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Control de Posición en Motor de Corriente Directa
Alor Garcia Aner; Castro Aragón Fermìn; Hernandez Dominguez Mario; Ochoa Villegaz
Miguel Angel.
Division de Estudios de Posgrado e Investigacion, Instituto Tecnologico De Nuevo León,
Ciudad de Guadaupe, Nuevo Leon, Mexico.
Palabras claves:Motor CD,Metodo de Runge-kutta 4K,Ecuaciones de estado.
Abstract
El contenido del presente texto habla
sobre una metodologia propuesta para el
diseño y control de velocidad de un
motor de corriente directa. Así como
resultados clásicos del análisis lineal un
motor de corriente directa con flujo de
campo constante e independiente del
circuito de la armadura. Se propone el
enfoque de control mediante el análisis
matemático de los dispositivos con la
capacidad de conservar energía
haciendo uso del método de Bond Graph
(BG) pues trata en forma gráfica la
descripción del comportamiento
dinámico y estático de los sistemas
físicos considerando la energía común
de los componentes.
Introducción
Los motores de corriente directa (CD)
son ampliamente usados a nivel
industrial utilizándose en manipuladores
robóticos, impresoras, máquinas de
herramienta, en industrias dedicadas al
procesamiento de alimentos, fotografía y
de bebidas, en las dedicadas al
procesamiento de maquinaria,
aplicaciones específicas en
transportadoras, líneas de ensamble,
equipos de empaque, cribado de seda,
hilado. Las características de operación
lineal en que se diseñan los motores de
cd permiten obtener un control aceptable,
ya que los controladores obedecen a
este comportamiento lineal, y como se
verá en las ecuaciones deducidas, el
control se obtiene y aplica directamente
sobre los valores de entrada del sistema
permitiendo un amplio rango de
2
velocidad donde se pueden proporcionar
un alto par con control más sencillo y
económico que cualquier motor de
corriente alterna. Se puede definir a un
motor de cd como un transductor de
energía eléctrica a energía mecánica.
Problema a solucionar
Dentro los requerimientos de los
sistemas automatizados se requieren de
dispositivos actuadores que respondan a
la demanda del cliente o maquinaria para
poder crear y desarrollar su producto sin
que esté presente anomalías, por tal
razón estos dispositivos actuadores
requieren de sistemas de control donde
las variables presentes en el sistema
puedan ser conocidas o predecibles.
Por tal razón se plantea un control
posición de un motor alimentado por
corriente directa con un alto par motor de
arranque. Dicho control actuará sobre un
tren haciendo que el tren desarrolle la
máxima velocidad posible en cada tramo,
dependiendo de la aceleración que
experimente en cada instante. Cuando el
tren entre en una curva, el tren adoptará
una velocidad moderada, entonces, el
tren comenzará a aumentar su velocidad
hasta alcanzar un máximo que vendrá
dado por la aceleración, la cual será
proporcional a la velocidad y al radio de
la curva, que experimente el tren en
dicha curva.
Es de vital importancia generar un
control que responda a los cambios de
presión existente en las redes de
distribución de agua mediante el
posicionamiento del giro de un motor de
corriente directa que se encuentra
empotrado sobre una válvula reguladora
de presión VPR) abriendo o serrando la
válvula automáticamente regulando así
flujo de agua que circula en el interior de
la misma.
Ilustración 1.- válvula reguladora de
presión (VPR).
Métodos utilizados
En los últimos años se han diversificado
las técnicas de para el análisis y control
en los sistemas lineales y no lineales los
usos de estas técnicas hacen uso propio
de las cuestiones dinámicas de los
3
mecanismos basados en su modelación
sistemática y matemática.
Los autores Rodríguez Paredes, R. J.
Rodríguez Lozoya M. González Solano
en su artículo proponen el análisis de
pasividad por medio de variables
Hamiltonianas y el modelado por medio
de sistemas perturbados para el motor
de CD bajo dos puntos de vista: uno
físico (enfoque clásico) y otro
matemático o enfoque estructural.
Propuesta para resolver el problema
Mediante el análisis y comportamiento
de los elementos que componen el
circuito interno y externo del motor de
corriente directa y de las variables
conocidas se implementa las leyes
correspondientes a cada una de las
variables.
Dado que en el motor está fluyendo una
corriente electica y a su vez, este, está
generando un torque y cambiando la
posición de la flecha se presenta el uso
de las leyes de newton y Kirchhoff.
