DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONÓMICAS
2406 – MATEMÁTICA II
DOCUMENTO DE CLASE
Clase 9: DERIVADAS y DIFERENCIALES
1) Objetivos de la clase:
Que el alumno:
Reconozca la variable respecto de la cual se deriva.
Comprenda la representación geométrica de la derivada parcial.
Aplique las propiedades de las derivadas en el cálculo de las mismas.
Resuelva la ejercitación propuesta, incluyendo las aplicaciones económicas.
Distinga la diferencia entre el incremento de una función y su diferencial.
Utilice el diferencial de una función para resolver situaciones problemáticas en
el área de la Economía.
2) Mapa conceptual de la clase:
Derivadas parciales, definición y propiedades.
Derivadas sucesivas. Propiedades.
Aplicaciones a la Economía.
Valores marginales y elasticidad.
Funciones diferenciables. Diferencial total y parcial.
3) Desarrollo de la clase
Los docentes de la Cátedra de Matemática II le damos nuevamente la bienvenida a
la plataforma MIEL, esperando que sea una herramienta que los ayude a transitar
exitosamente esta asignatura, fomentando un espacio de crecimiento e intercambio.
Consideramos oportuno recordar que la profundidad y rigurosidad de los
contenidos a evaluar son los desarrollados en esta clase. Los videos son
ejemplificadores tanto en la práctica como en la teoría y sirven para facilitar la
asimilación de los contenidos.
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NOCIONES PREVIAS
Para comprender los conceptos que abordaremos en esta clase, necesitamos recordar
algunas nociones previas que están involucrados en las definiciones estudiadas en
Matemática I. Podemos definir el concepto clave de esta clase:
Derivada parcial
Definición. Se denomina derivada parcial de una función z = f(x;y) (en un punto de
acumulación del dominio ( 0 0;x y )1 ) respecto de una de sus variables, al límite del
cociente entre el incremento de la función y el incremento de una de las variables
respecto de la cual se desea derivar, mientras que la otra permanece constante, cuando
el incremento de la variable considerada tiende a cero.
(*)0 0
( ; ) ( ; )lim limx
xx x
z f x x y f x yz
x x
=
𝜕𝑓(𝑥;𝑦)
𝜕𝑥
(**) 0 0
( ; ) ( ; )lim lim
y
yy y
z f x y y f x yz
y y
=
y
yxf
);(
Si en un campo de definición de la función, las derivadas parciales existen en todos sus
puntos (son continuas) las expresiones (*) y (**) definen entonces “funciones derivadas
parciales”.
Si a la expresión (*) la definimos en un punto ( 0 0;x y ) nos queda:
limΔ𝑥⟶0
Δ𝑥𝑧
Δ𝑥= lim
Δ𝑥⟶0
f(𝑥0 + Δ𝑥 ; 𝑦0) − f(𝑥0 ; 𝑦0)
Δ𝑥= 𝑧𝑥 (𝑥0 ;𝑦0) =
ʚ𝑓(𝑥𝑂)
ʚ𝑥
Antes de continuar sugerimos ver el siguiente video:
https://www.youtube.com/watch?v=-P0PyUFg4Kk&t=3s
1 Punto de acumulación: sea
nRC , el punto naaaa ;........;; 21
es de acumulación de C , si
y sólo si, a todo entorno reducido de a
le pertenece al menos un punto de C . ( a
puede o no pertenecer
a C )
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Luego es un número real y decimos entonces que la derivada parcial de una función en
un punto es un “número”, este “número” representa geométricamente la pendiente
de la recta tangente a la curva que se forma por la intersección de la función ( ; )z f x y
y un plano 0y y k en un punto del dominio. Lo mismo acontece con la expresión (**)
pero referido a la variable “y”. Dejo al lector el ajuste apropiado de la definición como
ejercicio.
Gráficamente:
MUY IMPORTANTE
Las reglas y el álgebra de la derivación parcial en dos o más variables son exactamente
las mismas que en una variable.
► Ejemplo:
a) Obtener por definición la derivada parcial de 8242
1; 22 xyyxyxf ,
respecto de x.
Reemplazando en la definición
x
yxfyxxflímf
x
yxf
xx
;;;
0
x
xyyxxxyyxx
límfx
x
8242
1824
2
1 2222
0
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Obtenemos una indeterminación del tipo0
0, que salvaremos operando
algebraicamente.
x
xyyxxxyyxxxx
límfx
x
8242
18242
2
1 22222
0
x
xyyxxxyyxyxxyx
límfx
x
8242
18224.
