r
Conceptos Topológicos en R n
Vecindad abierta en R n
Dado x⃗0∈ Rn, definimos la vecindad abierta: V ( x⃗0 ,r ) para r>0 el conjunto
V⃗= {x⃗0∈ Rn/‖x⃗− x⃗0‖<r }
Recordar: la norma ‖‖ esta definida por ‖x⃗‖=(∑i
n
xi2)12, x⃗=(x1 , x2 , x3 ,…, x0 ) es la
norma en Rn.
Vecindad reducida
V' ( x⃗0 ,r )=V ( x⃗0 ,r )− x⃗0
Punto de acumulación
Dado A⊂Rn, decimos que a∈R es un punto de acumulación para A si:
∀ r>0 ;V ' ( x⃗0 , r )∩ A≠∅
Funciones Vectoriales de Variable real
Es toda función f⃗ : A→Rn , A⊂R
Ejemplo: f⃗ : A→Rn , A⊂R⟶ f (t )=( t ; t2 ; t3 )
Generalmente nos interesan las curvas, es decir cuando A=I=[a ;b ]
Componentes
Así podemos identificar a
f⃗ : A→Rn , A⊂R ∀ t∈ A : f⃗ (t )=( f 1 ( t ) , f 2 ( t ) , ∙∙ ∙ , f n (t ) )
Observación
Domf i=A
A=I⊂R
f⃗ (t )=( t2 , t3 ,1 )
f 1 (t )=t 2,
f 2 ( t )=t 3 , f 3 (t )=1
f⃗ (t )∈Rn , t∈ I
Dominio de f
Dom f⃗={t ∈R/∃ f⃗ ( t ) }
Rango de f
Ran f⃗= {f⃗ (t )∈ R/ t∈ A }
0X0 1
Gráfica del rango de una función vectorial de variable real
Gr f⃗={ f⃗ ( t )∈Rn/ t∈ A=Dom f⃗ }
Se aprecia que:
Gr f⃗⊂Rn
Apreciación
f⃗ ( t )=( t , t2 ) , t∈ [0,1 ]
Operaciones
Si f⃗ : A→Rn , g⃗ :B→Rnademas A , B⊂R , A∩B≠∅ ,definimos:
1)( f⃗ + g⃗ ) ( t )=f⃗ ( t )+ g⃗ ( t ) D f⃗ + g⃗=(Dom f⃗ )∩ (Domg⃗ )
2) ( f⃗ . g⃗ ) (t )= f⃗ (t ) . g⃗ ( t ) Dom ( f⃗ . g⃗ )=(Dom f⃗ )∩ (Domg⃗ )
3) Si φ :B→R, f⃗ :A→Rn
(φ f⃗ ) g⃗=φ ( t ) f⃗ ( t ) donde Dom (φ f⃗ )=(Domφ)∩ (Dom f⃗ )
4) Si n=3 ,definimos
( f⃗ × g⃗ ) ( t )=f⃗ ( t )× g⃗ ( t ) donde Dom ( f⃗ × g⃗ )=( Dom f⃗ )∩ (Dom g⃗ )
Límites
1) Sea f⃗ : I →Rn , I⊂Rb p.a de I ,diremos que
limt →b
f⃗ =a⃗
↕
∀ ε>0 ,∃ δ=δ (ε )>0/¿
t∈ I∧0<|t−b|<δ→‖f⃗ (t )− a⃗‖<ε
PC
limt →1
(t2 , t )→ (1,1 )
f⃗ (t )=( t2 , t )
Tomemos ε>0 arbitrario
‖f⃗ (t )−(1,1 )‖=‖(t 2 , t )−(1,1 )‖
¿‖( t2−1 ; t−1 )‖
¿|t−1|‖(t+1 ;1 )‖
¿|t−1|√ (t+1 )2+1⏟acotando
Tomamos δ=1
0¿|t−1|<1
-1¿ t−1<1∧t ≠1
0< t<2∧t ≠1
1<t+1<3
b−δ
b
b+δI
a⃗
ε
f⃗ ( t )
Rn
0< ( t+1 )2<9
2<( t+1 )2+1<10
2<√ (t+1 )2+1<√10
‖f⃗ ( t )−(1,1 )‖<|t−1|√10
Si 0<|t−1|<1
