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DISECCIN DE POLGONOS
HORACIO ARANGO MARN
SECRETARA DE EDUCACIN DE ANTIOQUIA
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Dados dos polgonos convexos con rea igual, unadiseccin poligonales una divisin de uno de ellos
en un nmero finito de piezas poligonales, de tal
manera que ellas formen exactamente, medianterotaciones y traslaciones, el otro polgono.
Por ejemplo, se puede dividir un tringulo equiltero
en 4 partes y formar con ellas un cuadrado de rea
igual al tringulo.
DEFINICIN
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Dados dos polgonos cualesquiera de la misma rea,
existe una divisin de uno de ellos en un nmero finito
de piezas poligonales de forma que estas piezas
puedan reordenarse formando exactamente el otro
polgono. Reordenamiento significa poder aplicar una
traslacin y una rotacin a cada pieza poligonal.
Teorema de Bolyai-Gerwien
Demostrado por William Wallace en 1807, por Paul
Gerwein en 1833 y en 1835 Bolyai encontr otraprueba sin conocer las anteriores.
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Existen dos mtodos de diseccin de polgonos:
1. La superposicin de polgonos, con unos puntos de
coincidencia y un ngulo de giro en uno de ellos. Se
busca que las divisiones que se producen entre lospolgonos, den el menor nmero de piezas.
2. A partir de construcciones usando la regla, el
comps y Geogebra se encuentran tambin lasdivisiones de polgonos
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1. CUADRATURA DEL TRINGULO
Una primera solucin (1905) a este problema la logra
Henry Ernest Dudeney (1857-1930).
Fue uno de los creadores de los acertijos y
pasatiempos matemticos a principios del siglo XX.Durante ms de veinte aos tuvo una seccin de
rompecabezas matemticos, en la revista mensual
The Strand Magazine. En espaol estn editados Los
acertijos de Canterbury, Diversiones matemticas y
Acertijos, desafos y tableros mgicos.
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Con regla y comps, como los antiguos griegos,
Dudeney encontr la manera de dividir un tringulo
equiltero en 4 piezas y luego formar con ellas, un
cuadrado de igual rea.
1. Dibujar el tringulo equiltero ABC.
2. Obtener los puntos medios D y E
de AB y BC .
1. CONSTRUCCIN
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1. CONSTRUCCIN
3. Prolongar AD hasta F, para que DF= DB.
4. Hallar el punto medio de AD (ser el punto G). Con
centro en G dibujar el arco AF.
5. Prolongar BC hasta cortar el arco, obteniendo el
punto H.
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6. Con centro en D dibujar un arco de radio DH. Llamar
J al punto en que corte al lado AC. Trazar elsegmento DJ
7. Sobre la base AC del tringulo marcar K, de forma
que JK = BD.
8. Trazar las perpendiculares sobre DJ desde E y K,
obteniendo los puntos L y M.
Nota
El lado del cuadrado es l = a 3
2y
es el lado del tringulo
1. CONSTRUCCIN
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El tringulo se divide en 3
cuadrilteros BDMK (azul),ELJA (amarillo) y CDLE
(verde) y en el tringulo
JMK (granate). Con ellos y
aplicando 2 rotaciones de
180 grados con centro en
E Y D y una traslacin del
tringulo JKM se forma un
cuadrado
1. SOLUCIN
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Disponemos 2 tringulos equilteros y 2 pentgonos
regulares de igual rea, en la siguiente forma
1. Obtenemos los puntos medios P y O de los
polgonos
2. Los superponemos, haciendo coincidir el punto O
de los dos tringulos equilteros con el punto P del
de los pentgonos.
2. DEL TRINGULO AL PENTGONO
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3. El polgono de los pentgonos
se rota 72 con centro en P y en
sentido horario.
En la superposicin, el tringuloequiltero queda dividido en :
Los tringulos FJK, LAI, FKB y
los cuadrilteros CLGF y FGIJ.
2. CONSTRUCCIN
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Coloreamos estas 5 regiones para
ver la diseccin del tringuloABC.
2. SOLUCIN
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Rotando y trasladando las
piezas FGIJ y IHJ seobtiene el pentgono de
rea igual al triangulo
equiltero.
El lado del pentgono en
trminos del lado del
tringulo es:
=
2. SOLUCIN
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Partimos de un tringulo equiltero de lado = 3y
un hexgono regular ( = 3tan 30
6 ), de rea
igual.
1. Convertimos tanto el tringulo como el hexgono en
rombos para usar el mtodo de superposicin como en
el ejemplo anterior.
3. DEL TRINGULO AL HEXGONO CONSTRUCIN
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2. En el tringulo marcamos los puntos medios de doslados contiguos y el punto medio del segmento que
ellos determinan P y en el rombo que obtenemos a
partir de hexgonos, se han sealan los puntos medios
de los lados ms cortos y el punto medio O entre estos
dos.
3. CONSTRUCIN
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3. La solucin con menos piezas, la obtenemos al
superponer los rombos y hacer coincidir el punto P y el
punto O.
