X)
F(X)
Estructuras de Control (III).Estructuras de Control (III).
Obtención de dos modelos borrosos.
Estructuras de Control (IV).Estructuras de Control (IV).
Linealización por realimentación usando sistemas borrosos.
Narendra, 1989: Mocinski, Ogonowski; 1994:
)(
)(
)(1
)()(
)(1
)(
)1(
)1(
2
1
22
21
22
1
2
1
ku
ku
ky
kyky
ky
ky
ky
ky )())(()1( 321 kupkypsinpky
2.13 22 8.01 ppp
Estructuras de Control (V).Estructuras de Control (V).
Extensión de la linealización por realimentación.
)(2)dx(2)(1)dx(2)dx(2)1(2
)(2)dx(1)(1)dx(1)dx(1)1(1kuhkugfky
kuhkugfky
)1(2),1(1),1(2),1(1),(2),(1dx :donde kukukykykyky
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)dx(2^
)dx(2^
)1(2)dx(1^
)dx(1^
)1(1)dx(2^
)(1hggh
fkdyhfkdyh
ku
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)1(1)dx(2^
)dx(2^
)1(2)dx(1^
)(2hggh
fkdygfkdyg
ku
Si se aplica el principio de equivalencia cierta:
)dx(^2)dx(2 ),dx(
^2)dx(2 ),dx(
^2)dx(2 );dx(
^1)dx(1 ),dx(
^1)dx(1 ),dx(
^1)dx(1 hhggffhhggff
Entonces se cumple: )1(2)1(2 );1(1)1(1 kdykykdyky
Esquema de la presentación.Esquema de la presentación.
Introducción
Modelos basados en sistemas borrosos.Modelos basados en sistemas borrosos.
Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.
Análisis de estabilidad basado en índices.Análisis de estabilidad basado en índices.
Aplicaciones experimentales:Aplicaciones experimentales:
Planta para la depuración de aguas residuales.Planta para la depuración de aguas residuales.
Aplicaciones a robótica móvil:Aplicaciones a robótica móvil:
Seguimiento de trayectorias.Seguimiento de trayectorias.
Seguimiento de objetos móviles.Seguimiento de objetos móviles.
Conclusiones y desarrollos futuros.Conclusiones y desarrollos futuros.
Indices de estabilidad (I).Indices de estabilidad (I).
Fundamentos de los índices de estabilidad (Aracil, Ollero, García Cerezo, 1989).
Indicador de cuán lejos un sistema se encuentra de la situación en la que un autovalor cruza el eje imaginario ( I1 ).
Chequea la condición bajo la cual dos autovalores cruzan el eje imaginario ( I2 ).
Permite predecir la condición bajo la cual aparezca un nuevo punto de equilibrio ( I3 ).
j
j
Indices de estabilidad (II).Indices de estabilidad (II).
Los índices de estabilidad aplicados a sistemas multivariables (1994).
)det()1(1 JnI Indice I1:
1
)det(2 I
HI Indice I2:
nasnansans
JsIJP
1..11
)det(
. . . . . . . . . . . . 4 2 1
. . . 5 3 1
na
aa
aaa
H
))()((3 xfxbminI
Indice I3
El modelo de la planta debe estar disponible.
Aporte: El modelo de la planta no tiene que estar disponible.
Indices de estabilidad (III).Indices de estabilidad (III).
)x,()x(.
Entonces
es y ., . . y,1 es 1 y
es y ., . . , y 1 es 1 Si
rifix
rmiBmur
iBu
rniAnxr
iAx
Modelo borroso
)()x( es Entonc
es y ., . . , y 1 es 1 Si
xllju
lnjCnxl
jCx
Controlador borroso
u x
Sistemas borrosos del tipo TSK.
Los sistemas borrosos son aproximadores universales: Se puede obtener un modelo borroso de cualquier planta.
Indices de estabilidad (IV).Indices de estabilidad (IV).
Descripción del conjunto de reglas.
murmibjur
jiburibnxr
niaxriar
iaix
rmiBmur
jiBjuriBur
niAnxriAx
...... 11...110 es )x(.
