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CUADERNO DE TRABAJOCLCULO II
UNIDAD I:
ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS
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NDICE DE LA UNIDAD I
Ecuaciones Diferenciales1.Integrales indefinidas, propiedades y reglas.
2.Ecuaciones Diferenciales.3.Ecuacin diferencial de variables separables de primer orden.4.Ecuacin diferencial de primer orden Lineal.5.Aplicaciones de la Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.6.Ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden con coeficientes
constantes.7.Ecuacin diferencial lineal no homognea de segundo orden con coeficientes
constantes.
EVALUACIONES
%
%
APRENDIZAJES ESPERADOS UNIDAD I
Calcula y resuelve problemas contextualizados utilizando integrales de funciones de unavariable.
Reconoce la definicin e identifica el grado y orden de una ecuacin diferencial. Reconoceecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
Verifica la solucin de una ecuacin diferencial. Resuelve ecuaciones diferenciales de variables separables, con y sin condicin inicial. Reconoce, plantea y resuelve ecuaciones diferenciales de primer orden lineal. Reconoce ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales homogneas. Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales homogneas con
coeficientes constantes, con y sin condiciones iniciales.
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Recordar:
La integracin se
define como el
proceso inverso
de las derivadas.
CLASE 1 INTEGRALES INDEFINIDAS EN R FECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTCalcula integrales de funciones de una variable.
Resuelve problemas contextualizados utilizando integrales
Objetivo:
Encontrar una funcin, dada su derivada, )(xf .
Definicin
Si )(xf es una funcin primitiva de )(xf . La expresinCxf +)( define a la integral indefinida y representa a todas las
funciones primitivas que fueron diferenciadas y dan como
resultado a )(xf . La cual se escribe como
Cxfdxxf += )()(
Donde Ces la constante de integracin.
Apuntes:Apuntes:Apuntes:Apuntes:
Recordar:
La funcin que fue
derivada y queremos
encontrar, se denomina,
funcin primitiva ofuncin origen
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Recordar:
1
xn=xn
Frmulas de integracin elementalesFrmula Ejemplo
Cxdxdx +== 1 Cxdx +=
Caxdxaadx +== Cxdx += 22
1,1
1
++
=
+
nconCnx
dxxn
n Cx
Cx
dxx +=++
=
+
413413
3
Cxdxxdxx
+==
ln1 1 Cxdx
x += )ln(
1
Caxax
dxdx
ax +=
= ln1
Cxdxx
++=+ 2ln21
Ca
adxa
xx
+= )ln( Cdxx
x+= )5ln(
55
Ca
edxe
axax
+= Ce
dxex
x+= 7
77
Propiedades de las integralesPropiedad Ejemplo
Si cxf =)( , entonces Ccxcdxdxxf +== )( Cxdx += 33
Si )()( xhcxf = , entonces
== dxxhcdxxhcdxxf )()()( CxC
xdxx +=+
+=
+
3
122
3
2
1222
Si )()()( xgxhxf = , entonces
[ ] == dxxgxhdxxf )()()( dxxgdxxh )()(
Cxx
x +++
+
+
)ln(412
23
12
Cxxx +++= )ln(43
23
3
Ejercicios en clase
1. ( ) + dxx x42
2
( ) CxxCxxdxxx
++=+++
=+
+
)ln(432
)ln(412
22 3
1242
( ) =++ dxx x42
23
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Recordar:
b ab
a
xx =
2. ( ) + dxxe xx
2
2342
( ) ( )
Cx
xeCxxe
Cxx
edxxxedxxe
xx
xx
x
x
+++=+
+=
++
+
+=+=+
++
2
421
12
421
122
134
12222
44
144
12134234234
2
Ejercicios
1.
Determine
INTEGRAL DESARROLLO
a. ( ) ++ dxxx 2
3
b. dxx
x
+ 1
73
c. ( ) + dxxx 85
d. ( ) + dxex x2
3
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2.Determine la anti derivada bajo la condicin dada
a. 52)( += xxf ; 2)0( =f
b. xxexf x 63)( 2 += ; 3)0( =f
c. 126)( = xxA ; 1040)20( =A
3.Una fbrica de parabrisas para automviles ha calculado que el ingreso marginal en pesos,
al fabricar x unidades est dado por la funcin IM(x)= 0,3x2 6x+15.000. Si el ingreso por
vender 30 parabrisas es de 600.000 pesos. Cul es el ingreso por vender 50 unidades?
(Indicacin:El ingreso marginal, IM, corresponde a la derivada de la funcin ingreso, I)
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4.Se ha determinado que dentro de t aos, la poblacin de cierta comunidad cambiar a razn
de tedt
dP =
75,0135 . Si la poblacin actual es de 33.680 habitantes. Cul ser la poblacin
dentro de 5 aos?
5.Un fabricante determina que el costo marginal corresponde la funcin 300406)( 2
+= qqqCM
en dlares cuando se producen q unidades. Si el costo total de produccin de las primeras 5unidades es 900 dlares. Cul es el costo total de produccin de las primeras 10 unidades?
(Indicacin:El costo marginal corresponde, CM, a la derivada de la funcin costo, C)
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Soluciones
1.
a ( ) cxxxdxxx +++=++ 32
33
322 b ( ) cxx
xdx
x
xx ++=+ ln72
3173
22
c ( ) cxxxdxxx ++=+ 825
3
285
23
d ( ) ++=+ cexdxex xx 32
3
2.
a) 25)( 2
++= xxxf b) 23)( 23
++= xxexf x
c)80123)(
2+= xxxA
3.
El ingreso por vender 50 unidades es $905.000.4. Dentro de cinco aos la poblacin ser de 41.154 habitantes aproximadamente.
5. El costo total de produccin de las primeras 10 unidades es de 2.650 dlares
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)('' xfyDydx
dyx ===
CLASE 2ECUACIONES DIFERENCIALES,DEFINICIN Y CLASIFICACIN
FECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTReconoce la definicin de una ecuacin diferencial.Identifica el grado de una ecuacin diferencial.
Identifica el orden de una ecuacin diferencial
Reconoce ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.
ECUACIONES DIFERENCIALES
El concepto de ecuacinse asocia a una igualdad que slo se satisface cuando la variable essustituida por un valor numrico, llamado solucin de la ecuacin. Existen variadasecuaciones: de primer grado, de segundo grado, exponenciales, logartmicas, etc.
Utilizando el concepto de derivacinde una funcin es posible construir un tipo distinto deecuaciones. Por ejemplo la ecuacin y = y. Este tipo de ecuaciones se denominanecuaciones diferenciales y su solucin no es un nmero, sino una funcin, o una familiade funciones. En el ejemplo la solucin es la funcin xexfy == )( .
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Definicin: una ecuacin diferencial es aquella que relaciona una funcin (o variabledependiente), su variable (o variables independientes) y sus derivadas.
EjemplosSon ecuaciones diferenciales
1.xexy
dx
dy=+ 5
2.06
2
2
=+ ydx
dy
dx
yd
Notar que la ecuacin diferencial determina claramente cul es la variable independiente y
cul la funcin (variable) incgnita.