‖f⃗ ( t )−(1,1 )‖<ε ,si
0<|t−1|<1∧|t−1|√10<ε
δ=¿min{1 , ε
√10 }Apreciación
Si f : I →Rn , a⃗∈Rn
limt →b
f⃗ ( t )=a⃗↔∀ i=1,…,n : limt →b
f i (t )=ai
OJO
f⃗ ( t )= 1
e2 t−1 ( sentcost;2 (cost ) (t−1 ) ; t)
limt →0
f⃗ ( t )=( limt→0
sent
(cost ) (e2 t−1 );limt→02 (cost ) (t−1 )
e2t−1 ) = ( 12 ;1 ; 12 )Prop
Si f⃗ , g⃗ : A→Rny existen
limt →b
f⃗ ( t ) ;limt →b
g⃗ (t ) , b p.a de A
entonces:
∃ limt→b
( f⃗ + g⃗ ) (t )=¿ limt→b
f⃗ (t )+ limt→b
g⃗ (t ) ¿
∃ limt→b
( f⃗ . g⃗ ) ( t )=(limt→bf⃗ ( t )) .( limt→b
g⃗ ( t ))
Si n=3 :limb
( f⃗ × g⃗ ) (t )
¿ (limt →bf⃗ (t ))×( limt→b
g⃗ ( t ))Prop
Si f⃗ : A→R,φ :A→R, f⃗acotada en A y limt →b
φ ( t )=0
b p.a de A, entonces limt →b
(φ f⃗ ) (t )=0⃗
Aplicación
lim (t sen (1t ); t cos( 1t ); t)φ ( t )=t
f⃗ (t )=(sen( 1t );cos( 1t );1)‖f⃗ ( t )‖=❑√2
limt →0
φ ( t )=0
Continuidad
f⃗ : A→Rn , A⊂R
Se dice que es continua en t=t 0, si:
1)t 0∈ A
2)∃ limt 0
f⃗ (t )
3)limt0
f⃗ ( t )= f⃗ (t 0 )
Interpretación
Si f⃗ es continua en t 0∈ A ,
significará que la curva gráfica
de ella, no tiene “saltos”
¿ Si f⃗ : A→Rn , A⊂R
Se dice que es continua enB⊂ A
Si t 0 es en cada punto de B
Derivación
Sea f⃗ : A→Rn , A⊂R
definamos la función f⃗ ´como
f⃗ ´ ( t )=limh→0
f⃗ ( t+h )− f⃗ (t )h
∈Rn
Dom f⃗ ´={t ∈ A /∃ limh→0
f⃗ ( t+h )− f⃗ (t )h }
Interpretación
Si la gráfica de f⃗ ( t ) es una curva plana se aprecia
fácilmente que f⃗ ( t0 ) es un vector tangente a la gráfica
de f⃗ , en el punto f⃗ ( t0 )
f⃗ ( t0 )
f⃗ ´ (t 0 )f⃗ ( t0+h )
Si f⃗ ´ (t 0 )≠ 0⃗ , entonces la recta tangente a la
gráfica de f⃗ en f⃗ ( t0 ) es:
Ltag={P=f⃗ (t 0 )+t f⃗ ´ ( t0 ) /t∈R }
Prop
f⃗=( f 1 , f 2 ,…, f n )
f i : A→R ,A⊂R
∃ f⃗ ´ ( t0 )↔∀ i=1 ,…,n :∃ f i´ ( t0 )
En caso afirmativo
f⃗ ´ (t )=( f 1´ ( t ) ; f 2´ (t );…; f n
´ ( t ) )
Prop
Si ∃ f⃗ ´ ( t0 ) , entonces f⃗ es continua en t 0
f⃗ ( t0+h )=f⃗ (t 0+h )−f⃗ (t 0 )
hh+ f⃗ (t 0 )
limh→0
f⃗ (t 0+h )=f⃗ ´ (t 0 ).0+ f⃗ (t 0 )
= f⃗ ( t0 )
Otras propiedades
1)Si∃ f⃗ ´ ( t0 ) , g⃗´ ( t0 ) entonces
