TRABAJO ESPECIAL DE GRADO
DETECCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE
DISCONTINUIDADES DE MATERIALES POR MEDIO DE
VARIACIÓN DE LAS FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE
UN SISTEMA
Presentado ante la Ilustre
Universidad Central de Venezuela
Por los Bachilleres:
Agelvis S., Adrian E.
Bello P., Italo M.
Para optar al
Título de Ingeniero Mecánico
Caracas, 2010.
TRABAJO ESPECIAL DE GRADO
DETECCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE
DISCONTINUIDADES DE MATERIALES POR MEDIO DE
VARIACIÓN DE LAS FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE
UN SISTEMA
TUTOR ACADEMICO: Prof. Chitty José.
Presentado ante la Ilustre
Universidad Central de Venezuela
Por los Bachilleres:
Agelvis S., Adrian E.
Bello P., Italo M.
Para optar al
Título de Ingeniero Mecánico
Caracas, 2010.
AGRADECIMIENTOS
A DIOS creador de todas las cosas.
A la Universidad Central de Venezuela por formarnos a nivel personal y
profesional.
A nuestros tutores José Chitty y Carlos Gonzales por la ayuda brindada en pro
de la realización de este proyecto.
Al LABSI, LABES, Lab. Metalografía por abrir sus puertas a la realización de
este proyecto.
A los profesores Cesar Cardenas y Lebjulet Braganti, a nuestros compañeros
Daniel Woodard, Samuel Pardi, Cesar Flores, Rómulo y todos aquellos que de
una u otra forma nos ayudaron a formarnos en nuestra carrera.
A mi MADRE Itala J.Prada A., mis hermanos Nelson Bello y Bernardo Bello
por ser los pilares de mi vida ayer, hoy y siempre y a quien debo este logro.
A mi abuela Luisa y mis tíos Reinaldo, Felipe y Luisa por su ayuda y
disposición durante mi carrera.
A mis hermanos del universo Adrian, Víctor Almerida, María Grazia, Josmary,
Shiny, Jesús, Jhon, Félix, Tito, Luigi, por la ayuda ofrecida siempre.
A mis padres Lesbia y Kléber por el apoyo siempre incondicional.
A Ana M. Pardo por su gran ayuda, disposición y colaboración en este
pequeño proyecto.
A Laurinda Duarte por sus sabios consejos y por toda la ayuda brindada.
A Italo por su confianza y por ser excelente compañero. Un hermano más.
A mis familiares, amigos y compañeros que estuvieron involucrados, dando su
apoyo moral, espiritual y afectivo desde las gradas. Gracias a tod@s.
Dedico este y todos mis logros especialmente a Itala J. Prada A. mi madre por
abandonar sus estudios y entregar su esfuerzo pleno a dar vida al sueño de
formar lo que hoy soy, a mis hermanos Junior Bello y Bernardo Bello por ser
objeto de admiración en mi vida para que sirva de ejemplo de mis mayores
esfuerzos por ser una excelente familia. A mi abuela por siempre creer en mí y
darme apoyo al igual que mis tíos. A mis amigos de siempre Ricardo Wilinski y
Juan Aponte en memoria de los viejos tiempos en donde soñamos con lo que
gracias a dios hoy estoy consiguiendo. A mis amigos de casa para que sirva de
inspiración a sus proyectos de vida. A la ciencia para que sirva como un
pequeño aporte en beneficio y crecimiento de la humanidad.
Italo M. Bello P.
Dedico a:
Mis padres Lesbia y Kléber por su amor, por la paciencia y por ser soportes
incondicionales a lo largo de mi vida, de mi formación personal y profesional.
A mis hermanos Kléber y Kami, a mis tíos Sandra y Deme, por todo el apoyo y
por estar siempre ahí. A Ana por ser mi compañera a lo largo de este trayecto y
por superar muchos obstáculos juntos. A mi hermano del alma Alberto, esto
también es para ti, he de decirte que si se puede. A mi familia de CDC, a mis
hermanos de Mereketengue y a mis hijos Aseres, sin ustedes este recorrido no
hubiese sido igual. A todos aquellos que de alguna manera u otra han sido
parte de mi vida y han hecho de mi la persona que soy hoy en día.
Adrián E. Agelvis Sanz
Agelvis S. Adrian E. y Bello P. Italo M.
DETECCIÓN Y CARACTERIZACIÓN DE DISCONTINUIDADES
DE MATERIALES POR MEDIO DE LA VARIACION DE LAS
FRECUENCIAS DE RESONANCIA DE UN SISTEMA.
Tutor Académico: Prof. Chitty José.
Tesis. Caracas, U.C.V. Facultad de Ingeniería. Escuela de Ingeniería
Mecánica
Palabras Clave: Resonancia, Frecuencias, Discontinuidad, Ensayos.
Se estudio la posibilidad de detección de discontinuidades en vigas de acero
basándose en métodos dinámicos, en particular el método de resonancia y el
método de percusión, en este sentido se hizo uso de sendos transductores
piezoeléctricos para la detección y generación de ondas mecánicas así como
también un sistema de martillo micrófono para el caso del método de percusión.
Los ensayos se realizaron sobre pequeñas vigas de dimensiones 10x10x100 mm
de acero ASTM A36. Las frecuencias fundamentales y los primeros armónicos
de vibración del las vigas fueron obtenidos para luego ver la influencia de
distintas discontinuidades sobre ellas. Entallas de diversas profundidades y/o
ubicación fueron obtenidas por electroerosión. Se observó, una buena
correlación entre los resultados experimentales y las frecuencias naturales de
oscilaciones transversales calculadas por métodos analíticos. También se
observaron diferencias entre las frecuencias de oscilación de las vigas libres de
discontinuidades con las que presentaban las entallas de electroerosión, estos
resultados permitieron detectar entallas tan pequeñas como de 0.33 mm de
profundidad. Estos hechos conllevan a considerar el método de vibraciones
mecánicas como una posible vía de detección temprana de discontinuidades.
ÍNDICE
Índice General
ÍNDICE GENERAL
INTRODUCCIÓN ........................................................................................... 1
CAPITULO I ................................................................................................... 3
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ...................................................... 3
1.1 - Planteamiento del problema y motivación ......................................... 3
1.2 – Objetivos.......................................................................................... 5
1.2.1 - Objetivo General ........................................................................ 5
1.2.2 - Objetivos Específicos ................................................................. 6
1.3 - Alcance............................................................................................. 6
1.4 – Antecedentes .................................................................................... 6
CAPITULO II ................................................................................................ 12
MARCO TEÓRICO ................................................................................... 12
2.1 - Resonancia ..................................................................................... 12
2.1.1 - Reseña histórica ....................................................................... 13
2.1.2 - Frecuencia fundamental de resonancia ...................................... 19
2.1.3 - Determinación de la frecuencia fundamental y sus armónicos ... 19
2.1.4 - Determinación del valor de las frecuencias armónicas .............. 24
2.2 - Teoría general de vibraciones.......................................................... 28
2.2.1 – Tipos de vibraciones ................................................................ 29
2.2.1.1 - Vibraciones libres no amortiguadas .................................... 29
2.2.1.2 - Vibraciones libres amortiguadas ......................................... 32
ÍNDICE
Índice General
2.2.1.2.1 - Movimiento sub-amortiguado ...................................... 35
2.2.1.2.2 -Movimiento críticamente amortiguado.......................... 35
2.2.1.2.3 -Movimiento sobre-amortiguado .................................... 36
2.2.1.3 - Vibración forzada............................................................... 36
2.2.2 - Vibraciones en medios continuos.............................................. 38
2.2.2.1 - Vibraciones longitudinales en vigas ................................... 39
2.2.2.2 - Vibraciones laterales en vigas ............................................ 40
2.2.2.3 - Vibraciones torsionales en vigas......................................... 40
2.2.3 - Instrumentos para medir vibraciones ........................................ 42
2.3 Teoría de ondas ................................................................................. 44
2.3.1 - Tipos de ondas y sus características .......................................... 45
2.3.1.1 - Interferencia ....................................................................... 47
2.3.1.2 - Ondas estacionarias ............................................................ 48
2.3.1.3 - Difracción .......................................................................... 50
2.3.2 - Ecuación de onda ..................................................................... 51
2.3.2.1 - Ecuación diferencial para ondas transversales en vigas ....... 51
2.4 - Procesos de maquinado ................................................................... 55
2.4.1 - Definición de maquinado .......................................................... 55
2.4.2 - Condiciones de corte ................................................................ 56
2.4.2.1 - Velocidad de corte ............................................................. 56
2.4.2.2 - Profundidad de corte .......................................................... 56
2.4.2.3 - Avance ............................................................................... 57
ÍNDICE
Índice General
2.4.3 - Tipos de operaciones de maquinado ......................................... 57
2.4.3.1 - Torneado ............................................................................ 58
2.4.3.2 - Taladrado ........................................................................... 59
2.4.3.3 - Fresado .............................................................................. 60
2.4.3.4 - Cepillado ........................................................................... 61
2.5 - Electroerosión ................................................................................. 62
2.5.1 - Descripción del proceso............................................................ 62
2.5.2 - Ventajas de la electroerosión .................................................... 65
2.5.3 - Desventajas de la electroerosión ............................................... 65
2.5.4 - Aplicación de la electroerosión ................................................. 66
2.6 - Instrumentación y control ............................................................... 66
2.6.1 - Reseña histórica ....................................................................... 66
2.6.2 - Definiciones de control ............................................................. 68
2.6.2.1 - Campo de medida .............................................................. 69
2.6.2.2 - Alcance .............................................................................. 69
2.6.2.3 - Error .................................................................................. 69
2.6.2.4 - Precisión ............................................................................ 70
2.6.2.5 - Sensibilidad ....................................................................... 70
2.6.2.6 - Repetibilidad ...................................................................... 70
2.6.2.7 - Histéresis ........................................................................... 71
2.6.3 - Clasificación de la instrumentación .......................................... 71
2.6.3.1 - En función del instrumento ................................................ 71
ÍNDICE
Índice General
2.6.3.1.1 - Instrumentos ciegos ..................................................... 71
2.6.3.1.2 - Instrumentos indicadores ............................................. 72
2.6.3.1.3 - Instrumentos registradores ........................................... 72
2.6.3.1.4 - Transmisores ............................................................... 72
2.6.3.1.5 - Transductores .............................................................. 72
2.6.3.1.6 - Receptores ................................................................... 73
2.6.3.1.7 - Controladores .............................................................. 73
2.6.3.2 - En función de la variable del proceso ................................. 73
2.7 - Teoría de la flexión ......................................................................... 74
2.7.1 - Esfuerzo normal en flexión ....................................................... 76
2.7.2 - Módulo de Young..................................................................... 81
2.7.3 - Concentración de esfuerzos ...................................................... 82
2.8 - Ensayos No Destructivos (END) ..................................................... 86
CAPITULO III .............................................................................................. 87
METODOLOGÍA EXPERIMENTAL ........................................................ 87
3.1 – Etapas del proceso .......................................................................... 87
3.1.1 – Diseño de las probetas ............................................................. 88
3.1.2 – Fabricación de las probetas ...................................................... 90
3.1.3 – Inducción de las discontinuidades ............................................ 94
3.1.4 – Caracterización de las probetas ................................................ 97
3.1.5 – Estudio de frecuencias de resonancia ....................................... 99
CAPITULO IV ............................................................................................ 108
ÍNDICE
Índice General
RESULTADOS Y ANÁLISIS ................................................................. 108
4.1 – Resultados y análisis .................................................................... 108
4.1.1 - Cálculo de las frecuencias teóricas de las probetas .................. 108
4.1.2 - Obtención de las frecuencias de resonancia experimentales .... 114
4.1.3 - Análisis de barras con discontinuidad en X = 0,5L (punto medio
de la barra) ........................................................................................ 117
4.1.3.1 - Frecuencia fundamental ( 4000 Hz) ............................. 117
4.1.3.2 – 2do Armónico ( 12000 Hz) ......................................... 121
4.1.3.3 – 3er Armónico ( 23000 Hz) .......................................... 123
4.1.3.4 – 4to Armónico ( 36000 Hz) .......................................... 125
4.1.3.5 – 5to Armónico ( 59000 Hz) .......................................... 127
4.1.4 - Análisis de barras con discontinuidades en X = 0,224L ......... 131
4.1.4.1 – Gráfica de porcentaje de variación de las frecuencias (% en
función del modo de vibración) entre una probeta patrón y una probeta
con una entalla en X = 0,224L ....................................................... 137
4.1.4.2 – Gráfica de porcentaje de variación de las frecuencias (% en
función del modo de vibración) entre una probeta con una entalla y
una probeta con dos entallas en ...................................................... 139
4.1.4.3 – Gráfica de porcentaje de variación de las frecuencias (% en
función del modo de vibración) entre una probeta patrón y una probeta
con dos entallas en X = 0,224L ...................................................... 140
CONCLUSIONES ....................................................................................... 142
RECOMENDACIONES .............................................................................. 143
ÍNDICE
Índice General
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 144
Fuentes Electrónicas ................................................................................. 145
ÍNDICE
Índice de Figuras
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Frecuencia fundamental o primer armónico ..................................... 20
Figura 2. Longitud de onda y longitud de cuerda ............................................ 21
Figura 3. Segundo armónico .......................................................................... 22
Figura 4. Tercer armónico .............................................................................. 23
Figura 5. Vibración libre no amortiguada ....................................................... 29
Figura 6. Movimiento sub-amortiguado. ........................................................ 35
Figura 7. Tipos de amortiguamiento ............................................................... 36
Figura 8. Efectos de vibraciones torsionales ................................................... 42
Figura 9. Características de la onda ................................................................ 47
Figura 10. Interferencia .................................................................................. 48
Figura 11. Onda estacionaria .......................................................................... 49
Figura 12. Difracción ..................................................................................... 50
Figura 13. Esquema de vibración transversal .................................................. 51
Figura 14. Torno convencional ....................................................................... 58
Figura 15. Taladro.......................................................................................... 59
Figura 16. Fresadora ...................................................................................... 61
Figura 17. Fresado frontal .............................................................................. 61
Figura 18. Fresado periférico ......................................................................... 61
Figura 19. Cepilladora.................................................................................... 62
Figura 20. Electroerosión primera etapa ......................................................... 62
Figura 21. Electroerosión segunda etapa ........................................................ 63
Figura 22. Electroerosión tercera etapa........................................................... 63
Figura 23. Electroerosión cuarta etapa ............................................................ 64
Figura 24. Electroerosión quinta etapa ........................................................... 64
ÍNDICE
Índice de Figuras
Figura 25. Electroerosión sexta etapa ............................................................. 65
Figura 26. Viga en flexión.............................................................................. 74
Figura 27. Esfuerzo normal en flexión ........................................................... 77
Figura 28. Vista plana flexión ........................................................................ 77
Figura 29. Planos de esfuerzos ....................................................................... 80
Figura 30. Concentración de esfuerzos ........................................................... 83
Figura 31. Diseño de la probeta ...................................................................... 89
Figura 32. Plancha original ............................................................................ 90
Figura 33. Proceso de oxicorte ....................................................................... 91
Figura 34. Corte de la plancha ........................................................................ 91
Figura 35. Maquina cortadora ........................................................................ 92
Figura 36. Proceso de lijado ........................................................................... 93
Figura 37. Especímenes finales ...................................................................... 93
Figura 38. Maquina de electroerosión ............................................................ 94
Figura 39. Proceso de electroerosión .............................................................. 95
Figura 40. Salida del programa de automatización de electroerosión .............. 96
Figura 41. Diagrama probeta entallada x = 0,5L ............................................. 96
Figura 42. Especímenes entallados ................................................................. 97
Figura 43. Medición de discontinuidad........................................................... 98
Figura 44. Imagen por microscopio de discontinuidad .................................... 98
Figura 45. Montaje inicial .............................................................................. 99
Figura 46. Montaje final ............................................................................... 100
Figura 47. Acople de transductores .............................................................. 101
Figura 48. Detección de una frecuencia de resonancia .................................. 101
Figura 49. Diagrama probeta entallada una vez en x = 0,224L ...................... 104
Figura 50. Diagrama probeta entallada dos veces 0,224L ............................. 105
Figura 51. Esquema ensayo de percusión ..................................................... 106
ÍNDICE
Índice de Figuras
Figura 52. Foto del ensayo de percusión ....................................................... 106
Figura 53. Comparación de frecuencias teóricas y experimentales (vibración
forzada) ....................................................................................................... 113
Figura 54. Frecuencia fundamental de una probeta con entalla en X = 0,5L y d
= 0,33mm .................................................................................................... 115
Figura 55. Gráfica comparativa entre métodos experimentales ..................... 116
Figura 56. Gráfica de la frecuencia fundamental en las probetas a distintas
profundidades de entalla .............................................................................. 118
Figura 57. Gráfica en escala log-log de la frecuencia fundamental ............... 120
Figura 58. Gráfica del segundo armónico en las probetas a distintas
profundidades de entalla .............................................................................. 122
Figura 59. Gráfica en escala log-log del segundo armónico .......................... 122
Figura 60. Gráfica del tercer armónico en las probetas a distintas profundidades
de entalla ..................................................................................................... 124
Figura 61. Gráfica en escala log-log del tercer armónico .............................. 124
Figura 62. Gráfica del cuarto armónico en las probetas a distintas profundidades
de entalla ..................................................................................................... 126
Figura 63. Gráfica en escala log-log del cuarto armónico ............................. 126
Figura 64. Gráfica del quinto armónico en las probetas a distintas
profundidades de entalla .............................................................................. 128
Figura 65. Gráfica en escala log-log del quinto armónico ............................. 128
Figura 66. Gráfica de sensibilidad a la entalla .............................................. 130
Figura 67. Segundo y cuarto armónico en una barra de longitud L ............... 130
Figura 68. Comparación en la frecuencia fundamental entre probetas: patrón,
con una entalla y con dos entallas en X = 0,224L ......................................... 132
Figura 69. Comparación en el segundo armónico entre probetas: patrón, con
una entalla y con dos entallas en X = 0,224L ................................................ 133
ÍNDICE
Índice de Figuras
Figura 70. Comparación en el tercer armónico entre probetas: patrón, con una
entalla y con dos entallas en X = 0,224L ...................................................... 134
Figura 71. Comparación en el cuarto armónico entre probetas: patrón, con una
entalla y con dos entallas en X = 0,224L ...................................................... 135
Figura 72. Comparación en el quinto armónico entre probetas: patrón, con una
entalla y con dos entallas en X = 0,224L ...................................................... 136
Figura 73. Gráfica comparativa de la influencia entre una probeta patrón y una
probeta con entalla para los distintos modos de vibración ............................. 138
Figura 74. Gráfica comparativa de la influencia entre una probeta con una
entalla y una probeta con dos entallas para los distintos modos de vibración 139
Figura 75. Gráfica comparativa de la influencia entre una probeta patrón y una
probeta con dos entallas para los distintos modos de vibración ..................... 141
Figura 76. Frecuencia fundamental y quinto armónico en barra de longitud L
.................................................................................................................... 141
ÍNDICE
Índice de Tablas
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. Elementos de los armónicos ............................................................. 23
Tabla 2. Relación entre armónicos ................................................................. 27
Tabla 3. Dimensiones de las probetas ............................................................. 97
Tabla 4. Profundidades de entalla ................................................................... 98
Tabla 5. Mediciones de probeta patrón ......................................................... 102
Tabla 6. Mediciones de probeta con entalla 0,33 de profundidad .................. 102
Tabla 7. Mediciones de probeta con entalla 0,46 de profundidad .................. 103
Tabla 8. Mediciones de probeta con entalla 0,85 de profundidad .................. 103
Tabla 9. Mediciones de probeta con entalla 1,14 de profundidad .................. 103
Tabla 10. Mediciones de probeta con entalla una ve en x = 0,224L .............. 104
Tabla 11. Mediciones de probeta con dos entallas en x = 0,224L .................. 105
Tabla 12. Raíces de la ecuación ............................. 110
Tabla 13. Frecuencias teóricas de las probetas .............................................. 112
Tabla 14. Frecuencias de resonancias teóricas y experimentales ................... 113
Tabla 15. Comparación de la frecuencia fundamental, entre vibración forzada y
percusión en las probetas ............................................................................. 115
Tabla 16. Valores de la frecuencia fundamental en las probetas y la desviación
estándar de los valores para distintas profundidades de entalla ..................... 117
Tabla 17. Valores de log(d) y log( 0- ) en la frecuencia fundamental ........... 119
Tabla 18. Valores del segundo armónico en las probetas y la desviación
estándar de los valores para distintas profundidades de entalla ..................... 121
Tabla 19. Valores de log(d) y log( 0- ) en el segundo armónico................... 121
Tabla 20. Valores del tercer armónico en las probetas y la desviación estándar
de los valores para distintas profundidades de entalla ................................... 123
ÍNDICE
Índice de Tablas
Tabla 21. Valores de log(d) y log( 0- ) en el tercer armónico ....................... 123
Tabla 22. Valores del cuarto armónico en las probetas y la desviación estándar
de los valores para distintas profundidades de entalla ................................... 125
Tabla 23. Valores de log(d) y log( 0- ) en el cuarto armónico ...................... 125
Tabla 24. Valores del quinto armónico en las probetas y la desviación estándar
de los valores para distintas profundidades de entalla ................................... 127
Tabla 25. Valores de log(d) y log log( 0- ) en el quinto armónico ............... 127
Tabla 26. Frecuencias de resonancia con el parámetro de sensibilidad a la
entalla .......................................................................................................... 129
Tabla 27. Valores de la frecuencia fundamental en probetas patrón, con una
entalla y con dos entallas, y la desviación estándar de los valores ................. 131
Tabla 28. Valores del segundo armónico en probetas: patrón, con una entalla y
con dos entallas; y la desviación estándar de los valores ............................... 132
Tabla 29. Valores del tercer armónico en probetas: patrón, con una entalla y con
dos entallas; y la desviación estándar de los valores ..................................... 133
Tabla 30. Valores del cuarto armónico en probetas: patrón, con una entalla y
con dos entallas; y la desviación estándar de los valores ............................... 134
Tabla 31. Valores del quinto armónico en probetas: patrón, con una entalla y
con dos entallas; y la desviación estándar de los valores ............................... 135
Tabla 32. Porcentaje de variación de las frecuencias entre una probeta patrón y
una probeta con una entalla .......................................................................... 137
Tabla 33. Porcentaje de variación de las frecuencias entre una probeta con una
entalla y una probeta con dos entallas........................................................... 139
Tabla 34. Porcentaje de variación de las frecuencias entre una probeta patrón y
una probeta con dos entallas ......................................................................... 140
ABREVIATURAS Y SIMBOLOS
ABREVIATURAS Y SIMBOLOS
O Grados.