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Clasificacin
Las ecuaciones diferenciales tienen varias clasificaciones, segn su tipo, orden y linealidad.
Tipo:
Una ecuacin diferencial se dice ordinaria (EDO) cuando la funcin incgnita slodepende de una variable independiente.
En las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) la funcin incgnita depende devarias variables independientes.
Orden
El orden de una ecuacin diferencial corresponde al orden de la mayor derivada que se
encuentran en la ecuacin.
Linealidad
Las ED son linealessi en cada trmino no aparecen multiplicaciones de la funcin solucin
consigo misma ni con sus derivadas; se llaman ED no linealesen caso contrario
Ejemplos
ED Lineal no lineal
Ordinaria orden 2: xx
yyeyx x ln'''2 =+ orden 1: 02 =+xy
dx
dyy
Parcial orden 3:xe
y
f
x
f=
+
3
3
orden 4: x
y
f
x
f2
4
4
4
=
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Ecuacin diferencial ordinaria lineal
Una EDO lineal de orden nen general puede escribirse como:
)()()(...)()(011
1
1 xgyxa
dx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++
Las funciones )(xai que multiplican a las derivadas se llaman coeficientes.
Ejemplo: La siguiente ecuacin, es una EDO lineal
0ln1
2
2
2=+ xy
xdx
dye
dx
ydx x
EjerciciosClasifique las siguientes ecuaciones
Ecuacin Tipo Orden Lineal
a) 24 = ydx
dy
b) 03
2
3=+
y
x
dx
dy
c) 034
3
2
2
=+
ydx
dy
dx
yd
d) uy
uy
x
ux =
+
e) xxyyeyx x =+ 4
d) ( ) 092 =++ xyyx
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SOLUCIONES
Clasifique las siguientes ecuaciones
Ecuacin Tipo Orden Lineal
a) 24 = ydx
dy EDO Orden 1 Si
b) 03
2
3=+
y
x
dx
dy EDO Orden 1 No
c) 0343
2
2
=+
y
dx
dy
dx
yd EDO Orden 2 No
d) uy
uy
x
ux =
+
EDP Orden 1 Si
e) xxyyeyx x =+ 4 EDO Orden 3 Si
d) 092 =++ xyyx EDO Orden 1 Si
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)()(
)(
xaedx
dy
eySi
xa
xa
=
=
CLASE 3 SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL FECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTVerifica la solucin de una ecuacin diferencial.
Resuelve problemas verificando que una funcin es solucin de una EDO
Solucin de una ecuacin diferencial
Decimos que una funcin )(xfy = es solucin de una ecuacin diferencial, si al sustituirla enla ecuacin, se cumple la igualdad
Ejemplo
Comprobar si la funcin corresponde a una solucin de la EDO correspondiente
1)
;02 =+ yy 2/xey =
Desarrollo
Derivamos y 2/2
1 xey =
Reemplazamos en la ecuacin
( ) 022 2/2/2/2/2
1=+=+=+
xxxx eeeeyy
Entonces 2/xey = es solucin de la ecuacin 02 =+ yy
2) ;2 3xeydx
dy=
xx eey 23 10+=
Desarrollo
Derivamos y xxxx eeeedx
dy 23232031023 +=+=
Reemplazamos en la ecuacin
( ) xxxxxxxxx eeeeeeeeeydx
dy 3232323232022031022032 =+=++=
Entonces xx eey 23 10+= es solucin de la ecuacin xeydx
dy 32 =
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3)Compruebe si la funcink
mgCetv t
m
k
+=
)( , corresponde a la
solucin de la ecuacin diferencial que modela la variacinde la velocidad de la cada de un cuerpo desde una cierta
altura, donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleracin degravedad y k es la constante de proporcionalidad.
kvmgdt
dvm =
Desarrollo
Derivemosk
mgCetv t
m
k
+=
)(
tm
kt
m
kt
m
k
CekCem
km
dt
dvmCe
m
k
dt
dv =
=
=
Reemplazando en la EDO, se tiene
dt
dvmCekmgCekmg
k
mgCekmgkvmg
tm
kt
m
kt
m
k
===
+=
Se tiene quek
mgCev
tm
k
+=
es solucin de la EDO kvmgdt
dvm =
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Ejercicios
I. Comprobar si la funcin corresponde a una solucin de la EDO correspondiente
funcin ecuacin
a) xexf =)( 0=+ydx
dy
b) xx eexf 2)( += 02''' =+ yyy
c) f(x) =ln x1
x xyyx ln1' +=+
d)
xxf =)( 2
1' =yy
e)
82)( = xexf xy
y 2' =
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II. Compruebe que la ecuacin diferencial adt
yd=
2
2
, donde y la distancia recorrida en un
movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) con aceleracin de
2s
ma , se
satisface con la solucin 202
1)( attvyty o ++= .
III. Verificar que en un circuito RC la ecuacin diferencial del voltaje
RC
V
dt
dV = tiene como solucin RC
t
eVtV
= 0)(
Soluciones
I. a) Si b) Si c) Si d) Si e) SiII. Si
III. Si
Desarrollo
Desarrollo
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CLASE 4 ECUACIN DE VARIABLES SEPARABLES FECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTReconoce ecuaciones diferenciales de variables separables.
Resuelve ecuaciones diferenciales de variables separables.
Mtodos de Resolucin de EDO
Una ecuacin diferencial de primer orden, se puede expresar de diferentes formas, donde lasms comunes son:
yxfy ),(=
),( yxfdx
dy=
0),(),( =+ dyyxNdxyxM ,
Donde ),( yxf ),(),(, yxNyyxM son funciones que dependen de las variables yex .
Existen
diversos mtodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que
dependen del tipo de ecuacin. A continuacin se presenta el tipo de ecuacin de variablesseparables.
Ecuacin de Variables Separables
Se dice que una EDO de primer orden de la forma )()( yfxgdx
dy=
es separableo de variables
separables si )(xges una funcin que slo depende de x y )(yf
una funcin que slo
depende de y .
Ejemplos de ecuaciones diferenciales de variables separables.
1.y
x
dx
dy= , ya que se puede escribir como
yx
dx
dy 1= , entonces xxg =)( y
yyf 1)( =
2. yxdx
dy 2= , ya que se puede escribir como yx
dx
dy=
2 , entonces 2)( xxg = y yyf =)(
3. xedx
dy= , ya que se puede escribir como xe
dx
dy=1 , entonces
xexg =)( y 1)( =yf
Identifique si las siguientes ecuaciones son de variables separables o no.
Ecuacin S o No? )(xg )(yf
ydx
dy 2=
xyedx
dy 3=
)ln(xydx
dy=
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Cn
xdxx
nn
++
=
+
11
Recordar:C es una constante, por lo
que, al multiplicarla por
un nmero sigue siendo
contante, luego 2C=C
Mtodo de resolucin de ecuacin de variables separables.
