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FACTORIZACIÓNFACTORIZACIÓNFACTORIZACIÓNFACTORIZACIÓN
Caso I: Factor Común Ejemplos
Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos
los términos. Los números pueden factorizarse en este
caso si existe máximo común divisor (MCD) entre
ellos.
Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras
comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y
dividir cada término entre el factor común (restando
los exponentes).
• ax+bx = x(a+b)
• ax3-bx2 = x2(ax-b)
• 2b5-b3 = b3(2b2-1)
• 24ax+18bx = 6x(4a+3b)
24 – 18 2⇐
12 – 9 2
6 – 9 2 MCD = 2 . 3 = 6
3 – 9 3⇐
1 – 3 3
1
Caso I Especial • 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y)
Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto
entre paréntesis.
Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y
dividir cada término entre el común
• a(m-2)-m+2
a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1)
• x(a-b)+a-b
x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1)
Caso II: Factor común por agrupación • ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by) Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son
seis u ocho términos
Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar
cada grupo como el caso I y luego el resultado
factorizar como el caso I especial.
= x(a+b) - y(a+b)
= (a+b)(x-y)
• ax2-x+ax-1 = (ax2-x)+(ax-1)
= x( ax-1) +(ax-1)
= (ax-1)(x+1) Caso III: Trinomio cuadrado perfecto • a2+2ab+b2 = (a+b)2
Cómo Reconocer: Siempre son tres términos.
El primero y el tercero siempre son positivos y tienen
raíz cuadrada.
Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero,
signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar
entre paréntesis y elevar al cuadrado.
• x2-2xy+y2 = (x-y)2
• 4x2-12xy+9y2 = (2x-3y)2 prueba: 2(2x)(3y) =12xy
• 2
3632
52
2554
−=+− y
xyxy
x ( ) 33 552
2 :prueba xyyx
=
Caso III Especial (a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2
Cómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis.
El primero y el tercero siempre son positivos y tienen
raíz cuadrada.
Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero,
signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar
entre corchetes y elevar al cuadrado.
[(a+1)+(2a-3)]2
[ a+1 + 2 a-3 ]2
[3a-2]2
Caso IV: Diferencia de cuadrados • a2 – b2 = (a – b) (a + b)
Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que
tienen raíz cuadrada, siempre es una resta
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno
con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz
cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo
en los dos paréntesis.
• 4x2 – 9y2 = (2x + 3y) (2x – 3y)
•
+
−=−
336
2 4
5
4
5
16
25 y
x
y
x
y
x
Caso IV Especial • (a+b)2 – c2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c]
Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son
conjuntos entre paréntesis y que tienen raíz cuadrada,
el signo afuera de los parentesis es menos (-)
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno
con menos [-] y el otro con más [+]. Sacar raíz
cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en los
dos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos
semejantes.
• 49(x –1)2 – 9(3 – x)2
[7(x-1) – 3(3 –x)] [7(x-1) + 3(3 –x)]
[7x – 7 – 9 + 3x] [7x – 7 + 9 – 3x]
[10x – 16] [4x + 2]
Combinación Caso III y IV Ejemplos
Cómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos
tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos,
cuatro de los cuales tienen raíz cuadrada.
Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos
formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis
y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por
el caso IV Especial
Cuando son seis términos formar dos trinomios
cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el
resultado factorizar por el caso IV Especial
• a2 +2ab + b2 – c2 = (a2 +2ab + b2) – c2
(a + b)2 – c2
[(a +b) –c] [(a +b) +c]
[a + b – c] [a + b + c]
• a2 - x2 – 2xy – y2 = a2 – (x2 + 2xy + y2)
= a2 – (x+y)2
= [a – (x+y)][a + (x+y)]
= [a – x - y] [a + x + y]
• a2 +2ab + b2- x2 + 2xy – y2
(a2 +2ab + b2) - (x2 - 2xy + y2)
(a + b)2 – (x – y)2
[(a + b) – (x – y)][ (a + b) + (x – y)]
[ a + b – x + y ][ a + b + x – y ]
CasoV: Trinomio cuadrado por
Adición y Sustracción • x4 + x2y2 + y4 =(x2 + y2)2 – x2y2
Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El
primero y tercero siempre son positivos, tienen raíz
cuadrada y sus exponentes son múltiplos de cuatro
(4, 8, 12, etc)
Cómo Factorizar: Resolver como caso III y restar lo
que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. El
resultado factorizar como el caso IV Especial.