% Porcentaje.
Angulo de fase.
a.C Antes de Cristo.
ASTM American Society for Testing and Materials.
b Ancho de la sección transversal.
bm Ancho de la sección transversal promedio.
A Área.
Am Área promedio.
cm Centímetro.
k Constante de elasticidad del resorte.
Deformación.
ρ Densidad.
σ Desviación estándar.
X Distancia.
END Ensayos No Destructivos.
S Esfuerzo.
τ Esfuerzo cortante.
Sy Esfuerzo de fluencia.
w Espesor de la barra.
Kt Factor de concentración de esfuerzos normales.
Kts Factor de concentración de esfuerzos cortantes.
Frecuencia.
m Frecuencia media.
ABREVIATURAS Y SIMBOLOS
ωn Frecuencia natural.
F Fuerza.
h Hora.
Hz Hertz.
Kg Kilogramos.
Kgf Kilogramos de fuerza.
Kph Kilómetros por hora.
L Longitud.
λ Longitud de ondas.
MPa Mega Pascal.
m Metro.
Mph Millas por hora.
mA Miliamperio.
mm Milímetro.
min Minuto.
E Modulo de Young.
G Modulo de rigidez a esfuerzo cortante.
Modulo de sección.
Mf Momento flexionante
I Momento de inercia.
N Newton.
n Numero entero Positivo.
α Parámetro de sensibilidad a la entalla.
Tn Periodo natural de vibración.
π Pi.
d Profundidad de entalla.
ζ Razón de amortiguamiento.
ABREVIATURAS Y SIMBOLOS
SAMA Scientific Apparatus Makers Association
T Torque.
V Voltio.
INTRODUCCIÓN
INTRODUCCIÓN
La resonancia es un fenómeno natural que se presenta en los materiales
cuando estos son estimulados por vibraciones de características especiales.
Específicamente, se produce cuando estas vibraciones alcanzan niveles
naturales de vibración de los sistemas, logrando que en los mismos se
produzcan efectos a nivel macroscópicos que permiten apreciar su desarrollo.
Normalmente la aparición de este fenómeno viene asociado con
desajuste y hasta en ciertos casos con destrucción de estructuras y maquinaria,
aunque para el campo de la investigación de los materiales su comportamiento
resulta de gran provecho, ya que, es utilizado como método predictivo de
posibles fallas que no puedan ser visualizadas de manera directa, como por
ejemplo, grietas producto de la fatiga o errores de algún proceso de fabricación.
Es por esto que para el terreno de los Ensayos No Destructivos( END) es una
herramienta vital para la Ingeniería, por esto se han creado una serie de ensayos
que permitan estudiar los sistemas bajo condiciones controladas.
Existen tres tipos de ensayos de resonancia, el de excitación axial,
excitación torsional y excitación transversal, este último es el de mayor
importancia para el desarrollo del presente proyecto por poseer las cualidades y
alcances de mayor semejanza con las posibilidades y recursos disponibles.
Otro aspecto importante de este proyecto es que brinda la posibilidad de
poder incrementar los conocimientos que se poseen en el área, lo que se traduce
INTRODUCCIÓN
en que la práctica de la Ingeniería se realice de forma más eficiente y segura,
dando a la ciencia y a la humanidad un pequeño aporte que genere evolución.
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 3 ~
CAPITULO I
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
1.1 - Planteamiento del problema y motivación
Antiguamente el conocimiento de los fenómenos vibratorios tenía sus
bases en las capacidades que podía poseer el ser humano para identificar
defectos en materiales con el uso de sus sentidos, hecho que no permitía
conocer un gran porcentaje de los problemas que involucraban defectos que a
simple vista o de forma directa no eran apreciables, trayendo como
consecuencia que el uso de los materiales se diera de forma poco convencional
y empírica. Actualmente, en Ingeniería, los avances tecnológicos representan la
mayor cuota de presión, ya que día a día aumenta la velocidad de
procesamiento de datos, surge la creación de nuevos paradigmas en el ámbito
del diseño, así como también, el descubrimiento de nuevos y mejores materiales
que hacen que el análisis de los sistemas mecánicos se coloque en un orden de
vital importancia, necesario tanto en forma cualitativa como cuantitativa, aun
más en un mercado tan competitivo como éste, resultando conveniente realizar
estudios predictivos a fin de conocer el comportamiento de los sistemas ante
ciertos tipos de estimulación.
Por otra parte, se hace necesario referenciar que el carácter vibratorio de
los sistemas puede darse de dos formas, de manera libre (natural) a causa de
una perturbación inicial y no permanente, o de manera forzada como producto
de un estimulo externo permanente o de muy larga duración, inclusive del
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 4 ~
mismo sistema. Existe una condición conocida como resonancia, que se alcanza
cuando la frecuencia con la que se excita un sistema coincide con una de las
frecuencias naturales de un sistema dinámico, esta frecuencia se denomina
frecuencia de resonancia y produce como efecto principal un aumento
considerable de la amplitud y energía de vibración. Este fenómeno puede
presentar en ciertos casos características deseables, o por el contrario, en otros
puede ser totalmente perjudicial.
Resulta importante realizar un estudio de resonancia de los sistemas,
como técnica de predicción de fallas en barras de acero, estimuladas
externamente con condición de acumulación de esfuerzos de manera inducida,
para determinar su posible comportamiento de una manera estadística, y recrear
posibles escenarios que representen una situación real, a fin de conceptualizar y
definir márgenes de uso, teniendo como finalidad garantizar la capacidad de
seguridad y uso que posee el material, por todas estas razones, se realizará el
estudio de especímenes con discontinuidades de distintas profundidades,
producidas por electroerosión, variando las frecuencias de resonancia,
permitiendo la detección de fallas y caracterizar grietas en materiales por esta
vía.
El acero es uno de los elementos por excelencia que interviene en la
elaboración de elementos de máquinas, por ende se hace necesario predecir su
comportamiento ante las distintas condiciones a las cuales está sometido, como
por ejemplo ambientes corrosivos, altas temperaturas, grandes esfuerzos y
deformaciones, entre otras. Todo material o componente de máquina elaborado
de éste o cualquier otro material, presenta imperfecciones producto de sus
procesos de fabricación o bien adquiridas durante el servicio, que deben ser
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 5 ~
consideradas, a fin de garantizar que el desempeño sea el establecido en la
etapa de diseño.
Para poder garantizar de forma segura la vida útil del material, es
necesario experimentar de alguna manera las formas de detección de
generadores de fallas de dimensiones conocidas que podrían actuar como
concentradores de esfuerzos.
El Departamento de Física Aplicada del Ciclo Básico de la Facultad de
Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela, a través del Postgrado de
Física de los Ensayos no Destructivos, ha venido realizando investigaciones en
estas áreas, en particular, como es de esperarse, realizando pruebas no
destructivas para la caracterización y evaluación de materiales, hecho que da
inicio a este proyecto del cual se espera sirva como principio de inspiración a
futuros trabajos, así como también de contribución a la ciencia y la tecnología
que día a día lucha por mejorar la calidad de vida de la humanidad.
1.2 – Objetivos
1.2.1 - Objetivo General
Con el presente trabajo se persigue, analizar el comportamiento de los
materiales cuando presentan discontinuidades, utilizando un método conocido
como resonancia, con este fin, se impartirán perturbaciones vibratorias en la
estructura y se establecerán en ésta discontinuidades, elaboradas por
electroerosión, y se evaluará la influencia de estas discontinuidades sobre las
frecuencias naturales de vibración del sistema.
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 6 ~
1.2.2 - Objetivos Específicos
- Formular un marco que contenga las ecuaciones relativas al
comportamiento de las ondas estacionarias, en materiales homogéneos e
isotrópicos.
- Detectar la sensibilidad del método de resonancia al tamaño de las
entallas por comparación entre las frecuencias resonantes de la probeta
patrón con la probeta entallada.
- Verificar la idoneidad de la electroerosión como proceso de conformado
de las probetas para los fines propuestos.
- Comparar los efectos causados en el material a partir de la variación de
las frecuencias de vibración, en especímenes con y sin entallas
(concentradores de esfuerzo).
1.3 - Alcance
Estudio de factibilidad para la caracterización de grietas en estructuras
mediante la evaluación de las frecuencias de resonancia en vigas.
1.4 – Antecedentes
A continuación se describen algunos trabajos antes desarrollados en el
área, dentro de los cuales se encuentran los realizados por la Escuela de
Ingeniería Mecánica de la Universidad Central de Venezuela, así como algunos
a nivel nacional e internacional:
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 7 ~
Dettin Rubiños, Mario, Determinación analítica y experimental de las
frecuencias naturales de vibración de un puente, (1962): el propósito principal
de esta tesis fue el desarrollo de una metodología de tipo analítica que facilitara
estudiar las distintas características que presentan las vibraciones producidas
por vehículos pesados al momento de pasar un puente, así como también, la
exactitud y validez de las aproximaciones realizadas con ensayos sobre
estructuras reales.
De forma simultánea, se investiga la influencia que tiene el factor de
impacto sobre las vibraciones comparando los resultados obtenidos con la
norma correspondiente.
Con el fin de dar mayor profundidad y alcance al trabajo, también se
realizó una extensión de los conceptos de rigidez y factor de transporte de
estructuras que se encuentran sometidas a cargas de tipo dinámicas, mediante la
utilización de los métodos de Veletsos y Newmark, para determinar las
principales frecuencias naturales de vibración en vigas continuas.
Finalmente, con este estudio se analiza la influencia o los efectos
producidos por las características vibratorias del puente sobre el sistema de
suspensión de los vehículos, al mismo tiempo que se estudia los ensayos
realizados por el “State Highway Department of Michigan” sobre el
comportamiento de 15 puentes.
León Juan, Determinación de las frecuencias naturales de vibración de
placas multicelulares, (1966): este trabajo consiste en la aplicación del método
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 8 ~
de Ritz para determinar las frecuencias naturales de vibración de una placa
sándwich rectangular, con núcleo multicelular simplemente apoyado.
En anteriores trabajos, todas las estructuras tipo sándwich con núcleos
multicelulares (tipo panal), se basaban en admitir un comportamiento isotrópico
para el núcleo no concordando los resultados con los obtenidos
experimentalmente. Basta tener presente que los módulos de corte en dirección
longitudinal y transversal son radicalmente diferente para desechar esta
hipótesis. En conclusión se ha verificado experimentalmente que estas
estructuras tienen un comportamiento elástico ortotrópico, fundamentándose
esta hipótesis en este trabajo.
Hernández Y. Carmen Rosa, Aplicación del método de elementos de
contornos en la determinación de la frecuencia natural y modos de vibración
en placa delgada, (2007): Este trabajo abordó el estudio de los fenómenos de
vibración en placa delgada tomando en cuenta la forma en que se desarrollan
las ondas a lo largo de estas estructuras a fin de “Determinar las primeras
frecuencias naturales y modos de vibración de material isotrópico”, Usando
como herramienta de trabajo el método de elementos de contorno. El principal
interés de este trabajo fue abarcar los siguientes tópicos:
- Ecuaciones relativas a la elasticidad lineal en placas delgadas de
material isotrópico.
- Ecuaciones de análisis dinámico en placas delgadas.
- Ecuaciones integrales correspondientes al método de elementos de
contorno para el caso elastodinámico bidimensional.
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 9 ~
- Desarrollo de programas que relacionan ecuaciones con primeros
valores de frecuencia natural y modos de vibración.
Y.H. Kim, S. Lee and H.C. Kim, Análisis de Modo de vibración
cuantitativos en mortero y bloques de hormigón con defectos, (1990): Las
pruebas de resonancia de impacto se llevaron a cabo en muestras de mortero y
hormigón que contenían defectos artificiales. Las frecuencias de pico observado
las pruebas de impacto de resonancia fueron identificados con los posibles
modos normales de los bloques, y la profundidad de y el tamaño de los defectos
fueron determinados por las frecuencias de resonancia de los especímenes. Los
espectros de frecuencia de los bloques de mortero y hormigón fueron similares,
sin embargo, el. Las frecuencias de punta y anchuras de los picos de la muestra
de concreto fueron ligeramente superiores y más amplias, respectivamente, que
los del bloque de mortero. El tamaño de la falla, la forma y la ubicación
determinada por los ensayos de impacto de resonancia estaban acordes con los
reales, y los resultados sugieren que el hormigón puede ser tratado como un
material homogéneo e isótropo en las pruebas de impacto de resonancia.
Ertuğrul Cam, Sadettin Orhan, Murat Lüy, Un análisis de la estructura
de la viga agrietada, utilizando el método de eco de impacto, (2004): Los
defectos influyen de manera negativa la vida útil de las estructuras. Así, la
detección de ellos incluso en un tamaño muy pequeño es un punto de vista muy
importante para garantizar la seguridad estructural y para salvar costos. El
objetivo de este estudio es obtener información sobre la ubicación y
profundidad de las grietas en las vigas. Para ello, se analizaron las vibraciones,
como resultado de los choques de impacto. Las señales obtenidas en los libres
de defectos y vigas agrietadas fueron comparadas en el dominio de frecuencia.
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 10 ~
Los resultados del estudio sugieren que para determinar la ubicación y
profundidad de las grietas por análisis de la de las señales de vibración. Los
resultados experimentales y simulaciones obtenidos por el software de ANSYS
son confiables.
Kisoo Kang, Koungsuk Kim y Hangseo Lee, Evaluación de módulo
elástico de viga en voladizo por TA-ESPI, (2006): La publicación propone una
técnica de evaluación para el módulo elástico de un rayo de voladizo por el
análisis de vibración basado en el promedio de tiempo electrónico de
interferometría de patrón de manchas (por sus siglas en inglés, TA-ESPI) y la
ecuación de Euler-Bernoulli. Enfoques generales para la medida de módulo
elástico de una película delgada (fina) son la prueba de mella (sangrado) Nano,
la prueba de Buldge, la prueba Microextensible, etcétera. Cada uno de ellos
tiene fortalezas y debilidades en la preparación del espécimen de prueba y el
análisis de resultados experimentales. ESPI es un tipo de técnica de infometría
de patrón de manchas que ofrece el no contacto, alta resolución y medidas de
todo el campo. La técnica es un método de medida común para la visualización
de modo de vibración y el desplazamiento superficial. La forma de modo de
vibración de todo el campo (la distribución de desplazamiento superficial) en la
frecuencia de resonancia puede ser visualizada por ESPI. Y la distribución de
desplazamiento máxima superficial de ESPI puede ser usada para encontrar la
frecuencia de resonancia para cada forma de modo de vibración. Y los módulos
elásticos de un material de prueba fácilmente pueden ser estimados de la
frecuencia de resonancia medida y la ecuación de Euler-Bernoulli. La técnica
de análisis de vibración TA-ESPI puede ser usada encontrar el modulo de
elasticidad de un material que requiere el proceso de preparación simple y el
análisis.
CAPITULO I
Planteamiento del Problema
~ 11 ~
J.I. Etcheverry y G.A. Sánchez, Las frecuencias de resonancia de
paralelepípedos para determinación de módulos elásticos: Un tratamiento
exacto numérico (2008): La resonancia elástica y la excitación de impulso de
vibración son técnicas estándar para determinar los módulos elásticos de
materiales, con aplicaciones importantes al cristal, metales, cerámica, rocas,
etc. La validez de las expresiones analíticas usadas para barras prismáticas es
analizada detalladamente con este trabajo solucionando numéricamente las
ecuaciones de elasticidad tridimensionales lineales, proveyendo en
valoraciones de error particulares para las fórmulas en normas ASTM. Los
resultados ayudan a escoger las dimensiones de la muestra, indicar cuáles
expresiones son mejor para usar para alcanzar algún nivel deseado de
exactitud, y proporcionar el medio de corregir los resultados obtenidos.
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 12 ~
CAPITULO II
MARCO TEÓRICO
2.1 - Resonancia
Es importante, para la investigación, tomar en cuenta el concepto de
resonancia, como un estado de operación en el que una frecuencia de excitación
se encuentra cerca o es igual de una de las frecuencias naturales de alguna
estructura. Una frecuencia natural es aquella a la que una estructura vibrará si se
excita y luego se libera. De esta manera, una estructura típica tendrá muchas
frecuencias naturales; por lo tanto, cuando ocurre la resonancia, las amplitudes
de oscilación que resultan pueden ser muy altas y pueden causar daños
rápidamente. [17]
De esta manera, en una máquina que produce un espectro ancho de
energía de vibración, la resonancia se podrá ver en el espectro en forma de pico
de manera constante aunque varíe la velocidad de la máquina. Este puede tener
forma aguda o ancha, dependiendo de la cantidad de amortiguación que tenga la
estructura para esa frecuencia. [17]
En el mismo sentido de ideas, se puede decir que el comportamiento de
un sistema resonante, cuando se somete a una fuerza externa, es atrayente y va
un poco en contra de la intuición del ser humano. Depende mucho de la
frecuencia de la fuerza de excitación. Por tal razón, si la frecuencia forzada es
más baja que la frecuencia natural, el sistema se comporta como un resorte y el
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 13 ~
desplazamiento está proporcional a la fuerza, el resorte de la combinación
masa-resorte hace el sistema resonante y es dominante al determinar la
respuesta del sistema. En esta área controlada por el resorte, el sistema se
comporta de acuerdo a la intuición, reaccionando con un movimiento más
amplio cuando se le aplica una fuerza más grande, y el movimiento está en fase
con la fuerza. [17]
Es por ello que, en condición de resonancia, el sistema se comporta
totalmente diferente a cuando se encuentra en presencia de una fuerza aplicada
que no produce resonancia. Aquí, los elementos de masa y resorte se cancelan
el uno al otro, y la fuerza solamente ve la amortiguación o la fricción del
sistema. Un sistema ligeramente amortiguado asemeja la acción de empujar el
aire. En consecuencia, no se puede aplicar mucha fuerza al sistema en
frecuencia de resonancia, porque de hacerlo la amplitud de vibración se
incrementa hasta valores muy altos. La amortiguación es la que controla el
movimiento de un sistema resonante a su frecuencia natural. [17]
2.1.1 - Reseña histórica
Desde el inicio de los tiempos ha existido la presencia de los fenómenos
ondulatorios, con la aparición de algunos de carácter geológico como
terremotos, maremotos, entre otros; trayendo como consecuencia que el hombre
sintiera la necesidad de comprender su comportamiento y naturaleza, por lo que
es posible estudiar estos fenómenos como eventos que obedecen a las mismas
leyes del movimiento físico de los cuerpos, siendo el resultado de las
vibraciones y ondulaciones de los estratos terrestres y produciendo sacudidas
que se designan con el nombre de ondas. Cuando en un punto del interior de la
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 14 ~
corteza terrestre se produce un choque se crea con éste un movimiento
vibratorio que se propaga en todos los sentidos en forma de ondas
longitudinales o transversales. [18]
Estos fenómenos han marcado pauta a nivel histórico en el área de las
vibraciones, a pesar de esto no fue sino hasta el siglo XVIII que fueron son
encontrados escasos registros formales y de los cuales no había una real
comprensión. Es por esto que se les relacionó con castigos divinos o respuestas
de la Tierra al mal comportamiento humano, pasando luego a explicaciones
pseudo-científicas como que eran originados por liberación de aire desde
cavernas presentes en el interior del planeta. [18]
El primer terremoto del que se tenga referencia ocurrió en China en el
año 1177 a.C. Los terremotos más antiguos de los que exista documentación
histórica, tales como fotos o narraciones precisas, en América ocurrieron en
México a fines del siglo XIV, en Chile (1570 y 1647), Ecuador en 1587,
Jamaica 1692, EE UU(1744 y 1755), Perú (1746), aunque no se tiene una clara
descripción de sus efectos. En Norteamérica se reporta uno de magnitud
estimada alrededor de los 8 grados en 1811 cuyos efectos crearon gran
inquietud por adquirir conocimiento acerca de la amplitud de las ondas
producidas por este tipo de fenómenos. [18]
En nuestro país (Venezuela) el evento más importante que se encuentre
registrado es el ocurrido en la ciudad de Caracas en el año 1967, con magnitud
de 6,5 en la escala Richter y duración de 35 segundos, esta intensidad de las
ondas afecto algunos equipos de percepción de movimientos telúricos del
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 15 ~
Observatorio Cagigal que se habían desarrollado en el mundo para el monitoreo
de los mismos. [19]
Un evento histórico muy famoso de las ondas de resonancia y su efecto
sobre las estructuras, es el puente Tacoma Narrows, que cayó en 1940 por
acción de vientos de 64 kph (40 mph). El estudio detallado de la situación
reveló que el entramado de la cubierta que se atiesaba del puente era escaso
para el cruce, pero no sólo eso fue la causa de la falla del puente, el viento ese
día, lo golpeaba de forma continua haciéndolo vibrar hasta que las ondas
crecieron de forma violenta provocando la fractura del puente. [20]
De acuerdo a lo expresado anteriormente, este y otros tipos de
estructuras de gran relevancia en el mundo poseen otra clase de materiales
como el acero, elemento usado por excelencia en la mayoría de las obras de
ingeniería, por lo que históricamente ha estado sometido a este tipo de
fenómenos, logrando en el planeta el desarrollo de ciertos equipos e
instrumentación para el estudio de este y otros tipos de fenómenos de carácter
ondulatorio haciendo importante el monitoreo y control de su comportamiento.