Es posible solucionaruna EDO de variable separable )()( yfxgdx
dy=
El mtodo de resolucin consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad eintegrar cada miembro respecto de la variable correspondiente. Es decir,
Se ordena la ecuacin, separando por variable en cada lado de la igualdad
dxxgyf
dy)(
)(=
Posteriormente se integra en ambos lados de la igualdad, considerando unaconstante de integracinC
CxGyHdxxgyf
dy+== )()()()(
Finalmente se despeja )(xfy = , que es la solucin de la EDO.
Ejemplos
1. Resuelva la ecuaciny
x
dx
dy=
Desarrollo
La ecuacin es separable, ya que se puede escribir como )()( yfxgdx
dy= , es decir
yx
dxdy 1=
Separando por variable a cada lado, xdxydy =
Integrando a ambos lados = xdxydy
Cxy
+=22
22
Despejando y,
Cxy
Cxy
Cxy
+=
+=
+=
2
22
22
/2
2/
22
La solucin general de la EDO es Cxy += 2
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Recordar:
+== Cxdxdx 1
2. Resuelva la ecuacin 03
=+ dyedx x
DesarrolloLa ecuacin es separable, ya que dyedxdyedx xx 33 0 ==+
dxedy
edxdy
x
x
3
3
=
=
Integrando a ambos lados = dxedy x3
Cey
Cey
x
x
+
=
+
=
3
3
3
1
3
1
La solucin general de la EDO queda Cey x += 33
1
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Ejercicios
Resuelva las siguientes EDO utilizando el mtodo de variables separables.
a)y
e
dx
dy x
2= b) xydx
dy=
c) 55yxdx
dy=
d)
yxyxy = 2'
Soluciones
Resuelva las siguientes EDO utilizando el mtodo de variables separables.
Ecuacin Solucin
)
y
e
dx
dy x
2
= Cey x +=
) xydx
dy=
22xCey =
) 55yxdx
dy=
4 64 6
3
2
1
3
2
1
xCxCy
=
=
)yxyxy = 2'
23 23 xxCey =
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Recordar:
baba eee =+
xe x =)ln( C constante, por lo
que, CeC =
CLASE 5ECUACIONES DE VARIABLES
SEPARABLES CON VALORES INICIALESFECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTResuelve ecuaciones diferenciales de variables separables, concondicin inicial.
Problema de Valores InicialesSe denomina problema de valores iniciales (PVI), al problema
00)(
),(
yxy
yxfy
=
=
El objetivo es hallar una solucin de la ecuacin diferencial que verifique una determinada
condicin. Reemplazando en la solucin de la ecuacin, se puede obtener un valor para C.
Ejemplo
Resuelva la ecuacin 3)1(; ==+ yyxydx
dy
Desarrollo
Primero resolvemos la EDO de Variable Separable yxydx
dy=+
dxx
y
dyxy
dx
dyxy
dx
dyyxy
dx
dy)1()1()1( ==+=+=
Integrando a ambos lados
dy
y = (1 x)dx
ln(y)=xx2
2+C
22
22 xx
Cx
xCeyeey
==
La solucin de la EDO queda 2
2x
xCey
=
Como 31 == yx ; se tiene 3=Ce1
12
2 3=Ce1/2 C= 3e1/2
Luego y= 3e1/2ex
x2
2 y= 3ex
x2
21
2
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EjerciciosResolver las siguientes EDO con valor inicial:
0)0(,.12
== yy
x
dx
dy
1)0(,.2 == yedx
dy y
10)0(,40.3 == yy
dx
dy
,6.4 26yx
dx
dy= ( ) 11 =y
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Soluciones
Resolver las siguientes EDO con problema de valor inicial:
Solucin
0)0(,.12
== yy
x
dx
dy
3
2 3x
y=
1)0(,.2 == yedx
dy y
)ln( xey =
10)0(,40.3 == yydx
dy
xey 4010 =
,6.4 26yx
dx
dy= ( ) 11 =y 77 613
7
7
6
7
13
1
xxy
=
=
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CLASE 6ECUACIONES DIFERENCIALESLINEALES DE PRIMER ORDEN
FECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTReconoce ecuaciones diferenciales de primer orden lineal.
Resuelve problemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal.
Una EDO lineal de primer orden es una ecuacin del tipo:
)()()( 01 xfyxadx
dyxa =+
donde )(),(),( 01 xfxaxa son funciones en la variable x.
Para resolver este tipo de ecuaciones, proseguimos de la siguiente forma:
- Dividir ambos lados de la ecuacin, por el coeficiente )(1 xa
)()()( 01 xfyxadx
dyxa =+
- Se obtiene una forma ms til, llamada Forma Estndar de la Ecuacin Lineal.
)()( xqyxpdx
dy=+
- La solucin queda expresada mediante la frmula:
( )
( ) ( )
( )
+=
dxxqeCexy
dxxpdxxp
Apuntes:
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( ) )ln(ln xnx n =
Ejemplo
1. Resuelva la ecuacin xyxdx
dy=+
1
DesarrolloEs una EDO lineal de primer orden, con 1)(1 =xa .
Luego, se tiene quex
xp 1)( = e xxq =)(
Reemplazando en la solucin de un EDO lineal de primer orden, se tiene
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )33
3
21
311
31
21
)ln(
)ln()ln(
11
1
xCxxy
xxCxxy
xCxxy
dxxCxxy
xdxxCexy
xdxeCexy
xdxeCexy
dxxqeCexy
x
xx
dxx
dxx
dxxpdxxp
+=+=
+=
+=
+=
+=
+
=
+
=
Luego la solucin de la ecuacin queda ( )3
2
1 xCxxy +=
Apuntes:
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nmnm xxx =
2. Resuelva la ecuacin 1)1(;4 3 ==+ yxxyyx
DesarrolloEs una EDO lineal de primer orden, con xxa =)(1 , dividiremos la EDO por x
14
:/;4
2
3
=+
=+
xyxdx
dyxxxyyx
Luego, se tiene quex
xp 4)( = e 1)( 2 =xxq
Reemplazando en la solucin de un EDO lineal de primer orden, se tiene
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
+=
+=
1
2
44
dxxeCexy
dxxqeCexy
dx
x
dx
x
dxxpdxxp
( ) ( )( ) += 12ln4ln4 dxxeCexy xx ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )5757
1
1
1
34574
464
244
2ln)ln(
2ln4ln4
44
xxCxxyxxCxxy
dxxxCxxy
dxxxCxxy
dxxeCexy
dxxeCexy
xx
xx
+=
+=
+=
+=
+=
+=
Luego la solucin de la ecuacin queda ( )57
34 xxCxxy +=
Como 11 == yx
Se tiene5
1
7
11
5
1
7
111
34
+=+= CC
35
37
5
1
7
11 =+= CC
Luego ( )5735
37 3
4 xxxxy +=
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Ejercicios
I. Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden
a)
201 =+ yxdxdy b)
xeydxdy 3=+
c)
2
61042 xxydx
dy
x +=+ d) 9
3+=
xyxdx
dy
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28/63
II. Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden con valor inicial
a)
1)1(,124 ==+ yydx
dy
b)
0)2(,21
==+ yyxdx
dy
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c)
2)1(,91263
2=+=+ yxxy
dx
dyx
Soluciones
I.
Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden
Ecuacin Solucin
a)20
1=+
yxdx
dy
xx
C
xCxy 10101
+=+=
b)
xeydx
dy 3=+ xx Ceey += 3
4
1
c)
261042 xxy
dx
dyx +=+
4
3
3
5
4
3
3
5 2
2
22 xx
x
CxxCxy ++=++=
d)
93
+= xyxdx
dy xxCxy
2
923=
II. Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden con valor inicial
Ecuacin Solucin
a)
1)1(,124 ==+ yydxdy 32,109 4 += xey
b)
0)2(,21
==+ yyxdx
dy x
xy +
=
4
c)
2)1(,91263 2
=+=+ yxxydx
dyx 22
4
3
3
4
12
1xxxy ++=
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30/63
CLASE 7 APLICACIONES DE E.D.O. DE PRIMER ORDEN FECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTPlantea ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en
problemas presentados en lenguaje natural.Resuelve ecuaciones diferenciales lineales de primer orden enproblemas presentados en lenguaje natural, con condicin inicial.
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden.
Consideraremos algunas aplicaciones, que nos permitirn aplicar nuestros conocimientos deecuaciones diferenciales de primer orden.
Crecimiento o DecrecimientoAqu estudiaremos el modelo
kxdt
dx=
con k contante y la cantidad x puede ser, el tamao de la poblacin, cantidad de una
sustancia reactiva, inters compuesto, etc.
Este modelo corresponde a una EDO de primer Orden que conviene resolver con el mtodo deVariables Separables
Modelo de MalthusSi P(t) representa la poblacin en el tiempo t, un modelo que permite determinar estapoblacin en cualquier instante t, teniendo informacin de la poblacin en un tiempo t0 , es el
conocido como Modelo de Malthus:kP
dt
dP= , con 00 )( PtP =
Desintegracin RadiactivaSi una sustancia radiactiva cuya masa viene dada en funcin del tiempo, por P(t), lavelocidad de descomposicin o desintegracin viene dada por:
kPdt
dP= , con 00 )( PtP =
Si se supone que esta velocidad es directamente proporcional a la masa,.
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Ejemplo1.En una cpsula de cultivo de ciertas bacterias se tena un nmero de
300 individuos. Despus de 40 minutos se observaron en la cpsula 900individuos. Determinar la funcin que describe el nmero de bacteriasen el minuto t, y el nmero de individuos en la cpsula despus de 3horas.
DesarrolloSi )(tP , denota la poblacin de bacterias en el instante t, sabemos que:
Inicialmente hay 300 bacterias, 300)0(0 == Pt
A los 40 minutos hay 900 bacterias, 900)40(40 == Pt
La razn de cambio de la poblacin de bacterias es proporcional a la cantidad de bacterias
presente, esto es: kPdt
dP= , siendo kla constante de proporcionalidad. Por variables separables,
se tiene
kt
P
dP
CetP
eCktP
kdt
kdtP
dP
=
+=
=
=
)(
/)ln(
/
Determinemos las constantes Cyk tenemos que:
300300300)0(0 00
===== CeCCePt k
03,00275,040
)3ln()3ln(40
/ln3300
900
900300
900)40(40
4040
40
40
====
==
=
===
kk
ee
e
CePt
kk
k
k
astetP 03,0300)( =
La cantidad de bacterias pasadas las 3 horas, es decir a los 180 minutos, se obtiene:
92486,421.66300)180( 18003,0
== eP
RESPUESTA: La cantidad de bacterias pasadas las 3 horas es de aproximadamente66.422 bacterias.
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2. Inicialmente haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Despus de 6horas su masa disminuy en un 3%. Si en un instante cualquiera la rapidez dedesintegracin es proporcional a la cantidad de sustancia presente, determinarla cantidad que queda despus de 24 horas.
DesarrolloSi P(t), denota la cantidad de sustancia radiactiva en el instante t, sabemos que:
Inicialmente hay 100 gr, grPt 100)0(0 ==
A las 6 horas quedan 97 gr, grPt 97)6(6 ==
La rapidez de desintegracin es proporcional a la cantidad de sustancia presente, esto es:
kPdt
dP= , siendo kla constante de proporcionalidad.
Por variables separables, se tiene
ktP
dP CetPeCktPkdtkdtPdP=+===
)(/)ln(/
Determinemos las constantes .Cyk tenemos que:
100100
100)0(0
0
0
==
===
CeC
CePt k
Apunte:
( )
005,06
)97,0ln()97,0ln(6
)97,0ln(ln
/ln97,0
10097
97100
97)6(6
6
6
6
6
6
===
=
=
=
=
===
kk
e
e
e
e
CePt
k
k
k
k
k
As, la funcin
tetP 005,0100)( =
La cantidad que queda pasada las 24 hrs,se obtiene:
69,88100)24( 24005,0
== eP
Respuesta: La cantidad que queda pasada las 24 hrs es de aproximadamente 87 gr.
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Caxaxdx += )ln(
Ley de Newton del enfriamientoUna aplicacin sencilla y til, es aqulla que permite modelar el comportamiento del cambiode temperatura de un cuerpo, en interaccin con la temperatura de un medio dominante, alque llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerar constante.
Si Tam es la temperatura ambiente y T es la temperatura de un cuerpo inmerso en estatemperatura ambiente, entonces la temperatura del cuerpo cambia, en el tiempo t, en formaproporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y la temperatura ambiente. As, elproblema queda modelado por la ecuacin
)( amTTkdt
dT=
El valor inicial 0)0( TT = determina la constante de integracin, mientras que otro valor
11 )( TtT = determina el valor de k.
Este modelo corresponde a una EDO de primer Orden que conviene resolver con el mtodo
de Variables Separables
EjemploUn termmetro est a una temperatura de 17C y se aplica a una personapara medir su temperatura de 37C. A los 15 segundos el termmetrotiene una lectura de 30C. Hallar la funcin de temperatura del termmetroy calcular a los cuntos segundos el termmetro slo tiene un error de 0,3C(36,7C).
DesarrolloTenemos, la temperatura ambiental de 37C, 37=amT
La temperatura inicial de 17C, es decir 17)0( =TLa temperatura pasados 15 segundos es de 30C, es decir 30)15( =T
La temperatura del cuerpo cambia, de forma proporcional a la diferencia de temperatura entreel cuerpo y la temperatura ambiente, esto es:
)( amTTkdt
dT= , siendo kla constante de proporcionalidad.