2
1.
2
1 22222
0
Cancelando y sacando factor común x en el numerador, obtenemos:
x
yxyxx
límfx
x
2.2
1.
0
Simplificando x , salvamos la indeterminación y calculamos el límite, obteniendo
finalmente la derivada parcial buscada.
2 xyf x
b) Verificar el resultado obtenido derivando directamente utilizando tabla.
8242
1; 22 xyyxyxf (Recordemos que “y” actúa como constante)
01.202.2
1 12
; yxf
yxx
2.;
yxfyxx
c) Calcular la derivada parcial respecto de x de la función anterior en (3; 1)
Reemplazamos las coordenadas del punto en la expresión obtenida en a)
2; xyyxf x 21.31;3xf 11;3 xf
A modo de ejemplo, previo a resolver el ejercicio 1, sugerimos ver los siguientes
parciales:
https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48
https://www.youtube.com/watch?v=T8A6_ettGbg
https://www.youtube.com/watch?v=pMYdSjgzrys
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Ejercicio 1. Dadas las siguientes funciones derivar aplicando la definición respecto de las
dos variables en los puntos indicados.
a) 𝑧 = 𝑥 + 𝑦2 en (1; 2) e) 𝑧 =𝑥3
𝑦+1 en (2; 1)
b) 𝑧 = 2𝑥3 − 𝑦 en (2; 2) f) √𝑥. 𝑦3 en (1; 1)
c) 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)3 en (2; −3) g) 𝑧 = ln(𝑥 + 𝑦) en (3; 2)
d) 𝑧 = √𝑥 − 𝑦 en (2; −1) h) 𝑧 = 𝑒(𝑥+𝑦) en (1; 2)
Respuestas:
a) 4;1 2;12;1 yx zz e) 2;6 1;21;2 yx zz
b) 1;24 2;22;2 yx zz
f) 𝑧𝑥(1; 1) =1
3 ; 𝑧𝑦(1; 1) =
1
3
c) 𝑧𝑥(2;− 3) = 3 ; 𝑧𝑦(2;− 3) = 3 g) 5
1;
5
12;32;3 yx zz
d)
6
3;
6
31;21;2 yx zz h)
3
2;1
3
2;1 ; ezez yx
Sugerimos ver los siguientes videos previo a resolver el ejercicio 2:
https://www.youtube.com/watch?v=jM8WkAIKAVM
https://www.youtube.com/watch?v=Onx678fKpvs
Ejercicio 2. Derivar en forma directa respecto de las variables “x” e “y”.
a) Derivar los ejercicios del punto 1 (del a al h) f) 2 2( ; ) ln( )f x y x y
b) ( ) ( ; )2
z sen x y en
g) 2 2( ; ) cos( 2 )f x y x xy
c) cos( ) ( ; )3
z x y en
h) ( ; ) 2x y x yf x y e
d) 3( ) (3;1)z x y en i) 2
2
);(yx
yxyxf
e) 2( ; ) ln( 2 )f x y x sen y j) xyxyxf 1; 2
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Respuestas:
b) 0;0;
2;
2
yx
zz
c) 2
3;
2
3
3;
3;
yx
zz
d) 22
3)1;3( xZ ; 2
2
3)1;3( yZ
e) senyx
yf
senyx
xf yx
2
cos2;
2
222
f) 22222222 ln
;ln yxyx
yf
yxyx
xf yx
g) 22222 2.4;2.22 yxsenxyfxyxsenyxf yx
h) 𝑓𝑥 = 𝑦. 2𝑥𝑦 𝑙𝑛 2 − 𝑦𝑒𝑥𝑦 ; 𝑓𝑦 = 𝑥. 2𝑥𝑦 𝑙𝑛 2-x𝑒𝑥𝑦
i) 22
22
22
22 2;
2
yx
yyxxf
yx
yxyxf yx
j) 1ln1;11
21ln 222
2
22
xxxfx
x
yxxyf
xy
y
xy
x
CANTIDAD DE DERIVADAS PARCIALES
Una función de varias variables tiene tantas derivadas parciales primeras como cantidad
de variables tiene la función.
Ej. Si tenemos una función de 2 variables, entonces tiene dos derivadas parciales
primeras.