Desde el punto mecánico se observa y
se hace uso de las leyes que rigen la
física, dado que el sistema en un sistema
electromecánico se hace uso de las
leyes corriente de Kirchhoff de donde se
determina las variables de estado que
están presente en el sistema
El espacio de estado se refiere al
espacio de dimensiones cuyos ejes
coordenados están formados por
variables de estados. El estado del
sistema puede ser representado como
un vector dentro de ese espacio.
Ilustración 2.-Esquema de un motor cd
de manera separada.
Contribución
Se contribuye a resolver la problemática
del exceso de presión en las redes de
distribución de agua mediante el control
automático de una válvula reguladora de
presión, así mismo se asientan las
formulas mecánicas y eléctricas que
rigen el comportamiento de un motor de
corriente directa usando la metodología
de BG y ecuaciones de estados.
4
Marco teórico
Todos los motores que se construyen y
se encuentran en la industria están
constituidos por un inductor y un estator
donde el estator es la parte fija y el rotor
o inducido es la parte móvil.
El motor a utilizar es de excitación
separada, cuya característica es la
bobina, en este caso el inductor, que
genera el campo magnético no se
encuentra dentro del circuito del motor,
esto nos dice que no existe una conexión
eléctrica entre el rotor y el estado.
Ilustración 3.-Esquema de un motor cd
de manera separada.
Los motores CD son parte de las
clasificación de máquinas eléctricas los
cuales tiene la capacidad de transformar
energía mecánica a eléctrica y viceversa.
En un motor, un par de torsión, actúa
sobre un conductor de transporta
corriente, y la energía eléctrica se
convierte en energía mecánica. [1] Como
por ejemplo en los ventiladores que
tenemos en nuestros hogares. Por otra
parte definiremos lo que es la corriente
directa, que es constante en magnitud y
dirección.
El rotor es el componente que gira en
una máquina eléctrica, sea ésta un motor
o un generador eléctrico. Mientras que el
estator es su complemento, es la parte
fija de una máquina rotativa y uno de los
dos elementos fundamentales para la
transmisión de potencia o corriente
eléctrica. Los motores utilizados en los
modelos de coches, trenes, etc. son
bastante diferentes en la construcción de
los motores hasta ahora, principalmente
debido a que están diseñados para que
su fabricación sea económica. También
funcionan a altas velocidades, por lo que
no es importante, que el par sea suave.
El rotor, hecho de láminas con un
pequeño número (normalmente tres o
cinco) de bobinas multi-vueltas en
grandes 'ranuras', es simple de fabricar,
y debido a que el colector tiene pocos
segmentos, también es bastante
económico. El sistema de soldadura
(estator) se compone de imanes
cerámicos radialmente magnetizados
con una placa posterior de acero para
completar el circuito magnético. [2]
5
Un inductor desde el punto de vista de
circuitos, se puede entender un poco
mejor si se menciona el desarrollo de la
teoría de campo magnético y para ellos
comenzaremos a principios de la década
de 1800, el científico danés (Oersted
demostró que un conductor que lleva
corriente eléctrica produce un campo
magnético, tiempo después Ampere
realizo algunas mediciones cuidadosas
que demostraron que el campo
magnético se relacionaba linealmente
con la corriente que la producía. El
siguiente salto se dio cerca de veinte
años después cuando el inglés Michael
Faraday y el inventor estadunidense
Joseph Henry descubrió casi de manera
simultánea que un campo magnético
variable podría inducir tensión en un
circuito cercano. Demostrando que la
tensión era proporcional a la tasa de
cambio en el tiempo de corriente que
producía el campo magnético. [2]
Cuando una fuerza se aplica a un cuerpo,
ésta producirá una tendencia a que el
cuerpo gire alrededor de un punto que no
está en la línea de acción de la fuerza.
Esta tendencia a girar se conoce en
ocasiones como par de torsión, pero con
mayor frecuencia se denomina el
momento de una fuerza o simplemente
el momento. [3]
Se considerara como velocidad angular
cuando un cuerpo rígido tiene una
rotación alrededor de un punto fijo [4]
¿En que está basado el teorema?
Este teorema está basado en el
comportamiento de los elementos que
componen el circuito, en este caso el
motor y las leyes físicas que rigen su
desempeño, de donde se desprende la
el hecho de utilizar de manera
combinada las leyes de Kirchhoff y las de
estática puesto que como podemos
observar, que en el motor está fluyendo
una corriente electica y a su vez, este,
está generando un torque y cambiando
la posición de la flecha por eso se
presenta la siguiente propuesta de
modelo matemático para expresar su
comportamiento.