Por variables separables, se tiene
( ) amkt
Cktam
am
TT
dT
am
TCetT
eTT
eCktTT
kdt
TTkdt
dT
am
+=
=
+=
=
=
+
/)ln(
/)(
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Determinemos las constantes .Cyk Luego:
201737
17)0(0
0
0
==+
=+==
CeC
TCePt amk
( )
07,0069988,015
)35,0ln()35,0ln(15
)35,0ln(ln
/ln35,0
20)3730(
303720
30)15(15
15
15
15
15
15
====
=
=
=
=+
=+==
kk
e
e
e
e
TCeTt
k
k
k
k
amk
as 3720)( 07,0 += tetT
Determinar en qu segundo el termmetro marca 36,7C, tenemos:
3720)( 07,0
+= tetT
6099578,5907,0
)015,0ln(
)015,0ln(07,0
/ln20
3,0
377,3620
37207,36
07,0
07,0
07,0
====
=
=
+=
tt
e
e
e
t
t
t
A los 60 segundos marca 36,7C.
Apuntes:
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Circuito LR en SerieSi consideramos el siguiente circuito elctrico
Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las cadas de potencial a
travs del inductordt
diL y de la resistencia R i, es igual a la fuerza electromotriz (fem) o
voltaje )(tE aplicado al circuito y es as como se obtiene la siguiente ecuacin diferencial lineal
para la corriente )(ti
)(tEiRdt
diL =+
donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamentey la corriente es conocida como la respuesta del sistema.
EjemploUna batera de 12 Volts se conecta a un circuito
enrios
DesarrolloTenemos
ohmsR
henriosL
voltsE
10
5,0
12
=
=
=
Reemplazando en la ecuacin diferencial para la corriente,
12105,0
)(
=+
=+
idt
di
tEiRdt
diL
Es una EDO lineal de primer orden, con a1(x) = 0,5 , dividiremos la EDO por 0,5
2420
5,0/12105,0
=+
=+
idt
di
i
dt
di
Luego, se tiene que 20)( =xp e 24)( =xq
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Reemplazando en la solucin de un EDO lineal de primer orden, se tiene
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
+=
+=
24
2020dteCeti
dxxqeCexy
dtdt
dxxpdxxp
( ) ( )( )
( )
( ) ( )5
6
20
24
20
124
24
2020
2020
2020
+=+=
+=
+=
tt
tt
tt
CetiCeti
eCeti
dteCeti
Luego la solucin de la ecuacin queda ( )5
620+=
tCeti
Como i 0( ) = 0 t= 0 e i= 0 Se tiene
( )5
6
5
60
5
60
0020===+= CeCCei
Luego ( )5
6
5
6 20+=
teti
Apuntes:
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Ejercicios
1.Una poblacin de 750 microbios es sometida a la accin de un antibitico experimental.Cuando han transcurrido 2 horas se observan 500 microorganismos. Determinar la funcinpara el nmero de microbios en el tiempo y el momento en que el nmero de microbios es deun 10% de la poblacin inicial.
Desarrollo
2.Un reactor de cra convierte Uranio 238 relativamente estable en el istopo Plutonio 239.Despus de 15 aos, se ha determinado que 0,043% de la cantidad inicial 0A de plutonio se
ha desintegrado, es decir queda 99,957% de0
A . Determine la vida media, 2/)(0
AtA = , de ese
istopo, si la razn de desintegracin es proporcional a la cantidad que queda.
Desarrollo
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3.La temperatura del aire es de 15 C y el aceite de un automvil se enfra de 180 C a 40 Cen 10 minutos. Obtenga la funcin de la temperatura en el tiempo y con ella calcule en queinstante la temperatura del aceite ser de 20 C y la temperatura a los 25 minutos.
Desarrollo
4.Una batera de 5 voltios se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es 0,4henrios y la resistencia es 100 ohmios. Determine la corriente i(t) si la corriente inicial escero.
Desarrollo
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5.Cierto condensador pierde su voltaje a travs de cierta resistencia en una razn proporcionala su voltaje inicial de 100 voltios. Si a los 4 segundos el voltaje es de 39 volts, determine lafuncin voltaje del condensador en el tiempo V(t).
Desarrollo
6.Un fabricante de joyas retira un anillo de la llama de un soplete, a una temperatura es800C. Cinco minutos despus su temperatura es de 80C. Obtenga la funcin de latemperatura en el tiempo si la temperatura ambiente es de 20C.
Desarrollo
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7.Si la tasa de inters i, ( )100
%ii = , es capitalizable continuamente y S(t) es el monto de dinero
ahorrado en un tiempo t, (monto inicial ms el inters acumulado), entonces se cumple que
)(tSidt
dS= . Si se depositan $550.000, a una tasa de inters del 1,2% mensual.
a. Hallar la funcin )(tS , del dinero en funcin de los meses.b. Determine el dinero ahorrado a los 12 meses.
Desarrollo
8.Un generador con una fem de 15 voltios se conecta, en t= 0 , en serie con una resistencia de40 ohmios y un inductor de 5 henrios. Determine la corriente para todo t.
Desarrollo
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Soluciones
1. tetP = 2027,0750)( ; y 11,36 horas2.Aprox. 24.180 aos
3. 15165)( 189,0
+= t
etT ; 18,5 minutos; 14,83 C.4.
)1(05,0)( 250teti =
5. tetV = 235,0100)(
6. 20780)( 513,0 += tetT 7.
a.
tetS 012,0000.550)( = b.Tendr ahorrado $635.186 aproximadamente.
8. )1(375,0)( 8teti =
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CLASE 8ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
DE SEGUNDO ORDEN HOMOGNEASFECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LIST
Reconoce ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenlineales homogneas
Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden linealeshomogneas con coeficientes constantes.
Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden linealeshomogneas con coeficientes constantes, con condicin inicial
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden
Recordamos que una EDO lineal de orden nen general puede escribirse como:
)()()(...)()( 011
1
1 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa
n
n
nn
n
n =++++
donde las funciones )(xai son constantes.
Anteriormente estudiamos la ecuacin diferencial lineal de primer orden )()()( 01 xgyxayxa =+ ,
ahora estudiaremos para 2=n , llamada Ecuacin diferencial lineal de Segundo orden.
Ecuacin diferencial lineal de Segundo orden.Una ecuacin diferencial lineal de segundo orden, es una ecuacin de la forma
)()()()( 012 xgyxayxayxa =++
donde las funciones )(2 xa , )(1 xa y )(0 xa son constantes.
Si )(xg es la funcin nula, es decir 0)( =xg , se dice que la ecuacin anterior es una
ecuacin lineal Homognea, en caso contrario se dice que es No Homognea.
Ejemplo1. Ecuacin lineal Homognea 02 =++ yyy
2. Ecuacin lineal No Homognea 2'4''4 xeyyy =++
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Mtodo para resolver una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes.
Sea una EDO lineal homognea de segundo orden con coeficientes constantes,0=++ cyybya
Esta ecuacin diferencial tiene asociada una ecuacin de segundo grado, de la forma
02
=++ cbmamllamada Ecuacin Caractersticade la ecuacin diferencial.