Generalizando lo anterior, podemos decir, que una función con m variables tiene m
derivadas parciales primeras.
Las derivadas parciales primeras de una función de dos variables son a su vez funciones
de las mismas variables, (cumpliendo las condiciones exigidas), por lo tanto se pueden
volver a derivar respecto de esas mismas variables dando así origen a las derivadas
parciales sucesivas.
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► Ejemplo: Si tenemos una función de 2 variables, entonces:
Función Derivadas de
primer orden
Derivadas de
segundo orden2
Derivadas de orden n
yxf ;
xf
yf
2
2
x
f
x
ff x
xx
yx
f
y
ff x
xy
2
xy
f
x
ff
y
yx
2
2
2
y
f
y
ff
y
yy
Observamos que de
un orden al siguiente
se duplica la cantidad
de derivadas.
Por tener 2 variables
las derivadas de orden
n que obtendríamos,
serían el doble de las
derivadas de orden n-
1
Cantidad de
derivadas 2 =
12 4 =2.12 =
22 2. nn 22 1
Generalizando:
Si una función tiene m variables, entonces, la cantidad total de derivadas de orden n es
nm , ya que por cada orden de derivación se obtienen m nuevas derivadas a partir de las
del orden anterior.
► Ejemplo: ¿Cuántas derivadas de orden 4 tiene una función de 3 variables?
n = 4 (orden); m =3 (cantidad de variables)
Cantidad total de derivadas de orden n = nm
Cantidad total de derivadas de orden 4 = 8134
2Se llaman derivadas directas a 2
2
x
ff xx
;
2
2
y
ff yy
y cruzadas a
yx
ff xy
2
; xy
ff yx
2
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DERIVADAS CRUZADAS. (TEOREMA DE SCHWARZ)
Sea ( ; )z f x y una función de dos variables con derivadas parciales primeras continuas
y también existe al menos una derivada cruzada respecto de x o de y continua en el
entorno de un punto interior del dominio, entonces existe y es igual la derivada parcial
cruzada respecto de y o de x
Sea ( ; )z f x y , si existen xz , yz y xyz entonces existe y es igual a yxz
(Todo esto debe ocurrir con las condiciones indicadas anteriormente)
► Ejemplo:
Dada xyz calcular sus derivadas primeras, segundas y las cruzadas en (2; 1).
Verificar el Teorema de Schwarz.
Derivando respecto de “x” , “y” actúa como constante :
yyz x
x ln 01;2 xz ⟹ 0.ln.ln xx
xx yyyyz ∴ yyz x
xx
2ln
01;2 xxz
Y además 1ln1 yxyz x
yx 11;2 yxz
Derivando respecto de “y” , “x” actúa como constante :
1x
y yxz 21;2 yz ⟹
211;2
2
yy
x
yy zyxxz
“y” actúa como constante ⟹ 1ln1 yxyz x
xy 11;2 xyz
Como yxxy zz se verifica el Teorema de Schwarz.
Ejercicio 3. Dadas las siguientes funciones calcular sus derivadas primeras, segundas y
las cruzadas en los puntos indicados.