∃ ( f⃗ + g⃗ ) (t0 )´
.Además
( f⃗ + g⃗ )( t0 ),
= f⃗ ´ (t 0 )+ g⃗´ (t 0 )
Lsec
Ltag
asimismo
( f⃗ . g⃗ ) (t 0),= f⃗ ´ ( t0 ) . g⃗ (t0 )+ f⃗ (t 0 ) . g⃗´ (t 0 )
Recordando(clase 2)
f⃗ : A→Rn , A⊂R
f⃗=( f 1 , f 2 ,…, f n )
f k : A→R
f⃗ ( t )=(|t|, t sen 1t )f⃗ :R ¿{0¿}→R2
f 1 ( t )=|t|
f 2 (t )=t sen1t
lim f⃗ ( t )=(0,0 )
f⃗ ´ (t )=(|t|t , sen (1t )−cos( 1t )
t )f 1
1
−1
f 1,
Apreciación
f⃗ ( t )=(cos (t 2 ) , sen (t 2 ) ,cos t , sen t )
∀ t ϵ R : f⃗ (t )⊥ f⃗ ´ ( t )
En realidad si f⃗ es de módulo
constante entonces
f⃗ (t )⊥ f⃗ ´ ( t )
Visualización
‖f⃗ ( t )‖=a ,a>0
( en el ejemplo
‖f⃗ ( t )‖=√cos2 (t 2 )+sen2 ( t2 )+cos2 (t )+sen2 ( t )
¿√2 )
‖f⃗ ( t )‖2=a2
f⃗ (t ) . f⃗ (t )=a2
Derivando con respecto a t
f⃗ ´ ( t ). f⃗ ( t )+ f⃗ (t ) . f⃗ ´ ( t )=0
f⃗ ( t ) . f⃗ ´ (t )=0
además vemos que
∃ f⃗ ´ ( t0 )
∀ k=1,…,n :∃ f k, (t 0 )
asimismo en caso existan
f⃗ ´ (t 0 ) , g⃗ ´ (t 0 ) , f⃗ , g⃗ :A→Rn
entonces:
( f⃗ + g⃗ ), ( t0 )=f⃗ ´ (t 0 )+ g⃗´ (t0 )
( f⃗ . g⃗ ) , (t 0 )= f⃗ ´ ( t0 ) . g⃗ ( t0 )+ f⃗ (t 0 ). g⃗´ (t 0 )
En el caso especial de
n=3 , f⃗ , g⃗ : A→R3
entonces:
( f⃗ × g⃗ ), (t )= f⃗ ´ (t )× g⃗ (t )+ f⃗ (t )× g⃗ ´ ( t )
f⃗ × g⃗=| i j kf 1 f 2 f 3g1 g2 g3
|¿ ( f 2g3−f 3 g2 , g1 f 3−g3 f 1 , f 1g2−f 2g1 )
( f⃗ × g⃗ ),=( f 2, g3−f 3, g2 , f 3
, g1−g3 f 1, , f 1
, g2−f 2, g1)
+ ( f 2g3,−f 3g2, , g1
, f 3−g3, f 1 , f 1 g2
,−f 2g1, )
¿ f⃗ ´× g⃗+ f⃗ × g⃗´
f⃗ ´× g⃗=| i j kf 1, f 2
, f 3,
g1 g2 g3|
f⃗ × g⃗ ´=| i j kf 1 f 2 f 3g1, g2
, g3,|
Integración
Dada f⃗ : A→Rn , A⊂R donde cada
componente de f k de f⃗ es integrable
en[a ,b ]⊂A
definimos:∫a
b
f⃗ (t )dt=(∫a
b
f 1 ( t )dt ,∫a
b
f 2 ( t )dt ,…,∫a
b
f n (t )dt)Aclaración
f⃗ (t )=( t2 ,2t , sen πt )
∫0
2
f⃗ ( t )dt=(∫0
2
t2dt ,∫0
2
2 tdt ,∫0
2
sen πt dt)¿( 83 ,4,0)
Referencia
lγ=∫a
b
√ (x´ ( t ) )2+( y´ (t ))2dt
γ :P=(x ( t ) , y (t ) ) , t∈ [a ,b ]
Generalizando:
Si γ es una curva gráfica de una
f⃗ : [a ,b ]→Rncon derivada en todo
[a ,b ]entoncesγ se dice que es
rectificable (o medible) si
∃∫a