Donde 1m y 2m son dos soluciones ( races) de la ecuacin diferencial, estas se determinancon
a
cabbm
=
2
42
Las races de la ecuacin caracterstica pueden ser- Dos races reales distintas, 21 mm
Sean 1m y 2m soluciones de la ecuacin, se tienexmxm eyey 21 21 , == son soluciones de la
ecuacin diferencial. Por lo tanto la solucin general de la ecuacin homognea quedaxmxm eCeCy 21
21 +=
- Dos races reales iguales,21
mm =
Sean m1 y m2 soluciones de la ecuacin, se tienexmxm xeyey 11 21 , == son soluciones de
la ecuacin diferencial. Por lo tanto la solucin general de la ecuacin homognea queda
-
xmxm xeCeCy 11 21 +=
- Races complejas conjugadasEsto ocurre cuando 04
2
7/23/2019 Cuaderno de Trabajo Clculo II Unidad i (1) (1)
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100==
eea
Ejemplos
1. Resolver la siguiente ecuacin 023 =+ yyy
Se tiene una ecuacin diferencial de segundo orden, por lo que su ecuacin caracterstica
asociada es 0232
=+ mm . Para encontrar las soluciones, resolvemos utilizamos la formulacuadrtica con 23,1 === cyba
2
13
2
13
12
214)3()3(
2
4 22
=
=
=
=
a
cabbm
Se tiene que 21=m y 1
2=m . Es decir
21 mm . Por lo que la solucin general queda
xxxx eCeCeCeCy 2211221 +=+=
2. Resolver la siguiente ecuacin ;096 =+ yyy 1)0( =y ; 4)0(' =y
Desarrollo
Se tiene una ecuacin diferencial de segundo orden, por lo que su ecuacin caracterstica
asociada es 0962
=+ mm . Para encontrar las soluciones, resolvemos utilizamos la formulacuadrtica con 23,1 === cyba . Con esto, se tiene que 31 =m y 32 =m . Es decir 21 mm = .
Por lo que la solucin general queda
xx
xeCeCxy
3
2
3
1)( +=
Como 10 == yx
101
)0(
1
03
2
03
1
03
2
03
1
=+=
+=
CeCeC
xeCeCy
Como 40 == yx , (para esta condicin debemos derivar )(xy primero y luego reemplazar).Tenemos que
xxx xeCeCeCxy 323
2
3
1 33)( ++=
Luego usando el calor inicial se tiene
143
41343
033)0(
22
221
03
2
03
2
03
1
==+
=+=+
++=
CC
CCC eCeCeCy
Ya definidos 11 21 == CyC , la solucin general es:
xx
xx
xeexy
xeexy33
33
)(
11)(
+=
+=
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45/63
Ejercicios
I. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogneas desegundo orden con coeficientes constantes:
a)
06''' = yyy b) 0'2'' =+ yyy
c)
05'' = yy
d)
032'12'' =++ yyy
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II. Resolver los siguientes problema con valores iniciales
a)
02''' = yyy ; 1)0( =y ; 4)0(' =y
b)
07'6'' =+ yyy ; 0)0( =y ; 4)0(' =y
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c)
036'12'' =++ yyy ; 1)0( =y ; 8)0(' =y
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48/63
III. En el aterrizaje de algunos aviones y en algunaspruebas automovilsticas se utiliza el frenado pormedio de paracadas horizontales. Sin considerarotro tipo de frenos (ni el roce), desde que sedespliega este dispositivo, el movimiento viene
descrito por la ecuacin diferencial 02
2
=+dtdz
mk
dtzd
Donde m es la masa total de vehculo, )(tz su desplazamiento horizontal en el instante t,
0=t es el instante en que se abre el paracadas y kla constante de amortiguamiento delparacadas.
Durante el aterrizaje de un avin de 1.000 kg de masa el paracadas horizontal se abre
cuando la velocidad es de sm50)0(' =z , en 0)0( =z y con un valor de 50=k . Determineuna funcin para el desplazamiento )(tz .
Desarrollo
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49/63
IV.Movimiento amortiguado libreConsideremos un sistema mecnico que consiste de un resortecolgado de un soporte rgido con un cuerpo de masa ( gwm /= )
sujeto al extremo. La ecuacin diferencial asociada es:
02
2
=++ kxdtdxkdtxdm
Bajo la ley de Hooke, el resorte ejerce una fuerza de restitucinopuesta a la direccin del alargamiento de resorte, es decir,
xkw = donde w es el peso del cuerpo, k constante derestitucin y x la longitud de alargamiento hasta la posicin de equilibrio. Para la ley deNewton tener en cuenta que sobre la masa acta la fuerza de gravedad ( g ), la fuerza de
restitucin, la fuerza de amortiguacin que es proporcional a la velocidad de la masa y lasfuerzas externas.
Un cuerpo de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento
numricamente igual a 2 veces la velocidad instantnea acta sobre el contrapeso, deduzcala ecuacin del movimiento si la masa se suelta de la posicin de equilibrio con unavelocidad hacia arriba de 3 ft/s.
Desarrollo
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V. El circuito de la figura se cierra en t=0 con condiciones iniciales 0)0( =i y
10)0(=
dt
di. La ecuacin que describe la corriente es 0
1
2
2
=++ iLCdt
di
L
R
dt
di.
Si R= 1.500, C= 0,001 y L = 500, encontrar la funcin i(t).
Desarrollo
Soluciones
I.
a.xx eCeCxy 22
3
1)( +=
b.xx xeCeCxy 21)( +=
c.xx eCeCxy 5
2
5
1)(
+=
d.xx eCeCxy 42
8
1)(
+=
II.
a)
xx eexy = 32
35)( 2
b)
xx eexy 721
21)( =
c)xx
xeexy 66
2)(
+=
III.
tetz 05,0000.1000.1)( =
IV. tt CeCti 221)(
+=
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CLASE 9ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL
DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGNEAFECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LIST
Reconoce ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden concoeficientes constantes
Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales nohomogneas utilizando el mtodo de variacin de parmetros.
Ecuacin Diferencial Ordinaria Lineal de Segundo Orden No Homognea
Una EDO lineal NO homognea de segundo orden con coeficientes constantes, es unaecuacin de la forma:
)(''' xgcybyay =++
Donde )(xg es una funcin no nula, es decir 0)( xg .
Para resolver este tipo de ecuacin, utilizaremos el mtodo de Variacin de Parmetros.
Variacin de ParmetrosSea la EDO lineal no homognea )(''' xgcybyay =++ , con 2211 yCyCy += solucin de laecuacin homognea 0''' =++ cybyay .
Escribimos la ecuacin )(''' xgcybyay =++ de forma estndar, para esto, dividiremos por ala
ecuacin, se obtiene ).(''' xhqypyy =++
Buscaremos una solucin particular de la forma, 2413)( yCyCxyp += .