+ x2y2 =[(x2 + y2) – xy] [(x2 + y2) + xy]
+2x2y2 =[ x2 + y2 – xy] [ x2 + y2 + xy]
=[ x2 – xy + y2 ] [ x2 + xy + y2 ]
• 25x4 + 21x2y2 + 9y4 =(5x2 + 3y2)2 – 9x2y2
+ 9x2y2 =[(5x2 + 3y2) – 3xy] [(5x2 + 3y2) + 3xy]
+ 30x2y2 =[ 5x2 + 3y2 – 3xy] [ 5x2 + 3y2 + 3xy]
=[ 5x2 – 3xy + 3y2 ] [ 5x2 + 3xy + 3y2 ]
Caso V Especial • x4 + 4y4
Cómo Reconocer: Siempre son dos términos
positivos que tienen raíz cuadrada y cuyos exponentes
son múltiplos de cuatro (4, 8 12, etc)
Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada a ambos
términos, asociar entre paréntesis y elevar al
cuadrado, restar el doble del primero por el segundo y
el resultado factorizar por el caso IV Especial
(x2 + 2y2)2 – 4x2y2
[(x2 + 2y2) – 2xy] [ (x2 + 2y2) + 2xy]
[ x2 + 2y2 – 2xy] [ x2 + 2y2 + 2xy]
[ x2 – 2xy + 2y2 ] [ x2 + 2xy + 2y2]
• 64x4 + y8
(8x2 + y4)2 – 16x2y4
[(8x2 + y4) – 4xy2] [(8x2 + y4) + 4xy2]
[ 8x2 + y4 – 4xy2] [ 8x2 + y4 + 4xy2]
[ 8x2 – 4xy2 + y4 ] [ 8x2 + 4xy2+ y4 ]
Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c
• x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)
Cómo Reconocer: Tiene la forma x2 + bx + c
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis,
colocar la raíz cuadrada del primero en cada
paréntesis; en el primer paréntesis poner el signo del
segundo término y en el segundo paréntesis poner la
multiplicación de los signos de segundo y tercer
término.
Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos
números que sumados den el segundo y multiplicado
den el tercer término.
Si los signos de los paréntesis son opuestos, buscar
dos números que restados den el segundo y
multiplicados den el tercer término. El número mayor
se anota en el primer paréntesis.
• x2 – 7x + 6 = (x - 6)(x - 1)
• x2 – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2)
• x2 + x – 20 = (x + 5)(x - 4)
Caso VI Especial
• x4y6 – 2x2y3 – 15 = (x2y3 - 5)(x2y3 + 3)
• x2 + 7ax + 12a2 = (x + 4a)(x + 3a)
• (5x)2 + 4(5x) – 12 = (5x + 6)(5x -2)
• - x2 + 3x + 28 = -(x2 –3x –28)
-(x - 7)(x + 4)
(7 – x)(x + 4)
Caso VII: Trinomio de la Forma ax2 + bx + c Ejemplos
Cómo Reconocer: Tiene la forma ax2 + bx + c
Aspa Simple: Descomponer el primer y tercer término en
dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus
resultados, si la suma da el segundo término, entonces
poner cada fila entre paréntesis.
• 10 x2 – 9 x + 2 = (5x – 2) (2x – 1) 5x -2 = -4x
2x -1 = -5x .
-9x
6
Otro Método: Abrir dos pares de paréntesis. Colocar el
coeficiente del primer término en cada paréntesis y en el
denominador. Multiplicar el primer término con el tercero
y proseguir como el caso VI, luego simplificar el
denominador con los coeficientes de un paréntesis, si
sobra algo en el denominador usarlo para simplificar con
el otro paréntesis.
• 3x2 +5 x + 2
( )( )2333
2333
1
11
++=/
+
/+/
xx
xx
• 6x2 –7x – 3
( )( )13326
2696
12
1332
+−=/
/+/
/−/
/
xx
xx
Caso VIII: Cubo Perfecto de un Binomio • a3 + 3 a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Cómo Reconocer: Siempre son 4 términos, todos
positivos o intercalados (+ , - , + , - ) y el primer y cuarto
término tienen raíz cúbica.
Cómo Factorizar: Sacar raíz cúbica del primero, poner
signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si
son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término,
asociar entre paréntesis y elevar al cubo.