b
‖f⃗ ´ ( t )‖dt
lγ=∫a
b
‖f⃗ ´ ( t )‖dt
CI
γ :x=Rcost ,t∈ [0,2π ]
y=Rsent
f⃗ (t )=(Rcost ,Rsent )
lγ=∫0
2π
‖f⃗ ´ (t )‖dt
¿∫0
2π
‖(−Rsent ,Rcost )‖dt
¿∫0
2π
√R2cos2 ( t )+R2 sen2 (t )dt
¿ R (2π )=2πR
Apreciamos
1) Si ∃∫a
b
f⃗ (t )dt y a<c<b entonces
∃∫a
c
f⃗ (t )dt∧∃∫c
b
f⃗ ( t )dt
Además :∫a
b
f⃗ ( t )dt=∫a
c
f⃗ (t )dt+¿∫c
b
f⃗ ( t )dt ¿
2)ddt (∫a
t
f⃗ (u )du)= f⃗ (t )
3) ∫a
b
f⃗ ´ ( t )dt= f⃗ (b )− f⃗ (a )
Complementando
Definición
Una curva γ en Rn la consideraremos
como la gráfica de una función
f⃗ : I →Rn
Iun intervalo de R
ddx (∫
a
x
f ( y )dx)=f ( x )
∫a
b
f ´ (x )dx=f (b )−f (a )
PI
γ :P=(t ,t ,t ,2 t ) ,t∈ [0,1 ]
¿Puede graficar γ?
Parametrizar γ : x2+2 y2+z2=10 ,
x+ y+z=1
no es sencilla
Orientación
Dada γ
β :P=( t , t+1 ) , t∈ [−1;0 ]
Curvas de clase C k ( k∈N ) Si γ : f⃗ ( t ) , t∈ I
diremos que γ es clase C k si:
x
x1
x2
y
x
x− y=−1
∀ j=1,2 ,…,k :∃ f⃗ (t )( j) , t∈ Iγ : f⃗ (t )=(t
53 , t ,t ) ,t∈ [−1,1 ]
γes de clase C1
β : g⃗ (t )=(et , e−t , t )
βes de clase C∞
Es decir ∀n∈N
∃ f⃗ (t )(n )Curva Simple
γdeterminada por
f⃗ : I →Rn, se dice que
es una curva simple, si
f⃗es negativa
f⃗ (a )= f⃗ (b )→a=b
Interpretación
γes una curva simple
Si no “se corta”
γ 1 simple
γ 2
γ 1
γ 2noes simple
Curvas Cerradas
γdeterminada por
f⃗ ( t ) , t∈ I=[a ,b ]
se dice que es una curva
cerrada si f⃗ (a )= f⃗ (b )
γ : f⃗ (t )=( t3−4 t ,t 2−4 )
t∈ [−2;2 ]
a ,b∈ [−2;2 ]
f⃗ (a )= f⃗ (b )→ (a3−4a ,a2−4 )=(b3−4b ,b2−4 )
→ {a3−4a=b3−4ba2−4=b2−4
→ { a=b→0=0∨
a=−b→a3−4 a=−a3+4 a
f⃗ (2 )=f⃗ (−2 )
γno es simple
Velocidad y Aceleración
Si la curva γ representa la trayectoria
No
γ
de un móvil podemos llamar a f⃗ ´ (t )
el vector velocidad , f⃗ ´´ (t ) el vector
aceleración.
v=‖f⃗ ´ ( t )‖
a=‖f⃗ ´ ´ ( t )‖
En general en estos casos
escribimosγ : r⃗ ( t )
v⃗ (t )=r⃗ ( t )´
a⃗ (t )= v⃗ (t )´ =r⃗ ( t )
´ ´
a=‖r⃗´´‖, v=‖r⃗´‖
Curva Regulares
Si γ tiene representación
paramétrica f⃗ (t ),t∈ I
Se dice que γ es una
curva regular si
∀ t∈ I : f⃗ ´ ( t )≠ 0⃗.