Entonces la solucin general de la ecuacin no homognea ),(''' xhqypyy =++ ser:
24132211 yCyCyCyCy +++=
con21
CyC constantes reales, y donde 43 CyC se determinan de la siguiente manera
dxyyyy
yxhC
=
1221
2
3''
)( y dx
yyyy
yxhC
=
1221
1
4''
)(
Conviene calcular primero 1221 yyyy =
Ejemplo de Ecuaciones No Homogneas
1.x
eyyy
x
=++ 2
2. 2'4''4 xeyyy =++
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Ejemplo1. Resolver la siguiente ecuacin 2'4''4 xeyyy =++
Desarrollo
Primero determinemos la solucin general de la ecuacin diferencial homognea. La ecuacincaracterstica asociada es
0144 2
=++ mm
Las soluciones de la ecuacin son 2/121 ==mm
Se tiene que 2/1xey = y 2/2
xxey =
Por lo que la solucin general queda2/
2
2/
1
xx xeCeCy +=
Luego como es una ecuacin diferencial NO homognea, por el mtodo de variacin deparmetros, determinemos
3C 4Cy .
Escribimos la ecuacin diferencial de la forma estndar, dividiendo por 4
22
4
1
4
1'''4:/'4''4
xx eyyyeyyy =++=++
Tenemos que2/
2
1
12/
1 xx eyey ==
2/
2
12/2
2/2
xx
xx eeyxey ==
Para integrar determinaremos primero 1221 yyyy = ( )( ) ( )( ) xxxxxxxxx exexeeexexeeeyyyy =+===
2
1
2
12/
2
12/2/
2
12/2/1221
Con4
)(
2xexh
= yxe= . Determinamos
824
1
4
1
4
14/
''
)( 222/2
1221
23
xxdxxdx
e
xedx
e
xeedx
yyyy
yxhC
x
x
x
xx
====
=
=
xdxdx
e
edx
e
eedx
yyyy
yxhC
x
x
x
xx
4
11
4
1
4
14/
''
)( 2/2
1221
14 ===
=
=
Luego la solucin queda
2/2
2/2
2/1
2/2
2/2
2/2
2/1
2/
4
2/
8
2/2
2/124132211
848
2
xxxxxxx
xxxxxx
ex
xeCeCex
ex
xeCeCy
xeexeCeCyCyCyCyCy
++=++=
+++=+++=
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2. La cada de un paracaidista viene descrita por la ecuacin diferencial
wdt
dyk
dt
yd
g
w=+
2
2
Donde wes el peso del paracaidista ( mgw = ), yes su altura en elinstante t, g la aceleracin de la gravedad, y k la constante deamortiguamiento del paracadas.
Si un paracadas se abre a en 0)0( =y , y en ese instante la velocidad
ess
my 55)0(, = , para un paracaidista que de masa 80 kilogramos, y
8=k . Determine una funcin para la distancia recorrida y que
dependa de la variable t.
Desarrollo
Primero definamos la ecuacin a trabajar, reemplazando los datos, 80=w , 8=k y8,9=
g
8.98088.9
8.980
2
2
2
2
=+
=+dt
dy
dt
ydw
dt
dyk
dt
yd
g
w
Luego la ecuacin diferencial final ser 784880 =+ yy
Determinamos la solucin general de la ecuacin diferencial homognea.
La ecuacin caracterstica asociada es 0880 2 =+ mm
Las soluciones de la ecuacin son 1.00 21 == mm
Se tiene que 11
=y y tey 1.02
=
Por lo que la solucin general queda teCCy 1.021 1
+=
Luego como es una ecuacin diferencial NO homognea, por el mtodo de variacin deparmetros, determinemos
3C 4Cy .
Escribimos la ecuacin diferencial de la forma estndar, dividiendo por 808.91.0784880 =+=+ yyyy
Tenemos que
01 11 == yy tt eyey 1.02
1.02 1.0
==
Para integrar determinaremos primero 1221 yyyy = ( )( ) ( ) ( ) ttt eeeyyyy 01.1.001.1221 1.001.01 ===
Con 8.9)( =th yte 1.01.0 = .
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Determinamos
tdtdte
edt
e
edt
yyyy
ythC
t
t
t
t
98198981.0
8.9
''
)(
1.0
1.0
1.0
1.0
1221
23 ===
=
=
ttxtt
eedxedte
dte
dtyyyy
ythC 1.01.01.0
1.01.01221
14 980
1.0
9898
198
1.0
18.9
''
)(=
===
=
=
Luego la solucin queda
980989801981 1.0
211.01.01.0
2124132211 +++=+++=+++=
teCCeeteCCyCyCyCyCy txtt
98098)( 1.021 +++= teCCty t
Bajo las condiciones iniciales
Con 0)0( =y , se tiene2121
01.0
21
9809800980098)0(
CCCCeCCy
+=++=+++=
Con 55)0(, =y , se tiene
Derivamos primero, 981.0)( 1.02 += teCty
As
4301.043
981.055
981.0)0(
22
2
01.02
==
+=
+=
CC
C
eCy
Por lo que 21980 CC +=
Tenemos 1410430980 11 =+= CC
Luego la solucin general de la EDO no Homognea es
tety
tety
teCCty
t
t
t
98430430)(
980984301410)(
98098)(
1.0
1.0
1.021
++=
+++=
+++=
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Ejercicios
I. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales nohomogneas.
a)
42'3'' =++ yyy
b)
xexyyy 2244'' =++
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c)
xexyyy 2)1(44'' +=+
Soluciones
I.a. 2)( 221 ++=
xx eCeCxy
b. xxxx eexxeCeCxy 22222
1 )ln()(
+=
c. xxxx exx
exx
xeCeCxy 22
223
22
21
223)(
++
++=
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CLASE 10APLICACIONES DE EDO LINEALES DESEGUNDO ORDEN NO HOMOGNEA
FECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LIST
Resuelve problemas de ecuaciones diferenciales de segundo ordenlineales no homogneas con coeficientes constantes.
I.
Circuito en serie LRCSi )(ti representa la corriente en el circuito elctrico en serie LRC.
De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la suma de las cadas devoltaje a travs del inductor L, resistor R y capacitor C, es igual alvoltaje )(tE aplicado al circuito. Como dtdqi /= relaciona la
corriente con la carga del capacitor, se obtiene la ecuacin
diferencial lineal de segundo orden
)(1
2
2
tEqCdt
dqR
dt
qdL =++
Un circuito LRC en serie tiene una fem dada por 200)( =tE voltios, un resistor de 15 ohmios,
un inductor 1.25 henrios y un capacitor de 0.025 faradios. Si la corriente inicial y la cargainicial son cero, determine la corriente del circuito para t>0
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II. La ecuacin diferencial de la altura, y, de una gota de agua lluvia est dada por
gdt
dy
m
k
dt
yd=+
2
2
donde mes la masa de la gota, kes su constante de frenado viscoso con el
aire y ges la aceleracin de gravedad.Obtenga la ecuacin diferencial, reemplazando los siguientes datos de unagota de agua con masa m= 0,00006 kg, k= 0,0003 y g= 9,8 (Unidades enel S.I.). Considere las condiciones iniciales 0)0( =y y 0)0( =y .
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III. Movimiento amortiguado ForzadaConsideremosun sistema mecnico que consiste de un resorte colgado de un soporte rgidocon un con un cuerpo de masa sujeto al extremo. La ecuacin diferencial asociada es:
)(2
2
tfkxdt
dxc
dt
xdm =++
Donde )(tf es una fuerza externa
A un sistema masa-resorte amortiguado cuyos parmetros son kgm 1= , msNc /4= y
mNk /3= se le aplica una fuerza externa dada por 5)( =tf . Determinar la ecuacin que
describe el movimiento del sistema suponiendo que 0)0( =x y 0)0( =x .