Grandes personajes históricos de la ciencia y la filosofía, como por
ejemplo: Pitágoras, Aristóteles, Tesla, Fourier, entre otros; dedicaron su interés
al estudio de estos fenómenos, muchos de ellos estaban interesados en la
música, tenían la hipótesis de que había una conexión entre ondas y sonidos, y
que las vibraciones o alteraciones debían ser las responsables de ellos.
Se puede mencionar que en el año 550 a.C Pitágoras, filósofo y
matemático, observó que cuando las cuerdas vibraban producían sonido y
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 16 ~
determinó la relación matemática entre las longitudes de las cuerdas y las
longitudes de las ondas, que creaban tonos armoniosos. De ahí su interés por la
naturaleza de los intervalos musicales, quería saber por qué algunos intervalos
sonaban más bellos que otros, y llegó a respuestas en forma de proporciones
numéricas obteniendo las expresiones que suministraban los armónicos. [21]
Cabe destacar que Aristóteles, filósofo e investigador, entre los años 384
a.C. y 322 a.C. comprobó que el sonido consistía en contracciones y
expansiones del aire "cayendo y golpeando sobre el aire próximo", una buena
forma de expresar la naturaleza del movimiento de las ondas. [21]
Luego, Galileo (1564-1642) y Mersenne (1588-1648), descubrieron de
forma independiente todas las leyes de la cuerda vibrante, terminando así el
trabajo que Pitágoras había comenzado 2000 años antes. Galileo escribió, "Las
ondas son producidas por las vibraciones de un cuerpo sonoro, que se difunden
por el aire, llevando al tímpano del oído un estimulo que la mente interpreta
como sonido", sentando así el comienzo de la acústica fisiológica y de la
psicológica. Galileo también logró encontrar la relación existente entre la
longitud de cuerda de un péndulo y su frecuencia de oscilación, además
encontró la relación entre la tensión, longitud y frecuencia de vibración de las
cuerdas. [21]
Posteriormente, Sir Isaac Newton, quien dedica el período comprendido
entre agosto 1684 y la primavera de 1686, a obtener lo que hoy se conoce como
Philosophiae Naturalis Principia Matemática (principios matemáticos de la
filosofía natural) o también conocido como “el Principia”, obteniendo la
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 17 ~
fórmula matemática para la velocidad de onda en sólidos, uno de los pilares de
la física acústica. [21]
Los estudios mencionado, sumados a otros posteriores ya indicaban la
relación que existe entre el sonido y las vibraciones mecánicas, entre los que
destacan los realizados por Taylor, Bernoulli, D’ Alembert, Lagrange, Fourier.
[21]
Para el año de 1876, Hooke (1635-1703) estableció la relación entre la
tensión y la deformación de los sólidos flexibles (Teoría de la elasticidad de los
sistemas). Euler (1707-1783) y Bernoulli (1700-1782) obtuvieron la ecuación
diferencial que gobierna la transmisión de vibraciones en vigas. Entre los frutos
de los trabajos de estos dos autores se encuentra la teoría de vigas conocida
como de Euler-Bernoulli, que se estudia en resistencia de materiales. [21]
En un terreno diferente, Fourier (1769-1830) realizó otro gran aporte al
estudio de vibraciones, al desarrollar las series que llevan su nombre y que
permiten expresar una función cualquiera como la suma infinita de funciones
armónicas elementales. El análisis de Fourier es la base del estudio de las
vibraciones en el dominio de la frecuencia, que constituye probablemente la
herramienta fundamental del análisis experimental de las vibraciones. [22]
Otros aportes relevantes en este ámbito proceden de Rayleigh (1842-
1919), quien investigó la teoría del sonido, corrigió la teoría de vigas
convencional incorporando el efecto de la inercia rotativa y desarrolló un
método numérico para determinar la frecuencia natural más baja de un sistema.
Por su parte, Timoshenko (1872-1972) dio un gran empuje a la teoría de vigas y
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 18 ~
placas, desarrollando la conocida viga de Timoshenko, que incluye el efecto del
cortante, despreciado en la viga de Euler-Bernoulli. [21]
En 1893 (el Científico, Ingeniero Mecánico e Ingeniero Eléctrico,
Croata, Nikola Tesla, habló de la resonancia de la Tierra en el Instituto Franklin
en Filadelfia como parte de su visión para la transmisión de la energía sin
cables. En 1887, realizando pruebas con un oscilador minúsculo consigue que
al acoplarlo a un pilar de hierro fundido que atraviesa un inmueble se produce
una vibración en todo el inmueble, y el pánico de todos los inquilinos que creen
que se trata de un terremoto. Tesla acaba demostrando el efecto de la
resonancia. Por lo que concluye, es posible que una persona impulse a otra más
corpulenta en un balancín, si le empuja siempre en el momento preciso para
permitir una amplificación del movimiento, este fenómeno también tiene
aplicaciones en electricidad. [22]
En consecuencia, en la actualidad, los elementos tecnológicos y
conocimientos desarrollados permiten que el ser humano esté en contacto
permanente con ellos, por lo que este concepto es utilizado en la medicina con
la resonancia magnética, para estudios de los órganos corporales. En otro
campo la resonancia química se usa, para representar ciertos tipos de estructuras
moleculares que, estando en resonancia, permiten su combinación acercándonos
más a su estructura real.
Aunque se han obtenido grandes avances en este campo, los
conocimientos y teorías utilizadas continúan siendo la herencia de nuestros
antecesores de siglos anteriores.
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 19 ~
2.1.2 - Frecuencia fundamental de resonancia
La menor frecuencia de resonancia de un objeto vibrante se llama
frecuencia fundamental. La mayoría de los objetos que vibran con más de una
frecuencia de resonancia y los utilizados en los instrumentos musicales,
comúnmente vibran a la frecuencia de los armónicos de la fundamental. [4]
Es importante tomar en cuenta que un armónico se define como un
múltiplo entero (número entero) de la frecuencia fundamental. Las cuerdas
vibrantes, las columnas cilíndricas y cónicas abiertas al aire vibrarán a todos los
armónicos de la fundamental. Cilindros con un extremo cerrado vibrarán con
sólo armónicos impares de la fundamental. Las membranas vibrantes suelen
producir las vibraciones en los armónicos, pero también tienen algunas
frecuencias de resonancia que no son armónicos. [4]
En consecuencia, es por esta clase de elementos vibrantes que el término
armónico resulta útil.
2.1.3 - Determinación de la frecuencia fundamental y sus armónicos
En relación a lo expuesto en el punto anterior, cada frecuencia natural
que un objeto o instrumento produce tiene su propio modo de vibración
característica o patrón de onda. Estos patrones sólo se crean en el objeto o
instrumento en frecuencias específicas de vibración; estas frecuencias son
conocidas como frecuencias armónicas, o simplemente armónicos. Por ello, en
cualquier frecuencia que no sea armónica, las perturbaciones derivadas del
medio son regulares y repetidas. [23]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 20 ~
Así, para los instrumentos musicales y otros objetos que vibran en forma
regular y periódica, las frecuencias armónicas se relacionan entre sí por simple
cociente de números de un conjunto. Se puede considerar que, es parte de la
razón por la cual esos instrumentos producen sonidos agradables. [23]
Para poder determinar esos armónicos, se considera que una cuerda
vibra a su frecuencia natural o a la frecuencia armónica, como los extremos de
la cuerda están conectados y fijos en su lugar a la estructura de la guitarra (el
puente en un extremo y los trastes en el otro), los extremos de la cuerda son
incapaces de moverse. Posteriormente, estos extremos se convierten en nodos o
puntos de no desplazamiento. Entre estos dos nodos en el final de la cuerda,
debe haber al menos un antinodo (punto de máximo desplazamiento). [23]
Figura 1. Frecuencia fundamental o primer armónico
Por tal razón, el fundamental de los armónicos para una cuerda es el
armónico asociado a una onda estacionaria con un solo antinodo posicionado
entre los dos nodos al final de la cuerda. Este sería el armónico con la mayor
longitud de onda y la frecuencia más baja. La frecuencia más baja producida
por un instrumento determinado se conoce como la frecuencia fundamental o
también como primer armónico. [23]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 21 ~
A continuación, se presenta un diagrama que muestra el primer
armónico de una cuerda. Si se analiza el patrón de onda en la cuerda para este
armónico, resultará que no es del todo una onda completa dentro del patrón.
Una onda completa se inicia en la posición de reposo, se eleva a un pico, vuelve
a descansar, cae a un canal, y finalmente vuelve a la posición de reposo antes de
comenzar su próximo ciclo. [23]
Figura 2. Longitud de onda y longitud de cuerda
Es importante el uso de las palabras cresta y valle para describir el
patrón de la onda, se utilizan para ayudar a identificar la longitud de un ciclo de
onda repetitiva. Un patrón de onda estacionaria no consiste en crestas y valles,
sino más bien en nodos y antinodos. El patrón es el resultado de la interferencia
de dos ondas para producir estos nodos y antinodos. En este modelo, sólo hay la
mitad de una onda dentro de la longitud de la cuerda. Este es el caso del
armónico o frecuencia fundamental. [23]
El segundo armónico de una cuerda vibrante se produce mediante la
adición de un nodo más entre los extremos de la cuerda. Por supuesto, si un
nodo se agrega al patrón, a continuación, es necesario añadir un antinodo a fin
de mantener un patrón alternante de nodos y antinodos. [23]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 22 ~
Para crear un patrón regular y periódico, este nodo debe estar situado a
medio camino entre los extremos de la cuerda. Este nodo adicional da el
segundo armónico con un total de tres nodos y dos antinodos. El patrón de onda
estacionaria para el segundo armónico se muestra en la figura a continuación.
Un cuidadoso análisis del patrón revela que hay exactamente una onda
completa dentro de la longitud de la cuerda. Por esta razón, la longitud de la
cuerda es igual a la longitud de la onda. [23]
Figura 3. Segundo armónico
El tercer armónico de una cuerda se produce mediante la adición de dos
nodos entre los extremos. Ahora, si dos nodos se agregan al modelo, entonces
también deben agregarse dos antinodos para mantener un patrón alternante de
nodos y antinodos. Estos dos nodos adicionales deberán espaciarse
regularmente entre los extremos de la cuerda. Esto los coloca en la marca de un
tercio (1/3) y la marca de los dos tercios (2/3) respectivamente a lo largo de la
cuerda. Estos nodos adicionales dan el tercer armónico de un total de cuatro
nodos y antinodos tres. El patrón de onda estacionaria en el tercer armónico se
muestra en la figura. [23]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 23 ~
Figura 4. Tercer armónico
Del análisis anterior se obtiene un patrón que revela la existencia de más
de una onda completa dentro de la longitud de la cuerda, por ello, hay tres
medios de una onda dentro de la longitud de la cuerda. Por esta razón, la
longitud de la cuerda es igual a tres medios de la longitud de la onda. [23]
Luego de analizar los tres primeros armónicos, un patrón puede ser
reconocido de la siguiente forma: cada uno de los armónicos sucesivos resulta
en un nodo y antinodo adicional, además de la mitad de una onda adicional
dentro de la cuerda. Si el número de ondas en una cuerda es conocido, entonces
puede ser derivada algebraicamente una ecuación que relaciona la longitud de
onda del patrón con la longitud de la cuerda para una onda estacionaria. [23]
Esta información se resume en el siguiente cuadro.
Tabla 1. Elementos de los armónicos
Número de
Armónico
Número de
Ondas
Número de
Nodos
Número de
Antinodos
Longitud de
Onda
1 1/2 2 1 Long = (2/1).L
2 1 = 2/2 3 2 Long = (2/2).L
3 3/2 4 3 Long = (2/3).L
4 2 = 4/2 5 4 Long = (2/4).L
5 5/2 6 5 Long = (2/5).L
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 24 ~
De acuerdo al análisis anterior, se puede establecer la relación
matemática entre la longitud de una cuerda y la longitud de onda de los
patrones de onda estacionaria para todos los distintos armónicos que se
establecen dentro de la cuerda. Ahora bien, estas relaciones de longitud de onda
se utilizarán para desarrollar relaciones de proporción entre las longitudes de
onda y la relación de las frecuencias para los diferentes armónicos interpretados
por un instrumento de cuerda (como una cuerda de guitarra). [23]
2.1.4 - Determinación del valor de las frecuencias armónicas
A modo de ejemplo, considere la posibilidad de una larga cuerda de
guitarra de 80 cm que tiene una frecuencia fundamental (primer armónico) de
400 Hz. Para el primer armónico, la longitud de onda del patrón de onda sería
de dos veces la longitud de la cuerda, por lo que la longitud de onda es de 160
cm o 1,60 m. [23]
La velocidad de la onda estacionaria puede ser determinada por la
longitud de onda y la frecuencia. La velocidad de la onda estacionaria es:
Velocidad = frecuencia • longitud de onda = 400 Hz • 1,6 m
Esta velocidad de 640 m/s, es la correspondiente a la velocidad de las
ondas en la cuerda de guitarra. [23]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 25 ~
Por tal razón, Dado que la velocidad de una onda depende de las
propiedades del medio, y no a las propiedades de la onda, cada una tendrá la
misma velocidad en esta cuerda, independientemente de su frecuencia y su
longitud de onda. Por esto el patrón de onda estacionaria asociada con el
segundo armónico, tercer armónico, cuarto armónico, etc. también tendrá esta
velocidad de 640 m/s. [23]
Un cambio en la frecuencia o longitud de onda no causará un cambio en
la velocidad. Entonces la longitud de onda del segundo armónico (identificado
por el símbolo λ2) sería de 0,8 m (la misma que la longitud de la cuerda). [23]
Frecuencia = velocidad / longitud de onda
La velocidad del patrón de onda estacionaria (identificado con la letra v)
sigue siendo 640 m/s. Ahora la ecuación de onda se puede utilizar para
determinar la frecuencia del tercer armónico (identificado por el símbolo ).
[23]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 26 ~
Con base en lo anterior, se reconoce el siguiente patrón: la frecuencia de
los armónicos en el segundo es dos veces la frecuencia del primer armónico; la
frecuencia del tercero de los armónicos es triple de la frecuencia del primer
armónico; la frecuencia del armónico n-ésimo (donde n representa el número de
cualquiera de los armónicos) es n veces la frecuencia del primer armónico. [23]
En forma de ecuación, esto puede ser escrito como
Existe el inverso de este modelo para los valores de longitud de onda de
los diferentes armónicos. La longitud de onda del segundo armónico es la mitad
(1/2) de la longitud de onda del primer armónico, la longitud de onda del tercer
armónico es un tercio (1/3) de la longitud de onda del primer armónico y así
sucesivamente de manera que, la longitud de onda del armónico n es un
enésimo (1/n) de la longitud de onda del primer armónico. [23]
En forma de ecuación, esto puede ser escrito como
Estas relaciones entre las longitudes de onda y las frecuencias de los
distintos armónicos de una cuerda de guitarra se resumen en la siguiente tabla:
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 27 ~
Tabla 2. Relación entre armónicos
Número
Armónico
Frecuencia
(Hz)
Long. de
Onda(m)
Velocidad
(m/s)
1 400 1,600 640 1 1/1
2 800 0,800 640 2 1/2
3 1200 0,533 640 3 1/3
4 1600 0,400 640 4 1/4
5 2000 0,320 640 5 1/5
N n .400 (2/n).0,800 640 n 1/n
El cuadro anterior muestra que las frecuencias individuales en el
conjunto de frecuencias naturales producidas por una cuerda de guitarra están
relacionadas entre sí por relaciones de números enteros. Por ejemplo, el primer
y segundo armónicos tienen una proporción de frecuencia 2:1, el segundo y el
tercero tienen una proporción de frecuencia 3:2, el tercero y cuarto tienen una
proporción de frecuencia 4:3 y así para los n armónicos siguientes. [23]
De esta manera, cuando se toca la cuerda de una guitarra, la caja de
sonido y el aire circundante vibran en un conjunto de frecuencias para producir
una onda con una mezcla de armónicos. La composición exacta de esta mezcla
determina el timbre o la calidad del sonido que se escucha. [23]
Por tal razón se puede distinguir que si sólo hay un armónico el sonido
es bastante puro. Por otro lado, si hay una variedad de frecuencias de sonido en
la mezcla, entonces el timbre del sonido es bastante rico en calidad. [23]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 28 ~
2.2 - Teoría general de vibraciones
El estudio de las vibraciones está referido a los movimientos de los
cuerpos y a las fuerzas asociadas con ellos. Todos los cuerpos poseen masa y
son elásticos, por lo tanto son capaces de vibrar. Una vibración mecánica es el
movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de
equilibrio. La mayoría de las máquinas y estructuras experimentan vibraciones
hasta cierto grado por lo que su diseño requiere la consideración de este efecto
dinámico debido a que ocasiona un aumento en los esfuerzos y tensiones. [24]
Por consiguiente, una vibración se produce cuando el sistema en cuestión
es desplazado de una posición de equilibrio estable. El sistema tiende a retornar
a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o
gravitacional, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de
equilibrio. Asimismo, el intervalo de tiempo necesario para que el sistema
efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el
número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento
máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de
vibración. [24]
Los sistemas oscilatorios pueden clasificarse como lineales o no
lineales. Para los sistemas lineales rige el principio de superposición y las
técnicas matemáticas para su tratamiento están bien desarrolladas (ley de
Hooke). [24]
En este mismo orden de ideas, es importante destacar que existen dos
grandes clases de vibraciones, las libres y las forzadas, cualquier sistema
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 29 ~
elástico puede tener vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde
el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución
inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus
frecuencias naturales, dependientes de la distribución de masa y rigidez.
Cuando al sistema se le aplican fuerzas perturbadoras externas constantes el
movimiento resultante es de vibración forzada. Cuando la excitación es
oscilatoria, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia
de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales se produce
resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así
la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática
posibilidad que debe tenerse en cuenta. [24]
2.2.1 – Tipos de vibraciones
2.2.1.1 - Vibraciones libres no amortiguadas
Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su
posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza
externa alguna (P(t) = 0). [24]
Figura 5. Vibración libre no amortiguada
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 30 ~
Por ello, se puede decir que la ecuación que representa el movimiento de
un sistema lineal sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una
fuerza externa es:
Donde n es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es
igual a:
La ecuación diferencial que describe su comportamiento es la siguiente:
Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales, el
desplazamiento y la velocidad inicial respectivamente. Obteniéndose por lo
tanto:
El tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un
ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es:
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 31 ~
Las propiedades de vibración natural, n y Tn, dependen de la masa y
rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para enfatizar el
hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste se
encuentra en estado de vibración libre. [24]
La ecuación general del movimiento también puede expresarse como:
Donde u(0) es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada
amplitud de movimiento, la cual está dada por:
Y el ángulo de fase f esta dado por:
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 32 ~
2.2.1.2 - Vibraciones libres amortiguadas
Cuando se excita un sistema lineal, su respuesta dependerá del tipo de
excitación y del amortiguamiento que esté presente. La ecuación del
movimiento será de la forma: [15]
En donde F(t) es la excitación y Fd la fuerza de amortiguamiento.
Aunque la descripción real de Fd es difícil, se pueden utilizar modelos ideales
de amortiguamiento que a menudo permitirán una satisfactoria predicción de la
respuesta. Entre tales modelos, la fuerza de amortiguamiento viscoso,
proporcional a la velocidad, es la que permite el tratamiento matemático más
simple. [15]
La fuerza de amortiguamiento viscoso se expresa como:
En donde c es una constante de proporcionalidad. Generalmente se
representa por medio de un cilindro-pistón, la ecuación de movimiento es:
La solución de la ecuación anterior tiene dos partes. Si F(t) = 0, tenemos
una ecuación diferencial homogénea cuya solución corresponde físicamente a la
vibración libre amortiguada. F(t) ≠ 0, obtenemos la solución particular que es
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 33 ~
caracterizada por la excitación, independientemente de la solución homogénea.