NTONCES E
es . . . es .. y 1 es 1 y es y ., . . , y 1 es 1 SI
Modelo de la planta.
i=1..n sistemas borrosos r=1..M reglas para cada sistema j=1..m señales de control
Controlador borroso.
nxlnjckxl
kjcxljcju
lnjCnxl
kjCixljCx
...11)x( ENTONCES
es y ., . . y, es y ., . . , y 1 es 1 SI
j=1..m sistemas borrosos l=1..N reglas para cada sistema k=1..n variables de estado
Indices de estabilidad (V).Indices de estabilidad (V).
Expresión analítica.
kxn
k
m
j N
llCjw
N
llkjcl
Cjw
M
rrCLiw
M
rrjibr
CLiw
M
rrCLiw
M
rrkiar
CLiw
M
rrCLiw
M
rriar
CLiwix
1 11
1
1
1
1
1
1
1 0.
Término afín Coeficientes variables Señales de control
n
klkj
lkjkxl
jlCjw
1),,(
Grado de activación dereglas del controlador
Grado de activación dereglas del proceso
n
k
m
nkrki
rkinkur
irki
rkikxr
irCLiw
1 1),,(),,(
Indices de estabilidad (VI).Indices de estabilidad (VI).
El Jacobiano del sistema.
n
k kxm
jkjtcjntbkntantannx
n
k kxm
jkjtcjitbkitaitaiix
n
k kxm
jkjtcjtbktatax
1)
1(0
...
1)
1(0
...
1)
111(011
.1
Representación del sistemaen función de los coeficientes variables.
)(
)( . . . )( . . . 1
)(..
)( . . .
)( . . .
1
)(..
)(1 . . . )(1 . . .
1
)(1
exxnx
xnkx
xnx
xn
nxxi
kxxi
xxi
nxx
kxx
xx
J
nnkx
xi
)(
Indices de estabilidad (VII).Indices de estabilidad (VII).
kxn
k
m
jtjkqipt
jkqihtkqigt
qidm
jqjtcjitbqita
qxi
1 11
)x(
2
1
1 1 00
M
rrCLiw
M
r
M
s qx
sCLiwr
iarCLiws
CLiwria
qx
rCLiw
tqid 2
1
1 1
M
rrCLiw
M
r
M
s qx
sCLiwr
kiarCLiws
CLiwrkia
qx
rCLiw
tkqig
kjt
M
r
rCLi
M
r
M
s q
sCLir
jirCLi
sCLi
rji
q
rCLi
tjkqi c
w
x
wbwwb
x
w
h2
1
1 1
jitb
N
llCjw
N
l vlqj
vqj
lqjqxl
qjvqjqx
lkjcl
CjwN
vvCjw
tjkqip
2
1
1 )(2
22
12
Obtención de un término de la matriz Jacobiana.
Indices de estabilidad (VIII).Indices de estabilidad (VIII).
Indice I3.
e2min
xe1maxxe
1min
xe2min
xe2max
1
(x)xtbC(x)xtA
xe2
xe1min
(x)xtbC(x)xtA1
max(x)xtbC(x)xtA
1
e1min
e2min
xe1min
xe2min
xe2max
2
(x)xtbC(x)xtA
xe2
xe1maxxe
1min(x)xtbC(x)xtA
2
max(x)xtbC(x)xtA
2
e1min
min(x)xtbC(x)xtA
2
min(x)xtbC(x)xtA
1
2
2
2
13
min(x)xtbC(x)xtA
min(x)xtbC(x)xtAI
2
1
2.1
.
21)(
)(21
2.1
.
(x)xtbC(x)xtA
(x)xtbC(x)xtA
x
x
xxtCx
xbxxtA
x
x
Esquema de la presentación.Esquema de la presentación.
Introducción
Modelos basados en sistemas borrosos.Modelos basados en sistemas borrosos.
Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.
Análisis de estabilidad basado en índices.Análisis de estabilidad basado en índices.