Soluciones
I. 25.6)( 824
1 ++= tt eCeCti
II. 392,096,1392,0)( 5 += tety t
III. ++= 3
5
6
5
2
5)(
3tt eetx
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CLASE 11 GUIA RESUMEN PRUEBA 1 FECHA:
APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTCalcula y resuelve problemas contextualizados utilizando integrales de
funciones de una variableReconoce la definicin e identifica el grado y orden de una ecuacindiferencial.
Reconoce ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.Verifica la solucin de una ecuacin diferencial.
Resuelve ecuaciones diferenciales de variables separables, con y sincondicin inicial.
Reconoce, plantea y resuelve ecuaciones diferenciales de primer ordenlineal.
Reconoce ecuaciones diferenciales de segundo orden linealeshomogneas.
Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales homogneascon coeficientes constantes, con y sin condiciones iniciales.
EJERCICIOS1. Juan, Diego y Roberto, tres alumnos de Calculo II, estn estudiando para su prueba y deben
encontrar la solucin de la ecuacin diferencial
1
1
+
+=
t
y
dt
dy
Despus de un rato, comparan resultados. Juan dice que la solucin es tty =)( , Diego
12)( += tty y Roberto 2)( 2 = tty . Quin est en lo correcto?
2.Consideremos un estanque de 100 litros de capacidad, en donde seha disuelto sal. Si 5 min)/(lt de salmuera con una concentracin de
sal de 0,25 )/( ltgr , ingresan al estanque, y la mezcla sale del
estanque a una razn de 5 min)/(lt con una concentracin de sal
variable en el tiempo. La variacin de sal al interior del estanquerespecto al tiempo est dada por la ecuacin diferencial
)()( tstedt
dx= . Con la informacin anterior, obtenga:
a) La cantidad de sal que entra al estanque en el instante t, queda definida por:
min)(
grsalde
ionconcentrac
entraqueagua
decantidadte
=
b) La cantidad de sal que sale del estanque en el instante t , queda definida por:
mintan
tan)(
gr
queeleninicialagua
queeselensaldecantidad
salequeagua
decantidadts
=
c) Obtenga la ecuacin diferencial )()( tstedt
dx= , en min)/(gr , con los datos obtenidos.
d) Verifique si la funcintetx = 05.02525)( es una solucin de la ecuacin diferencial obtenida.
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3.Si el inters se capitaliza continuamente, en cualquier momento la cantidad de dinero
ahorrado )(tS , aumenta a una tasa proporcional a la cantidad presente, se tiene Sidt
dS= .
donde i
es la tasa de inters mensual, con i=i%
100
.
a) Encuentre la solucin )(tS .
b) Si se depositan $1.500.000 a un inters mensual compuesto del 1.1 %, hallar la funcin)(tS del dinero en funcin de los meses.
c) Determine el dinero acumulado luego de 2 aos.
4.Al extraer una barra de cobre desde un crisol est a 1.230C, y llega a una temperatura de750C cuando han transcurrido 10 minutos. Si el ambiente est a 30C. Obtenga la funcinde la temperatura en el tiempo y calcule la temperatura de la barra de cobre a los 45 minutos
. . .
. .
6.Al extraer un producto desde un horno que est a 110C, llega a una temperatura de 90Ccuando han transcurrido 2 minutos. Si el ambiente est a 22C, obtenga la funcin de latemperatura en el tiempo y calcule la temperatura a los 8 minutos.
7.Una batera de 12 voltios se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es 0,4
henrios y la resistencia es 100 ohmios. Determine la corriente i(t) si la corriente inicial escero.
8.La variacin de la velocidad, v, con que la que cae un cuerpo demasa m, debido a la fuerza de gravedad g, y a la resistenciadel aire, que es proporcional a la velocidad v. En virtud de laSegunda Ley de Newton, se obtiene la ecuacin:
kvmgdt
dvm =
Donde k es una constante de proporcionalidad que vincula laresistencia del aire con la velocidad de cada.
a. Ordene y determine la solucin general de la ecuacin.b.Considere las magnitudes de m = 4, k = 2 y g = 9,8 (todas en el S.I.) Obtenga la funcin
)(tv sabiendo que 0)0( =v .
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9. El circuito de la figura se cierra en t =0 con 0)0( =i y
12)( =ti . La ecuacin diferencial que describe la corriente
es 01
2
2
=++ iLCdt
di
L
R
dt
id. Si R = 700, C = 0,001 y L =
100.Escriba la ecuacin diferencial i(t), reemplazando los
valores numricos y resulvala.
10. En el aterrizaje de algunos aviones y en algunas pruebas automovilsticas se utiliza elfrenado por medio de paracadas horizontales. Sin considerar otro tipo de frenos (ni elroce), desde que se despliega este dispositivo, el movimiento viene descrito por la ecuacindiferencial
d2z
dt2+k
mdz
dt= 0
Donde m es la masa total de vehculo, z(t) su desplazamiento horizontal en el instante t,t= 0 es el instante en que se abre el paracadas y k la constante de amortiguamiento delparacadas.Durante el aterrizaje de un avin ligero Cessna 150 de 757 kg, el paracadas horizontal se
abre cuando la velocidad es de , en (0) = 0y con un valor de k= 46 .
Determine una funcin para el desplazamiento (t) y la distancia aproximada que recorrehasta detenerse.
11. La ecuacin diferencial de la altura de una gota de agua lluvia (Y) est dada por:
8,972
2
=+
dt
dy
dt
yd
Obtenga la solucin de la ecuacin diferencial homognea asociada
12. Un circuito LRC en serie tiene una fem dada por 320)( =tE voltios, un resistor de 12.5
ohmios, un inductor 1.25 henrios y un capacitor de 0.05 faradios. Determine la corriente delcircuito para t>0
z(0) = 40 m/s
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Soluciones
1.Juan y Diego estn en lo correcto2.
a. min/25.1 gr
b. min/05.0 gr
c. xdt
dx05.025.1 =
d. Si3.
a. tieCtS =)(
b. tetS = 011,0000.500.1)(
c. A los 2 aos habr acumulado $1.953.192
4.La temperatura de la barra es de 151C ( 30200.1)( 051,0 += tetT )
5.La poblacin en 1970 ser de 59.079 habitantes aproximadamente ( tetP 013,0000.40)( = )
6.La temperatura de la barra es de 53,1C ( 2288)( 13,0 += tetT )
7. teti 25012,012,0)( =
8.
a.k
mgCetv
tm
k
.)( +=
b.t
m
k
etv
= 6.196.19)(
9. tt eeti 52 44)( =
10. tetz 06,07,6667,666)( =
11. 4.14.1)( 7
21 ++=
xeCCty t
12. 16)( 82
21 ++=
tt eCeCti
Felicidades sir, ha
completado la primera
unidad
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