3. CONSTRUCIN
4.Luego duplicamos los
rombos formados por
los tringulos y por los
hexgonos y este
ltimo, se gira 45
grados con centro en O
y en sentido horario.
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El tringulo y el hexgono quedan divididos en 5 piezas
que podemos ver en las siguientes imgenescoloreadas.
3. CONSTRUCIN
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3. SOLUCIN
Las 5 piezas forman el tringulo y el
hexgono de rea igual.
4 CUADRATURA DEL PENTGONO
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4. CUADRATURA DEL PENTGONO
Se construye un cuadrado de rea igual a la de un
pentgono regular de lado . Para ello:
1. Por el punto medio F trazamos una recta paralela al
ladoAE. Tomamos la longitud del segmento HE igual
a GD.2. Hallamos el punto medio O de y trazamos la
circunferencia 0de centro en Oy radio .
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4. CONSTRUCCIN
3. Con centro en C y radio trazamos la
circunferencia que corta en J a0
.4. Se traza CJ (de longitud ) HJ y lo prolongamos
hasta cortar el lado AB en K y el lado AE en I.
Sobre el lado DCdefinimos un segmento de longitud
EI igual a DN.
N
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4. CONSTRUCCIN
5. El pentgono se divide en 6 partes: el tringulo EGF
(= LMA), el cuadriltero HIAL (= FCGN), el tringuloHEI(= DGN), el cuadriltero EIJC, el tringulo IKAy el
cuadriltero CJKB.
N
4 SOLUCIN
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4. SOLUCIN
Coloreamos las 6 piezas. Trasladamos con el vector u
las regiones azul, amarilla y granate y con el vector vsetrasladan la fucsia y la cian y as formamos el cuadrado
de igual rea al pentgono
u
v
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5. CUADRATURA DEL HEXGONO,CONSTRUCCIN
Con un hexgono de lado = 3 construir un cuadrado de
rea igual ( su lado l es = 6
4tan 30 )
Para ello: 1. En el hexgono, con centro en y radio l
trazamos una circunferencia que corta el segmento
en y trazamos el segmento BK
2. Desde los puntos medios Gy I
deAFy CDtrazamos rectasperpendiculares al segmento BK
y hallamos los puntos H Y J.
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5. SOLUCIN
3. Coloreamos los cuadrilteros FKGH, HGAB, JBCI,
IDKJy el tringulo DFE.4. Desplazamos con el vector u las regiones amarilla y
azul, la verde con el vector v y con w la regin
fucsia. As, obtenemos la cuadratura del hexgono.
u
v
w
6 CUADRATURA DEL OCTGONO CONSTRUCCIN
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6. CUADRATURA DEL OCTGONO,CONSTRUCCIN
Con un octgono de lado = 3 construimos un
cuadrado de lado de rea igual al octgono.
1. En el centro del octgono trazamos un crculo de
radio a. Desde los puntos medios T,S,RY U trazamos
las rectas tangentes al crculo y con ellas definimos elcuadrado OPQN .
6 SOLUCIN
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2. Coloreamos las regiones RFESP, SDCTQ, TBAUH,
y UHGRO. Con el vector utrasladamos la regin verde,con el vector v la regin amarilla y con el vector w la
verde. La regin roja no se traslada. En el centro se
coloca el cuadrado fucsia . As formamos el cuadrado
de rea igual al octgono.
6. SOLUCIN
7 DEL PENTGONO AL HEXGONO CONSTRUCCIN
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Dados un pentgono y un hexgono regulares de igualrea.
1. El pentgono lo dividimos en un trapecio y en un
tringulo issceles y este lo dividimos en 2 partes
trazando un segmento desde el punto medio de la
base y paralelo a uno de los lados del trapecio
Reordenamos los 3 polgonos obtenidos formando
un rombo.
7. DEL PENTGONO AL HEXGONO, CONSTRUCCIN
7 CONSTRUCCIN
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7. CONSTRUCCIN
2. El Hexgono lo dividimos en un tringulo y un
pentgono.3. Las 3 divisiones del pentgono y las 2 del
hexgono se colocan una tras otra formando 2 series
geomtricas como se indica
7 CONSTRUCCIN
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4. Colocamos las series hacindolas coincidir en el
punto O (ltimo vrtice del hexgono) y el punto P5. La serie de los hexgonos la hacemos girar 43 con
centro en O (sentido horario ) Luego la desplazamos
horizontalmente
7. CONSTRUCCIN
7 CONSTRUCCIN
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6. Para distinguir bien las partes en que se divide el
pentgono, aadimos otra serie de hexgonos (verde)
Este ngulo hace coincidir el punto del vrtice de
hexgonos con un punto de la base mayor de la seriede los trapecios.
7. CONSTRUCCIN
7 SOLUCIN
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Coloreamos las 7
piezas que se obtienen
de la intercesin de las
series.
Reorganizndolas dan
lugar tanto a un
pentgono regular y aun hexgono regular.
7. SOLUCIN
7 DEL PENTGONO AL HEXGONO SOLUCIN
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7. DEL PENTGONO AL HEXGONO, SOLUCIN
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GRACIAS POR SU ATENCIN
MEDELLIN, AGOSTO 2015