Consecuencia
γ
f⃗ ( t0 )
f⃗ ´ (t 0 )
Ltg
Ltg :P=f⃗ (t 0 )+t f⃗ ´ ( t0 ) , t∈R
Parametrización
Una γ se puede parametrizar
de varias formas
(equivalencia)
γ :P=t (1,1,2 ) , t∈ [0,1 ]
¿Quién es t?
γ :P=t 2 (1,1,2 ) , t∈ [0,1 ]
¿Es una rep. paramétrica deγ?
γ :P=t (cos t ,cos t ,2 ) , t∈ [0,2 π ]
¿Es una rep. par?
No, pues t=π2
(0,0,2 )∉γ ,
γ :P=( t , t3 ,2 )
¿Es una rep. param?
Longitud de arco
γ (1,1,2 )
t
γ1
−1
1−1
γ :P=(cos t , sent ) ,t ∈ [0,2π ]
tes la longitud de arco
s=∫0
t
‖f⃗ ´ (u )‖du
s=∫0
t
‖(−senu ,cosu )‖du
¿∫0
t
du
CL
s=∫0
t
‖f⃗ ´ (t )‖dt
s=∫0
t
‖(−2 sent ,cos t )‖dt
s=∫0
t
√4 sen2t+cos2t dt
s=∫0
t
√3 sen2 t+1dt
s=t
ε
γs
f⃗ ( t )
x=2cos t
y=sent
t∈ [0,2π ]
Geometría Diferencial
Si γ una curva con representacio paramétricar⃗ ( t ) donde t∈ I⊂R.
γse puede parametrizar en
términos de la longitud de arcos
γ :r⃗=r⃗ (s ) , s∈ [0 ; lγ ]
T⃗ ( s0 )=r⃗´ ( s0 )
En caso γ esta rep. paramétrica
con parámetro t ,
T⃗ (t )= r⃗ ´ (t )‖r⃗ ´ (t )‖
Veamos que son equivalentes
T⃗= r⃗´
‖r⃗´‖=( drds )( dsdt ) 1‖r⃗´‖
T⃗=r⃗´ (s )‖r⃗´‖‖r⃗´‖
=r⃗´ (s )
γ
r⃗ (b )
r⃗ (a )r⃗ (s )
s=s0
T⃗es un vector tangente unitario
aγ en r⃗ ( t ) (o r⃗ (s ) )
‖T⃗‖=1
T⃗⊥ T⃗ ´
Definimos el vector normal
N⃗ ( t )= T⃗ ´ (t )‖T⃗ ´ (t )‖
T⃗ (t )⊥ N⃗ ( t )
asimismo definimos el vector binormal
B⃗=T⃗ × N⃗
B⃗es un vector unitario ‖B⃗‖=‖T⃗‖‖N⃗‖sen π
2=1
Recordando (clase 3)
γ
r⃗ ( t )
B⃗ (t0 )
N⃗ (t 0 )
T⃗ (t 0 )
Plano Normal
Plano Osculador
Identidades
γ tiene representación paramétrica
un parámetro t , γ⊂R3
T⃗ (t )= r⃗ ( t )‖r⃗ ( t )‖
B⃗ ( t )= r⃗ ( t )×r⃗ ( t )‖r⃗ ( t )×r⃗ ( t )‖
N⃗ ( t )=(r⃗ (t )× r⃗ (t ) )×r⃗ (t )
‖r⃗ (t )×r⃗ (t )‖‖r⃗ (t )‖
aplicando identidades del producto
vectorial se tiene que
N⃗ ( t )=‖r⃗ (t )‖2 r⃗ (t )−(r⃗ ( t ) . r⃗ ( t )) r⃗ ( t )
‖r⃗ ( t )‖‖r⃗ ( t )× r⃗ (t )‖
Fórmulas de Frenet
Generalmente trabajamos con curvas
PN
PO
Ltg
Ln
PR
B⃗ (t )
γ
x
T⃗ (t )N⃗ ( t )
y
z
enR3 de clase C3, regular
(∀ t∈ I , r⃗ ( t )≠ 0⃗ )
Estudiemos el comportamiento de
estos vectores de referencia o triedro
de Frenet en P, cuando P se traslada
a lo largo de la curvaγ , originándose
3 campos de vectores a lo largo
deγ .