Aplicaciones experimentales:Aplicaciones experimentales:
Planta para la depuración de aguas residuales.Planta para la depuración de aguas residuales.
Aplicaciones a robótica móvil:Aplicaciones a robótica móvil:
Seguimiento de trayectorias.Seguimiento de trayectorias.
Seguimiento de objetos móviles.Seguimiento de objetos móviles.
Conclusiones y desarrollos futuros.Conclusiones y desarrollos futuros.
Planta para la depuración de aguas residuales(I).Planta para la depuración de aguas residuales(I).
Interacción microbial.
Substratos contaminantes:
• Substratos energéticos: Mezcla de celulosa, hemicelulosa y glucosa.
• Substratos xenobióticos: Mezcla de compuestos derivados de la lignina.
Agente biodegradante:
• Biomasa (se alimenta de los substratos contaminantes).
Alta Biodegradabilidad.
Menor Biodegradabilidad.
1.- Asegurar condiciones para el crecimiento de la biomasa.
Puede provocar alteraciones bacteriológicas indeseables en el ecosistema.
Soluciones:
Objetivo: Mantener el agua libre de contaminantes.
2.- Controlar el crecimiento de la biomasa y de substratos xenobióticos.
Planta para la depuración de aguas residuales(II).Planta para la depuración de aguas residuales(II).
ea(t)sa(t)D(t)
Controlde nivel
salida
u1(t) u 2(t)
Agua limpia Agua residual Mezcla
Salida
Control de nivel
u1(t) u2(t)
)()(2)()(1)()()(
)()()(
)()(.
tctutctutctssateeK
teemteeatssK
tssmtc
)(2))(()()(1)()()(
)(
/)(
.tutsmaxaststutc
teeatssKts
scYsmts
)(2))(()()(1)()()(
)(
/)(
.tutemaxaetetutc
tssateeKte
ecYemte
c(t)=Biomasa
s(t)=Substratos xenobióticos.
e(t)=Substratos energéticos.
Planta para la depuración de aguas residuales(III).Planta para la depuración de aguas residuales(III).
Puntos de equilibrio en lazo abierto.
)()(1.0)(1
)(2.0)(10)(5.1
)(1.0)(.
tctste
tetets
tstc
)()(10)(5.1
)(142.0)(.
tctets
tsts
)()(1.0)(1
)()(.
tctste
tete
Soluciones:
)(te )(tsc(t)=0(I)
(II) )(tc e(t)=0 s(t)=0
Reglas del proceso___________________________________
Planta para la depuración de aguas residuales(IV).Planta para la depuración de aguas residuales(IV).
Estrategia de control.0.
70.
6
0.2 0.3
c
A1,B1, K1
A2,B2, K2
A3,B3, K3
A4,B4, K4
s
A B
A
Bu1Bx1A1C
.x entonces A es c y Bes s Si
u2Bx2A2C.x entonces A es c y A es s Si
u3Bx3A3C.x entonces Bes c y Bes s Si
u4Bx4A4C.x entonces Bes c y A es s Si
Reglas del controlador___________________________________
Si s es B y c es A entonces u = P1r - K1xSi s es A y c es A entonces u = P2r - K2xSi s es B y c es B entonces u = P3r - K3xSi s es A y c es B entonces u = P4r - K4x
Planta para la depuración de aguas residuales(V).Planta para la depuración de aguas residuales(V).
Expresión analítica en lazo cerrado.