a) 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 𝑦3 − 𝑥4 en (1;2) b) 𝑧 = (𝑥 + 1)2 − (𝑦 − 2)2 en (2;2)
c) 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦 en (1;3) d) 𝑧 =𝑥+𝑦
𝑥−𝑦 en (2;3)
e) 𝑧 =𝑥2
𝑥−𝑦2 en (3;-1) f) 𝑧 = √ln (𝑥 − 𝑦) en (4;-1)
g) 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥 − 𝑦) en (𝜋
2; 𝜋) h) 𝑧 = 2𝑦 tan (𝑥) en (
𝜋
4;
𝜋
3)
i) 𝑧 = 𝑥5(𝑦 − 3)2 en (1;1) j) 𝑧 = 𝑙𝑛 (𝑥+𝑦
𝑥−𝑦) en (5;4)
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Respuestas:
a)
342 xxyzx 02;1 xz 22 3yxz y 𝑧𝑦(1;2) = 13
2122 xyzxx 82;1 xxz 126
2;1 yyyy zyz
𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = 2𝑥 𝑧𝑥𝑦(1;2) = 𝑧𝑦𝑥(1;2) = 2
b)
c)
d)
2
2
yx
yzx
63;2 xz 2
2
yx
xz y
43;2 yz
34
yx
yz xx
123;2 xxz
8
43;23
yyyy zyx
xz
32
yx
yxzz yxxy
103;23;2 yxxy zz
12 xzx 62;2 xz 22 yz y 02;2 yz
2xxz 22;2 xxz 22
2;2 yyyy zz
𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = 0 𝑧𝑥𝑦(2;2) = 𝑧𝑦𝑥(2;2) = 0
yx
xzx
2
2
13;1 xz
yxz y
22
1
4
13;1 yz
32 yx
yz xx
8
33;1 xxz
32
1
4
13;1
2
32
yyyy zyxz
322 yx
xzz yxxy
16
13;13;1 yxxy zz
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e)
22
22 2
yx
xyxz x
4
31;3 xz
22
22
yx
yxz y
2
91;3 yz
32
42
yx
yz xx
4
11;3 xxz
2
27621;332
223
yyyy zyx
yxxz
32
34
yx
xyzz yxxy
2
31;31;3 yxxy zz
f)
12
1
ln2
1
yxyxzx 5ln10
11;4 xz
12
1
ln2
1
yxyxz y 5ln10
11;4
yz
2lnln4
1 122
1
yxyxyxz xx
2lnln4
1 122
1
yxyxyxz yy
2lnln4
1 122
1
yxyxyxzz yxxy
g)
yxsenyxxz cos2
0;
2
xx
z
yxsenyxyz cos2 0;
2
y
z
yxyxsenxxz 2
cos22
2 2;
2
xx
z
yxyxsenyyz 2
cos22
2 2;
2
yy
z
yxyxsenyxzxyz 2
cos22
2
2;
2
xy
z
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h)
xyxyxz2
cos22
sec2
3
4
3;
4
x
z
tgxz y 2 2
3;
4
y
z
xtgxyxxsenyzxx
23 sec4cos4
3
8
3;
4
xx
z
0yyz 0
3;
4
yy
z
xzz yxxy
2sec2 4
3;
4
xy
z
i)
2435 yxzx 201;1 xz
32 5 yxz y 𝑧𝑦(1;1) = −4
23 320 yxzxx 801;1 xxz 22
1;1
5 yyyy zxz
310 4 yxzz yxxy 201;11;1 yxxy zz
j)
22
2
yx
yzx
9
84;5 xz 22
2
yx
xz y
9
104;5 yz
222
4
yx
xyzz yyxx
81
804;54;5 yyxx zz
222
22
)(
2
yx
yxzz yxxy
81
82 yxxy zz
Ejercicio 4. Dada xy
zx y
demostrar que 2 22 0xx xy yyx z xyz y z
Ejercicio 5. Dada ( cos )tz e sen x y demostrar que xx yy
zz z
t
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Aplicaciones económicas: Derivadas parciales.
Función económica marginal parcial: Es la derivada parcial de la función económica con
respecto a la variable considerada. Expresa la variación aproximada de la función
económica a partir de determinadas condiciones iniciales cuando se incrementa en una
unidad la variable considerada manteniéndose las restantes variables constantes.
Elasticidad parcial: La elasticidad parcial de una función con respecto a una variable
expresa en que porcentaje varía aproximadamente dicha función a partir de las
condiciones iniciales dadas, cuando solamente la variable considerada se incrementa en
un 1%. Sea una función U=U(x; y) entonces su fórmula es:
00 0
0
( ; )xEU U
x yEx U x
0
0 0
0
( ; )yEU U
x yEy U y
Clasificación de bienes: Consideremos dos bienes A y B, cuyos precios son p y q
respectivamente y r es la renta o ingreso del consumidor. Además 𝑥 = 𝑓(𝑝;𝑞;𝑟) es la
función demanda correspondiente al bien A y 𝑦 = 𝑔(𝑝;𝑞;𝑟) es la función demanda del
bien B. Con los signos de las demandas marginales con respecto al propio precio, al
precio del otro bien o a la renta del consumidor podemos clasificar a dichos bienes como
se indica a continuación:
Consideremos ( ; ; )x f p q r (Podríamos haber elegido la otra función demanda, pues
la clasificación es análoga)
a) Derivando con respecto al propio precio del bien x
p
, se la llama “demanda
marginal directa” y clasifica al bien correspondiente:
Si 0x
p
el bien es “típico”
Si 0x
p
el bien es “Giffen”
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Si 0x
p
la demanda no está afectada por el precio del bien
b) Derivando con respecto al precio del otro bien x
q
, se la llama “demanda
marginal cruzada” e indica la relación que existe entre los bienes considerados.