• X3 – 3 x2y + 3xy2 – y3 = (x - y)3
• 8 + 12 a2 + 6 a4 + a6 = (2 + a2)3
prueba
3(2)2(a2) = 12a2
3(2)(a2)2 = 6a4
�
• 125 a3 –150 a2b + 60 ab2 – 8b3 = (5a – 2b)3
prueba
3(5a)2(2b) = 150a2b
3(5a)(2b)2 = 60ab2
�
Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos • x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)
Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o
restados que tienen raíz cúbica
Cómo Factorizar: Cuando es una suma (x
3 + y
3): Abrir dos pares de
paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del
primero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundo
paréntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero
por el segundo más (+) el segundo al cuadrado.
Cuando es una resta (x3 - y
3): Abrir dos pares de
paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del
primero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo
paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero por
el segundo más (+) el segundo al cuadrado.
• a3 - b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
• 8x3 – 125 = (2x – 5)[(2x)2 + (2x)(5) + (5)2]
= (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)
Caso IX Especial
• x3 + (x - 1)3 = [x + (x - 1)][x2 – x(x-1) + (x-1)2]
= (x + x - 1)(x2 –x2 +x + x2 –2x + 1)
=(2x - 1)(x2 – x +1)
• (5x - 1)3 – (2x + 3)3
=[(5x - 1) - (2x + 3)][(5x - 1)2 + (5x - 1)(2x + 3) +(2x + 3)2]
=[5x -1 - 2x -3][25x2 –10x+1+10x2+15x –2x –3+4x2+12x+9]
=(3x - 4)(39x2 + 15x + 7)
Caso X: Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales • x5 + y5 = (x + y)(x4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4)
Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o
restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar.
Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, en el
primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el
segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer
término vaya decreciendo y el segundo término vaya
creciendo.
Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y
si es una resta, el polinomio es de signos positivos.
• a7 – b7=(a - b)(a6+a5b+a4b2+a3b3+a2b4+ab5+b6)
• x5 – 1 = (x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)
• 1 + x7 =(1 + x)(1 – x + x2 – x3 + x4 – x5 + x6)
• x5 – 32 =(x - 2)(x4 + x3.2 + x2.22 + x.23 + 24)
=(x – 2)(x4 + 2x3 + 4x2+ 8x+ 16)
18
Productos Notables
Ejercicios de productos y cocientes notables
www.math.com.mxJosé de Jesús Angel Angel
MathCon c© 2007-2008
Contenido
1. Introducción 2
2. El cuadrado de una suma (a + b)2 3
3. El cuadrado de una diferencia (a− b)2 6
4. Producto de la forma (a + b)(a− b) 8
5. Cubo de un binomio (a± b)3 12
6. Producto de la forma (mx + a)(nx + b) 13
7. Cocientes de la formaa2 − b2
a± b14
7.1. Cocientes de la formaa3 ± b3
a± b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.1.1. Cocientes de la formaa3 + b3
a + b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.1.2. Cocientes de la formaa3 − b3
a− b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1Introducción
Al efectuar algunos productos de polinomios, existen varios que son comúnmente usados, a estosproductos se les conoce como productos notables.
Algunos productos y cocientes notables .
1. El cuadrado de una suma (a + b)2.
2. El cuadrado de una diferencia (a− b)2.
3. El producto de una suma por una diferencia (a + b)(a− b).
4. El cubo de un binomio (a± b)3.
5. El producto de la forma (mx + a)(nx + b).
6. El cociente de la formaa2 − b2
a± b.
7. El cociente de la formaa3 ± b3
a± b.
2El cuadrado de una suma (a + b)2
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es elcuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
1. (m + 5)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(m + 5)2 = (m)2 + 2(m)(5) + (5)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(m + 5)2 = m2 + 10m + 25
2. (9 + 4m)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(9 + 4m)2 = 92 + 2(9)(4m) + (4m)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(9 + 4m)2 = 81 + 72m + 16m2
3. (2x + 3y)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)2
2. El cuadrado de una suma (a + b)2 4
Paso 2 Efectuando operaciones.
(2x + 3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2
4. (3a3 + 8b4)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(3a3 + 8b4)2 = (3a3)2 + 2(3a3)(8b4) + (8b4)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(2x + 3y)2 = 9a6 + (2)(3)(8)a3b4 + 64b8
= 9a6 + 48a3b4 + 64b8
5. (4m5 + 5n6)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(4m5 + 5n6)2 = (4m5)2 + 2(4m5)(5n6) + (5n6)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(4m5 + 5n6)2 = 16m10 + (2)(4)(5)m5n6 + 25n12
= 16m10 + 40m5n6 + 25n12
6. (8x2y + 9m3)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(8x2y + 9m3)2 = (8x2y)2 + 2(8x2y)(9m3) + (9m3)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(8x2y + 9m3)2 = 64x4y2 + (2)(8)(9)xym3 + 81m6
= 64x4y2 + 144xym3 + 81m6
7. (am + an)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(am + an)2 = (am)2 + 2(am)(an) + (an)2
2. El cuadrado de una suma (a + b)2 5
Paso 2 Efectuando operaciones.
