Integracin Numrica - Extrapolacin de Richardson
Cuadratura gaussiana:
Las frmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La eleccin de puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximacin.
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera ptima.
El mtodo consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2,. . ., cn que minimicen el error de la aproximacin
Reglas de Cuadratura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma
Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a,b] entonces mediante el cambio de variables
Tenemos que
Lo cual nos da una integral en [-1,1]. Asi que sin prdida de generalidad podemos asumir que el integral es en [-1,1].
Sean x1,x2,,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w1,w2,,wn nmeros llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinan de modo que la frmula de integracin numrica
sea exacta para polinomios de grado a lo ms 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo ms 2n-1. Como In I son operadores lineales, basta verificar que
Caso n=1: Aqui I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Adems I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fmula numrica I1(f)=2f(0) lo cal se conoce como la frmula del punto medio.
Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para x1,x2,w1,w2:
Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuacin (que son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo asi que
Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuacin y resolviendo para x1, x2 obtenemos que
Asi que nuestra frmula numrica en el caso n=2 lee como sigue:
Caso n>2: Al aplicar las condiciones se obtiene un sistema no lineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede resolver numricamente usando el mtodo de Newton para sistemas nolineales. Pero en lugar de proceder de esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los xi's son los ceros del n-esimo polinomio de Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursin
En particular tenemos que L2(x)= (3/2)x2-(1/2) cuyos ceros son que fueron los x's que determinamos en el caso n=2. Tambin
De donde podemos obtener los x's para las frmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones.
Ejemplo 2: Aproximamos
Usando la regla de cuadratura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta seccin lo que resulta en:
Tenemos ahora que
Hay 2n parmetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parmetros, un polinomio de grado 2n - 1 tambin tiene 2n parmetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solucin sea exacta.
Caso n = 2 e intervalo [-1, 1]
Queremos determinar x1, x2, c1 y c2 para que la frmula
De un resultado exacto siempre que f(x) sea un polinomio de grado 2 2 - 1 = 3 o menor
Hay que demostrar que la frmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x, x2 y x3.
Este sistema de ecuaciones tiene solucin nica
La siguiente frmula da resultados exactos para polinomios de grado _ 3
_ Caso general Para n _ 2 e intervalo [-1, 1] el clculo de los xi y ci se realizan utilizando los polinomios de Legendre y sus races.
Las constantes ci y las races de los polinomios de Legendre estn tabuladas
As:
Para el caso general de un intervalo cualquiera [a, b] se realiza un cambio de variable en la integral:
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