Examinaremos primero la ecuación homogénea que nos dará algún
entendimiento del papel que desempeña el amortiguamiento. [15]
La forma tradicional de la ecuación es:
La solución a la ecuación anterior tiene la forma de:
En donde s es una constante. Sustituyendo en la ecuación, obtenemos:
Que se satisface para todos los valores de t cuando
O también expresada en función de la frecuencia natural del sistema se
tiene como:
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 34 ~
Donde ωn es la frecuencia natural del sistema y ζ es la razón de
amortiguamiento que es adimensional y cuyo valor viene determinado en
función de cc que es la constante critica s1 de amortiguamiento por la siguiente
expresión: [15]
La ecuación (m), conocida como la ecuación característica, tiene dos
raíces
La solución general está dada por:
En donde A y B son constantes que deben evaluarse por medio de las
condiciones iniciales (0) y (0). [15]
El tipo de movimiento viene directamente definido por el valor que
tome la razón de amortiguamiento, están definidos tres tipos de movimiento en
función esta razón: [15]
- Movimiento sub-amortiguado
- Movimiento críticamente amortiguado
- Movimiento sobre-amortiguado
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 35 ~
2.2.1.2.1 - Movimiento sub-amortiguado
Este tipo de movimiento también conocido como movimiento
oscilatorio se produce cuando el valor obtenido para , este se origina
cuando los elementos de amortiguación del sistema no aportan buenas
propiedades permitiendo que la oscilación subsista a lo largo de un tiempo
extenso. Este estado viene definido por las condiciones iniciales (0) y (0).
La ecuación para determinar la frecuencia de vibración es la siguiente: [15]
La siguiente figura muestra la naturaleza general de la oscilación
Figura 6. Movimiento sub-amortiguado.
2.2.1.2.2 -Movimiento críticamente amortiguado
Este tipo de fenómeno se produce cuando el valor de , obteniendo
una raíz doble de la ecuación que hace que s1 = s2 = ωn. Las partes móviles de
muchos medidores e instrumentos eléctricos están críticamente amortiguadas
para evitar sobresalto y oscilación. [15]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 36 ~
Puede considerarse como la condición ideal de amortiguación de
cualquier sistema o forma natural de amortiguación ya que el sistema tendrá la
tendencia a vibrar a su frecuencia natural. [15]
2.2.1.2.3 -Movimiento sobre-amortiguado
Cuando el valor de supera al uno el sistema alcanza una condición en
la que la disipación de las oscilaciones del sistema se producen de forma rápida,
también es conocido como movimiento no oscilatorio. La función que lo
representa es una función exponencialmente decreciente del tiempo por lo que
se le califica como aperiódica. [15]
La figura a continuación permite realizar una comparación entre los
distintos movimientos y apreciar su naturaleza [15]
Figura 7. Tipos de amortiguamiento
2.2.1.3 - Vibración forzada
Cuando un sistema está sometido a una excitación armónica forzada, su
respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuentes
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 37 ~
comunes de excitación armónica son el desbalance en maquina rotarias, fuerzas
producidas por maquinas reciprocantes o el movimiento propio de la maquina.
Estas excitaciones pueden ser indeseables para equipos cuya operación puede
ser perturbada o, para la seguridad de la estructura si se desarrollan grandes
amplitudes de vibración. La resonancia debe ser evitada en la mayoría de los
casos y, para evitar que se desarrollen grandes amplitudes, se usan
frecuentemente amortiguadores. La discusión de su comportamiento es de
importancia para un uso inteligente. [15]
La excitación armónica es frecuente en sistemas de Ingeniería. Aunque
la pura excitación armónica es menos probable que la periódica u otros tipos de
excitación, un entendimiento de la conducta de un sistema que sufre excitación
armónica es esencial para comprender como responderá el sistema a tipos más
generales de excitación. La excitación forzada puede ocurrir en la forma de una
fuerza o desplazamiento de algún punto del sistema. [15]
Primero consideraremos un sistema de un grado de libertad con
amortiguamiento viscoso, excitado por una fuerza armónica F0 sen ωt, su
ecuación de movimiento es: [15]
La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función
complementaria, que es la solución de la homogénea y, la integral particular. La
función complementaria en este caso es una vibración libre amortiguada. [15]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 38 ~
La solución particular es una oscilación estacionaria de la misma
frecuencia ω de la excitación. Se puede suponer que la solución particular es de
la forma: [15]
En donde U es la amplitud de la oscilación y es la fase de
desplazamiento con respecto a la excitatriz. Es necesario recordar que en el
movimiento armónico las fases de la velocidad y aceleración están adelante del
desplazamiento en 90° y 180° respectivamente, los términos de la ecuación
diferencial se pueden desplegar y sus expresiones son: [15]
2.2.2 - Vibraciones en medios continuos
Los sistemas mecánicos en la naturaleza y la práctica no poseen carácter
lineal. Por tanto, vibraciones de este tipo son muy frecuentes, por ejemplo al
accionar el movimiento de una cuerda o al observar el eje de alguna máquina,
las oscilaciones de una placa cargada transversalmente, las ondas producidas
por el choque entre un elemento y el agua, entre otras. De todos estos ejemplos
es posible observar que se encuentran regidos por el mismo tipo de ecuación
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 39 ~
diferencial lo cual permite su unificación en el grupo de los llamados medios
continuos. [13]
Se piensa que la clasificación de un sistema como discreto o continuo
normalmente puede llegar a ser subjetiva, entonces se puede definir un sistema
discreto como aquel cuyo comportamiento puede ser descrito con el uso de las
ecuaciones diferenciales ordinarias, a diferencia de un sistema continuo su
comportamiento se rige a partir de las ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales. Tomando en cuenta que para el primer caso obtener la solución del
problema resulta más sencillo, la información proporcionada por el segundo es
más amplia y posee una mayor precisión. Por estas razones se hace evidente
que el uso de un modelo u otro estará ligado directamente a las exigencias
presentadas en cada problema. [13]
2.2.2.1 - Vibraciones longitudinales en vigas
Las vibraciones longitudinales en una barra se producen cuando una
fuerza externa actúa sobre la barra de forma que cambia su longitud y volumen,
sin alterar su geometría Si se considera que no hay fricción interna, la variación
de longitud en cada diferencial de volumen de la barra se propagará según la
ecuación de ondas. [13]
Por consiguiente, el estudio de estas vibraciones permite entender la
propagación de ondas acústicas en medios confinados, además tienen
aplicaciones prácticas como son la utilización de la frecuencia fundamental de
barras circulares de diferentes longitudes para construir patrones de frecuencia
bien definidas, o el uso de la frecuencia de vibración longitudinal de un cristal
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 40 ~
piezoeléctrico para controlar la frecuencia de una corriente eléctrica o para
excitar un transductor electroacústico. También tiene aplicaciones en el análisis
de la respuesta de estructuras formadas por barras, o que se puedan modelar
como barras con cargas másicas en los extremos a fuerzas externas. [13]
2.2.2.2 - Vibraciones laterales en vigas
Una de las aplicaciones más importantes y utilizadas en la práctica es la
de las vibraciones libres laterales en vigas, por lo que inicialmente se hace
necesario establecer una serie de hipótesis que fundamenten la base del estudio
de este tipo de oscilaciones: [13]
1 – Las dimensiones de la sección transversal deben ser pequeñas en
comparación con su longitud. Esta hipótesis nos permite poder despreciar los
efectos de corte e inercia rotatoria. [13]
2 – Las deflexiones que se presenten en la viga deben ser pequeñas, a fin
de poder hacer uso de la teoría de deflexiones en vigas elásticas. [13]
2.2.2.3 - Vibraciones torsionales en vigas
La ecuación de movimiento de una barra en vibración torsional es
similar a la de la vibración longitudinal de barras discutida en la sección
anterior. [15]
Midiendo a x a lo largo de la barra, el ángulo de torsión en cualquier
longitud dx de la barra, debida al torque T es: [15]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 41 ~
En donde IpG es la rigidez torsional dada por el producto del momento
polar de inercia Ip de la sección transversal y el modulo de elasticidad a cortante
G. El torque en las dos caras del elemento es T y . El torque neto
será: [15]
Igualando este torque al producto de momento de inercia ρIpdx del
elemento por la aceleración angular , en donde ρ es la densidad de la barra,
la ecuación diferencial de movimiento será: [15]
Esta ecuación es de la misma forma que la vibración longitudinal de las
barras en donde θ y G/ρ reemplazan a u y E/ ρ, respectivamente. La solución
general puede escribirse inmediatamente por comparación como: [15]
La siguiente figura permite apreciar los efectos producidos por las
vibraciones torsionales [15]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 42 ~
Figura 8. Efectos de vibraciones torsionales
2.2.3 - Instrumentos para medir vibraciones
Las vibraciones que se van a medir pueden clasificarse como periódicas,
transitorias y aleatorias. De éstas, el movimiento periódico es el más conocido,
y los instrumentos para medir la frecuencia, amplitud, velocidad, aceleración o
pendiente de la onda, están bien evolucionados. En el caso de los movimientos
aleatorios, es deseable un espectro de frecuencias de los valores cuadráticos
medios, por tanto la instrumentación para estas mediciones son muy complejos
y de evolución algo reciente. [1]
Cabe destacar que el sismógrafo representa el sistema básico utilizado
para medir vibración. Según sean los límites (rango) de frecuencias utilizados,
el desplazamiento, la velocidad, o la aceleración, se indica por el movimiento
relativo de la masa suspendida, con respecto a la caja. Como las vibraciones
muchas veces son pequeñas para la indicación mecánica, el movimiento
relativo se convierte, en general, a tensión eléctrica (voltaje) por el movimiento
de una bobina en un campo magnético. [1]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 43 ~
Los acelerómetros son instrumentos de alta frecuencia natural, y sus
límites (rango) útiles de frecuencias son por debajo de la resonancia. Para
pequeños de ω/ωn, la ecuación que rige su funcionamiento es: [1]
El movimiento relativo se vuelve proporcional a la aceleración.
Los instrumentos para el desplazamiento y la velocidad son dispositivos
de baja frecuencia natural, y sus límites útiles están en una región donde ω/ωn »
1, y se rigen bajo la relación: [1]
Z ≈ X
Sin embargo, tanto la velocidad como el desplazamiento para el
movimiento armónico deben obtenerse con acelerómetros, por medio de
integradores electrónicos. Además del tipo de transductor de masa sísmica hay
una variedad de de dispositivos para medir la vibración, entre los cuales se
encuentran: [1]
El calibrador de deformaciones de resistencia eléctrica: consta de una
rejilla de alambre fino que se pega al objeto vibrante, para medir las
deformaciones fluctuantes. Estos alambres se usan también como suspensiones
para pesos sísmicos en algunos acelerómetros. [1]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 44 ~
El transductor piezoeléctrico, utiliza cristales de cuarzo, de titanato de
bario, o cerámicas piezoeléctricas que tiene altas frecuencias naturales y, en
general, debe emplearse con un filtro para cortar las componentes de la
frecuencia en la vecindad de la resonancia. [1]
El transformador diferencial de reluctancia variable, se encuentra
constituido por una bobina primaria de excitación de frecuencia portadora y con
bobinas secundarias opositoras que indican una tensión (voltaje) debida al
desplazamiento de un núcleo de hierro unido a la estructura vibrante. [1]
2.3 Teoría de ondas
Las ondas del agua son un fenómeno que se puede ver y los efectos de
las ondas sonoras se escuchan directamente con el oído. Además, el cuerpo
puede detectar algunas ondas del espectro electromagnético como por ejemplo,
las ondas de luz con el ojo o el efecto calorífico del infrarrojo con la piel. Sin
embargo, hay otras ondas electromagnéticas que no pueden percibirse
directamente con los sentidos humanos e incluso el infrarrojo por regla general
solo se puede observar mediante detectores especiales. [25]
Es por ello que los fenómenos ondulatorios aparecen en todos los
campos de la física y se pueden utilizar ecuaciones matemáticas similares para
todas las aplicaciones. [25]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 45 ~
2.3.1 - Tipos de ondas y sus características
Una onda es una perturbación que se desplaza o propaga de un punto a
otro. Las ondas mecánicas son ondas que se propagan por un material, como
ocurre por ejemplo al golpear un extremo de una varilla de metal con un
martillo. Una perturbación inicial, se produce en un punto de aplicación de una
fuerza a las partes del material adyacentes. Entonces, en el actúa una fuerza
elástica para devolver el material a su posición de equilibrio. Al hacerlo,
comprime las partículas adyacentes de tal manera que la perturbación se aleja
del foco. Las partículas se exceden en el intento de volver a sus posiciones
originales, así que en un punto determinado una compresión viene seguida de
una rarefacción. El paso de onda se percibe en las variaciones de presión
alrededor del punto de equilibrio o por la velocidad de las oscilaciones. Este
paso se describe como oscilatorio o periódico. [25]
Hay dos tipos principales de oscilación periódica: la transversal y la
longitudinal. En las ondas transversales las vibraciones son perpendiculares a la
dirección del desplazamiento mientras que en las ondas longitudinales son
paralelas al desplazamiento. Las ondas sonoras son compresiones y
rarefacciones alternas de cualquier material que actúe como medio para el
desplazamiento y son longitudinales. [25]
De esta manera, las ondas de agua se producen por el viento o alguna
perturbación de otro tipo. Las partículas se mueven en círculos verticales, de
manera que se producen desplazamientos tanto transversales como
longitudinales. De este movimiento surge el conocido perfil de las ondas, con
sus estrechas cimas y sus amplios valles. [25]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 46 ~
En los movimientos ondulatorios se produce una transferencia de
energía, que en el caso de las ondas sonoras y las ondas de agua es mecánica.
Sin embargo, el paso de una onda por un medio también supone una pérdida de
energía. La amplitud disminuye y se habla de un amortiguamiento de la onda.
[25]
Hay dos procesos diferentes, la dispersión y la absorción. En muchos
casos no hay absorción o hay poca, por ejemplo, la radiación electromagnética
del sol se traslada por el espacio sin que se produzca ninguna absorción, pero
planetas más alejados que la tierra reciben menos radiaciones porque se tiene
que irradiar por mas espacio y por lo tanto la intensidad, la relación de potencia
y espacio, disminuye según una ley de cuadrados inversos. [25]
Lo mismo ocurre con el sonido en la atmósfera. Sin embargo, en
algunos casos se absorbe energía en un medio, como por ejemplo cuando la luz
entra y expone una partícula fotográfica o cuando rayos X entran en el tejido
humano. En la radiación homogénea, la absorción sigue una ley exponencial,
por ejemplo, si la mitad de la radiación traspasa 1 mm de absorbente, un cuarto
pasaría por 2 mm y un octavo por 3 mm. [25]
El periodo o tiempo de ciclo de una onda es el tiempo que tarda en
tener lugar una vibración completa. La frecuencia del movimiento
ondulatorio se define como el número de oscilaciones completas o ciclos por
segundo . La unidad del sistema internacional de frecuencia es el
hertzio (Hz), que toma el nombre del físico alemán Heinrich Rudolf Hertz, 1
hertz = 1 ciclo por segundo. [25]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 47 ~
Figura 9. Características de la onda
Por consiguiente, la amplitud es el desplazamiento máximo desde la
posición de equilibrio. La longitud de onda (λ) es la distancia entre dos
máximos o picos consecutivos de la onda. La velocidad de propagación de
las compresiones o la velocidad de fase de la onda es igual al producto de la
frecuencia por la longitud de onda: [25]
Las ondas que se originan en un foco puntual se propagan hacia fuera,
en todas las direcciones, formando frentes de onda que serán circulares o
esféricos al propagarse por un medio homogéneo. Cuando la distancia entre el
frente de onda y el foco es grande, se puede considerar como un frente de onda
plano. [25]
2.3.1.1 - Interferencia
Si varias ondas se desplazan por un medio, el resultado en todo
momento y en cualquier punto será la suma vectorial de las amplitudes de cada
onda. Este fenómeno se conoce como el principio de superposición. Cuando
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 48 ~
dos o más ondas se combinan de esta manera exhiben el fenómeno de la
interferencia. [25]
Si la amplitud de la onda resultante es mayor que las de cada onda
individual, tiene lugar una interferencia constructiva; si es menor hay una
interferencia destructiva. [25]
Si dos ondas sonoras con frecuencias ligeramente diferentes y las
mismas amplitudes suenan a la vez, por ejemplo dos diapasones, entonces el
sonido resultante tiene lo que se llama una amplitud variable. Estas amplitudes
variables se llaman pulsaciones y su frecuencia se denomina frecuencia de
pulsación. Dicha frecuencia es igual a la diferencia que hay entre las
frecuencias de las dos notas originales. Al afinar instrumentos musicales es de
ayuda escuchar las pulsaciones: cuanto más seguidas sean, más afinado estará el
instrumento. [25]
Figura 10. Interferencia
2.3.1.2 - Ondas estacionarias
Éstas son el resultado de confinar ondas en una región determinada.
Cuando una onda como la que se propaga por la cuerda de una guitarra en
dirección del puente, llega al soporte, la cuerda tiende a estar casi en reposo, ya
que se ejerce una fuerza sobre el soporte que ofrece una reacción, enviando una
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 49 ~
onda reflejada por la cuerda en sentido opuesto. Esta onda tiene la misma
frecuencia y longitud de onda que la onda original. Con determinadas
frecuencias las dos ondas, propagándose en sentidos contrarios, interfieren para
producir una onda estacionaria. Cada modo de vibración corresponde a una
frecuencia particular. [25]
Figura 11. Onda estacionaria
Las ondas estacionarias pueden ser transversales, como en una cuerda de
violín punteada, o longitudinal como en el aire de un tubo de un órgano. Las
posiciones de la amplitud máxima y mínima se denominan antinodos o vientres
y nodos respectivamente. En los antinodos la interferencia es constructiva, en
los nodos es destructiva. [25]
Por ello, si se aplica una fuerza periódica a un sistema con una
frecuencia cercana o igual a la frecuencia natural del sistema, entonces la
amplitud de vibración resultante será mucho mayor que para otras frecuencias.
Estas frecuencias naturales se llaman frecuencias resonantes. Cuando una
frecuencia impulsora llega a igualar la frecuencia resonante, se ha obtenido la
amplitud máxima. [25]
La frecuencia natural de los objetos se puede usar de forma destructiva.
Vientos fuertes pueden llevar puentes suspendidos a su frecuencia natural,
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 50 ~
haciéndolos vibrar hasta ocasionar su destrucción. Al cruzar un puente, los
soldados en formación suelen romperla para no correr el riesgo que el puente
alcance una de sus frecuencias naturales lo que podría causar oscilaciones de
gran amplitud. [25]
2.3.1.3 - Difracción
Las ondas normalmente avanzan en línea recta en un medio uniforme,
sin embargo, cuando pasan por una rendija con un ancho comparable a la
longitud de onda, éstas se difractan. Así es como las ondas pueden doblar las
esquinas. Para una onda sonora de 256 Hz la longitud de onda es de
aproximadamente 1,3 m; es decir, cercana a las dimensiones de puertas y
ventanas abiertas. [25]
Si se proyecta un haz de luz por una sola ranura ancha sobre una
pantalla cercana a la ranura, se obtiene una imagen nítida y clara de la misma.
Si se estrecha la ranura llegará un punto en el cual ya no se verá mas, sino una
huella de difracción de bordes claros y oscuros. [25]
Figura 12. Difracción
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 51 ~
El principio de Huygens fue propuesto en 1676 por el físico Holandés
Christian Huygens (1629-1695) para explicar las leyes de la reflexión y la
refracción postuló que la luz era un movimiento ondulatorio. Cada punto de un
frente de ondas es a su vez un foco de ondas nuevas o secundarias. El nuevo
frente de ondas es la superficie que toca todos los frentes de ondas de los focos
secundarios. La difracción expone los efectos de interferencia que se observan
en una luz que sale de una posición continua de un frente de ondas, como la de
una rendija estrecha. [25]
El trabajo del médico y físico británico Thomas Young (1773-1829) y
otros, finalmente dieron la razón a la teoría de Huygens. [25]
2.3.2 - Ecuación de onda
2.3.2.1 - Ecuación diferencial para ondas transversales en
vigas
Ecuación diferencial que se establece en el caso de ondas transversales
en una viga.
Figura 13. Esquema de vibración transversal
L: Longitud. b: Ancho. w: Espesor.
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 52 ~
Ecuación de la viga considerando la fricción es:
: Coeficiente de amortiguamiento (Se puede considerar )
Las condiciones de fronteras en el caso de la viga libre serán:
a) No hay momentos en ningún extremo:
b) No hay fuerzas de corte en ningún extremo:
Ahora:
Como y tomando
Tenemos,
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 53 ~
Por otro lado,
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 54 ~
Para que no exista solo la solución trivial, el determinante del sistema
debe ser cero:
Y para el caso G(t) se tiene que:
Las raíces proporcionaran las frecuencias que corresponden a la
fundamental y sus armónicos, por lo que se puede hacer uso del programa de
cálculo computacional para la obtención de las mismas en conjunto con las
propiedades y dimensiones del material que se está estudiando.