4
1 4
1
4
1
4
1 3)23121311(2)22121211(1)21121111(212212111111
31321211111
1.
ll r
rCwl
CLw
r xrklbrklbxrklbrklbxrklbrklb
errplberrplbrCw
xlaxlaxlalc
lCLw
x
4
1 4
1
4
1
4
1 )3)23221321(2)22221221(1)21221121(212222111121
32322212121
2.
ll r
rCwl
CLw
r xrklbrklbxrklbrklbxrklbrklb
errplberrplbrCw
xlaxlaxlalc
lCLw
x
4
1 4
1
4
1
4
1 3)23321331(2)22321231(1)21321131(212232111131
33323213131
3.
ll r
rCwl
CLw
r xrklbrklbxrklbrklbxrklbrklb
errplberrplbrCw
xlaxlaxlalc
lCLw
x
tiempo(horas)
u2
Planta para la depuración de aguas residuales(VI).Planta para la depuración de aguas residuales(VI).
tiempo(horas)
u1
tiempo(horas)
s(t)
tiempo(horas)
c(t)
Planta para la depuración de aguas residuales(VII).Planta para la depuración de aguas residuales(VII).
Análisis de estabilidad con funciones de pertenencia sigmoide.
AB AB
Expresión analítica válida para todo el universo de discurso.
4
1 4
1
4
1
4
1 ))()232131()()222121(
)()212111(2122211111
)(3)(2)(11
))(),(),((.
ll r
rCwl
CLw
r terklibrkl
ibtsrklibrkl
ib
tcrklibrkl
iberrpliberrpl
ibrCw
teliatsl
iatclial
ic
lCLw
tetstcifix
Indice I3: No se produce inestabilidad por la aparición de un nuevo punto de equilibrio.
Planta para la depuración de aguas residuales(VII).Planta para la depuración de aguas residuales(VII).
Aplicación de los índices de estabilidad.
)33,
22,11(3
)3,2,1(32
)3,2,1(31
)3,2,1(3
3
)3,2,1(22
)3,2,1(21
)3,2,1(2
3
)3,2,1(12
)3,2,1(11
)3,2,1(1
exxexxexxx
xxxfx
xxxfx
xxxf
xxxxf
xxxxf
xxxxf
xxxxf
xxxxf
xxxxf
J
)(3);(2);(1 textsxtcx
(ce ,se ,ee ) = (0.7, 0.2, 0) (ce ,se ,ee ) = (0.7, 0.3, 0) (ce ,se ,ee ) = (0.6, 0.2, 0) (ce ,se ,ee ) = (0.6, 0.3, 0)
I1 I20.57590.5637
0.4364
0.4237
2.63802.6831
2.4437
2.3989
Indices I1 e I2 positivos: Ningun autovalor cruza el eje imaginario
s(t)c(t)
No se hace cero y no cambia de signo
2
)2,1(2
1
)2,1(1x
xxf
x
xxf
Si
No existenciclos límites
Teorema de Poincaré-Bendixson
Planta para la depuración de aguas residuales(VIII).Planta para la depuración de aguas residuales(VIII).
Aparición de ciclos límites.
Sistema simplificado: e(t)=0.
4
1 4
1
4
1
4
12)22121211(1)21121111(
212212111111
21211111
)2,1(11.
ll r
rCwl
CLw
r xrklbrklbxrklbrklb
errplberrplbrCw
xlaxlalc
lCLw
xxfx
4
1 4
1
4
1
4
12)22221221(1)21221121(
212222111121
22212121
)2,1(12.
ll r
rCwl
CLw
r xrklbrklbxrklbrklb
errplberrplbrCw
xlaxlalc
lCLw
xxfx
Planta para la depuración de aguas residuales(IX).Planta para la depuración de aguas residuales(IX).
Control basado en la linealización por realimentación.
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)1()dx(2^
)dx(2^
)1()dx(1^
)dx(2
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)dx(2^
)dx(2^
)1()dx(1^
)dx(1^
)1()dx(2^
)dx(2)dx(2)1(
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)1()dx(2^
)dx(2^
)1()dx(1^
)dx(1
)dx(1^
)dx(2^
)dx(1^
)dx(2^
)dx(2^
)1()dx(1^
)dx(1^
)1()dx(2^
)dx(1)dx(1)1(
hggh
fkdcgfkdsg
h
hggh
fkdshfkdch
gfks
hggh
fkdcgfkdsg
h
hggh
fkdshfkdch
gfkc
u1
u2
Planta para la depuración de aguas residuales(X).Planta para la depuración de aguas residuales(X).