Modelo matemático
El modelo matemático del
comportamiento de motor eléctrico de
CD tiene características eléctricas que
se reducen a la siguiente:
Vin = la tensión de alimentación del rotor,
i = la corriente que pasara por el rotor
también conocida como corriente de
6
armadura, R = la resistencia de la bobina
de rotor, L la inductancia de la bobina del
motor, ε = es la fuerza contra-
electromotriz del motor, vf = es la
atención del alimentación del estator, If =
la corriente que va a pasar por el estator,
Rf = la resistencia del bobinado del
estator, Lf la inductancia del bobinado
del estator. [5]
Para que el motor desarrolle su tarea,
usualmente se le coloca una carga
mecánica en el eje del rotor y de esto
dependerán las propiedades mecánicas
las cuales estarán dadas por: ω la
velocidad angular de giro a la cual
trabaja el rotor, J el momento de inercia
equivalente del rotor con la carga que se
le quiere colocar, B el coeficiente de
rozamiento viscoso. [6]
Determinación del modelo matemático y
la matriz de variables de estado
El modelado matemático
El modelado matemático de un motor
eléctrico de cd necesita de tres
ecuaciones, dos mecánicas y una
eléctrica. Estas ecuaciones están
relacionadas y se basan en las leyes de
Kirchhoff y leyes dinámicas. Primero
determinaremos que nos relaciona la
ecuación dinámica que es el movimiento
del motor y la ecuación de Kirchhoff nos
determina la corriente del inductor. [7]
Cuando aplicamos una tensión Vin al
inducido, circula por él una corriente i y
debido a esta corriente, en el rotor, se
inducirá una corriente una fuerza contra
electromotriz (ley de Lenz que nos dice
“La corriente inducida en una espira está
en la dirección que crea un campo
magnético que se opone al cambio en el
flujo magnético en el área encerrada por
la espira.”) [8], cuyo valor será
determinado por la expresión:
Ecuaciones diferenciales
Análisis de mallas
LVK
𝑉𝑖𝑛 − 𝑅 ∗ 𝑖 − 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡− 𝜀 = 0 → (1)
Siendo Kb la constante de fuerza contra-
electromotriz aplicando la ley de ohm, la
tensión útil será:
𝜀 = 𝑘𝑝 ∗ 𝜔(𝑡) → (2)
Sustituyendo 2 en 1
𝑉𝑖𝑛 − 𝑅 ∗ 𝑖 − 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡− 𝑘𝑏 ∗ 𝜔(𝑡) = 0
𝑉𝑖𝑛 − 𝑅 ∗ 𝑖 − 𝐿𝑥1̇ − 𝑘𝑏 ∗ 𝜔(𝑡) = 0
Donde se puede despejar nuestra
primera variable de estado
7
𝑥1̇ =𝑉𝑖𝑛 − 𝑘𝑏 ∗ 𝑤(𝑡) + 𝑅 ∗ 𝑖
𝐿
El rotor realizara su movimiento debido
al torque electromagnético TE generado
por el campo magnético que se produce
en el estator y este dependerá de la
corriente que circula en la armadura,
siendo así podemos plantear la siguiente
ecuación.
𝑇𝐸 = 𝑘𝑝 ∗ 𝑖
Donde kp es la constante de torque
electromagnético.
El motor de CD en su movimiento
giratorio en este caso la flecha arrastra
una carga, generándose un par
resultante TC y también se cuenta con
una fricción en el sistema que depende
de la velocidad a la cual gira el roto y este
causa un torque TF que es un sentido
opuesto al movimiento como se muestra
en la siguiente ilustración.
Ilustración 4.-Diagrama de torque en el
rotor.
Proponemos la ecuación que describe a
Tc que es el par resultante:
𝑇𝐶 = 𝐽 ∗𝑑𝑤
𝑑𝑡
También que describe a TF que es el que
es la fricción en el sistema:
𝑇𝐹 = 𝛽 ∗ 𝜔(𝑡)
Para obtener la segunda variable de
estado se propone trabajar con la suma
de momentos que genera el motor:
∑𝑀 = 0
𝑇𝐸 − 𝑇𝐹 = 𝑇𝐶 → (10)
Donde
𝑇𝐸 = 𝑘𝑝 ∗ 𝑖 → (11)
𝑇𝐹 = 𝛽 ∗ 𝜔(𝑡) → (12)
𝑇𝐶 = 𝐽 ∗𝑑𝑤
𝑑𝑡→ (13)
Sustituyendo en la ecuación 11, 12,13 en
10 se obtiene
𝑘𝑝 ∗ 𝑖 − 𝛽 ∗ 𝜔(𝑡) = 𝐽 ∗𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝑘𝑝 ∗ 𝑖 − 𝛽 ∗ 𝜔(𝑡) = 𝐽 ∗ 𝑥2̇
Donde se puede despejar la segunda
variable estado
8
𝑥2̇ =𝑘𝑝 ∗ 𝑖 − 𝛽 ∗ 𝜔(𝑡)
𝐽
Como es prescindible que el motor
cuando con un control de posición para
que cuando se detenga mantenga una
posición de giro se considera la posición
como una variable de estado, la cual
nombraremos con la letra θ y puesto que
la derivada de una posición es la
velocidad si considera la siguiente
ecuación.