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 55 ~
2.4 - Procesos de maquinado
El proceso de arranque de material como herramienta de fabricación
data su origen a la época de la prehistoria, momento en el cual el ser humano
sintió esa inquietud de plasmar ideas sobre los materiales de madera, piedra,
entre otros, a manera de obtener sus utensilios de uso diario y de caza. [3]
El nacimiento de las máquinas de herramientas se encuentra
estrechamente relacionado al surgimiento y desarrollo de la llamada Revolución
Industrial, con el objetivo de ser usadas para la producción de la maquinaria a
vapor. De ahí a la actualidad esta área ha sufrido una grandiosa evolución, lo
que ha traído como principal consecuencia que las bases de la economía
moderna estén sustentadas en los procesos de manufactura y producción, dando
el sitial de honor al proceso de elaboración en masa como dominante del
mercado. Hecho que deja en evidencia la vital importancia que poseen los
procesos de maquinado en la fabricación de elementos y componentes
ingenieriles pertenecientes tanto a máquinas como equipos de trabajo. [3]
2.4.1 - Definición de maquinado
El proceso de maquinado está definido como un proceso de
manufactura, que cuenta con una herramienta de corte encargada de remover el
exceso de material no deseado en el elemento que se está conformando. Éste se
lleva a cabo cuando el material es sometido a esfuerzos ejercidos por la
herramienta en zonas localizadas, de forma tal que se provoca la fractura del
mismo a través del movimiento relativo que se genera entre la herramienta y la
pieza a elaborar. [3]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 56 ~
Para lograr obtener buenos resultados de este proceso se debe tomar en
cuenta con gran énfasis las propiedades que presenta el material que será
maquinado y su grado de facilidad para ser elaborado con este proceso,
haciendo correcto uso de las herramientas y considerando las condiciones de
corte, esta propiedad se conoce como maquinabilidad del material. [3]
2.4.2 - Condiciones de corte
Éstas son también conocidas como variables, capaces de ser
modificadas por el operador de las máquinas de herramientas, y que influyen en
el proceso de maquinado entre las cuales figuran como principales: [3]
2.4.2.1 - Velocidad de corte
La velocidad de corte se encuentra referida a la velocidad relativa que se
presenta entre la herramienta y el material a la hora de realizar el corte. En
ciertos casos esta se encuentra dada por el material mismo que se encuentra en
movimiento y en otros es aportada por la herramienta en su desplazamiento. [3]
2.4.2.2 - Profundidad de corte
Esta profundidad se define como la distancia que es capaz de alcanzar la
herramienta cuando la misma se encuentra por debajo de la superficie de la
pieza que está siendo maquinada, por lo que la misma permite obtener las
dimensiones finales. [3]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 57 ~
2.4.2.3 - Avance
El avance está determinado como el movimiento relativo generado en la
herramienta o el material al momento de realizar el maquinado. Este se
encuentra determinado por los grados de libertad que posee la máquina o
aquellos que se puedan alcanzar por el operario debido a la exigencia de la
elaboración de una pieza. [3]
Mediante el uso de estas variables es posible determinar el tiempo total
de maquinado y estimar la vida útil de la herramienta de corte, haciendo posible
realizar la planificación económica de un proceso productivo, es por esta razón
que es de vital importancia su total manejo. [3]
2.4.3 - Tipos de operaciones de maquinado
El maquinado a su vez se encuentra dividido en una familia de procesos
conocidos como tipos de maquinado. Un factor común que se presenta en todos
estos es que cuentan con el uso de una herramienta para generar el
desprendimiento de material necesario para la elaboración de la pieza. [3]
Para la generación de las distintas geometrías y texturas existen distintos
tipos de operaciones de maquinado, entre los cuales se encuentran:
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 58 ~
2.4.3.1 - Torneado
El proceso de torneado se lleva a cabo cuando se establece el contacto
entre una herramienta de punta sencilla aguda y el material para remover el
exceso del mismo formando así la pieza de trabajo, ésta se encuentra en
movimiento rotatorio con el fin de fabricar generalmente sólidos de revolución.
El avance de la herramienta es realizado de forma lineal en dos
direcciones: longitudinal, paralela al eje de rotación y radial o transversal, de
forma perpendicular al eje. [3]
La máquina encargada de la realización del proceso es conocida como
torno y es capaz de generar la potencia requerida para permitir que la pieza rote
a la velocidad necesaria, así como también permite el control del avance y
profundidad de corte específicos. En el torno pueden realizarse una gran
variedad de operaciones de maquinado, entre las que se encuentran las
siguientes: careado, torneado cónico, torneado de contornos, torneado de
formas, achaflanados, tronzado, roscado, perforado, taladrado, moleteado, entre
otros. Estos son realizados con la sustitución de las formas y direcciones de
desplazamiento de la herramienta. [3]
Figura 14. Torno convencional
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 59 ~
2.4.3.2 - Taladrado
El proceso de taladrado se lleva a cabo cuando se pone en contacto la
herramienta de corte con el material para generar perforaciones de geometría
redonda. La herramienta encargada de realizar el corte es de geometría
cilíndrica conocida como broca, cuenta con dos extremos cortantes que
desprenden el material al rotar la herramienta. El avance en este tipo de proceso
por lo general lo realiza la broca manteniendo fija la pieza, de esta manera se
forma un agujero cuyo diámetro va predeterminado por el diámetro de la broca.
[3]
Se denomina taladro a la máquina encargada de realizar este proceso.
Con él que es posible llevar a cabo otro tipo de operaciones como roscado,
escariado, avellanado, entre otros. Aunque para realizar estos últimos es
necesario realizar un agujero previo y utilizar otro tipo de herramientas según
amerite el caso. [3]
Figura 15. Taladro
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 60 ~
2.4.3.3 - Fresado
El fresado es un proceso que se basa en hacer pasar al material de
trabajo a través de la periferia con filo de una herramienta de geometría
cilíndrica rotatoria. El avance en este proceso es realizado en dirección
perpendicular al eje de rotación de la herramienta de corte lo que le permite ser
diferenciado del proceso de taladrado. La herramienta utilizada es conocida
como fresa y sus bordes cortantes como dientes. [3]
La máquina encargada de este proceso se llama fresadora. Las
superficies que se pueden obtener con este proceso son generalmente planas,
aunque con el apoyo de la robótica automatizada las geometrías que se pueden
obtener son de máxima complejidad por lo que son utilizadas en campo para la
fabricación de elementos de máquinas. [3]
Básicamente, hay dos tipos de fresado: el fresado periférico en el cual el
eje de la herramienta se desplaza de forma paralela a la superficie que se
mecaniza y el fresado frontal en el cual el eje de la herramienta se desplaza en
dirección perpendicular a la superficie de maquinado. Los cortes son realizados
con la periferia y con el extremo de la herramienta respectivamente. [3]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 61 ~
Figura 16. Fresadora
Figura 17. Fresado frontal
Figura 18. Fresado periférico
2.4.3.4 - Cepillado
Es un proceso que se realiza cuando una herramienta de punta sencilla,
similar a la del torno desprende el material de la superficie de la pieza, el
avance y velocidad de corte se consiguen con el movimiento de la herramienta
a lo largo de la superficie del material de forma oscilante. La clasificación de
los cepillos son dos, los cepillos de columna simple y los de doble columna. La
máquina usada para este proceso es llamada cepilladora. [3]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 62 ~
Figura 19. Cepilladora
2.5 - Electroerosión
2.5.1 - Descripción del proceso
El mecanizado por electroerosión se efectúa mediante el salto de chispas
eléctricas entre el electrodo y la pieza sometidos a una determinada tensión
eléctrica y sumergidos en un líquido aislante o dieléctrico. [26]
Figura 20. Electroerosión primera etapa
Al estar ambos electrodos en un medio dieléctrico o aislante la tensión
que se aplique a ambos ha de ser suficiente como para llegar a crear un campo
eléctrico mayor que la rigidez dieléctrica del líquido. [26]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 63 ~
Figura 21. Electroerosión segunda etapa
Bajo la acción de este campo eléctrico, iones libres positivos y
electrones se encontrarán acelerados creando un canal de descarga que se
vuelve conductor, y es precisamente en este punto donde salta la chispa. Esto
provoca colisiones entre los iones (+) y los electrones (-). Se forma entonces un
canal de plasma. [26]
Figura 22. Electroerosión tercera etapa
Bajo el efecto de los choques se crean altas temperaturas en ambos
polos y alrededor del canal de plasma se forma una burbuja de gas que empieza
a crecer. Por otro lado las altas temperaturas que se han dado en los dos polos,
van fundiendo y vaporizando parte del material de la pieza, mientras que el
electrodo apenas si se desgasta muy ligeramente. [26]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 64 ~
Figura 23. Electroerosión cuarta etapa
En esta situación (esfera de gas grande y material fundido en ambos
polos) se corta la corriente eléctrica. El canal de plasma se derrumba y la chispa
desaparece. El líquido dieléctrico entonces rompe la esfera de gas haciéndola
implotar. [26]
Figura 24. Electroerosión quinta etapa
Ello hace que se creen fuerzas que hacen salir el material fundido
formando dos cráteres en las superficies. El material fundido se solidifica y es
decantado por el líquido dieléctrico, constituyendo lo que se llama viruta del
proceso de electroerosión. [26]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 65 ~
Figura 25. Electroerosión sexta etapa
2.5.2 - Ventajas de la electroerosión
- No produce esfuerzos en el material que sean considerables, debido a
que es el proceso de fabricación que genera la menor cantidad de
distorsión.
- Es un proceso con el cual se puede mecanizar materiales de gran dureza.
- Puede ser usado para la generación de orificios.
- Puede ser automatizado.
- Se pueden obtener superficies inclinadas.
- El costo de las máquinas es más económico debido a su evolución.
- Posee una alta precisión de hasta 2 micrómetros.
- No produce desviación en las medidas del mecanizado.
2.5.3 - Desventajas de la electroerosión
- El proceso es lento debido a que la remoción de material es producto de
erosión.
- Presenta peligro de ignición debido a que el líquido dieléctrico es de
características inflamables.
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 66 ~
- No pueden ser maquinadas piezas de gran tamaño, debido a las
dimensiones de la máquina.
- Posee un alto grado de desgaste en el hilo.
2.5.4 - Aplicación de la electroerosión
- Fabricación de herramientas para máquinas de mecanizado.
- Mecanizado de cualquier tipo de materiales como plásticos, metales,
entre otros.
- Industria automotriz.
- Industria de componentes electrónicos de tamaños muy pequeños.
2.6 - Instrumentación y control
2.6.1 - Reseña histórica
La búsqueda del control de las variables de un proceso se remonta a los
inicios de la especie humana cuando el hombre a partir de la necesidad de
poseer herramientas que le ayudaran a realizar sus trabajos más fáciles, así
como también de crear sistemas de medición, decide fabricar sistemas que le
permitieran poder establecer un control sobre los procesos desempeñados como
por ejemplo la construcción.
Pero no es sino hasta la época de la Revolución Industrial cuando surge
un nuevo paradigma, una nueva forma de desempeño del trabajo y es cuando el
proceso artesanal de manufactura de los productos pasa a ser dominado por
máquinas controladas por operadores, momento que sirve para el inicio y
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 67 ~
desarrollo de lo que se conoce actualmente como instrumentación, estos
operadores mediante el uso de su experiencia manifiestan tener control sobre
los procesos, no obstante y a pesar de esta aparente pericia los resultados
obtenidos no eran los esperados tanto en condición de calidad como de
seguridad, por lo que se limitaban al control de procesos llamados procesos
simples.
Luego, surge una nueva ola de instrumentos que permitían a estos
operadores realizar con mejor desempeño sus tareas, trayendo como
consecuencia la mejora en la calidad y disminución del riesgo para el producto
final, a pesar de esto, en materia de calidad los productos presentaban defectos
a causa de la naturaleza artesanal de los procesos, es decir, todavía existía la
intervención de la mano del hombre.
El desarrollo posterior guió sus pasos hacia el control de los elementos
de carácter neumático, hecho que trajo como consecuencia una gran mejora a
nivel de calidad, lo cual se traducía en una disminución del riego aumentando
así los niveles de productividad. En contraposición a estos avances era
necesario prestar grandes servicios de mantenimiento y la capacidad de control
central era muy pobre, con esta necesidad por delante y la exigencia evolutiva
de los procesos creciendo, nace una herramienta conocida como control
electrónico de los procesos, que entre sus ventajas presentaba a la industria una
disminución notable de los costos de mantenimiento para los sistemas
neumáticos de trabajo y a su vez se crea la figura de centrales de control con
monitoreo total de los procesos.
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 68 ~
De manera paralela a todo este desarrollo, se incrementa de forma
compleja las exigencias sobre las características de los materiales usados, lo
cual implicaba tener un mejor control en su elaboración y técnicas innovadoras
para su caracterización.
Con el surgimiento de la era industrial y la creación de la maquinaria de
vapor, se hace necesaria la reducción de fenómenos de características
vibratorias, hecho que demanda la creación de nuevos y mejores equipos de
monitoreo e inspección para su estudio. El estudio de estos fenómenos y la
maquinaria creada con este han establecido sus bases en los sistemas
instrumentales y equipos de control creados con el fin de obtener un mejor
manejo de las variables que los producen.
2.6.2 - Definiciones de control
La implementación de los distintos equipos a nivel de laboratorio e
industrial se debe realizar tomando en cuenta principalmente sus características
específicas para de esta forma poder cumplir a cabalidad con su función, por lo
que estos se encuentran clasificados como instrumentos indicadores,
registradores, controladores, transmisores o elementos finales de control. [27]
El esfuerzo para unificar la terminología utilizada en campo es en
función de crear un código que contenga entre sus líneas los elementos
necesarios para la extensión y mejor manejo de la misma, por ejemplo, normas
SAMA (Scientific Apparatus Makers Association) por sus siglas en inglés. [27]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 69 ~
2.6.2.1 - Campo de medida
El rango de medida, o range en inglés, se define como la familia de
valores entre un valor mínimo y un valor máximo que poseen la capacidad de
ser medidos o transmitidos por un equipo o instrumento. [27]
2.6.2.2 - Alcance
La variable conocida como alcance se encuentra referida a la diferencia
algebraica que se establece entre el valor superior y el valor inferior en un
campo establecido como campo de medida. La forma de obtenerse es mediante
la expresión: [27]
2.6.2.3 - Error
En el momento de realizar la medición es necesario establecer una
variable que se encuentra entre las más importantes de un proceso y es conocida
como error, valor que es obtenido como resultado de la diferencia algebraica
entre el valor apreciado por el instrumento de medición y el valor tomado como
el real de la medición. [27]
Cuando el valor de una medida depende de varios instrumentos los
cuales poseen cada uno un porcentaje de error, el error máximo es la suma
algebraica de todos los instrumentos involucrados [27]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 70 ~
El error se suele calcular evaluando la raíz media cuadrática del
conjunto de posibles errores como el error total de la medida [27]
2.6.2.4 - Precisión
El término de precisión está directamente relacionado con la tolerancia
que posee un instrumento para realizar o transmitir una medición, en
correspondencia a esto es necesario definir el error cometido en la
manipulación del instrumento durante el periodo y condiciones normales de
servicio. [27]
2.6.2.5 - Sensibilidad
Se entiende por sensibilidad el incremento de la señal de salida de un
instrumento en relación con el incremento de la variable medida, una vez
estabilizado el sistema en posición de reposo. Generalmente es expresado como
un porcentaje del alcance de la medida. [27]
2.6.2.6 - Repetibilidad
Es la capacidad de un instrumento de obtener el mismo valor de una
medida, en condiciones de trabajo iguales y haciendo el recorrido en la misma
dirección y sentido a lo largo de todo el campo de medición, sin tomar en
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 71 ~
cuenta la exactitud de la medida o la histéresis. Es expresada como un
porcentaje del alcance tomando en cuenta su valor máximo y se puede obtener
como: [27]
2.6.2.7 - Histéresis
Es la diferencia máxima dada al tomar medidas en sentido ascendente y
luego tomar las mismas medidas en sentido descendente de la escala. Está
expresada como un porcentaje del alcance del instrumento. [27]
2.6.3 - Clasificación de la instrumentación
La clasificación de la instrumentación se encuentra dada debido a las
características de los mismos, así como también por las tareas para las cuales
serán utilizados. Esta clasificación sirve para comprender mucho mejor su
funcionamiento:
2.6.3.1 - En función del instrumento
2.6.3.1.1 - Instrumentos ciegos
Reciben su nombre debido a que no presentan una interfaz que permita
la apreciación visual de la variable medida, es decir, que registran la variable y
la procesan de forma interna. [27]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 72 ~
2.6.3.1.2 - Instrumentos indicadores
Poseen una escala de medición con la cual es posible apreciar el valor
obtenido de la variable de un proceso, según la amplitud de la escala se divide
en indicadores concéntricos o excéntricos. También existen indicadores
digitales que presentan la variable en dígitos. [27]
2.6.3.1.3 - Instrumentos registradores
Estos se encargan de hacer una especie de conteo de la variable con un
trazo continuo o por puntos. Existen en distintos formatos: circulares,
rectangulares o alargados según sea la forma del gráfico. [27]
2.6.3.1.4 - Transmisores
Recogen la señal generada por el elemento primario y la transmiten a un
receptor a larga distancia mediante una señal neumática (normalmente 3 – 15
psi), electrónica (normalmente 4 – 20 mA c.c.) o digital. El elemento primario
puede o no formar parte del transmisor. [27]
2.6.3.1.5 - Transductores
Reciben una señal de entrada en función de una o más cantidades físicas
y la convierten en una señal de salida entendible por el sistema. Un ejemplo de
estos son los convertidores PP/I y PP/P, presión de proceso a intensidad y
presión respectivamente. [27]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 73 ~
2.6.3.1.6 - Receptores
Reciben la señal de salida de los transmisores y la registran o la
indican. Existen también receptores controladores, los cuales envían una señal
de salida ya sea neumática o electrónica al elemento final de control. [27]
2.6.3.1.7 - Controladores
Estos reciben la señal directa o indirectamente del proceso mediante los
transmisores, y la comparan con un valor deseado o un “set point”, como es
conocido por su nombre en inglés, y ejercen una acción de control correctiva de
acuerdo con la desviación presentada. [27]
2.6.3.2 - En función de la variable del proceso
Para este tipo de clasificación lo único que es tomado en cuenta es la
variable medida por el instrumento, entre las cuales se encuentran temperatura,
densidad, velocidad, caudal, presión, nivel, posición, fuerza, peso específico,
pH, frecuencia, conductividad, viscosidad, etc. [27]
Por estas razones resulta común encontrar en la designación de un
instrumento el uso de estos dos métodos de clasificación simultáneamente,
como por ejemplo un transmisor ciego de presión, un indicador de temperatura,
receptores indicadores de nivel, entre otros. [27]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 74 ~
2.7 - Teoría de la flexión
La figura 26 representa una viga en flexión. La cara cóncava está a
compresión y la cara convexa está a tracción. Estas dos caras están separadas
por el plano conocido como plano neutro de esfuerzo cero. La línea de color
rojo que representa a este plano en un diagrama de dos dimensiones se conoce
como línea neutra. La línea resultado de la intersección del plano neutro con la
sección transversal es conocida como el eje neutro. [1]
Figura 26. Viga en flexión
Para el estudio de la flexión se supone que la viga es prismática, que
tiene una longitud de por lo menos 10 veces su altura, que las fuerzas externas
son todas normales al eje de la viga y contenidas en un plano de simetría, y por
último que la flexión es pequeña. [1]
En cuanto a las propiedades intrínsecas del material las suposiciones a
ser tomadas en cuenta son: 1) el material es homogéneo y cumple con la ley de
Hooke; 2) los esfuerzos están por debajo del límite elástico; 3) cada una de las
capas de las que se considera formado el material tiene libertad para alargarse y
contraerse longitudinal y lateralmente por acción de esfuerzos como si estuviera
separada de las demás capas; 4) los módulos de elasticidad a la tracción y a la
compresión son iguales; 5) la sección transversal sigue siendo una superficie
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 75 ~
plana (esta suposición solo es estrictamente cierta cuando la fuerza cortante es
constante o nula sobre la sección transversal, y cuando la fuerza cortante es
constante a lo largo de la longitud de la viga). [1]
Luego de todas estas suposiciones es posible decir que: las fuerzas están
equilibradas horizontalmente, el eje neutro contiene al centro de gravedad de la
sección transversal cuando no hay esfuerzo axial resultante, la intensidad del
esfuerzo varía a razón directa de su distancia al eje neutro. [1]
El momento de las fuerzas con respecto al eje neutro, puede ser
calculado mediante la siguiente expresión:
Donde S es el esfuerzo existente sobre la fibra cuya distancia al eje
neutro es c, I es el momento de inercia con respecto al eje neutro. El módulo de
sección se define como I/c. Donde c es igual a y máximo. Esta ecuación sirve
para determinar la resistencia de las vigas. [1]
Para vigas rectangulares se tiene que:
Donde b es el ancho de la viga, y t es la altura, por lo que se puede decir
que la resistencia elástica de las secciones de vigas varía de la siguiente manera:
1) directamente proporcional al cuadrado de la altura, para secciones de ancho
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 76 ~
constante; 2) directamente proporcional al ancho, para secciones de altura
constante; 3) directamente proporcional a la resistencia del material, para altura
y ancho constantes; 4) si varía el claro, inversamente proporcional a éste, para
ancho, altura y material constante. [1]
Si se corta una viga horizontalmente por la mitad, las dos mitades
colocadas una al lado de la otra solo resistirán la mitad de lo que resistía la viga
original. [1]
2.7.1 - Esfuerzo normal en flexión
A fin de deducir las relaciones para los esfuerzos normales en flexión en
viga, se hacen las siguientes suposiciones: [10,14]
- La viga se somete a flexión pura: significa que la fuerza cortante es nula
y que no hay carga de torsión o axiales presentes.