Afirmación
d T⃗ds
=‖r⃗‖N⃗
Curvatura
Sea γ una curva determinada
porr⃗ : I→R3
definamos la función
k : I→R, consideremos
aγ parametrizada con
respecto al parámetro s
(longitud de arco).
γ
B⃗
T⃗
N⃗
T⃗
N⃗
B⃗
k : I→R
s→k (s )=‖r⃗ (s )‖
que se llama curvatura
Podemos escribir
d T⃗ds
=k N⃗
al tomar módulos, resulta que
la curvatura k ( s) es la variación
del vector tangente por unidad
de longitud de arco.
Interpretación
T⃗ 1
T⃗ 2
γz
xy
K=0
K=0
l=0
Torsión
Definamos para γcon rep.paramétricar⃗ (s ) , s longitud de arco, la torsión τ ( s )
τ : I→R
Como C ( s ) la variación de la
binormal por unidad de longitud.
Apreciaciones
Tomemos las siguientes expresiones en términos de coordenadas rectangulares
1) Definimos el círculo de curvatura, el radio de curvatura
ρ=1k
Centro del círculo de curvatura
O=P+ ρ N⃗
γ
ρradio de
curvatura
Círculo de
Curvatura
ρ=1k
P
O
ρ
2) k=‖r⃗ ,× r⃗ , ,‖‖r⃗ ,‖3
γ : r⃗ (t )= (x ( t ) , y (t ) , z (t ) ) , t∈ I
k=√| y , z ,
y ,, z ,,|2
+|z , x ,
z ,, x , ,|2
+|x , y ,
x , , y ,,|2
(x ,2+ y ,2+z ,2 )3 /2
Propiedad
d T⃗ds
=k N⃗
d T⃗ds
=−k T⃗ +τ B⃗(Demostrar)
d B⃗ds
=−τ N⃗
Matricialmente
( T⃗N⃗B⃗ ),
=( 0 k 0−k 0 τ0 −τ 0)(
T⃗N⃗B⃗ )
Ejercicios
Encontrar las ecuaciones de los planos osculador y rectificante
para la curva γ :x2+ y2+z2=4 , x= yen el punto (1,1 ,√2 )
Solución
x= y=tyz=√4−2 t 2
r⃗ ( t )=(t ,t ,√4−2t 2 )
r⃗´ ( t )=(1,1 ,−2 t (4−2 t2 )−1/2)
r⃗´ ´ ( t )=(0,0 ,−2 (4−2 t2 )−1 /2−4 t 2 (4−2 t2 )−3/2)
( X⃗−(1,1 ,√2 ) ) . B⃗=0
B⃗/¿ r⃗´ (t )×r⃗´ ´ (t )
t=1→r⃗´ ( t=1 )=(1,1 ,−√2 )
r⃗´ ´ ( t=1 )=(0,0 ,−2√2 )
r⃗´ ( t=1 )× r⃗´ ´ ( t=1 )= (−2√2 ,2√2 ,0 )
Plano Osculador
( X⃗−(1,1 ,√2 ) ) . (−2√2 ,2√2 ,0 )=0
Plano Rectificante
( X⃗−(1,1 ,√2 ) ) . N⃗=0
N⃗=B⃗×T⃗
T⃗ /¿ r⃗´ ( t=1 )=(1,1 ,−√2 )
B⃗/¿ r⃗´ ( t=1 )× r⃗´´ (t=1 )=(−2√2 ,2√2 ,0 )
N⃗ /¿ (−4 ,−4.−4√2 )
( X⃗−(1,1 ,√2 ) ) . (−4 ,−4.−4√2 )=0
Ejercicio (tarea)
Encontrar la curvatura para
x2+ y2+z2=9 , x+ y+z=1
en(2 ,−2 ,1 )
Ejercicios(tarea)