�̇� = 𝜔(𝑡)
𝑥3̇ = 𝜔(𝑡) → (20)
Donde queda la tercera variable de
estado y de manera directa, despejada.
Teniendo las Ecuaciones diferenciales
se procederá a formar la matriz de
espacios de estado la cual se muestra en
la siguiente forma:
[𝑥1̇
𝑥2̇
𝑥3̇
] =
[ −
𝑅
𝐿0 −
𝐾𝑏
𝐿0 0 1𝐾𝑡
𝐽0 −
𝛽
𝐽 ]
∗ [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] + [
1
𝐿00
] ∗ 𝑉𝑖𝑛
Diagrama
Ilustración 5.-diagrama electrónico (proteus).
Matrices
𝐼 = [1 0 00 1 00 0 1
]
𝐼 ∗ 𝑠 = [𝑠 0 00 𝑠 00 0 𝑠
]
𝐴 =
[ −
𝑅
𝐿0 −
𝐾𝑏
𝐿0 0 1𝐾𝑡
𝐽0 −
𝐵
𝐽 ]
𝐼 ∗ 𝑠 − 𝐴 =
[ 𝑠 +
𝑅
𝐿0
𝐾𝑏
𝐿0 𝑠 −1
−𝐾𝑡
𝐽0 𝑠 +
𝐵
𝐽 ]
= 0
Salida de la matriz (Is-A) cuando se le
conoce su determinante.
9
𝑠3 + (𝐵
𝐽+
𝑅
𝐿) 𝑠2 − (
𝑅 ∗ 𝐵 + 𝐾𝑏 ∗ 𝐾𝑡
𝐿 ∗ 𝐽)𝑠 = 0
Se obtiene la ecuación para sacar los
valores de X el software MATLAB
1.- Se declaran las variables a utilizar.
2.-Se ingresan los valores de los
coeficientes de nuestra ecuación en
forma de vector.
3.- Se obtiene las raíces mediante el
comando “roots” en Matlab.
4.- Se le pide al Matlab que simplifique
los resultados obtenidos utilizando la
función “pretty”.
Y se utilizó Microsoft Excel para
encontrar los valores de X1,X2,X3.
J B L R Kp Kt
1,00E-06 1,00E+00 6,60E-04 1 2,30E-02 2,30E-02
B^2*L^2 J^2*R^2 2*B*J*L*R 4*Kp*Kt*J*L
X2 -999999,197 4,356E-07 1E-12 1,32E-09 1,3966E-12
X3 -1515,95425
X2
4,3428E-07
0,000659
Basando los valores de B J R L Kp Kt del
libro “El ABC de las máquinas eléctricas:
Instalación y control de motores.”,
Gilberto Enríquez Harper
10
METODO RUNGE-KUTTA 4K
Los métodos de Runge-Kutta consiste en
un conjunto de métodos genéricos
iterativos, explícitos e implícitos, de
resolución numérica de ecuaciones
diferenciales la cuales tienen la exactitud
del esquema de la serie de Taylor sin
necesitar del cálculo de derivadas
superiores. Existen muchas variaciones
pero todas ellas s e pueden ajustar a la
forma general de la ecuación.
Yi+l = Yi + +(Xi, Yi, h) h.
Los métodos Runge-Kutta más usado
son los de cuarto orden que a menudo es
referenciado como «RK4» determinado
por las formulas siguientes:
k1 = h f(xn, yn)
k2 = h f(xn + h/2 , yn + k1/2 )
k3 = h f(xn + h/ 2 , yn + k2/2 )
k4 = h f(xn + h, yn + k3)
yn+1 = yn + 1/ 6 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
El método de cuarto orden proporciona
un resultado exacto.
Esta forma del método de Runge-Kutta,
es un método de cuarto orden lo cual
significa que el error por paso es del
orden de , mientras que el error
total acumulado tiene el orden .
Por lo tanto, la convergencia del método
es de orden , razón por la cual es
usado en los métodos computacionales.