- El material es isotrópico y homogéneo.
- El material cumple con la Ley de Hooke.
- Inicialmente la viga es recta con una sección transversal constante en
toda su longitud.
- La viga tiene un eje de simetría en el plano de la flexión.
- Las proporciones de la viga son tales que fallaría en flexión, en vez de
fallar por aplastamiento, corrugación o alabeo lateral.
- Las secciones transversales de la viga permanecen planas durante la
flexión.
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 77 ~
Figura 27. Esfuerzo normal en flexión
En la figura 27 se representa una porción de una viga sometida al
momento flexionante positivo Mf. El eje y representa el eje de simetría. El eje x
coincide con el eje neutro de la sección, y el plano xz, que contiene los ejes
neutros de todas las secciones transversales, se llama plano neutro. Los
elementos de la viga que coinciden con este plano tienen una deformación nula.
La localización del eje neutro con respecto a la sección transversal aún no se ha
definido. [10,14]
Figura 28. Vista plana flexión
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 78 ~
La aplicación del momento positivo causará que la superficie superior
de la viga se doble hacia abajo; entonces el eje neutro estará curvo, como en la
Figura 28. Debido a la curvatura, una sección AB originalmente paralela a CD,
girará en un ángulo d hasta A’B’, puesto que la viga era recta. Como AB y
A’B’ son líneas rectas, se supone que las secciones planas permanecen planas
durante la flexión. Si ahora se especifica el radio de curvatura del eje neutro
como , la longitud de un elemento diferencial del eje neutro como ds, y el
ángulo subtendido por los dos lados adyacentes CD y A’B’ como d , entonces,
de acuerdo con la definición de curvatura, se tiene: [10,14]
Como se señala en la figura 28, la elongación de una fibra a una
distancia y del eje neutro es [10,14]
La deformación es la elongación dividida entre la longitud original, o
Resolviendo las tres ecuaciones anteriores en forma simultánea, se
obtiene
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 79 ~
Así, la deformación es proporcional a la distancia y desde el eje neutro,
donde el signo negativo indica compresión. Ahora, como , para el
esfuerzo se tiene [10,14]
De acuerdo a lo planteado, entonces se trata con flexión pura lo que
significa que no hay fuerzas axiales que actúan sobre la viga. Lo anterior se
escribe de forma matemática sumando todas las fuerzas horizontales que actúan
sobre la sección transversal, e igualando esta suma a cero. La fuerza que actúa
sobre un elemento de área es ; por lo tanto [10,14]
La ecuación anterior define la localización del eje neutro. El momento
del área respecto al eje neutro es cero, y de aquí que el eje neutro pase por el
centroide del área de la sección transversal. En seguida se observa que para el
equilibrio se requiere que el momento flexionante interno creado por el
esfuerzo sea igual al momento externo Mf. por consiguiente, [10,14]
En esta ecuación se muestra la integral que es el segundo momento del
área respecto al eje z, este es
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 80 ~
Si a continuación se resuelve el sistema formado por las últimas dos
ecuaciones y se reacomodan, se tiene
Ésta es una ecuación importante en la determinación de la deflexión de
vigas. Por último, se elimina de las ecuaciones, para obtener [10,14]
Figura 29. Planos de esfuerzos
Se establece que el esfuerzo flexionante es directamente proporcional
a la distancia y desde el eje neutro y al momento flexionante Mf, como se
exhibe en la figura 29. Se acostumbra a designar por , para omitir el signo
negativo, y escribir [10,14]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 81 ~
Donde se entiende que esta ecuación proporciona el esfuerzo máximo.
Luego, cuando se conoce el sentido del momento, se determinan los esfuerzos
máximos de compresión o tensión mediante inspección. [10,14]
Otras formas alternas de escribir esta ecuación son las siguientes
Donde se llama modulo de sección.
2.7.2 - Módulo de Young
La curva de esfuerzo-deformación a la tracción de ingeniería se obtiene
por la acción de carga estática sobre una probeta estándar, es decir, mediante la
aplicación de suficientemente lenta de la carga, para que todas las partes de la
probeta estén en equilibrio en todo instante. La curva se obtiene, en general,
gobernando la rapidez de carga en la máquina de tracción. La norma ASTM E8
especifica una rapidez de carga que no exceda de 70 Kgf/mm2/(min). Otro
método para obtener la curva es especificar la rapidez de deformación como la
variable independiente, en cuyo caso la rapidez de carga se ajusta en forma
continua para mantener la rapidez de deformación requerida. Se usa,
comúnmente, una rapidez de deformación de 0,05 mm/mm.min. En general, se
mide con un extensómetro adaptado al tramo de medición de la probeta. [1]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 82 ~
Para la mayor parte de los materiales de Ingeniería, la curva tendrá una
región elástica lineal inicial en la cual la deformación es reversible e
independiente del tiempo. La pendiente de la recta que representa esta región se
conoce modulo de Young E. [1]
2.7.3 - Concentración de esfuerzos
En el desarrollo de las ecuaciones básicas del esfuerzo para tracción,
compresión, flexión y torsión, se supuso que no había irregularidades en el
elemento bajo consideración. Pero es muy difícil diseñar una máquina sin
permitir algunos cambios en la sección transversal de los miembros. Los ejes
rotatorios deben tener hombros diseñados en ellos, de manera que los cojinetes
se asienten apropiadamente y tomen cargas de empuje; además los ejes deben
de tener ranuras maquinadas en ellas para las cuñas, a fin de sujetar poleas y
engranes. Un tornillo tiene una cabeza en un extremo y roscas en el otro, tanto
la cabeza como las roscas tienen cambios abruptos en su sección transversal.
Otras partes requieren agujeros, ranuras para la lubricación con aceite, y
muescas de varias clases. Cualquier discontinuidad en una parte de una
máquina altera la distribución del esfuerzo en las inmediaciones de la
discontinuidad de manera que las ecuaciones elementales del esfuerzo ya no
describen el estado de esfuerzo en la parte. A estas discontinuidades se les
denomina intensificadores de esfuerzos, a las regiones en las cuales ellos
ocurren se les llama áreas de concentración de esfuerzo. [14]
La distribución del esfuerzo elástico a través de la sección de un
elemento tal vez sea uniforme como en una barra en tensión; puede ser lineal
como en una viga en flexión, o incluso rápida y curvilínea como en una viga
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 83 ~
agudamente curvada. La concentración de esfuerzo la provoca alguna
irregularidad no inherente en el elemento, como marcas de herramientas,
agujeros, estrías, ranuras o roscas. Se dice que el esfuerzo nominal existe si el
elemento se presenta libre del intensificador de esfuerzos. Esta definición no
siempre se cumple, por lo que debe verificar la definición en la grafica de la
concentración de esfuerzos o en la tabla que se está utilizando. [14]
En la figura 30 se presentan las trayectorias de las fuerzas que son
uniformes en todas partes, excepto en la inmediación del agujero. Pero en el
agujero, tales líneas de fuerza se deben curvar para rodearlo. La concentración
de esfuerzo es un efecto muy localizado. El esfuerzo en la placa en tensión es
mayor en el borde del agujero, en el plano A-A; este esfuerzo disminuye con
rapidez cuando se examinan los puntos más alejados del borde y pronto vuelve
a ser uniforme. [14]
Figura 30. Concentración de esfuerzos
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 84 ~
Se emplea un factor teórico o geométrico de la concentración de
esfuerzos Kt o Kts para relacionar el esfuerzo máximo real en la discontinuidad
con el esfuerzo nominal. Los factores se definen por medio de las siguientes
ecuaciones [14]
Donde Kt se usa para esfuerzos normales y Kts para esfuerzos cortantes.
El esfuerzo nominal S0 o τ0 es más difícil de definir. A menudo se calcula el
esfuerzo mediante las ecuaciones elementales del esfuerzo y el área neta o
sección transversal neta. Pero algunas veces se aplica la sección transversal
total, y por tanto siempre resulta conveniente verificar antes de calcular el
esfuerzo máximo. [14]
El subíndice t en Kt significa que el valor de este factor de
concentración de esfuerzo sólo depende de la geometría de la parte. Es decir, el
material particular utilizado no tiene efecto en el valor de Kt y por ello se llama
factor teórico de concentración de esfuerzos. [14]
El análisis de las formas geométricas para determinar los factores de
concentración de esfuerzos se convierte en un problema difícil y no se
encuentran muchas soluciones. Una de las soluciones es la de una placa infinita
que contiene un agujero elíptico cargado a tensión uniforme. El resultado es [14]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 85 ~
Donde, después de reemplazar el agujero de la figura 30 con una elipse,
b es el semiancho, a es la semialtura y w = ∞. De esta manera, para un agujero
circular, b = a y Kt=3. [14]
Se puede observar que la ecuación anterior se aplica a una grieta
transversal, donde , o a una grieta longitudinal . [14]
La mayor parte de los concentradores de esfuerzos se determina por
medio de técnicas experimentales. Aunque se ha manejado el método del
elemento finito, el hecho de que los elementos son finitos impide encontrar el
esfuerzo máximo real. Por lo general, en las aproximaciones experimentales se
incluye la fotoelasticidad, métodos de malla, métodos de recubrimiento frágil y
métodos eléctricos con medidores de deformación. Por supuesto, los métodos
de malla y con medidores de deformación presentan el mismo inconveniente
del elemento finito. [14]
En carga estática los factores de concentración de esfuerzos se aplican
como sigue. En materiales dúctiles ( ) el factor de concentración de
esfuerzos a menudo no se aplica para predecir el esfuerzo critico, porque la
deformación plástica en la región del esfuerzo tiene un endurecimiento. En
materiales frágiles ( ) el factor de concentración de esfuerzos
geométrico Kt se aplica al esfuerzo nominal antes de compararlo con la
resistencia. [14]
CAPITULO II
Marco Teórico
~ 86 ~
2.8 - Ensayos No Destructivos (END)
Los ensayos no destructivos consisten en la evaluación de los materiales
de ingeniería sin perjudicar su utilidad. Un objetivo fundamental de las técnicas
de evaluación no destructivas es la identificación de defectos potencialmente
críticos, como grietas internas y superficiales. Como sucede con la mecánica de
fractura, los ensayos no destructivos pueden servir para analizar un fallo
existente o para evitar fallos futuros. [1]
El estudio de detección de fallas mediante resonancia de materiales
clasifica como un END recientemente desarrollado, aunado a este también se
pueden identificar algunos como por ejemplo: radiografía de rayos x, ensayos
de ultrasonidos, corrientes inducidas, partículas magnéticas, entre otros. [1]
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 87 ~
CAPITULO III
METODOLOGÍA EXPERIMENTAL
3.1 – Etapas del proceso
El proceso experimental utilizado consistió en cinco etapas, que
permitieron que la experimentación pudiera darse de una forma controlada y
con una buena reproducibilidad. Para la realización de cada una de estas etapas
fue necesaria la variación de ciertos parámetros como por ejemplo la
disposición del montaje experimental, profundidad de entalla, distancia de
entallamiento a lo largo de la probeta, ubicación y acoplamiento del
transductor, frecuencias de excitación y condiciones del laboratorio; para, de
esta manera, asegurar que el desarrollo del estudio se hiciera de forma optima,
eficiente y segura.
A continuación se establecen de manera esquemática las etapas del
proceso:
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 88 ~
Diseño de las
Probetas
Fabricación de las
Probetas
Inducción de
Discontinuidades
Estudio de Frecuencias
de Resonancia
Caracterización de las
Probetas
3.1.1 – Diseño de las probetas
Para el diseño de las probetas se realizó un análisis de los factores que
se involucraban en el proceso de experimentación, así como también la cantidad
y calidad de recursos disponibles para su elaboración y desarrollo.
Los factores a tomar en cuenta fueron, las características del material,
herramientas y equipos a disposición, maquinaria para la fabricación de las
probetas, maquinaria utilizada para la inducción de las entallas, los
transductores utilizados para la emisión y recepción de las ondas, equipos de
monitoreo e inspección del proceso de experimentación, entre otros.
Encontrándose finalmente que el material más indicado es un acero ASTM A36
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 89 ~
(acero estructural), debido a que: se encuentra accesible, es regularmente usado
en campo en recipientes a presión, tuberías, tanques de almacenamiento, por lo
que resulta de gran interés su inspección.
Se estudiaron tres (3) tipos de geometría para la realización de los
ensayos, los cuales fueron: barras de sección transversal circular constante,
pletinas de sección transversal rectangular constante y barras de sección
transversal cuadrada constante. Lo que llevó a determinar que por la practicidad
del trabajo y por la alta reproducibilidad al momento de la fabricación a partir
de la plancha inicial del material que se disponía, la más idónea es la probeta de
sección transversal cuadrada, la cual cuenta con las siguientes especificaciones:
Figura 31. Diseño de la probeta
Finalmente, vale destacar que las dimensiones fueron de vital
importancia en la elección de este tipo de probeta, ya que, las mismas fueron las
más adecuadas al espacio disponible para su inspección, estudio llevado a cabo
en las instalaciones del laboratorio de soporte instrumental (LABSI) de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad Central de Venezuela.
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 90 ~
3.1.2 – Fabricación de las probetas
Para la fabricación de las probetas se contó con una plancha de acero
ASTM A36 de dimensiones 42 cm de largo, 62 cm de ancho y un espesor
nominal de 10 mm. Perteneciente a la bobina B293204 y colada C671806 de la
empresa SIDOR, de la cual se planteó la producción de 20 especímenes cuyas
dimensiones se encuentran previamente especificadas.
Figura 32. Plancha original
Debido a las dimensiones iniciales de la plancha se hizo necesario
reducir el ancho de la misma a la mitad, con el fin de que el tamaño de la
misma no interfiriera con los procesos subsiguientes de corte y maquinado en
los diferentes equipos de la Escuela de Mecánica. Este proceso se logró con una
técnica auxiliar a la soldadura conocida como oxicorte.
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 91 ~
Figura 33. Proceso de oxicorte
Una vez realizado el corte inicial se procedió a realizar cortes
transversales a la plancha de 10 mm de espesor con el uso de una sierra vaivén
SCORTEGAGNA Modelo ERCOLE 320, con una duración aproximada de 40
minutos por cada barra, originando las 20 barras deseadas.
Figura 34. Corte de la plancha
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 92 ~
Posteriormente, se realizaron cortes en dirección transversal a las barras
que dieron a los especímenes la longitud deseada, con tiempo estimado de 1
minuto por corte, con velocidad de avance de 0.2 mm/seg, mediante el uso de la
máquina cortadora BUEHLER modelo 95C1700160 con un disco de corte
abrasivo numero 10 – 4111 para acero duro y acero carburizado.
Figura 35. Maquina cortadora
Finalmente, se realizó un proceso de lijado con el fin de proporcionar un
acabado superficial de las caras longitudinales de los especímenes comenzando
por la etapa de desbaste con lija numero 80 y culminando con una etapa de
semipúlido con una de numero 600, pasando por etapas intermedias con
números de 120, 240, 320, 500, con el fin de evitar que durante la etapa de
experimentación las imperfecciones creadas por los proceso de fabricación
puedan presentarse como discontinuidades no controladas.
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 93 ~
Figura 36. Proceso de lijado
Finalmente se obtuvieron los especímenes con dimensiones y acabado
deseados para la experimentación como se muestran a continuación.
Figura 37. Especímenes finales
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 94 ~
3.1.3 – Inducción de las discontinuidades
Para la inducción de las discontinuidades se realizó el montaje de las
probetas en la máquina de electroerosión de corte por hilo Metals Research Ltd
Servomet, con hilo de cobre estañado de calibre 30 la cual trabaja con kerosene
como liquido dieléctrico ubicada en el Laboratorio de especímenes y patrones
(LABES) y cuya ilustración se presenta a continuación
Figura 38. Maquina de electroerosión
Para el montaje de los especímenes se utilizó una prensa acorde al tipo
de geometría de la probeta que se adapta a la máquina con el fin de no permitir
ningún tipo de movimiento al momento de tener el contacto hilo – espécimen,
asegurando poder obtener la dirección de la entalla lo mas perpendicular
posible con respecto a la dirección del eje.
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 95 ~
Figura 39. Proceso de electroerosión
Seguidamente, se ajustó la posición del hilo con el uso de un nonio de
movimiento longitudinal, de forma tal que la realización de la entalla se
estableciera a una distancia de X = 0,5L del extremo y en dirección
perpendicular al espécimen como se encuentra representado en la figura 41.
Luego se realizó la inmersión del espécimen en el líquido dieléctrico,
para posteriormente ajustar el voltaje de la fuente de poder en 100 V tomado
como valor intermedio del rango de trabajo aceptable, que va desde 30 V hasta
200 V, definiendo con esto la energía de la descarga de manera indirecta.
También se activó el sistema removedor de viruta para evitar que la misma
afectara el proceso.
Posteriormente, se dió inicio al programa encargado del funcionamiento
de la maquina realizando pasadas continuas y de esta manera dar forma a la
entalla, que debido a la naturaleza propia del estudio se realizó en dirección
transversal al espécimen, con longitud de 10 mm, correspondiente al ancho de
la sección (ver figura 41), tomando valores de profundidad oscilando entre
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 96 ~
0,33 mm y 1,14 mm de profundidad, empezando en 0,85 mm debido a que la
variación de la misma sirvió como patrón de sensibilidad del método.
Figura 40. Salida del programa de automatización de electroerosión
Finalmente se obtuvieron los especímenes con las entallas realizadas
para la experimentación como se muestran a continuación
Figura 41. Diagrama probeta entallada x = 0,5L
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 97 ~
Figura 42. Especímenes entallados
3.1.4 – Caracterización de las probetas
Como primer paso se realizaron las mediciones de las características
dimensionales de las probetas haciendo uso de un vernier de tipo electrónico
marca MITUTOYO DIGITAL CALIPER, obteniendo las dimensiones de cada
una así como también se calcularon el área promedio e inercia tal y como se
encuentran reportadas en la tabla a continuación:
Tabla 3. Dimensiones de las probetas
Probeta L Am Am I
N° (m) bm (m) tm (m) (m2) (m
4)
1 0,09912 0,00939 0,00960 0,00009018 6,925E-10
2 0,10053 0,00961 0,00980 0,00009418 7,537E-10
3 0,09975 0,00949 0,00950 0,00009016 6,775E-10
4 0,10018 0,00949 0,00954 0,00009053 6,871E-10
5 0,10049 0,00948 0,00946 0,00008965 6,685E-10
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 98 ~
Luego, se realizó la medición de las profundidades de las entallas,
haciendo uso del lente magnificador de un durómetro FUTURE TECH Modelo
FV-700 para poder asegurar con mayor precisión este valor y la toma de
imágenes con un microscopio digital BUEHLER Modelo 1105. Las
profundidades obtenidas se ilustran en la siguiente tabla:
Tabla 4. Profundidades de entalla
Probeta N° 1 2 3 4 5
d (mm) 0,45 0,47 0,33 0,46 0,85 1,14
Ancho(mm) 0,58 0,54 0,58 0,57 0,58 0,56
Figura 43. Medición de discontinuidad
Figura 44. Imagen por microscopio de discontinuidad
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 99 ~
A manera de descripción detallada de las discontinuidades, tienen un
ancho aproximado de 0,57 mm y se observa que cuentan con una superficie
semicircular a nivel microscópico al fondo de la misma originada por el hilo de
corte con diámetro igual a 0,4 milímetros.
3.1.5 – Estudio de frecuencias de resonancia
Para la realización de los ensayos se seleccionó el montaje experimental
inicial que se muestra a continuación, el cual estuvo inspirado en la norma de
ensayos con frecuencia fundamental de resonancia transversal, longitudinal y
torsional en especímenes de concreto.
Figura 45. Montaje inicial
Después de los resultados preliminares obtenidos se observó que
existían factores que colaboran directamente a la obtención de una serie de
imprecisiones que desmejoran la calidad de la experimentación, tales como la
presencia de agentes externos que generaban corrientes de aire cuyo flujo
incidía directamente sobre el montaje como ventiladores, aires acondicionados,
entre otros, también el material utilizado en los elementos de apoyo, ya que,
podían transmitir cierto grado de amortiguación y que a la vez pasan a formar
parte del sistema pudiendo modificar ligeramente las frecuencias de resonancia.
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 100 ~
Por estas razones se hizo necesario replantear el montaje a uno que se
aproximara un poco más al ideal, por lo que se incluyó el uso de un soporte
universal e hilos de nilón que suspendieran al espécimen en el aire, teniendo
como único apoyo la sujeción de los hilos tal y como se muestra en la siguiente
figura.