Esquema de la presentación.Esquema de la presentación.
Introducción
Modelos basados en sistemas borrosos.Modelos basados en sistemas borrosos.
Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.
Análisis de estabilidad basado en índices.Análisis de estabilidad basado en índices.
Aplicaciones experimentales:Aplicaciones experimentales:
Planta para la depuración de aguas residuales.Planta para la depuración de aguas residuales.
Aplicaciones a robótica móvil:Aplicaciones a robótica móvil:
Seguimiento de trayectorias.Seguimiento de trayectorias.
Seguimiento de objetos móviles.Seguimiento de objetos móviles.
Conclusiones y desarrollos futuros.Conclusiones y desarrollos futuros.
Aplicación a robótica móvil (I).Aplicación a robótica móvil (I).
Punto Objetivo
x X
Y
Punto Objetivo
X
Y
vgdtgdx
)sen(
vwdt
gd
))()((1
tutdtd
))()((1 tvutvvdt
dv
Modelo de un vehiculo autónomo.
x= Posición.= Orientación.
= Curvatura.
v= Velocidad.
Aplicación a robótica móvil (II).Aplicación a robótica móvil (II).
Modelo borroso de un vehiculo autónomo.
vulxfulxevl
xdlxcxl
xblxa
lx
lvUvulUulVvlSlXxlRl
xR
es .
Entonces es y es y es y es y es y es Si :
vulfulevldlcxlblal
lvUvulUulVvlSlXxlRlR
es .
Entonces es y es y es y es y es y es Si :
vulfulevldlcxlblal
lvUvulUulVvlSlXxlRlR
es .
Entonces es y es y es y es y es y es Si :
vulvfulvevl
vdlvcxl
vblva
lv
lvUvulUulVvlSlXxlRl
vR
es .
Entonces es y es y es y es y es y es Si :
) , , , , ,(.
vuuvxf
) , , , , ,(.
vuuvxxfx
) , , , , ,(.
vuuvxf
) , , , , ,(.
vuuvxvfv
Aplicación a robótica móvil (III).Aplicación a robótica móvil (III).
Modelo borroso del ROMEO-3R.
Intervalo de las variables pertenecientes al modelo cinemático y dinámico:
•Curvatura en la dirección del vehículo :m•Velocidad :m/s•Orientación:•Posición :m
Características del identificador borroso:
•Tipo de función de pertenencia: FPTG-II.
•Método de adaptación: Gradiente descendente, con momento y ajuste basado en los índices de Marsh.
• úmero de épocas: 100.• Razón de solape y robustez del solape: 0.6.• Número de reglas: 21.• Factor de incremento-decremento del factor de aprendizaje: 1.06 y 0.4.• Tolerancia para el cambio en el factor de aprendizaje: 5 %.
Aplicación a robótica móvil (IV).Aplicación a robótica móvil (IV).
curvatura orientación
• Linealización por realimentación.
Aplicación a robótica móvil (V).Aplicación a robótica móvil (V).
Control de un vehículo autónomo.
• Seguimiento de caminos basado en selector de punto destino borroso.
• Seguimiento de un objeto móvil (estimador de posición borroso).
Implementación teórica:
Implementación práctica:
Aplicación a robótica móvil (VI).Aplicación a robótica móvil (VI).
Selector de punto destino borroso.
Conocimiento heurísticoIdentificador del destino óptimo utilizado por un conductor para seguir determinada trayectoria
))(),(( kvk
)6(),6( x
)5(),5( x
)3(),3( x
)2(),2( x
)1(),1( x
)4(),4( x
)4(; )3( ),2( ),1( ),3( ),2( ),1( , , )( xxxxv(k)k )4(; )3( ),2( ),1( ),3( ),2( ),1( , , )( xxxv(k)k
)6(; )5( ),4( ),3( ),5( ),4( ),3( , , )( xxxxv(k)k )6(; )5( ),4( ),3( ),5( ),4( ),3( , , )( xxxv(k)k
Seguimiento de caminos basado en selector de punto destino borroso.