Si 0x
q
los bienes son “complementarios”
Si 0x
q
los bienes son “sustitutos” o “competitivos”
Si 0x
q
los bienes son “independientes”
c) Derivando con respecto a la renta:
Si 0x
r
el bien es “normal”
Si 0x
r
el bien es “inferior”
Si 0x
r
la demanda no está afectada por la renta del consumidor
d) Si la elasticidad parcial de la demanda con respecto a la renta tiene valor
absoluto menor que 1 se dice que es un bien “necesario”.
e) También recordemos que el valor absoluto de la elasticidad parcial de la
demanda con respecto al propio precio clasifica a la demanda de la siguiente
manera:
1Ep
Ex la demanda es inelástica
1Ep
Ex la demanda es unitaria
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1Ep
Ex la demanda es elástica
Sugerimos ver los siguientes videos:
https://www.youtube.com/watch?v=z8ZDOpdLatw
https://www.youtube.com/watch?v=-F6PP5Vloeg
Ejercicio 6. Las funciones demandas de dos bienes A y B son “x” e “y” respectivamente
y los respectivos precios son p y q, sus ecuaciones son:
3
25 2
qx y p q
p
Se pide:
a) Calcular todas las demandas marginales (directas y cruzadas) correspondientes para
valores genéricos de los precios.
b) Clasificar como es cada bien y cuál es la relación que existe entre dichos bienes
justificando cada respuesta.
Respuestas:
a) 3
3 2 23
2 1) ; ; 5 ; 2
3
qx x y ya
p p q p qp q
b) El bien A es típico pues 0x
p
El bien B es típico pues 0y
q
Los bienes son sustitutos pues las demandas
marginales cruzadas son positivas.
Ejercicio 7. La función demanda de un bien “típico” está relacionada con el precio del
mismo y el de otro bien por la función. 2
2
1
5
2
pD
p
Se pide:
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a) ¿Los bienes son sustitutos o complementarios? Justificar.
b) Hallar el valor de la elasticidad de la demanda con respecto al precio del bien cuando
1 21 4p y p e interpretar con sentido económico dicho valor.
c) ¿Cómo resultó la demanda según el valor obtenido en el punto b)? Justificar.
Respuestas:
a) Los bienes son sustitutos pues2
0D
p
b) |𝜕𝐷
𝜕𝑝1(1; 4)| = −
2
3por lo tanto la demanda varía disminuyendo en aproximadamente
un0,66% cuando a partir de 1 21 4p y p se incrementa 𝑝1 en un 1%
manteniéndose 2p constante.
c) La demanda resultó inelástica pues 1
1ED
Ep
Ejercicio 8. Las demandas de dos bienes típicos A y B están relacionadas con los precios
p y q de dichos bienes y la renta r, las respectivas funciones son:
206,04 rpqx 165,05,13 rqpy
Se pide:
a) ¿Qué variables representan los precios de cada bien? Justificar.
b) ¿Son bienes “competitivos” o “complementarios”? Justificar.
c) Calcular la demanda marginal del bien A con respecto a su precio si p=2, q=3 y r=4.
Interpretar el resultado económicamente.
d) Clasificar a cada bien como “normal” o “inferior” justificando la respuesta.
e) ¿El bien A es “necesario”? Utilizar las condiciones iniciales dadas en el punto c).
f) Calcular la elasticidad de la demanda del bien B con respecto a su precio, en las
condiciones iniciales dadas en el punto c) e interpretar el resultado
económicamente. ¿Cómo resultó la demanda de B? Justificar.
Respuestas:
a) Como, por dato, los bienes son típicos cada demanda marginal con respecto a su
propio precio debe resultar negativa, entonces:
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1 0 " "x
pp
es el precio de A ""05,1 q
q
y
es el precio de B
b) 4 0x
q
como esta demanda marginal cruzada resultó positiva significa que los
bienes son sustitutos o competitivos.
c) (2;3;4) 1x
p
este resultado expresa que la demanda de A disminuye
aproximadamente en una unidad cuando a partir de p=2, q=3, r=4 se incrementa p
en una unidad monetaria manteniéndose las restantes variables constantes.
d) 06,0
r
x este resultado expresa que el bien A es “inferior”
0,5 0y
r
este resultado expresa que el bien B es “normal”
e) 𝐸𝑥
𝐸𝑟(2; 3; 4)| = 0,087 < 1 esto significa que el bien A es necesario.
f) 𝐸𝑦
𝐸𝑞(2; 3; 4) = −0,23este resultado expresa que la demanda de B disminuye
aproximadamente en un 0,23% cuando a partir de p=2, q=3, r=4 se incrementa q en
un 1% manteniéndose las restantes variables constantes.