(am + an)2 = a2m + 2am+n + a2n
8. (am + an)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(am + an)2 = (am)2 + 2(am)(an) + (an)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(am + an)2 = a2m + 2am+n + a2n
3El cuadrado de una diferencia (a− b)2
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cuadrado de la suma de dos términos, es elcuadrado del primero, menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.
(a + b)2 = a2 − 2ab + b2
1. (2a− 3b)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(2a− 3b)2 = (2a)2 − 2(2a)(3b) + (3b)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(2a− 3b)2 = 4a2 − 12ab + 9b2
2. (3a4 − 5b2)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(3a4 − 5b2)2 = (3a4)2 − 2(3a4)(5b2) + (5b2)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(3a4 − 5b2)2 = 9a8 − (2)(3)(5)a4b2 + 25b4
= 9a8 − 30a4b2 + 25b4
3. (10x3 − 9xy5)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(10x3 − 9xy5)2 = (10x3)2 − 2(10x3)(9xy5) + (9xy5)2
3. El cuadrado de una diferencia (a− b)2 7
Paso 2 Efectuando operaciones.
(10x3 − 9xy5)2 = 100x6 − (2)(10)(9)x4y5 + 81x2y10
= 100x6 − 180x4y5 + 81x2y10
4. (xa+1 − 3xa−2)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(xa+1 − 3xa−2)2 = (xa+1)2 − 2(xa+1)(3xa−2) + (3xa−2)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(xa+1 − 3xa−2)2 = x2a+2 − 6xa+1+a−2 + 9x2a−4
= x2a+2 − 6x2a−1 + 9x2a−4
5. (3ma+b − 2na−b)2
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(3ma+b − 2na−b)2 = (3ma+b)2 + 2(3ma+b)(2na−b) + (2na−b)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(3ma+b − 2na−b)2 = 9m2a+2b − 12ma+bna−b + 4n2a−2b
4Producto de la forma (a + b)(a− b)
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el producto de la suma por la diferencia es ladiferencia de cuadrados.
(a + b)(a− b) = a2 − b2
1. (x + y + z)(x + y − z)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(x + y + z)(x + y − z) = (x + y)2 − (z)2
Paso 2 Efectuando operaciones.
(x + y + z)(x + y − z) = x2 + 2xy + y2 − z2
2. (x− y + z)(x + y − z)
Paso 1 Reordenando términos.
(x− y + z)(x + y − z) = (x− (y − z))(x + (y − z))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(x− y + z)(x + y − z) = (x− (y − z))(x + (y − z))= (x)2 − (y − z)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(x− y + z)(x + y − z) = (x)2 − (y − z)2
= x2 − [y2 − 2yz + z2]= x2 − y2 + 2yz − z2]
4. Producto de la forma (a + b)(a− b) 9
3. (x + y + z)(x− y − z)
Paso 1 Reordenando términos.
(x + y + z)(x− y − z) = (x + (y + z))(x− (y + z))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(x + y + z)(x− y − z) = (x + (y + z))(x− (y + z))= (x)2 − (y + z)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(x− y + z)(x + y − z) = (x)2 − (y + z)2
= x2 − [y2 + 2yz + z2]= x2 − y2 − 2yz − z2]
4. (m + n + 1)(m + n− 1)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(m + n + 1)(m + n− 1) = (m + n + (1))(m + n− (1))= (m + n)2 − (1)2
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(m + n + 1)(m + n− 1) = (m + n)2 − (1)2
= m2 + 2mn + n2 − 1
5. (n2 + 2n + 1)(n2 − 2n− 1)
Paso 1 Reordenando términos.
(n2 + 2n + 1)(n2 − 2n− 1) = (n2 + (2n + 1))(n2 − (2n + 1))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(n2 + 2n + 1)(n2 − 2n− 1) = (n2 + (2n + 1))(n2 − (2n + 1))= (n2)2 − (2n + 1)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(n2 + 2n + 1)(n2 − 2n− 1) = (n2)2 − (2n + 1)2
= n4 − [4n2 + 4n + 1]= n4 − 4n2 − 4n− 1
4. Producto de la forma (a + b)(a− b) 10
6. (2a− b− c)(2a− b + c)
Paso 1 Reordenando términos.