1¿ 𝒞¿[ r⃗´ , r⃗´ ´ , r⃗´´ ´ ]
‖r⃗´´‖2
2¿ τ=| x
, y , z ,
x ,, y ,, z ,,
x , ,, y , ,, z ,, ,|
x ,2+ y ,2+z ,2
3¿ Calcule k , τen el punto (0.5,0 .5 , √22 )
deγ : x2+ y2+z2=1 , x2+ y2=x
Demostrar la propiedad siguiente
d T⃗ds
=k N⃗
d N⃗ds
=−k T⃗+τ B⃗(Demostrar)
d B⃗ds
=−τ N⃗
Solución
De la definición de curvatura
k (t )=‖T⃗ ´ ( t )‖s´ (t )
Se sabe que ‖r⃗ ´ (t )‖=s´ (t )
Por definición de vector normal unitario
N⃗ ( t )= T⃗ ´ ( t )‖T⃗ ´ ( t )‖
=T⃗ ´ (t )
k ( t ) s´ (t )
k N⃗=
d T⃗dtdsdt
d T⃗ds
=T⃗ , (s )=k (s ) N⃗ (s )
Se sabe que B⃗ y T⃗son vectores
unitarios perpendiculares
B⃗ ( t ) .T⃗ ( t )=0
Derivando con respecto a t
B⃗, (t ) . T⃗ (t )+ B⃗ (t ) .T⃗ , (t )=0
B⃗, ( t ) . T⃗ ( t )+ B⃗ (t ) . k (t ) s , (t ) N⃗ ( t )=0
B⃗, ( t ) . T⃗ ( t )=0
Como los tres vectores unitarios
constituyen una base en R3
entonces se puede expresar cualquier
vector en función de esa base
B⃗´ (t )=( B⃗´ . T⃗ ) T⃗ (t )+( B⃗´ . N⃗ ) N⃗ (t )+( B⃗´ . B⃗ ) B⃗ (t )
B⃗´ (t )=( B⃗´ . N⃗ ) N⃗ (t )
entoncesB⃗´ (t )/¿ N⃗ (t )
B⃗´ ( t )s´ ( t )
/¿ N⃗ ( t )
B⃗´ (t )s´ ( t )
= λ ( t ) N⃗ ( t )
Sea λ (t )=−τ (t )
B⃗´ ( s )=−τ ( s) N⃗ (s )
N⃗ (s )=B⃗ (s )×T⃗ ( s)
N⃗ , ( s )=B⃗ ´ ( s)×T⃗ (s )+ B⃗ ( s )×T⃗ ´ ( s )
N⃗ , ( s )=τ (s ) B⃗ ( s)−k (s ) T⃗ (s )
Ejercicio
Encontrar la curvatura para
x2+ y2+z2=9 , x+ y+z=1
en(2 ,−2 ,1 ).
Solución:
Derivando implícitamente las dos curvas
que se dan (con respecto a x)
2 x+2 y y ,+2 z z ,=0
x+ y y ,+z z ,=0
y por otro lado
1+ y ,+ z ,=0
Reemplazando las componentes en el
punto que nos dan
2−2 y ,+z ,=0→2 y ,−z ,=2
y ,+ z ,=−1
y ,=13, z ,=−4
3yx ,=1
Derivando nuevamente implícitamente
1+ y y ,,+ y ,2+z z ,,+z ,2=0
y , ,+z , ,=0
Reemplazando los valores hallados
1−2 y , ,+ 19+ z ,,+ 16
9=0
→2 y , ,−z ,,=269
y , ,+z , ,=0
y , ,=2627
, z , ,=−2627
yx ,,=0
Se sabe que la curvatura es
k=‖r⃗´×r⃗´ ´‖
‖r⃗ ´‖3
k=√| y , z ,
y ,, z ,,|2
+|z , x ,
z ,, x , ,|2
+|x , y ,
x , , y ,,|2
(x ,2+ y ,2+z ,2 )3 /2
k=√| 13 −4
32627
−2627
|2
+| −43