Figura 46. Montaje final
Una vez definido el montaje experimental a utilizar, se acoplaron dos
transductores piezoeléctricos de material cerámico compuesto por titanato de
Bario con diámetro igual a 5 centímetros, uno conectado a un generador de
ondas marca HP modelo 33120A que sirvió de emisor de las señales de ondas
vibratorias en un extremo del espécimen y otro en el extremo longitudinalmente
opuesto que fué conectado a un osciloscopio registrador de almacenamiento
digital marca TECTRONIX modelo TDS210 con la función de recibir las
señales. Ambos unidos mediante un acoplante (comercial) en proporción
equitativa de pequeñas masas.
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 101 ~
Figura 47. Acople de transductores
Seguidamente y con la asistencia del generador de ondas se procedió a
inducir la serie de estímulos vibratorios a los especímenes, variando las
frecuencias en un intervalo desde los 500 Hz hasta los 65000 Hz, de esta forma
y de manera gradual se obtuvieron la frecuencia fundamental y los primeros 4
armónicos de cada espécimen, esta variación fue observada detalladamente en
el osciloscopio hasta obtener picos de gran amplitud que permitieron identificar
a estas frecuencias como la fundamental y sus armónicos sucesivos. También es
necesario mencionar que las mismas fueron realizadas de manera manual lo que
hace pensar que el error experimental que pueda ser inducido dependerá de las
condiciones y experticia del operador.
Figura 48. Detección de una frecuencia de resonancia
mV
s
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 102 ~
Este proceso se llevó a cabo determinando una cantidad de ocho (8)
mediciones por espécimen, esto a fin de disminuir el efecto producido por
factores aleatorios, montaje, entre otros. Todas estas medidas pueden ser
apreciadas en las siguientes tablas resumen.
Tabla 5. Mediciones de probeta patrón
Probeta N° 1 (Sin Entalla)
Mediciones Frecuencias ( Hz )
1 4838 12006 23952 36648 59028
2 4736 12465 23759 36570 58997
3 4738 12461 23910 36650 59013
4 4733 12460 23963 36710 59017
5 4745 12449 23634 36639 59670
6 4751 12048 23895 36984 59035
7 4749 12462 23990 36702 59046
8 4759 11650 24011 36696 59651
Tabla 6. Mediciones de probeta con entalla 0,33 de profundidad
Probeta N° 2 (Entalla en X = 0,5L ^ d = 0,33 mm)
Mediciones Frecuencias ( Hz )
1 4673 11738 23808 36614 57138
2 4525 12176 23714 36564 58552
3 4754 11470 23841 36543 58233
4 4612 11074 23853 36543 58564
5 4702 11380 23670 36549 57914
6 4706 11370 23860 36536 58137
7 4626 11170 23834 36243 58612
8 4699 11180 23864 36544 58123
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 103 ~
Tabla 7. Mediciones de probeta con entalla 0,46 de profundidad
Probeta N° 3 (Entalla en X = 0,5L ^ d = 0,46 mm)
Mediciones Frecuencias ( Hz )
1 4528 12062 23765 36445 57329
2 4487 11571 23537 36390 57469
3 4612 11128 23652 36420 57104
4 4718 11160 23676 36298 57095
5 4650 11580 23595 36426 57078
6 4651 10989 23612 36652 57238
7 4615 11153 23729 36445 57287
8 4626 11074 23616 36247 57012
Tabla 8. Mediciones de probeta con entalla 0,85 de profundidad
Probeta N° 4 (Entalla en X = 0,5L ^ d = 0,85 mm)
Mediciones Frecuencias ( Hz )
1 4475 11207 23565 36232 56037
2 4461 11607 23310 36209 56016
3 4527 11333 23568 36267 56082
4 4569 10827 23586 36256 56206
5 4648 11390 23580 36308 56634
6 4524 11095 23552 36307 56189
7 4535 11164 23547 36125 56579
8 4485 11096 23580 36350 56056
Tabla 9. Mediciones de probeta con entalla 1,14 de profundidad
Probeta N° 5 (Entalla en X = 0,5L ^ d = 1,14 mm)
Mediciones Frecuencias ( Hz )
1 4520 11429 22588 35941 56470
2 4352 11535 22657 35767 55997
3 4422 11268 23292 35965 55970
4 4492 10885 22547 35612 55421
5 4505 10910 22555 35108 55893
6 4372 11010 23231 35950 55883
7 4383 11017 23236 35959 55789
8 4385 11014 23240 35954 55943
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 104 ~
Posteriormente, se le indujo una discontinuidad a un espécimen patrón,
con una profundidad de 0,47 mm, ubicada en la posición de uno de los nodos
del modo fundamental de vibración, que corresponde a una distancia de 0,224 L
medido desde uno de los extremos del espécimen. Esto se realizó con el objeto
de analizar si este método permitiría la detección de discontinuidades presentes
en posiciones cercanas a puntos nodales. La siguiente figura muestra de forma
esquemática el espécimen con la nueva discontinuidad.
Figura 49. Diagrama probeta entallada una vez en x = 0,224L
A continuación se presenta una tabla con las mediciones de la probeta
con entalla en X = 0,224L:
Tabla 10. Mediciones de probeta con entalla una ve en x = 0,224L
Probeta N° 1 (Entalla en X = 0,224L ^ d = 0,47 mm)
Mediciones Frecuencias ( Hz )
1 4515 11904 22910 36430 56676
2 4497 11602 22916 36602 56030
3 4530 11743 22915 36416 55882
4 4502 11780 22923 36398 55902
De manera similar al ensayo anteriormente descrito, se ensayó el mismo
espécimen con la presencia de una segunda discontinuidad de profundidad 0,45
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 105 ~
mm y ubicada a la misma distancia del extremo longitudinalmente opuesto
como se ilustra a continuación.
Figura 50. Diagrama probeta entallada dos veces 0,224L
A continuación se presenta una tabla con las mediciones de la probeta
con dos entallas:
Tabla 11. Mediciones de probeta con dos entallas en x = 0,224L
Probeta N° 1 (Entallas en X = 0,224L ^ d = 0,47 mm ^ d = 0,45 mm)
Mediciones Frecuencias ( Hz )
1 4432 11477 22876 35224 55177
2 4490 11530 22877 35202 55396
3 4496 11493 22830 35276 55423
4 4406 11536 22845 35155 55370
Por otra parte se llevo a cabo con el mismo montaje experimental
anterior, el ensayo de percusión a carga pulsante, a la probeta patrón y a las
entalladas con distintas profundidades, descrito en el siguiente esquema:
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 106 ~
Figura 51. Esquema ensayo de percusión
Figura 52. Foto del ensayo de percusión
Haciendo uso de un martillo se impactó la superficie del espécimen
dejándolo vibrar libremente sin más amortiguación que la producida por el
propio hilo, de manera tal que se pudiera excitar entre los varios modos de
vibración, el fundamental.
Para captar el tono producido por la frecuencia fundamental se uso un
micrófono AKG modelo PT 450 facilitado por la escuela de Ingeniería de
Petróleo, esto permitió la transmisión hacia el osciloscopio de manera tal que
CAPITULO III
Metodología Experimental
~ 107 ~
registrara su frecuencia y amplitud de vibración, corroborando que las
condiciones obtenidas son las de resonancia deseada. Este proceso fue repetido
dos veces por probeta a fin de disminuir el error cometido en la
experimentación.
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 108 ~
CAPITULO IV
RESULTADOS Y ANÁLISIS
4.1 – Resultados y análisis
Como punto importante para el análisis de los resultados, cabe destacar
que se obtuvieron los valores de frecuencia resonantes de tres (3) formas
distintas: una teórica y dos experimentales. De la manera teórica se utilizó la
ecuación diferencial de ondas transversales para vigas, algunas propiedades del
material y las dimensiones de cada una de las barra. De la manera experimental
se utilizaron las dos formas mencionadas en el capitulo anterior, vibración
forzada y percusión de las barras para obtener las frecuencias de resonancia
mediante el uso de un osciloscopio.
4.1.1 - Cálculo de las frecuencias teóricas de las probetas
Con la fórmula de cálculo de frecuencias obtenida del desarrollo de la
ecuación correspondiente a las vibraciones de
ondas transversales en vigas, propiedades del material como: densidad y
módulo elasticidad; y las dimensiones de las probetas obtenidas directamente
con el vernier, realizamos el cálculo de manera teórica de las probetas para
obtener la frecuencia fundamental y los sucesivos armónicos. A continuación se
muestra un ejemplo de cálculo:
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 109 ~
Datos
Módulo de elasticidad (Tomado de:
www.construaprende.com/Tablas/Modulos_elasti
cidad.html)
Densidad (Tomado de:
Handbook-Ciencia de los materiales e Ingeniería,
Shackelford)
Ecuaciones
Área de la sección transversal, Ancho, w Espesor.
Momento de inercia de barra de área transversal cuadrada,
Ancho, w Espesor.
Frecuencia de resonancia a distintos modos, Raíces,
Longitud.
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 110 ~
Ejemplo
Para la barra N° 1 sin discontinuidad, tenemos los siguientes datos:
Raíces de la ecuación calculados de forma
numérica :
Tabla 12. Raíces de la ecuación
1 * L 2 * L 3 * L 4 * L 5 * L
4,712 7,853 10,995 14,137 17,278
Cálculo del área promedio:
m
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 111 ~
Cálculo del momento de inercia de la barra:
Cálculo de la frecuencia fundamental:
Para los armónicos siguientes se calculan de la misma manera
cambiándoles la raíz:
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 112 ~
Las frecuencias de resonancias teóricas de las distintas barras se
muestran en la siguiente tabla:
Tabla 13. Frecuencias teóricas de las probetas
Frecuencias(Hz)
Probeta N° Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5
1 5153,31 14314,76 28056,92 46379,81 69283,41
2 5114,14 14205,94 27843,64 46027,25 68756,75
3 5033,65 13982,37 27405,44 45302,87 67674,65
4 5015,06 13930,71 27304,20 45135,51 67424,65
5 4940,64 13724,00 26899,04 44465,76 66424,16
De esta tabla se puede decir que los valores de frecuencias entre barras
en los distintos modos son diferentes de manera apreciable, es decir, se puede
notar que los menores valores de frecuencia son de la barra número cinco(5) y
los de mayor valor son de la barra número uno(1), de aquí podemos extraer las
diferencias de frecuencias entre las barras uno y cinco en los distintos modos,
1 = 208 Hz, 2 = 597 Hz, 3 = 1131 Hz, 4 = 1869 Hz y 5 = 2792
Hz, las tres(3) barras restantes con valores intermedios. Se puede observar con
estos resultados que a medida de que se cambia a una frecuencia superior, las
diferencias entre las mismas se van incrementando, a pesar de las pequeñas
diferencias en las dimensiones de las barras, en la ecuación hay términos
potenciales y valores muy grandes en las propiedades del material que al
momento de hacerse el cálculo los errores son significativos, éste hecho
demuestra la importancia en la medición de las dimensiones de las probetas y
no sería recomendable usar las dimensiones nominales de éstas. A continuación
se muestra una comparación entre algunos valores teóricos y experimentales
calculados el método de vibración forzada:
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 113 ~
Tabla 14. Frecuencias de resonancias teóricas y experimentales
Frecuencia Teórica y Experimental de la Probeta N°1 (Hz)
Modos 1 2 3 4 5
Teórica 5153,31 14314,75 28056,92 46379,81 69283,41
Prom. Exper. 4756,13 12250,13 23889,25 36699,88 59182,13
Desviación 34,19 311,62 129,25 123,40 295,67
Figura 53. Comparación de frecuencias teóricas y experimentales (vibración forzada)
De la comparación entre las frecuencias obtenidas experimentalmente
con las frecuencias calculadas teóricamente, se encontró un patrón regular que
reporta que, los valores teóricos calculados son mayores que los experimentales
para todo el espectro de frecuencias de resonancia estudiado esto puede
explicarse, ya que, en el desarrollo de las ecuaciones que proporcionan las
frecuencias se despreció el efecto producido por la fricción interna. Como es
sabido, el término en la ecuación de onda produce un efecto de
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 114 ~
disminución paulatina de las amplitudes de oscilación y también una
disminución en las frecuencias por lo que al despreciar este término se esperaría
obtener frecuencias teóricas mayores que las experimentales.
4.1.2 - Obtención de las frecuencias de resonancia experimentales
Uno de los cuidados que hay que tener cuando se aplica el método de
oscilaciones forzadas es estar seguro que la frecuencia medida
experimentalmente corresponde a la frecuencia del componente bajo estudio y
no a otras partes del sistema que se incorporan para el ensayo, así en este caso
donde se incorporaron dos (2) sensores para la transmisión y recepción de las
vibraciones, fue necesario calcular las primeras frecuencias de resonancia de
éstos. Durante la realización de los ensayos se encontraron dos frecuencias de
valores menores a la obtenida como frecuencia fundamental de las barras, lo
que indicó que el equipo se encontraba registrando frecuencias de resonancia
provenientes de la posible realimentación del sistema por vías acústicas entre el
emisor y el receptor, de aquí un valor agregado a los cálculos teóricos
realizados que permitieron determinar que los valores de resonancia eran los
correctos y no valores creados por condiciones de diseño de los transductores.
La figura 54 muestra el espectro del sonido producido por la probeta
N°2 al ser sometida a percusión
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 115 ~
Figura 54. Frecuencia fundamental de una probeta con
entalla en X = 0,5L y d = 0,33mm
En ella puede apreciarse que se pudo lograr la excitación del armónico
fundamental con valor distinto a los dos (2) menores que se registraba en el
osciloscopio, por lo que se puede asumir finalmente que son frecuencias de
resonancia de los transductores. A continuación se muestran en la tabla 15 los
valores de frecuencias fundamentales obtenidas experimentalmente con el
método de percusión y se compara con los valores promedios obtenido
experimentalmente por el método de vibración forzada, de la probeta patrón y
probetas entalladas:
Tabla 15. Comparación de la frecuencia fundamental, entre vibración forzada y
percusión en las probetas
Comparación de la Frecuencia Fundamental Experimental
Probeta N° 1 2 3 4 5
d (mm) 0 0,33 0,46 0,85 1,14
Percusión 5185,00 4927,00 4919,00 4873,00 4722,00
Forzada 4756,13 4662,13 4610,88 4528,00 4428,88
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 116 ~
De manera gráfica:
Figura 55. Gráfica comparativa entre métodos experimentales
En la figura 55 se observa que los valores de las frecuencias
fundamentales, obtenidas por tanto por el método de percusión como por el de
resonancia, disminuyen a medida que la entalla se hace más profunda. Al
comparar los dos métodos se observa que en el de percusión siempre se
reportan valores mayores que en el de oscilación forzada, esto tal vez se deba a
que en el método de percusión no se tiene un modo puro de oscilación.
También se obtuvieron gráficos del comportamiento de los distintos
especímenes sometidos a ensayos, permitiendo realizar los siguientes análisis:
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 117 ~
4.1.3 - Análisis de barras con discontinuidad en X = 0,5L (punto
medio de la barra)
Con la presencia de discontinuidades en X = 0,5L se presentan a
continuación los siguientes resultados:
4.1.3.1 - Frecuencia fundamental ( 4000 Hz)
De la experimentación para la primera frecuencia de resonancia se
obtuvieron los datos que muestran en la siguiente tabla:
Tabla 16. Valores de la frecuencia fundamental en las probetas y la desviación estándar
de los valores para distintas profundidades de entalla
Frecuencia Fundamental ( 4000 Hz)
Probeta d (mm) m (Hz) (Hz)
1 0 4756,13 34,19
2 0,33 4662,13 71,77
3 0,46 4610,88 72,78
4 0,85 4528,00 60,11
5 1,14 4428,88 66,87
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 118 ~
Figura 56. Gráfica de la frecuencia fundamental en las probetas a distintas
profundidades de entalla
En la figura 56, se muestra el comportamiento de las probetas al ser
estimuladas con la frecuencia fundamental de resonancia que varía entre cuatro
mil (4000) y cinco mil (5000) hertz, se observa que existe una notable
disminución de las frecuencias con el incremento de la profundidad de entalla
tomando cinco (5) profundidades distintas para realizar las comparaciones y
cuyos valores expresados en milímetros son: 0 mm (probeta sin entalla); 0,33
mm; 0,46 mm; 0,85 mm y 1,14 mm. Se observa una importante dispersión que
arroja un valor de desviación estándar de 73 Hz, estas variaciones pueden estar
asociadas a: las condiciones de laboratorio al momento de realizar las
mediciones, montaje y desmontaje de las probetas en el sistema, la colocación
de los piezoeléctricos en las probetas, la cantidad de material acoplante entre la
probeta y transductor, uso de varios transductores de repuesto. También puede
observarse que el método permite la detección de discontinuidades hasta de un
orden menor a los 0,33 mm de profundidad en función de la tendencia de
disminución de las frecuencias, este comportamiento es el esperado ya que la
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 119 ~
presencia de la discontinuidad genera cambios en la sección transversal y en la
inercia lo que genera disminución directa de los valores de frecuencia.
De los resultados obtenidos se pudo aproximar la variación de las
frecuencias en función de las profundidades de entalla usando una ley potencial
de la forma:
Donde:
frecuencia de la probeta sin entalla
frecuencia de la probeta a profundidad de entalla “d”
Valor constante
Pendiente de la recta.
Al aplicar esta ley a los datos anteriormente obtenidos se tiene la
siguiente tabla:
Tabla 17. Valores de log(d) y log( 0- ) en la frecuencia fundamental
Frecuencia 4000 Hz
log (d) log ( 0 – )
-0,48545225 1,97312785
-0,33441901 2,16211614
-0,06905097 2,35817288
0,05804623 2,51487966
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 120 ~
Graficando en escala log-log, profundidad de entalla en función de la
diferencia de frecuencia se tiene que:
Figura 57. Gráfica en escala log-log de la frecuencia fundamental
La Figura 57 muestra que la diminución de las frecuencias se ajusta
satisfactoriamente a una ley potencial en términos de la profundidad de la
entalla, existe una buena correlación lineal evidenciado con un valor
0,9885, la ecuación que describe el valor de la frecuencia fundamental en
función de profundidad es ; donde el parámetro
indica la sensibilidad de la entalla en términos del armónico analizado (
0,9474), de tal manera que altos valores de alfa indicarían una gran
sensibilidad de la frecuencia de un armónico en particular a la presencia de una
entalla, así si se comparan los valores de alfa para cada una de las frecuencia de
resonancia estudiadas se puede evaluar la influencia que tiene la entalla en X =
0,5L sobre los modos resonantes.
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 121 ~
4.1.3.2 – 2do Armónico ( 12000 Hz)
La figura 58 y 59 muestran los resultados obtenidos para la segunda
frecuencia resonante, donde: la figura 6 presenta la frecuencia versus la
profundidad de la entalla mientras que en la figura 7 se presentan los resultados
a escala log-log como se realizó en el punto anterior.
Tabla 18. Valores del segundo armónico en las probetas y la desviación estándar de los
valores para distintas profundidades de entalla
2do Armónico ( 12000 Hz)
Probeta d (mm) m (Hz)
1 0 12250,13 311,62
2 0,33 11444,75 361,38
3 0,46 11339,63 366,16
4 0,85 11214,88 232,99
5 1,14 11133,50 245,36
Tabla 19. Valores de log(d) y log( 0- ) en el segundo armónico
Frecuencia 12000 Hz
log (d) log ( 0 – )
-0,48545225 2,90599814
-0,33441901 2,95927995
-0,06905097 3,01504523
0,05804623 3,04790734
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 122 ~
Figura 58
Figura 59
Figura 58. Gráfica del segundo armónico en las probetas a distintas
profundidades de entalla
Figura 59. Gráfica en escala log-log del segundo armónico
Se observa una mayor dispersión que en el caso anterior (representado
por la figura 56, frecuencia fundamental), la desviación estándar alcanza un
valor máximo de 366 Hz, sin embargo, la disminución de las frecuencias
debido al incremento de la profundidad en la entalla es aún evidente.
En la figura 59 se obtuvo un parámetro de sensibilidad a la entalla
0,2518. Con un valor de dispersión de 0,9893 el cual indica que la
correlación lineal existente entre el logaritmo de las entallas y el logaritmo de la
diferencia frecuencial es aún buena, la correlación viene expresada por la
ecuación .
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 123 ~
4.1.3.3 – 3er Armónico ( 23000 Hz)
Ahora se realiza el estudio de la 3era frecuencia de resonancia, la cual se
encuentra entre valores de veintidós mil (22000) y veintitrés mil hertz, a
continuación se muestran las tablas y respectivas gráficas para el análisis de las
mismas.
Tabla 20. Valores del tercer armónico en las probetas y la desviación estándar de los
valores para distintas profundidades de entalla
3er Armónico ( 23000 Hz)
Probeta d (mm) m (Hz)
1 0 23889,25 129,24
2 0,33 23805,50 73,15
3 0,46 23647,75 74,16
4 0,85 23536,00 92,34
5 1,14 22918,25 356,38
Tabla 21. Valores de log(d) y log( 0- ) en el tercer armónico
Frecuencia 23000 Hz
log (d) log ( 0 – )
-0,48545225 1,92298481
-0,33441901 2,38291713
-0,06905097 2,54808217
0,05804623 2,98721922
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 124 ~
Figura 60
Figura 61
Figura 60. Gráfica del tercer armónico en las probetas a distintas
profundidades de entalla
Figura 61. Gráfica en escala log-log del tercer armónico
Se presentan en la figura 60 las mediciones del tercer armónico que está
alrededor de los veintitrés mil (23000) Hz, se observa que disminuye un poco la
dispersión exceptuando en la probeta N°5 (d = 1,14 mm) donde se obtuvo el
mayor valor de desviación estándar que fue de 356 Hz, se observa que
existe el mismo patrón de disminución en las frecuencias a medida de que se
hace un poco más profunda la entalla.