(2a− b− c)(2a− b + c) = ((2a− b)− (c))((2a− b) + (c))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(2a− b− c)(2a− b + c) = ((2a− b)− (c))((2a− b) + (c))= (2a− b)2 − (c)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(2a− b− c)(2a− b + c) = 4a2 − 4ab + b2 − c2
7. (am + bn)(am − bn)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(am + bn)(am − bn) = (am)2 − (bn)2
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(am + bn)(am − bn) = a2m − b2n
8. (ax+1 − 2bx−1)(2bx−1 + ax+1)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(ax+1 − 2bx−1)(2bx−1 + ax+1) = (ax+1)2 − (2bx−1)2
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(ax+1 − 2bx−1)(2bx−1 + ax+1) = a2x+2 − 4b2x−2
9. (a2 − ab + b2)(a2 + b2 + ab)
Paso 1 Reordenando términos.
(a2 − ab + b2)(a2 + b2 + ab) = ((a2 + b2)− (ab))((a2 + b2) + (ab))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(a2 − ab + b2)(a2 + b2 + ab) = (a2 + b2)2 − (ab)2
4. Producto de la forma (a + b)(a− b) 11
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(a2 − ab + b2)(a2 + b2 + ab) = (a2 + b2)2 − (ab)2
= a4 + 2a2b2 + b4 − a2b2
10. (x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x)
Paso 1 Reordenando términos.
(x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x) = ((x3)− (x2 + x))((x3) + (x2 + x))
Paso 2 Usando la fórmula para este caso.
(x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x) = (x3)2 − (x2 + x)2
Paso 3 Efectuando operaciones y simplificando.
(x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x) = x6 − (x4 + 2x2x + x2)= x6 − x4 − 2x3 − x2)
5Cubo de un binomio (a± b)3
Puede aprenderse la regla de esta operación como: el cubo de un binomio es el cubo del primero másel triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundomás el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
1. (m + 3)3
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(m + 3)3 = m3 + 3(m)2(3) + 3(m)(3)2 + (3)3
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(x3 − x2 − x)(x3 + x2 + x) = x6 − (x4 + 2x2x + x2)= x6 − x4 − 2x3 − x2)
En el caso del signo negativo, el cubo de un binomio es el cubo del primero menos el triple delcuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo menos elcubo del segundo.
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
1. (1− 2n)3
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(1− 2n)3 = 13 − 3(1)2(2n) + 3(1)(2n)2 − (2n)3
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(1− 2n)3 = 1− 6n + 12n2 − 8n3
6Producto de la forma (mx + a)(nx + b)
Este tipo de productos siguen una fórmula, pero no es difícil obtenerla, multiplicando lo dos binomios.
(mx + a)(nx + b) = (mn)x2 + (m + n)x + ab
1. (x + 3)(x + 2)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(x + 3)(x + 2) = x2 + (2 + 3)x + 6
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(x + 3)(x + 2) = x2 + 5x + 6
2. (x2 − 1)(x2 + 3)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(x2 − 1)(x2 + 3) = x4 + (3− 1)x− 3
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(x2 − 1)(x2 + 3) = x4 + 2x− 3
3. (ax+1 − 6)(ax+1 − 5)
Paso 1 Usando la fórmula para este caso.
(ax+1 − 6)(ax+1 − 5) = a2x+2 + (−6− 5)ax+1 + 30
Paso 2 Efectuando operaciones y simplificando.
(ax+1 − 6)(ax+1 − 5) = a2x+2 − 11ax+1 + 30
7Cocientes de la forma
a2 − b2
a± b
Este tipo de cocientes se puede resolver fácilmente al substituir la diferencia de cuadrados (a2 − b2)por el producto (a + b)(a− b). De ahí se siguen las fórmulas siguientes (es necesario que a 6= b):
a2 − b2
a + b= (a− b)
a2 − b2
a− b= (a + b)
7.1. Cocientes de la formaa3 ± b3
a± b
7.1.1. Cocientes de la formaa3 + b3
a + b
a3 + b3
a + b= a2 − ab + b2
7.1.2. Cocientes de la formaa3 − b3
a− b
a3 − b3
a− b= a2 + ab + b2
En las otras combinaciones de signos no es exacta la división.
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