1
−2627
0|2
+|1 13
02627
|2
((1 )2+( 13 )2
+(−43 )2)3 /2
k=√(2627 )2
+( 2627 )2
+( 2627 )2
( 269 )3 /2
k=
26√327
26√2627
=√ 326Ejercicios
1) τ=[ r⃗´ , r⃗´ ´ ,r⃗´ ´ ´ ]
‖r⃗ ´´‖2
Solución
De las ecuaciones de Frenet
N⃗ ´=−k T⃗ +τ B⃗
multiplicando escalarmente por el vector binormal
N⃗ ´ . B⃗=τ
τ=N⃗ ´ . (T⃗ × N⃗ )
T⃗ ( s )=r⃗´ (s )
T⃗ ´ ( s)=k N⃗
r⃗´ ´ (s )=k N⃗
N⃗=r⃗´ ´ (s )k
N⃗ ´= k r⃗ , ,,−r⃗ , ,k ,
k2
τ=( k r⃗ ,,,−r⃗ ,,k ,
k2 ) ∙(r⃗ ,×r⃗ ,,
k )τ= r⃗ ,
k2 [r⃗ ,,×k r⃗ , ,,−r⃗ ,,k ,
k ]τ= r⃗ ,
k2. (r⃗ , ,×r⃗ , ,, )
τ=[ r⃗´ r⃗´ ´ r⃗´ ´´ ]‖r⃗´´‖2
2)
τ=| x
, y , z ,
x , , y , , z ,,
x ,, , y ,, , z , ,,|
x ,2+ y ,2+z ,2
Solución
Del problema anterior expresando en componentes
r⃗´ (s )=(x , , y , , z , )
r⃗´ ´ (s )=(x , , , y ,, , z ,, )
r⃗´ ´ ´ ( s )=(x ,, , , y ,, , , z ,, ,)
Reemplazando en la demostración
del problema anterior
τ=[ r⃗´ r⃗´ ´ r⃗´ ´´ ]‖r⃗´´‖2
τ=| x
, y , z ,
x , , y , , z ,,
x ,, , y ,, , z , ,,|
x ,2+ y ,2+z ,2
3¿ Calcule k , τen el punto (0.5,0 .5 , √22 )deγ : x2+ y2+z2=1 , x2+ y2=xSolución
Derivando implícitamente con respecto a x
2 x+2 y y ,+2 z z ,=0
x+ y y ,+z z ,=0
2 x+2 y y ,=1
12+ 12y ,+ √2
2z ,=0
y ,+√2 z ,=−1
1+ y ,=1
y ,=0 , z ,=−1√2
, x ,=1
1+ y y ,,+ y ,2+z z ,,+z ,2=0
2+2 ( y y ,,+ y ,2 )=0
y y ,,+ y ,2=−1
1−1+ √22
z ,,+12=0
z ,,=−1√2
,y , ,=−2, x , ,=0
y y ,, ,+ y , y ,,+2 y , y ,,=0
12y , ,,=0→y ,, ,=0
z z , ,+z ,2=0
z z , ,,+z , z ,,+2 z , z ,,=0
√22
z ,, ,+3(−1√2 )(−1√2 )=0z ,, ,=−3
√2
x ,, ,=0
k=‖r⃗´×r⃗´ ´‖
‖r⃗ ´‖3
k=√| y , z ,
y ,, z ,,|2
+|z , x ,
z ,, x , ,|2
+|x , y ,
x , , y ,,|2
(x ,2+ y ,2+z ,2 )3 /2
k=√| 0 −1
√2−2 −1
√2 |2
+|−1√21
−1√2
0|2
+|1 00 −2|
2
(12+02+(−1√2 )2)3 /2
k=
√13√23√32√2
=2√399
τ=r⃗´´ ´ ( x ) . (r⃗´ ( x )× r⃗´´ ( x ) )
(‖r⃗´ ( x )×r⃗´ ´ ( x )‖)2
r⃗´ ( x )× r⃗´´ ( x )=|i⃗ j⃗ k⃗
1 0−1√2
0 −2 0|=(−√2 ,0 ,−2 )
r⃗´ ´ ´ ( x )=(0,0 ,− 3
√2 )‖r⃗ ´ ( x )× r⃗´ ´ ( x )‖=√6
τ=(0,0 ,− 3
√2 ) . (−√2 ,0 ,−2 )
6=√22
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