Aplicación a robótica móvil (VII).Aplicación a robótica móvil (VII).
Planificadorde
trayectoria
Generador depunto destino
Dinámicadel
vehículo
G
Estimador del punto destino
Estimador delpunto destino
Controladorborroso
Vehículoautónomo
u
G
z-1
Estructura del controlador
Aplicación a robótica móvil (VIII).Aplicación a robótica móvil (VIII).
Resultados experimentales.
metros
me
tro
s
Estimación de trayectoria Seguimiento de un camino.
Aplicación a robótica móvil (IX).Aplicación a robótica móvil (IX).
I nd
i ce
I 3
x
0,0,0,0
)x()x()x()x(
)x()x()x()x(
)x()x()x()x(
)x()x()x()x(
)x(
vxvvv
xvv
vx
vxx
xxx
vx
J
s4 + 4.7491s3 + 8.3663s2 + 6.8638s + 2.6139
Polinomio característico
Indices I1 e I2
I1 = 2.6920I2 = 166.6497
Análisis de estabilidad basado en índices.
Aplicación a robótica móvil (X).Aplicación a robótica móvil (X).
Estimador borroso de posición de un objeto móvil. Problemática:
(a) Pérdida de la coordenada del objeto en movimiento.
(b) Retardo en la información de coordenada por tiempo de procesamiento.
)1(^
kxy(k-d)
x(k-d)
Procesadorde imagen
Predictor Borroso de
Coordenadas
Dinámica del vehículo
)1(^
ky
)x(kn)dy(k ... d)y(kn)dx(k ... d)x(kv(k)k 1 ; ,, , ,, ,),(
)y(kn)dx(k ... d)x(kn)dy(k ... d)y(kv(k)k 1 ; ,, , ,, ,),(
Conjunto de reglas.
Aplicación a robótica móvil (XI).Aplicación a robótica móvil (XI).
)(..)()(..)(
)( es )1( Entonces es )( y ,..., es )(
y es )( y ,..., es )( y es y es )( Si :
dkylxdk
dndkylxndk
ddkxlxdk
cndkxlxndk
cv(k)lxb
klxakxlxdk
Ydkylxndk
Yndky
lxdk
Xdkxlxndk
XndkxlxVv(k)lxRklxR
Procesador de imagen. Estimador borroso de coordenadas.
Estimador decoordenadas
Controladorborroso
Vehículoautónomo
u
G
z-1
Estructura del controlador para el seguimiento de un objeto móvil.
Aplicación a robótica móvil (XII).Aplicación a robótica móvil (XII).
Aplicación a robótica móvil (XIII).Aplicación a robótica móvil (XIII).
Resultados experimentales en el seguimiento de un hombre.
Conclusiones.Conclusiones.
Selección de datos significativos.... ..... ..... .... ........ ..... ..... .... ........ ..... .....
Selección de datos significativos.... ..... ..... .... ........ ..... ..... .... ........ ..... .....
Diseño del sistema borroso
Conocimiento del experto.
Análisis de estabilidadbasado en Indices
• Estimador de punto destino.• Estimador de coordenadas.• Estructura borrosa jerárquica: - Seguimiento de caminos. - Seguimiento de objetos móviles.
• Dos nuevas funciones de pertenencia.• Adaptación basada en Indices de Marsh.• Inicialización de parte precedente y consecuente de reglas.• Estimador de número de reglas en algoritmo por grupos próximos.• Extensión en la aplicación de la linealización por realimentación.
Extensión a sistemas borrososMIMO sin necesidad del modelo.
Desarrollos futuros.Desarrollos futuros.
• Interpretación física de los parámetros que determinan la convergencia en los algoritmos Quickprop y RPROP.
• Extender la aplicación de la linealización por realimentación a sistemas con tres o mas señales de control.
• Extender la aplicación de los indices de estabilidad a diferentes estructuras de controladores.
• Implementar un supervisor de estabilidad.
• Realizar el modelo borroso del ROMEO-3R con consecuentes no lineales.
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