En la figura 61 que es la gráfica log(d)-log( 0 - ) para la frecuencia de
23000 Hz, donde se obtuvo un valor de 0,9124 mostrando una buena
correlación lineal, la ecuación así obtenida fue , con
un valor de de 1,7003.
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 125 ~
4.1.3.4 – 4to Armónico ( 36000 Hz)
De los ensayos en la cuarta frecuencia se muestran las siguientes tablas
y gráficas para su análisis:
Tabla 22. Valores del cuarto armónico en las probetas y la desviación estándar de los
valores para distintas profundidades de entalla
4to Armónico ( 36000 Hz)
Probeta d (mm) m (Hz)
1 0 36699,87 123,40
2 0,33 36517,00 113,49
3 0,46 36415,37 119,91
4 0,85 36256,75 69,90
5 1,14 35782,00 300,31
Tabla 23. Valores de log(d) y log( 0- ) en el cuarto armónico
Frecuencia 36000 Hz
log (d) log ( 0 – )
-0,48545225 2,26215433
-0,33441901 2,45408227
-0,06905097 2,64652625
0,05804623 2,96278354
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 126 ~
Figura 62
Figura 63
Figura 62. Gráfica del cuarto armónico en las probetas a distintas
profundidades de entalla
Figura 63. Gráfica en escala log-log del cuarto armónico
Se observa en la figura 62, las mediciones del cuarto armónico que
ubica las frecuencias resonantes entre los 35000 y los 37000 Hz, se vuelve a
notar una mayor dispersión en la probeta N°5 (d = 1,14mm) con una desviación
estándar de 300 Hz, existe disminución de frecuencia con mayor profundidad
en la entalla.
De la figura 63, se tiene que 0,9445; muestra que existe buena
correlación lineal entre los valores de la ordenada y los valores de las abscisas,
expresada por la ecuación obtenemos el valor de la
pendiente 1,1756 el cual vuelve a disminuir de manera apreciable en
comparación al último valor.
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 127 ~
4.1.3.5 – 5to Armónico ( 59000 Hz)
A continuación se muestran los valores de las frecuencias medidas del
quinto armónico que varía de 55000 a 60000 Hz, y las gráficas respectivas de
cada tabla:
Tabla 24. Valores del quinto armónico en las probetas y la desviación estándar de los
valores para distintas profundidades de entalla
5to Armónico ( 59000 Hz)
Probeta d (mm) m (Hz)
1 0 59182,12 295,66
2 0,33 58159,12 483,05
3 0,46 57201,50 155,13
4 0,85 56224,87 245,61
5 1,14 55920,75 287,77
Tabla 25. Valores de log(d) y log log( 0- ) en el quinto armónico
Frecuencia 58000 Hz
log (d) log ( 0 – )
-0,48545225 3,00987563
-0,33441901 3,29680225
-0,06905097 3,47088804
0,05804623 3,51340073
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 128 ~
Figura 64
Figura 65
Figura 64. Gráfica del quinto armónico en las probetas a distintas
profundidades de entalla
Figura 65. Gráfica en escala log-log del quinto armónico
Se observa en la figura 64 mayor dispersión en la probeta N°2 (d = 0,33
mm), mostrando el mayor valor registrado en la desviación con 483 Hz,
existe decrecimiento en la frecuencia desde la barra N°1 hasta la N°5 debido al
incremento de la profundidad de la entalla, en comparación a las gráficas
anteriores.
De la figura 65 se puede observar que el valor 0,9072; es el
menor valor de al compararse con los valores de las gráficas mostradas con
anterioridad, igual se obtiene una buena correlación lineal en la escala
logarítmica. La ecuación obtenida es ; donde la
pendiente vuelve a descender de manera leve con un valor de 0,9917.
De todo lo anterior se puede deducir que las frecuencias disminuyen a
medida que aumenta la profundidad de la entalla en cada armónico. El método
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 129 ~
permitió la detección de discontinuidades tan pequeñas como de 0,33 mm de
profundidad y tal vez podría detectar menores, también se detectaron
incrementos en el valor de la profundidad de la entalla de 0.13 mm es decir
cerca del 40%, todo esto indica la eficiencia del método para la detección de
pequeñas discontinuidades en el material.
El modelaje de las frecuencias de resonancia con una función potencial
en términos de la profundidad de la discontinuidad parece ser adecuada de
acuerdo a los valores de los coeficientes de correlación obtenidos. Los valores
de los coeficientes de correlación R2
fueron mayores a 0,90 en todos los casos.
( 0,9885; 0,9893; 0,9124; 0,9445 y 0,9072).
Ahora con las ecuaciones de las rectas proporcionadas por las gráficas,
se extraen los valores de la pendiente ( ), acompañado por su modo frecuencial
respectivo, y construimos la siguiente tabla con su respectiva gráfica:
Tabla 26. Frecuencias de resonancia con el parámetro de sensibilidad a la entalla
Frecuencias
1era 0,9474
2da 0,2518
3era 1,7003
4ta 1,1756
5ta 0,8817
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 130 ~
Figura 66. Gráfica de sensibilidad a la entalla
Figura 67. Segundo y cuarto armónico en una barra de longitud L
En la figura 66 se puede apreciar que en los modos de resonancia, dos y
cuatro (puntos de verde y de amarillo en la figura) hay una disminución notable
en el parámetro de sensibilidad a la entalla con respecto a sus modos uno y tres
(puntos de color negro en la figura), esto parece ser debido a la ubicación de la
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 131 ~
entalla en las cercanías de uno de los nodos (X = 0,5L), de tal forma que su
influencia en la frecuencia de vibración debe ser pequeña.
Este hecho hace suponer que para poder realizar una inspección
satisfactoria de las barras se deberían elegir por lo menos dos modos de
oscilación que no posean nodos en los mismos puntos de tal forma de poder
detectar la discontinuidad donde quiera que ella se encuentre, para corroborar
esto se ensayaron probetas con entallas en los nodos del segundo modo de
vibración de las barras y su análisis se presenta a continuación
4.1.4 - Análisis de barras con discontinuidades en X = 0,224L
De igual manera que en el caso anterior, los valores teóricos de las
frecuencias van a estar por encima de los valores obtenidos de manera
experimental. El siguiente análisis se realiza tomando en consideración que las
probetas tienen exactamente las mismas dimensiones; una probeta patrón y la
otra con presencia de discontinuidades ubicadas en X = 0,224L donde el
comportamiento se muestra en las siguientes gráficas:
Tabla 27. Valores de la frecuencia fundamental en probetas patrón, con una entalla y
con dos entallas, y la desviación estándar de los valores
Frecuencia Fundamental ( 4000 Hz)
Entallas d (mm) m (Hz)
Ninguna 0 4756,13 34,19
1 0,47 4511,00 14,76
2 0,45 ^ 0,47 4456,00 44,09
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 132 ~
Figura 68. Comparación en la frecuencia fundamental entre probetas: patrón, con una
entalla y con dos entallas en X = 0,224L
Utilizando el promedio de las mediciones para facilitar el análisis,
podemos observar en la figura 68 que la diminución en la frecuencia de una
probeta patrón a una probeta entallada es mucho mayor, que la disminución
entre las probetas con una y dos entallas respectivamente. Este mismo patrón se
repite en las gráficas de la 2da, 3era y 5ta frecuencias, que se muestran a
continuación:
Tabla 28. Valores del segundo armónico en probetas: patrón, con una entalla y con dos
entallas; y la desviación estándar de los valores
2do Armónico ( 12000 Hz)
Entallas d (mm) m (Hz)
Ninguna 0 12250,13 311,62
1 0,47 11757,25 124,31
2 0,45 ^ 0,47 11509,00 28,58
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 133 ~
Figura 69. Comparación en el segundo armónico entre probetas: patrón, con una
entalla y con dos entallas en X = 0,224L
Tabla 29. Valores del tercer armónico en probetas: patrón, con una entalla y con dos
entallas; y la desviación estándar de los valores
3er Armónico ( 23000 Hz)
Entallas d (mm) m (Hz)
Ninguna 0 23889,25 129,25
1 0,47 22916,00 5,35
2 0,45 ^ 0,47 22857,00 23,34
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 134 ~
Figura 70. Comparación en el tercer armónico entre probetas: patrón, con una entalla y
con dos entallas en X = 0,224L
Tabla 30. Valores del cuarto armónico en probetas: patrón, con una entalla y
con dos entallas; y la desviación estándar de los valores
4to Armónico ( 36000 Hz)
Entallas d (mm) m (Hz)
Ninguna 0 36699,88 123,40
1 0,47 36461,50 94,58
2 0,45 ^ 0,47 35214,25 50,23
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 135 ~
Figura 71. Comparación en el cuarto armónico entre probetas: patrón, con una entalla y
con dos entallas en X = 0,224L
En la figura 71 ocurre algo particular, la diferencia mayor ocurre entre la
probeta patrón y la probeta con las dos entallas, mientras se hace menor entre la
probeta patrón y la probeta con una entalla.
Tabla 31. Valores del quinto armónico en probetas: patrón, con una entalla y con
dos entallas; y la desviación estándar de los valores
5to Armónico ( 59000 Hz)
Entallas d (mm) m (Hz)
Ninguna 0 59182,13 295,67
1 0,47 56122,50 374,78
2 0,45 ^ 0,47 55341,50 111,78
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 136 ~
Figura 72. Comparación en el quinto armónico entre probetas: patrón, con una entalla y
con dos entallas en X = 0,224L
De las gráficas de: frecuencia fundamental(fig.68), el segundo (2do
)
armónico (fig.69), el tercer (3er
) armónico(fig.70) y el quinto (5to) armónico
(fig.72), existe una notable diferencia de frecuencias entre la probeta patrón y la
probeta con una entalla de profundidad d = 0,47 mm; lo que no sucede cuando
se comparan la probeta con una entalla y la que tiene dos entallas, la diferencia
de frecuencias es mucho menor, es decir, que el método de vibración forzada
para algunos armónicos con presencia de una entalla en X = 0,224L registra
mayor cambio de frecuencia con respecto a una probeta patrón, que en una
probeta que contenga dos entallas en la misma cara a la misma distancia de la
longitud.
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 137 ~
4.1.4.1 – Gráfica de porcentaje de variación de las
frecuencias (% en función del modo de vibración) entre una
probeta patrón y una probeta con una entalla en X = 0,224L
Para determinar la sensibilidad del método en este tipo de disposición se
puede realizar la gráfica de porcentaje de disminución en la frecuencia (% ) en
función del modo de vibración (n) entre una probeta patrón y una probeta con
una entalla (d = 0,47mm).
Tabla 32. Porcentaje de variación de las frecuencias entre una probeta patrón y una
probeta con una entalla
Modos %
1 0,00
2 101
3 97
4 -76
5 1184
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 138 ~
Figura 73. Gráfica comparativa de la influencia entre una probeta patrón y una probeta
con entalla para los distintos modos de vibración
En esta figura se puede apreciar el comportamiento de los modos de
resonancia frente a una discontinuidad ubicada en X =0,224L. Se observa que
los modos uno, tres y cuatro (puntos de color negro en la figura) son los que
muestran menor porcentaje de disminución en la frecuencia con respecto a las
probetas (patrón y entallada, d=0,47mm), indicando que la entalla no tiene
menor influencia en comparación con los modos restantes (puntos de color azul
en la figura) donde se muestra un poco más la sensibilidad y donde se radicaliza
en el modo número cinco con un porcentaje de 1200%. Este comportamiento de
menor sensibilidad a la entalla, se produce cuando para un modo particular la
entalla está cercana a uno de los nodos de vibración, resultando consistente con
lo obtenido en el caso de las entallas en el centro de la probeta
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 139 ~
4.1.4.2 – Gráfica de porcentaje de variación de las frecuencias (%
en función del modo de vibración) entre una probeta con una
entalla y una probeta con dos entallas en X = 0,224L
A continuación se muestra las diferencias de frecuencias entre una
probeta con una entalla (profundidad d = 0,47 mm) y una probeta que tiene dos
entallas (d = 0,47 mm y d = 0,45 mm de profundidad).
Tabla 33. Porcentaje de variación de las frecuencias entre una probeta con una entalla y
una probeta con dos entallas
Modos %
1 0,00
2 351
3 -76
4 2013
5 -37
Figura 74. Gráfica comparativa de la influencia entre una probeta con una entalla y una
probeta con dos entallas para los distintos modos de vibración
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 140 ~
En esta última figura se evalúa la sensibilidad entre dos probetas, una
con entalla de 0,47 mm de profundidad y la otra con dos entallas de 0,45 mm y
0,47 mm respectivamente, todas en X = 0,224L. Comparando los porcentajes de
diferencias entre las frecuencias de la probeta con una entalla y con dos
entallas, se tiene que la segunda entalla no genera contundencia en los
resultados esperados, pero se puede apreciar que hay menos sensibilidad en el
método en los modos uno, tres y cinco (nodos color negro), en el modo número
dos hay cierto incremento en la diferencia, que aumenta de manera abrupta en
el modo número cuatro (nodos color azul) con un porcentaje de variación de
frecuencia de 2000%.
4.1.4.3 – Gráfica de porcentaje de variación de las
frecuencias (% en función del modo de vibración) entre una
probeta patrón y una probeta con dos entallas en X = 0,224L
A continuación se muestra las diferencias de frecuencias entre la probeta
patrón y la probeta que tiene dos entallas (d = 0,47 mm y 0,45 mm)
Tabla 34. Porcentaje de variación de las frecuencias entre una probeta patrón y una
probeta con dos entallas
Modos %
1 0,00
2 1,47
3 0,39
4 0,44
5 1,59
CAPITULO IV
Resultados y Análisis
~ 141 ~
Graficando se tiene:
Figura 75. Gráfica comparativa de la influencia entre una probeta patrón y una probeta
con dos entallas para los distintos modos de vibración
Figura 76. Frecuencia fundamental y quinto armónico en barra de longitud L
En la figura 75 se observa que el punto más bajo representa al de menor
influencia correspondiente al modo fundamental ya que el mismo presenta sus
nodos en las cercanías de la ubicación de la discontinuidad (X = 0,224L).
CONCLUSIONES
~ 142 ~
CONCLUSIONES
1) Se comprobó que el método es sensible a la presencia de
discontinuidades tan pequeñas como 0,33mm y una variación de la
profundidad de entalla de 0,13mm; por lo que puede ser fácilmente
aplicado para la detección de fallas en equipos y estructuras.
2) Se encontró que debido a la sensibilidad del método se debe tener sumo
cuidado en variables como: la cantidad de masa del acoplante, la
colocación de los sensores así como también el grado de aislamiento del
espécimen en el montaje.
3) Se estableció el uso de por lo menos dos modos de vibración diferentes
y consecutivos para descartar puntos de posible falla.
4) Se determinó que es necesario establecer claramente la frecuencia de
resonancia de todos los elementos del sistema como por ejemplo
sensores.
5) Se observó que independientemente de la naturaleza de las entallas
(ubicación y profundidad) estas producen un efecto de disminución de
las frecuencias de resonancia.
6) Se encontró que si existe una discontinuidad en las cercanías de uno de
los nodos del modo de vibración, aunque haya disminución de las
frecuencias la influencia es menor.
RECOMENDACIONES
~ 143 ~
RECOMENDACIONES
Después del desarrollo de este proyecto se tienen las siguientes
recomendaciones a futuros trabajos:
- Si se va a utilizar este método para inspeccionar, es necesario
asegurar que las frecuencias de resonancia de los sensores estén lejos de
las del elemento inspeccionado.
- Se debe tomar en cuenta en la realización de los ensayos los
siguientes aspectos: cantidad y ubicación del material acoplante en los
sensores, el grado de aislamiento del elemento a inspeccionar, uso de
distintos tipos de sensores.
- De un espectro posible de frecuencias de trabajo, es
recomendable el uso de las más bajas cercanas a la fundamental por su
alta sensibilidad pero haciendo uso de un tapa oídos para bienestar del
sistema auditivo.
- Utilizar un medio que no sea de contacto como por ejemplo uso
de un micrófono o ensayos con laser; esto a fin de poder discriminar
frecuencias que no sean de las probetas.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
~ 144 ~
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Avallone, E. y Baumeister, T., Manual del Ingeniero Mecánico. (3a ed.).
México: McGraw-Hill.
2. Casillas, L. (2004). Máquinas – Cálculos de Taller. (38a ed.). España:
ENCO.
3. Dastko, J. (1966). Material Properties and Manufacturing Processes.
New York, EE. UU.: Wiley.
4. Den Hartog, J. (1964). Mecánica de Vibraciones. México, DF, México:
Continental.
5. Ertuğrul, C., Sadettin, O. y Murat, L. (2004). Un Análisis de la
Estructura de la Viga Agrietada, Utilizando el Método de Eco-Impacto.
Facultad de Ingeniería, Universidad Kirikkale. Kirikkale, Turquía.
6. Etcheverry, J. y Sánchez, G. (2008). Las Frecuencias de Resonancia
de Paralelepípedos para Determinación de Módulos Elásticos: Un
Tratamiento Exacto Numérico. TenarisSiderca R&D. Buenos Aires,
Argentina.
7. Hernández C. (2007) Aplicación de Elementos de Contorno en la
Determinación de la Frecuencia natural y Modos de Vibración en
Placas Delgadas.Tesis post grado. Universidad Central de Venezuela,
Caracas.
8. Kang, K., Kim, K., y Lee Hangseo. (2006). Evaluación de Módulo
Elástico de Viga en Voladizo por TA-ESPI [Resumen]. Volumen 23
Número 2. NDT Internacional.
9. León J. (1966). Determinación de las Frecuencias Naturales de
Vibración de Placas Multicelulares. Tesis de grado, Ingeniería
Mecánica Universidad Central de Venezuela, Caracas, 1966.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
~ 145 ~
10. Mott R. (1992). Diseño de Elementos de Máquinas. México: Prentice
Hall.
11. García M., Castro E. y Gallego A. (2003). Vibraciones longitudinales en
Barras: Simulación con el Método de Redes. Dpto. Física Aplicada,
Universidad de Granada. Granada, España.
12. Randall R. (2005). Introducción a la Acústica. Cambridge, Inglaterra:
Addison-Wesley Press.
13. Roca Vila, R. y León, J. (1981). Vibraciones Mecánicas. México:
Limusa.
14. Shigley, J y Mischke, Ch. (2004). Diseño en Ingeniería Mecánica. (6a
ed.) México DF, México: McGraw-Hill.
15. Thomson, W. (1983). Teoría de Vibraciones – Aplicaciones. España: al
Prentice-Hall Internacional.
16. Zill, D. (2006) Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. (2a ed.)
México, DF, México: Iberoamericana
Fuentes Electrónicas
17. Resonancia. Disponible en: http://www.physicsforums.com.
[Consultado 04/2010].
18. Bastian P. (2005). Los Terremotos: Historia, origen de los sismos,
efectos y causas de terremotos. Disponible en :
http://www.riie.com.ar/?a=28938. [Consultado 06/2010].
19. Profeballa. (2007). Memoria familiar del terremoto de caracas de 1967.
Disponible en:
http://venezuelaysuhistoria.blogspot.com/2007/08/memoria-familiar-
del-terremoto-de.html. [Consultado 06/2010].
20. Puente Tacoma Narrow. Disponible en:
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
~ 146 ~
http://www.soloentendidos.com/search?q=tacoma+narrow
[Consultado 06/2010].
21. Música y matemáticas. Disponible en:
http://sciences.jdmag.net/default.aspx?dir=/dir/Fisica/Acustica/Pitagoras
,_matematicas,_ondas_y_musica/index-3-95-1445-0-0-0-.html
[Consultado 06/2010].
22. Perez, D. (2000). Nikola Tesla: Pionero del Futuro. Disponible en:
http://www.bibliotecapleyades.net/tesla/esp_tesla_0.htm.
[Consultado 06/2010].
23. Henderson, T. Resonance and Satanding Waves. Disponible en:
http://www.physicsclassroom.com/class/sound/u11l4d.cfm.
[Consultado 06/2010].
24. Características de los Sismos. Capítulo IV-Vibración Libre.
Disponible en:
http://www.umss.edu.bo/epubs/etexts/downloads/19/cap_IV.htm.
[Consultado 07/2010].
25. Tipos de Ondas y sus Características. Disponible en:
http://www.esmijovi.com/descargas//ondas.pdf. [Consultado 07/2010].
26. Campus Tecnológico de la Universidad de Navarra. (2006).
Introducción a la Electroerosión. Disponible en:
www.tecnun.es/asignaturas/labfabricacion/LCSF/pdfs/Electroerosion.pd
[Consultado 08/2010].
27. Telemechanic, Manual Altivar 18. Disponible de:
http://download.telemecanique.com/Repository/index.nsf/%20|%20aa_
getdocs?OpenAgent&p=705&c=group8~ES&L=fr&App=?&sort=?&f
=?&bd=?&ed=?&. [Consultado 08/2010].
Top Related