CUCEIUniversidad de
Guadalajara
“Análisis de la respuesta transitoria”
Jorge Rivera Dominguez
INTRODUCCIÓN
Contando con el modelo matemático de un sistema de control, es conveniente el análisis del desempeño del sistema (Respuesta transitoria y Respuesta en estado estable).
INTRODUCCIÓN
En el análisis y diseño de sistemas de control, debemos tener una base de comparación del desempeño de diversos sistemas de control. Esta base se configura especificando las señales de entrada y comparando las respuestas de varios sistemas a estas señales de entrada.
INTRODUCCIÓN
Si las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Si el sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón sería la adecuada; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una función impulso sería la mejor.
INTRODUCCIÓN
Función impulso unitario
(en el tiempo)
f(t) = (t)
(en la frecuencia)
F(s) = 1
INTRODUCCIÓN
Función escalón unitario
(en el tiempo)
f(t) = (t)
(en la frecuencia)
F(s) = 1/s
INTRODUCCIÓN
Función rampa unitaria
(en el tiempo)
f(t) = t
(en la frecuencia)
F(s) = 1/s^2
INTRODUCCIÓN
La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final. Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.
INTRODUCCIÓN
Y(t) = YT(t) + YEE(t)
Ejemplo:
Y(t) = - exp(-2t) + 1
INTRODUCCIÓN
Si la salida de un sistema de control en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistema tiene un error de estado estable. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control, debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable.
INTRODUCCIÓN
Se define el orden de un sistema cuya función de transferencia es
F(s)=b(s)/a(s)
como el grado del polinomio del denominador a(s).
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Considerando el sistema de la figura. La relación entrada-salida es la siguiente:
Vo/Vi = 1/(Ts+1)
donde T es la constante de tiempo definida como T=RC
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
La figura muestra el diagrama a bloques del sistema de primer orden. A continuación alimentaremos este bloque con algunas de las funciones previamente vistas y analizaremos su salida.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Para la entrada impulso unitario Vi(s)=1, se obtiene a la salida del sistema
Vo(s)=1/(Ts+1)
vo(t)=(1/T)exp(-t/T)
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza el 86.5% del valor final. En t=3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente del valor final. Para t4T, la respuesta permanece dentro del valor final.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
De la ecuación vo(t)=(1/T)exp(-t/T), se observa que el estado estable se alcanza matemáticamente sólo después de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación del tiempo de respuesta para alcanzar el valor final es de cuatro o cinco constantes de tiempo.
t
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Para la entrada escalón unitario Vi(s)=1/s, se obtiene a la salida del sistema
Vo(s)=1/(Ts+1)s
vo(t)=1-exp(-t/T)
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Para la entrada rampa unitaria Vi(s)=1/s^2, se obtiene a la salida del sistema
Vo(s)=1/(Ts+1)s^2
vo(t)=t-T+Texp(-t/T)
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Observamos que la salida del sistema excitado con la rampa presenta un error de estado estable.
e(t)=vi(t)-vo(t)
e(t)=T(1-exp(-t/T))
Conforme t la señal de error tiende a T. Y mientras T sea mas pequeño, también lo será el error.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
En el análisis anterior, se demostró que para la entrada rampa unitaria, la salida es
vo(t) = t - T + Texp(-t/T)
Para la entrada escalón unitario, que es la derivada de la entrada rampa unitaria, la salida es
vo(t) = 1 - exp(-t/T)
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Por último, para la entrada impulso unitario, que es la derivada de la entrada escalón unitario, la salida es
vo(t)=(1/T)exp(-t/T)
Claramente podemos deducir que la respuesta a la derivada de una señal de entrada se obtiene diferenciando la respuesta del sistema para la señal original.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Esta es una propiedad de los sistemas lineales e invariantes con el tiempo. Los sistemas lineales y variantes con el tiempo y los no lineales no poseen esta propiedad.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Función de trasferencia
Frecuencia de resonancia
LCs
LR
s
LCsVisVo
1/1
)()(
2
LCn
1
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial
Frecuencia resonante natural
Factor de amortiguamiento
LR
2
22 nd
n
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Sustituyendo
Igualando el denominador a cero, obtenemos sus raíces
22
2
2)()(
nn
n
sssVisVo
1
1
22
21
nn
nn
s
s
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Expresando las raíces en la F de T
11)()(
22
2
nnnn
n
sssVisVo
222
22
nndn
nd
dn
nd
nd
j
j
1
1
1
2
2
2
dndn
n
jsjssVisVo
2
)()(
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
1.- Subamortiguado
Respuesta transitoria oscilatoria
2.- Amortiguamiento
critico
Respuesta empieza a oscilar
3.- Sobreamortiguado
Respuesta nunca oscila
4.- No amortiguado Respuesta oscilatoria o críticamente estable
10
1
1
0
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Respuesta del sistema al escalón unitario
1.- Subamortiguado , raíces complejas
10
22
2
2)(
nn
n
ssssVo
2222 221
2)(
nnnn sss
sssCBs
sA
sVo
2222 221
)(nnnn ssss
ss
sVo
)(
1)cos(1)(
2tsintetVo dd
tn
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
La señal de error se define como
Esta señal de error presenta una oscilación senoidal amortiguada, y en estado estable no existe error.
)(
1)cos()()()(
2tsintetVotVite dd
tn
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Si el factor de amortiguamiento es cero, la respuesta se vuelve no amortiguada y las oscilaciones continúan indefinidamente.
4.- No amortiguado , raíces imaginarias 0
)cos(1)( ttVo d
)cos()()()( ttVotVite d
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
2.- Amortiguamiento critico , raíces reales e iguales, en donde
Este resultado se obtiene suponiendo que se aproxima a la unidad en la ecuación del caso (1), y usando el límite siguiente
1
0d
tn
t nn teetVo 1)(
ttsinlimtsinlim
nnd
2
2
2 1
)1(11
)(1
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
3.- Sobreamortiguado , raíces reales negativas y diferentes
1
11)(
22
2
nnnn
n
ssssVo
212
21
121)(
se
se
tVotsts
n
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Especificaciones de la respuesta transitoria
Tiempo de retardo (Td).- Es el tiempo que tarda la respuesta del sistema en alcanzar por primera vez la mitad del valor final.
Tiempo de crecimiento (Tr).- Es el tiempo requerido para que la respuesta crezca del 0 al 100% de su valor final o del 10 al 90%.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Tiempo de pico (Tp).- Es el tiempo en el cual la respuesta del sistema alcanza el primer pico del sobreimpulso.
Máximo sobreimpulso (Mp).- Es el valor pico máximo de la respuesta medido desde la unidad.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Máximo sobreimpulso porcentual.-
Tiempo de establecimiento (Ts).- Es el tiempo requerido por la curva de respuesta para alcanzar y mantenerse dentro de determinado rango alrededor del valor final
especificando en porcentaje absoluto del valor final. Se usa generalmente el 5% o 2%
%100)(
)()(
C
CTpc
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Para un criterio del
2%
Para un criterio del
5%
21
1;
eMp
Tp
tanTr
d
n
d
dn
Ts
4
n
Ts
3
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