Como 1Ey
Eq la demanda de B resultó inelástica.
Ejercicio 9. La demanda de dos bienes Giffen A y B están relacionados con los precios p
y q y la renta del consumidor r según la función 𝐷𝐴 =𝑞.𝑟
𝑝2 𝐷𝐵 =𝑝.𝑟
𝑞2+4 siendo p=2, q= 8 y
r= 3. Calcular la elasticidad de la demanda de cada bien con respecto a su precio
interpretando el resultado obtenido económicamente.
Respuesta: 1Eq
EDA 1Ep
EDB
Como las elasticidades son unitarias significa que a partir de las condiciones iniciales
p=2, q= 8 y r= 3 si cada una de las variables que representa los precios, de a una por vez,
aumentan un 1% la función demanda aumenta en la misma proporción.
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Ejercicio 10. Las demandas de dos bienes en funciones de sus precios son 2
1
10p
qD
y qpD 461002 . Sabiendo que el primer bien es bien es típico y el segundo es
Giffen, calcular la elasticidad con respecto a su precio en cada caso, sabiendo que p=2 y
q=3.
Respuesta: 11
5)3;2(1
Eq
ED 12,0)3;2(2
Ep
ED
FUNCIÓN DIFERENCIABLE
Una función de dos variables es diferenciable en el punto ( 0 0;x y ) si y solo si el
incremento 0 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; )z f x x y y f x y de la misma en las vecindades de
dicho punto se puede expresar como una combinación lineal de los incrementos de las
variables, más un infinitésimo3 de orden superior al primero comparado con
2 2( ) ( )x y cuando 0;0; yx .
);( 00000 yxyBxAZ
Se llama diferencial total de una función diferenciable al infinitésimo principal de
( ; )z A x B y x y luego 0 0 0dz A x B y
Tomando las funciones 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 en un caso y 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑦 en otro, se llega a
comprobar que dx x y dy y . De igual manera es posible demostrar (hecho en
las propiedades de funciones diferenciables) que las constantes A y B resultan ser las
derivadas de la función respecto de las variables x e y respectivamente.
Nosotros usaremos a los efectos prácticos: ( ; ) ( ; )x ydz f x y dx f x y dy
Propiedades de las funciones diferenciables
Toda función diferenciable en un punto es continua y derivable en ese punto. En
Matemática II la derivabilidad no alcanza para garantizar la continuidad de una función,
es necesario la diferenciabilidad.
3 Se llama infinitésimo a una función que tiende a cero cuando la variable tiende a un valor finito o a
infinito.
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Por ejemplo la siguiente función es derivable y no es continua en el origen:
2 2
2( ; ) (0;0)
( ; )
0 ( ; ) (0;0)
xysi x y
x yf x y
si x y
Esta función no es continua en el origen, sin
embargo si aplicamos la definición de derivada parcial en el origen obtenemos
x yf y f .
Habíamos dicho en el párrafo anterior que toda función diferenciable en un punto es
continua en ese punto. Para que sea continua a incrementos infinitesimales de las
variables corresponden incrementos infinitesimales de la función. En caso de ser una
función diferenciable el incremento de la función en el punto en cuestión se puede
escribir así: 1 2z A x B y x y si ( ; ) (0;0)x y es evidente que cada
término de la expresión anterior tiende a cero, con lo cual la suma también tiende a
cero, entonces 0z y la función es continua.