Basado en la teoría mencionada
definimos nuestras ecuaciones
diferenciales obtenidas en el análisis del
circuito resultando lo siguiente:
Ecuaciones método runge-kutta 4k
EC.1.-
𝑥1̇ = −𝑅
𝐿𝑥1 −
𝐾𝑏
𝐿𝑥3 +
1
𝐿𝑉(𝑡)
𝑓1(𝑥1, 𝑥2, 𝑡) = −𝑅
𝐿𝑥1 −
𝐾𝑏
𝐿𝑥3 +
1
𝐿𝑉(𝑡)
𝑓2(𝑥1, 𝑥2, 𝑡) = −𝑅
𝐿(𝑥1 +
𝑓12) −
𝐾𝑏
𝐿(𝑥3
+𝑧1
2) +
1
𝐿𝑉(𝑡 +
ℎ
2)
𝑓3(𝑥1, 𝑥2, 𝑡) = −𝑅
𝐿(𝑥1 +
𝑓22
) −𝐾𝑏
𝐿(𝑥3
+𝑧2
2) +
1
𝐿𝑉(𝑡 +
ℎ
2)
𝑓4(𝑥1, 𝑥2, 𝑡) = −𝑅
𝐿(𝑥1 + 𝑓3) −
𝐾𝑏
𝐿(𝑥3
+ 𝑧3) +1
𝐿𝑉(𝑡 + ℎ)
EC.2.-
𝑥2̇ = 𝑥3
11
𝑔1(𝑥3) = 𝑥3
𝑔2(𝑥3) = (𝑥3 +𝑧1
2)
𝑔3(𝑥3) = (𝑥3 +𝑧2
2)
𝑔1(𝑥3) = (𝑥3 + 𝑧3)
EC.3.-
𝑥3̇ =𝐾𝑡
𝐽𝑥1 −
𝐵
𝐽𝑥3
𝑧1(𝑥1, 𝑥3) =𝐾𝑡
𝐽𝑥1 −
𝐵
𝐽𝑥3
𝑧2(𝑥1, 𝑥3) =𝐾𝑡
𝐽(𝑥1 +
𝑓12) −
𝐵
𝐽(𝑥3 +
𝑧1
2)
𝑧3(𝑥1, 𝑥3) =𝐾𝑡
𝐽(𝑥1 +
𝑓22) −
𝐵
𝐽(𝑥3 +
𝑧2
2)
𝑧3(𝑥1, 𝑥3) =𝐾𝑡
𝐽(𝑥1 + 𝑓3) −
𝐵
𝐽(𝑥3 + 𝑧3)
Experimento
A partir de los valores propuestos se
simulo el comportamiento del modelo
utilizando Microsoft Excel asignando los
valores iniciales que se presentan a
continuacion.
x1=0, x2=0, x3=0,
El comportamiento del Sistema se
muestra en la siguiente grafica
Ilustración 6.- grafica de comportamiento del modelo.
Conclusión
Se observa que el valor de la Resistencia
del rotor es muy pequeña debido a la
necesidad de altas Corrientes para el
funcionamiento óptimo del motor, sin
embargo es recomendable implementar
un divisor de tensión o una resistencia
externa variable en el control de
arranque del motor debido a la alta
corriente de arranque como protección
para los componentes eléctricos y
mecánicos.
A su vez, mediante el análisis y uso de
espacios de estado de un motor de
corriente directa se logró obtener la
función de transferencia para el control
12
de una válvula reguladora de presión la
cual controlara el flujo de agua que corre
a través de ella. Para la obtención de
este control se requirió del software de
MATLAB para la solución de las matrices
obtenidas de los espacio de estados(A,
B, C, D), haciendo uso del método de
Rugen-Kutta de cuarto orden fue posible
encontrar los valores de R la resistencia
de la bobina de rotor, L la inductancia de
la bobina del motor, J momento de
inercia, B coeficiente de rozamiento
viscoso.
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1 BIBLIOGRAFÍA
[1] H. D. y. R. A. F. YOUNG, Física
universitaria, con física moderna
volumen 2., México: PEARSON
EDUCACIÓN, 2009.
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Mexico,DF: McGraw-Hill, 2007.
[3] R. C. HIBBELER, Ingeniería
mecánica - Estática, México:
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México, D. F.: McGRAW-
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EDITORES, S.A. DE C.V., 2010.
[5] M. Álvarez, Folleto de problemas de
maquinaria eléctrica 1, Guayaquil:
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fisica moderna, México, D.F:
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[9] F. P. Beer, J. E. Russell Johnston, D.
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Eisenberg, Vector Mechanics For
Engineers:Statics & Dynamics, New
York, NY: Kindle Edition, 2007.
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