También habíamos dicho que si una función es diferenciable en un punto es derivable
en ese punto. Si la función de dos variables z = f (x;y) es diferenciable en el punto (xo;yo)
el incremento de la función en el entorno de ese punto se puede escribir como:
1 2z A x B y x y con 1 20 0 0 0si x si y
Probaremos muy fácilmente que en la expresión (a) 1 2z A x B y x y que
A es la derivada parcial de Z respecto de x. Calculemos la derivada parcial de Z respecto
de la variable x obviamente la y = cte. y en consecuencia 0y
1 2xz A x B y x y
1 20 0xz A x B x
1xz A x x
Dividimos ambos miembros por x para formar el cociente incremental
11
xz xA xA
x x x
Tomando límite en ambos miembros para 0x nos queda
10 0
lim lim ( ) 0x
x x
zA A A
x
⇒
0lim x
x
zA
x
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Ya que en el primer miembro tenemos la definición de derivada parcial de la función z
respecto de x, esta igualdad nos indica que A es su derivada.
Dejamos para el estudiante la demostración de que en la expresión (a) B, es la derivada
parcial de la función z respecto de la variable y.
Sugerimos ver los siguientes videos antes de resolver los ejercicios:
https://www.youtube.com/watch?v=UTNSNGy0PGs
https://www.youtube.com/watch?v=mUNtw3K5mGM
Ejercicio 11. Calcular el incremento de las funciones según los datos.
(Tomar la parte entera como el punto inicial y la parte decimal como incremento. Ver
ejemplo descriptivo del ejercicio a)
a) 2 (1,01 ; 2,02)z x y en 0 01 2 0,01 0,02x y x y
b) 32 ( 2,03 ; 1,02)z x y en
c) 3yxz en (1,02 ; 3;01)
d) (2,99 ; 1,99)z x y en
e) 3 (1,09 ; 1)z xy en
Ejercicio 12. Calcular el incremento aproximado (utilizando diferenciales) de las
funciones del punto 11 y comparar los resultados.
Respuestas. Ejercicio 11. Ejercicio 12.
a) b) c) d) e)
11 0904,0f 75,0f 4508,1f 004477,0f 02914,0f
12 09,0df 74,0df 44,1df 004472,0df 03,0df
Comparando, se concluye que dff ; o sea, se verifica que dff
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Ejercicio 13. Calcular el valor aproximado utilizando diferenciales. )( 01 dzzz
a) 2 22,99 4.01
Fabricar la función 2 2
1 1 1 1 0 1 0z x y siendo x x x y y y
2,99 = 3 - 0,01 y 4,01= 4 + 0,01; dejando claro que dyydxx
b) 3ln( ) ( )e e tomar e con tres decimales
c)
yx
yxz ln en (5; 4) (el estudiante deberá descomponer el entero)
d) 2 ( 1,23 ; 3,01 )z x y en
NOTA: La aproximación depende de la función utilizada, del punto elegido y del
incremento.
Respuestas:
a) 5,002
b) 2,9314
c) 2,195
d) 2,118
4)Bibliografía:
Gimeno, C. et al, (2019) Matemática II para Ciencias Económicas, Editorial
Universidad Nacional de La Matanza.
Centro de estudiantes UNLaM: Apuntes teóricos y Guía T.P.
Allen R. G. D. Análisis Matemático para Economistas.
Chiang Alpha. Métodos fundamentales de Economía Matemática
Dowling, E. Matemáticas Para Economistas.
Weber, J. Matemática para Administración y Economía.
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Actividad pedagógica: Durante la clase se desarrollarán las siguientes
actividades:
Lectura de los documentos provistos y resolución de ejercitación. Estos
documentos incluyen: Definición de derivada parcial, interpretación geométrica,
derivada de primer y segundo orden y derivada cruzada. Aplicaciones a la
Economía.
Simultáneamente, se contestarán dudas y repreguntas a través del foro de la
plataforma, durante el horario de clase correspondiente a cada comisión.
6. Material complementario de la clase:
Para pensar 1: El diferencial total de una función diferenciable en un punto nos permite
calcular de forma exacta el incremento de la función al pasar de un punto a otro de su
dominio.
Para pensar 2: Si la demanda marginal cruzada resultó positiva significa que los bienes
son complementarios.
Para pensar 3: Dado un bien si 𝜕𝑦
𝜕𝑟= 0,3 ¿qué tipo de bien resulta?
Respuestas
Para pensar 1: F. El diferencial nos permite calcular el valor aproximado de la función.
Para pensar 2: F. Si la demanda marginal cruzada resultó positiva significa que los bienes
son sustitutos o competitivos
Para pensar 3: V 𝜕𝑦
𝜕𝑟= 0,3 > 0 este resultado expresa que el bien B es “normal”
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